绝对值(1)
绝对值不等式(一)
当且仅当ab≤0时, 等号成立.
当且仅当ab≥0时, 等号成立.
方法三：通过构造函数，利用了函数的图象， 体现了函数与方程的思想．
达标检测
1.解不等式(1)|2x -4|-|3x +9|<1 6 x x 或x 13 5
(2) x 2 x 3 4
（3）3≤|x-2|<9
R {x|-7<x≤-1或5≤x<11}
（4）| 1 3x 2 5
归纳延伸
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。 主要方法有：
⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
作业：搜集有关含两个绝对值符号的函数的最值 求法 P20 6（1）、（2） 7（2） 8（2）
3.形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的几何意义是什么？ 对应的解集是什么？
注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
4.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式的解集是什 么？
例1.解下列不等式：
(1) | 3 2 x |≥ 7 (2) | x 3 x | 4 ( 1, 4) , 2 5, x (4)1 | 3 x 4 |≤ 6 (3) | 3 2 | 1
1.2.4绝对值的概念和性质(1)同步习题精讲课件
＋0.031
2号
－0.017
3号
＋0.023
4号
－0.021
5号
＋0.022
6号
－0.011
(1)请你指出几号排球符合要求；
(2)请你对6个排球按照最好到最差排名；
(3)用学过的绝对值知识来说明以上问题．
解：(1)2号，6号 (2)6号，2号，4号，5号，3号，1号 (3)略
17．(12分)数学老师出了如下的计算题，孙良看了看 说：这么多数怎么算啊？请聪明的你来帮他解决吧，
示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( B )
A.－4
B.－2
C.0
D.4
绝对值的非负性
5．(4分)如果a表示一个任意有理数，那么下 面说法正确的是( C ) A．－a是负数 C．|a|一定不是负数 B．|a|一定是正数 D．|－a|一定是负数
绝对值的计算
6．(5分)下列各式中，不成立的是( ) D A．|－4|＝4 B．－|4|＝－|－4| C．|－4|＝|4| D．－|－4|＝4
写出你的解题过程．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 计算： 1 ... 2 3 2 4 3 5 4 2013 2012 2014 2013
1 1 1 1 1 1 2013 解：原式＝ 1 2 2 3 ... 2013 2014 1 2014 2014
1.2.4 绝对值
第1课时Байду номын сангаас
绝对值的概念和性质
1．数轴上表示数a的点与____ 原点 的距离叫做数a
的绝对值，记作|a|，读作_________ a的绝对值 ． 2．绝对值的性质用语言叙述为： (1)一个正数的绝对值是它本身 ____； (2)一个负数的绝对值是___________ ； 它的相反数 (3)0的绝对值是____ 0 ．
【人教版】绝对值精讲课件 1
解：33 解：21
18．(8 分)(1)已知|a|＝6，|b|＝4，且 a＞0，b＞0，求 a＋b，a－b 的 值；
(2)已知|a－1|＋|b－2|＋|c－3|＝0，求式子 2a＋b＋c 的值．
解：(1)由已知得 a＝6，b＝4，则 a＋b＝6＋4＝10，a－b＝6－4＝ 2 (2)由已知得 a－1＝0，b－2＝0，c－3＝0，所以 a＝1，b＝2，c＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3，则 2a＋b＋c＝2×1＋2＋3＝7
19．(8 分)出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民 大街进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单 位：千米)如下：＋15，－3，＋14，－11，＋10，若汽车耗油量为 0.06 升/千米，则这天下午汽车共耗油多少？
解：共行驶：|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＝15＋3＋14＋ 11＋10＝53(千米)，所以共耗油：53×0.06＝3.18(升)．答：这天下午汽 车共耗油 3.18 升
么 a＋b＝__1__.
16 ． 绝 对 值 小 于 6 的 整 数 有 __1_1___ 个 ， 它 们 分 别 是
±5，±1，±3，±2，±1，0
_____________________；绝对值大于
3
且小于
6
的整数是±___5_，__±__4.
三、解答题(共 32 分)
17．(6 分)计算
(1)|－7.25|×|－4|＋|－32|÷|－8|；
（人教版）绝对值PPT公开课课件1
（人教版）绝对值PPT公开课课件1
9．(8 分)某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求，螺帽的内径 可以有 0.02 毫米误差，抽查 5 只螺帽，超过规定内径的毫米数记作正 数，不足规定内径的毫米数记作负数，检查结果如下表：
人教版七年级数学上册教案第一单元 绝对值
1、理解并掌握绝对值的几何意义和代数意义2、掌握绝对值的非负性3、掌握绝对值的化简4、学会利用绝对值比较有理数的大小和分类讨论思想5、体会整体思想● （2019年·成都） 计算（6分）.()311630cos 22-0-+-︒-∏1、绝对值的几何意义：数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作a ． b a -的几何意义：在数轴上，表示数a,b 对应两点间的距离.例如，在数轴上表示+5的点与原点的距离是5，所以55=+；在数轴上表示-6的点与原点的距离是6，所以-6的绝对值是6，记作66=-。
2、绝对值的代数意义（性质）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．3、求字母a 的绝对值：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0()0(a a a a a a a ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ⎩⎨⎧≤->=)0()0(a a a a a4、利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.5、绝对值具有非负性．（1）对于任意实数a ，总有0≥a ．（2）如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如：若0=++c b a ，则0,0,0===c b a ．6、绝对值的其它性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a -≥（2）若b =a ，则b a =或b a -=； b a ab ⋅= ； ()0≠=b ba b a ； 222a a a ==● 例1、1、求下列各数的绝对值。
21-= ； 49-= ； ()2---= ； 7.8-= ；21= ； 8()7--= ； (24.2)-+= ； [](1)---= ； 2、若4x -=，则x ＝_______； 若104x -=，则x ＝__________； 若34x -=，则x ＝__________;若,,4b a a =-=则b= ；3、若ab ab <，则下列结论正确的是（ ）A.0,0<<b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0<ab1、（1） 6.2-的相反数是 ，倒数是 ；（2）已知 3.7a =，则a = ；若 3.7a -=，则a = ；（3）若a a =，则a 是 ；若a a -=-，则a 是 ；（4）若a 是负数，则a -= ；（5）已知,0,5,2<==xy y x 则y x +的值等于 ；2、（1）当0a >时，6a -= ； （2）当5a >时，5a -= ；（3）当5a <时，5a -= ；3、a ，b 是有理数，若a ＞b 且|a|＜|b|，下列说法正确的是（ ）A. a 一定是正数B. a 一定是负C. b 一定是正数D. b 一定是负数● 例2、 1、已知022=++-y x 求：（1）x ，y 的值；（2）552x y -的值。
绝对值零点去绝对值符号的原理(一)
绝对值零点去绝对值符号的原理
1. 什么是绝对值
绝对值是一个数的非负值，通常表示为|a|，其中a是一个实数。
当a大于
等于0时，|a|等于a；当a小于0时，|a|等于-a。
换句话说，绝对值就是一个数
到原点的距离。
2. 绝对值零点的定义
绝对值零点指的是绝对值等于0的点。
根据绝对值的定义，只有当a等于0时，|a|才等于0，因此绝对值零点就是在数轴上的0点。
3. 去除绝对值符号的原理
当我们要去除一个数的绝对值符号时，可以根据该数的正负情况来进行处理。
如果这个数是正数，去除绝对值符号后保持不变；如果这个数是负数，去除绝对值符号后需要将其变成正数。
4. 正数的情况
对于正数a来说，其绝对值就是它本身。
因此，去除绝对值符号后，结果还
是a。
5. 负数的情况
对于负数-a来说，其绝对值是-a的相反数，即|a| = -a。
因此，去除绝对
值符号后，结果就是将-a变成正数a。
6. 应用举例
举例来说明去除绝对值符号的原理。
假设有一个数|x|，如果x大于等于0，则去除绝对值符号后结果就是x；如果x小于0，则去除绝对值符号后结果就是-x。
7. 总结
绝对值零点是指在数轴上的0点，表示绝对值等于0的点。
去除绝对值符号
的原理是根据数的正负情况来进行处理，正数去除后结果不变，负数去除后变成正数。
通过这种方式，我们可以清晰地理解绝对值零点去绝对值符号的原理。
七年级数学上册(人教版)1.2.4绝对值(第1课时绝对值的概念及性质)优秀教学案例
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握和能力培养，鼓励学生的进步和创新。
4.结合学生的反馈和评价，教师调整教学策略，为后续教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中与绝对值相关的实际问题，如地图上的距离、运动员比赛得分等，引导学生关注绝对值在现实生活中的应用。
本节课的主要内容包括绝对值的概念、绝对值的性质以及绝对值在实际问题中的应用。在教学过程中，教师应注重从实际问题出发，引导学生发现绝对值的意义，并通过合作交流、讨论归纳出绝对值的性质。同时，结合典型例题，让学生在实践中掌握绝对值的应用，提高解决问题的能力。
为了提高教学效果，教师可以运用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象地展示绝对值的概念及性质，增强学生的直观感受。同时，注重启发式教学，引导学生主动思考、探究，培养学生的创新精神和实践能力。
3.教师通过典型例题，讲解绝对值在实际问题中的应用，引导学生学会运用绝对值解决问题。
（三）学生小组讨论
1.教师提出小组讨论任务，让学生结合实例探讨绝对值的性质。
2.学生分组讨论，共同分析绝对值的性质，如正数和0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结绝对值的性质。
（二）问题导向
1.引导学生提出关于绝对值的问题，如“绝对值有什么意义？”，“如何表示一个数的绝对值？”等，激发学生的探究欲望。
2.教师提出具有挑战性的问题，如“你能用绝对值解释生活中的哪些现象？”引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.鼓励学生自主探究，引导学生发现绝对值的性质，如正数和0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。
高考一轮复习之绝对值不等式(1)
课时9 绝对值不等式(1)复习目标：1、掌握绝对值不等式的解法，理解其基本思想是去绝对值以及去绝对值符号的常用方法；2、掌握绝对值不等式定理||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |，理解其中等号成立的条件，并运用其证明含绝对值的不等式。
知识要点：1、绝对值不等式的解法：解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号，去绝对值符号的常用方法有：（1）定义法：由定义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 分段讨论，一般地，形如c b x a x ≥-+-含有两个以上绝对值符号的不等式，通常采用“零点讨论法”求解．（2）同解变形法：利用绝对值不等式的性质，常用的同解形式有： ①a x a a x ≤≤-⇔≤； ②a x a x -≤⇔≥或a x ≥； ③)()()()()(x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤； ④)()()()(x g x f x g x f -≤⇔≥或)()(x g x f ≥．（3）平方法：)()()()(22x g x f x g x f ≤⇔≤．2、绝对值不等式定理：||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |（思考两边等号何时成立？）推论：n n a a a a a a +++≤+++ 2121一、基础训练：1、如果a 、b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是 （ ） A b a b a -≥+ B )0(2>+≤ab b a ab C b a b a +≤+ D 2≥+ab b a 2、若h >0，命题甲：两实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙：两实数a 、b 满足h a <-1且h b <-1，则甲是乙的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3、不等式1<x 2-≤7的解集是 。
4、如果等式xx x x --=--1212成立，那么实数x 的取值范围是 。
第八讲绝对值不等式(1)1
第八讲 绝对值问题一知识要点1绝对值的定义:正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于零。
几何意义：到原点的距离 (1) ()0.x a a <><=>a x a -<<(2) ()0x a a >><=>x a <-或x a >2绝对值不等式性质: (1)a b a b a b -≤+≤+（2）123123n a a a a a a a +++⋯+≤+++…n a3绝对值不等式解法:零点分段法例题分析例1解下列绝对值不等式 (1)235x -< (2) 256x x ->(3)26x x -≤ (4) 1345x <+≤(5)3527x <-≤ (6) 2342x x x -->+(7)135x x -++> (8) 311x x ->-(9)2252x x x --+> （10）121331x x x x -++-+≤-练习11 456x -<2 3412x x ->-3 232x a -<-4 213423x x x -+->+例2（1）已知不等式23x x a --+<的解集是R,求实数a 的取值范围.（2）若不等式23x x a --+<的解集不是空集,a 的范围是什么?是空集?例3已知不等式3232x x a -++>-的解集是R,求实数a 的范围.例4求函数1001k y x k ==-∑的最小值.例5关于x 的不等式:()()221122a a x +--≤与2x -()31a x ++2(3a +1)0≤ ()a R ∈的解集分别为,,A B 求使A B A = 的实数a 的范围.例6 方程223x x m --=有四个不同的解，求实数m 的范围。
例7（1）已知23223440x y z y y ++++++=，求()2x y z ++ （2）已知()2232903a b a a -+-=+，求2268a ab b -+（3）已知()()()2416021x x xy x y --++=+-，求2244612x y xy x y ++--的值（4）实数,,x y z 满足条件9124x y z x y z ++++-+-=，求xyz 的值。
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绝对值
教案示例
一、教学目标
1．初步理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，并会求有理数的绝对值．
2．利用绝对值解决—些简单的实际问题．
3．使学生初步了解数形结合的思想方法．
4．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生浓厚的学习兴趣，体会绝对值的意义和作用，
感受数学在生活中的价值．
二、教法设计
通过实体模型或问题实例创设学生参与情景，在自主看书寻找问题答案后探求绝对值的意义
及应用．
三、教学重点和难点
重点：初步理解绝对值的意义，会求一个有理数的绝对值．
难点：对绝对值意义的初步理解．
四、课时安排
1课时
五、师生互动活动设计
自主、探究、合作、交流．
六、教学思路
（一）、导入
1．教师拿出准备好的数轴模型，让学生观察后摆放在讲台前，叫两个学生站在绳上标有点
12、点6的位置，让其他学生观察度量后回答：这两个同学与原点的距离各是多少？
另外叫两个学生分别站在绳上标有点一6、点一12的位置，其他学生观察度量后回答：这
两个同学与原点的距离各是多少？
（给学生充分的时间思考，相互讨论、探讨．）
或：创设问题情景
挂出画有数轴的磁性黑板，两只小狗分别站在数轴上原点的左、右两侧3个单位的点上，向
它离开原点的距离各是多少？（激情引趣，导人新课）
2．概念的引述．
教师引导学生看书自学后，举例说明：什么是一个数的绝对值？如何表示一个数的绝对值？
（叫学生板书）
（学生在自学的基础上，可相互合作、探讨，教师参与学生的讨论，并进行个别指导．）
3．引导学生思考书中“想一想”：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
（在学生充分思考后，教师要引导学生相互说，并叫5个学生上黑板举例说明这个关系．）
（二）、新知识运用
例1：求下列各数的绝对位：（小黑板示）
、 、0、－7.8、
教师示范一题的解题格式，其余题目由学生独立完成．（培养学生规范化解题的良好习惯）
四、知识拓展
师生互动，先要求学 思考、解决，再在组内互相交流．
1．（1）在数轴上表示下列各数：
一1．5、一3、一1、一5．
（2）求出以上各数的绝对值，并比较它们的大小．
（3）你发现了什么？
（培养学生独立思考解决问题的习惯，学会发现问题，总结规律．）
2．如果 ＝3.5，那么
3．
4．字母a表示一个正数，－a表示什么？－a一定是负数吗？
（字母表示数的意义，为下一章的代数式做准备．）
视学生掌握知识的实际增况开展自编题，编出的题目先在小组内互相交流，再在小组内选出
一题在全班交流．
五、小结
1．知识点：
（1）绝对值的定义二
（2）一个数的绝对值与这个数的关系．
2．数学思想方法：数形结合的思想．（培养学生总结能力）
自我评价
本课设计体现的几个教学理念：
1．既注重学生的全面发展、又重视突出重点．在教学过程中不仅考虑使双基、能力和非智
力教学目标的切实实现，而且突出了培养思维能力这个重点，着重培养学生思维的准确性、深刻
性、批判性、创新性等优秀品质．
2．突出了归纳思维方法和学生创新意识的培养．这主要是通过求绝对值的法则的学习过程
和“知识拓展”中提出的问题而实现的．
3．学生的自主探索和教师的有效而及时的组织、引导与合作相结合．本课设计者根据初一
学生的认和水平，既注重安排他们的自主探究活动，又及时地进行引导、讲解和帮助，这一教学
理念贯穿本设计始终．
4．注重教学材料的呈现方式，采用磁性黑板的直观作用和多变而有趣的练习，激发学生的
学习兴趣和参与教学活动的积极性，增强了教学的情境性．
5．本课设计者电教手段的应用没有得到体现，只适合硬件条件较差的学校或对新技术手段
不熟的教师使用．
典型例题
例1 计算
分析 利用绝对值的概念可以去掉式子中的绝对值符号，利用在“相反数”一节学到的知
识，可以将 化简，这样，就可以利用小学知识完成本题了．
解
说明 本题出现在读者尚未学习有理数的运算之时，式子又比较长，不知读者刚刚见到这
个题目时，心中是否有畏难情绪产生．而前面的“分析”是寻找使问题发生转化的途径，经过转
化，题目就变容易了．这种情形在数学中极为常见，要特别注意学习怎样对题目特点，使问题由
复杂变简单，由不熟悉的变为熟悉的．
例2 求下列各数的绝对值：
（
1）－38；（2）0.15；（3）；（4） ；（5）；（6）
．
分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据
绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；
（3）∵＜0，∴||＝－；
（4）∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b；
（
5）∵＜2，∴-2＜0，|-2|＝-(-2)＝2-；
（6）
说
明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示
时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例3 判断下列各式是否正确(正确填入“T”，错误填入“F”)：
（1） ； ( )
（2） ； ( )
（3） ；（ ）
（4）若| |＝|b|，则 ＝b； ( )
（5）若 ＝b，则| |＝|b|； ( )
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义
来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)
小题中取 ＝1，则-| |＝-|1|＝-1，而|- |＝|-1|＝1，所以-| |≠|- |．在第(4)
小题中取 ＝5，b＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明
过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
当 时， ，而，成立；
当 时，，而，也成立．
这说明 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．
解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明
道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，
用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例4 若 ，则 等于（ ）．
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得 ；
．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则 ， ；
， ．故 ．所以答案为A
说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点
的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．
例5 计算 ．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清 和 的符号，再根据正数的绝对值等于
它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵ ，故
，而 ．
解：又∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子时，首先应确定代数式的符号．另外，
要求出负数的相反数．
习题精选
一、选择题
1．绝对值是最小的数（ ）
A．不存在 B．0 C．1 D．－1
2．当一个负数逐渐变大（但仍然保持是负数）时（ ）
A．它的绝对值逐渐变大
B．它的相反数逐渐变大
C．它的绝对值逐渐变小
D．它的相反数的绝对值逐渐变大
二、填空题
1. 若| －1| =0， 则 =______，若|1－|=1，则=______．
2．一个数的倒数是它本身，这个数是______，一个数的相反数是它本身，这个数是______．
3．若 的相反数是5，则 的值为______．
4．一个数比它的绝对值小10，则这个数为______．
5．若 ，且 ，则 ______．
三、解答题
1．填空题
（1）符号是＋号，绝对值是8.5的数是__________．
（2）符号是－号，绝对值是8.5的数是__________．
（3）－85的符号是__________，绝对值是___________．
（4）
（5）________的绝对值等于7.2．
（6）绝对值等于 的数是_________．
（7）
2．计算：（1） ；（2）
参考答案：
一、1．B 2．C
二、1. 1，0或-2； 2． ，0；3． ；4． ； 5． ．
三、略