函数y=Asin(ωx+φ)的市评优课教案
函数y=Asin(ωx φ)的图象优秀课件11
教学过程——练习小结
练习
• 课本P67 Ex1 （1）（3） Ex2 Ex3
小结
• “五点法” • 两种伸缩变换
布置作业
课本P69 1 (1) (2) 2 (1) (2) 思考题
π • 试用“五点法”作出函数y=sin(x+ )及 3 π y=4sin(2x+ )的图象。并说明它们是由函 3 数y=sinx通过怎样的变换得到的？ • 函数y=x2的图象通过怎样的变换得到函数 y=4x2的图象？
三、教学重点、难点
重点
• 用“五点法”画函数y=Asinx及y=sinωx的 简图。
• 函数y=sinx图象到函数y=Asinx和y=sinωx 图象的两种变换（振幅变换和周期变换）
难点
• 两种图象变换中的伸缩量的确定与A、ω
的关系。
四、教学方法与教学手段
问题启导法 计算机辅助教学法 讲练结合法
七、反馈评价
及时反馈
重点内容反馈 小结反馈
八、板书设计
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
例1 结论1 例2 结论2 例3 练习小结
九、时间安排
创设情境 实例演示
3’
15’ 15’ 6’
尝试探究
归纳提升
练习小结
6’
设计说明
遵循“问题——探
究——再创”的教学模式
敬请指导
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。 ——陈廷焯 译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。 72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。 ——《省世格言》 译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。 73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 ——《增广贤文》 译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。 74.学如逆水行舟，不进则退。 ——《增广贤文》 译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。 75.吾生也有涯，而知也无涯。 ——《庄子》 译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。 76.天下兴亡，匹夫有责。 ——明•顾炎武 译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。 77.生于忧患，死于安乐。 ——孟子 译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。 78.位卑未敢忘忧国。 ——陆游《病起书怀》 译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。 79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。 ——宋•文天祥《过零丁洋》 译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！ 80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。 ——宋•范仲淹《岳阳楼记》 译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人 81.小来思报国，不是爱封侯。 ——唐•岑参《关人赴安西》 译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。） 82.有益国家之事虽死弗避。 ——明•吕坤《呻吟语•卷上》 译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避 译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。 87.生当作人杰，死亦为鬼雄。 ——宋•李清照《夏日绝句》 译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。 88.利于国者爱之，害于国者恶之。 ——《晏子春秋》 译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。 89.读书本意在元元。 ——宋•陆游 译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。 90.时穷节乃现，一一垂丹青。 ——宋•文天祥 译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。 91.哀哀父母，生我劬劳。 ——《诗经》 译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！ 92.报国之心，死而后已。——宋•苏轼 译：报效祖国的志向到死都不会变。 93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。 ——三国•曹植《求自诚表》 译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。 94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？ ——汉•陈蕃语 译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？ 95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。 ——《庄子》 译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。 96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。 ——《孟子》 译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也 97.见侮而不斗，辱也。 ——《公孙龙子》 译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。 98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。 ——《后汉书》 译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。 99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。 ——汉•司马迁《史记》 译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人 100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。 ——《增广贤文》 译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.5 函数sin()y A x ωϕ=+的图像一、教学目标：知识与技能：通过学生自主探究，理解φ对y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响，ω对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响，A 对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响．过程与方法：通过探究图象变换，会用图象变换法画出y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图．情感、态度与价值观通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生的独立意识和独立思考能力，学会合作意识；培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题；培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重点难点重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的简图的作法．难点：由正弦曲线y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．三、教材与学情分析本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A 、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．这节是本章的一个难点．如何经过变换由正弦函数y ＝sin x 来获取函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象呢？通过引导学生对函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A 的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程一、问题引入问题1：观察简谐运动中单摆对平衡位置的位移y 随时间x 变化的图象、交流电的电流y 随时间x 变化的图象，它们与正弦曲线有什么关系？由学生熟悉的两个物理问题引入(课件演示)，使学生了解学习函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的意义，并对函数图象的特征有一个直观的印象．二、研究问题的方法问题2：你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响？ 学情预设:学生思考、讨论．教师引导总结：先分别考查参数φ、ω、A 对函数图象的影响，再整合为对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的整体考查．设计意图：引导学生思考研究问题的方法．知识链接：参数φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响与参数a 、b 、c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的影响既有联系又有区别．三、探究参数φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响问题3：函数y ＝sin(x ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间有什么关系？对φ任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y ＝sin x 的图象之间的关系．归纳函数y ＝sin(x ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间的关系．学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．教师适当引导． 设计意图：探究参数φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响．知识链接：要求学生能借助几何画板中的“新建参数”、“绘制新函数”等功能作出有关函数的图象，并掌握研究两个函数图象之间关系的方法．四、探究参数ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响问题4：函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin(x ＋φ)的图象之间有什么关系？不妨令φ＝π3.对ω任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y ＝sin(x ＋π3)的图象之间的关系． 归纳函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin(x ＋φ)的图象之间的关系．学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．设计意图：探究参数ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响．知识链接：学生根据问题3的经验进行探究．五、探究参数A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响问题5：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象之间有什么关系？不妨令ω＝2，φ＝π3.对A 任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y ＝sin(2x ＋π3)的图象之间的关系． 归纳函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象之间的关系．学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．设计意图：探究参数A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响．知识链接：学生根据问题3、问题4的经验进行探究．六、归纳函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间的关系问题6：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间有什么关系？归纳由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．学情预设：学生思考、讨论，并运用数学语言进行表达．教师适当引导．设计意图：归纳由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换方法． 知识链接：由问题3～问题5可归纳得出教科书本节中的结论．七、探究函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝cos x 的图象之间的关系问题7：函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝cos x 的图象之间有什么关系？(1)函数y ＝cos(x ＋φ)的图象与函数y ＝cos x 的图象之间有什么关系？(2)函数y ＝cos(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝cos(x ＋φ)的图象之间有什么关系？(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝cos(ωx ＋φ)的图象之间有什么关系？学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．教师适当引导． 设计意图：探究函数图象变换与函数解析式变换之间的关系．知识链接：学生根据问题3～问题6的经验进行探究．八、探究函数图象变换与函数解析式变换之间的关系问题8：函数图象变换与函数解析式变换之间有什么关系？(1)函数y ＝f (x ＋φ)的图象与函数y ＝f (x )的图象之间有什么关系？(2)函数y ＝f (ωx )的图象与函数y ＝f (x )的图象之间有什么关系？(3)函数y ＝Af (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象之间有什么关系？由函数y ＝sin(x ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间的关系、函数y ＝cos(x ＋φ)的图象与函数y ＝cos x 的图象之间的关系，归纳出函数y ＝f (x ＋φ)的图象与函数y ＝f (x )的图象之间的关系．同理，可归纳出函数y ＝f (ωx )的图象与函数y ＝f (x )的图象之间的关系、函数y ＝Af (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象之间的关系．学情预设：学生思考、讨论，并运用数学语言进行表达．教师适当引导．设计意图：探究由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的其他变换方法． 知识链接：利用归纳的方法．九、由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的其他变换方法问题9：由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象是否还有其他变换方法？(1)函数y ＝sin ωx 的图象与函数y ＝sin x 的图象之间有什么关系？(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin ωx 的图象之间有什么关系？(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象之间有什么关系？归纳由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的另一种变换方法．利用函数图象变换与函数解析式变换之间的关系理解函数图象的变换，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象是由函数y ＝sin ωx 的图象向左(右)平移|φω|个单位得到．用参数φ、ω、A 的不同排列顺序理解由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象各种不同的变换方法． 十一、 应用示例例1图1是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？(3)写出这个简谐运动的函数表达式．图1活动：本例是根据简谐运动的图象求解析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数φ、ω、A 在图象上是怎样反映的，要解决这个问题关键要抓住什么．关键是搞清φ、ω、A 等参数在图象上是如何得到反映的．让学生明确解题思路是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题．完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充．解：(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm ，周期为0.8 s ，频率为54. (2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动；如果从A 点算起，则到曲线上的E 点，表示完成了一次往复运动．(3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，那么A ＝2；由2πω＝0.8，得ω＝5π2；由图象知初相φ＝0.于是所求函数表达式是y ＝2sin 5π2x ，x ∈[0，＋∞)． 点评：本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点．应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法． 例2若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A >0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式． 活动：让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A >0，ω>0)，这是学生未遇到过的．教师应引导学生思考它与y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的关系，它只是把y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象向上(B >0)或向下(B <0)平移|B |个单位长度．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期．这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不像例1那样能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y 轴最近的一个即可．解：由已知条件，知y max ＝3，y min ＝－5，则A ＝12(y max －y min )＝4，B ＝12(y max ＋y min )＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2.∴T ＝π，得ω＝2.故有y ＝4sin(2x ＋φ)－1. 由于点(π12，3)在函数的图象上，故有3＝4sin(2×π12＋φ)－1， 即sin(π6＋φ)＝1.一般要求|φ|<π2，故取π6＋φ＝π2.∴φ＝π3. 故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1. 点拨：这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A 、ω，进而求得初相φ，但要注意初相φ的确定．求初相也是这节课的一个难点．图2解：方法一：由图知图3答案：A六、课堂小结1．参数φ、ω、A对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，由函数y＝sin x的图象到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的变换方法．2．函数图象变换与函数解析式变换之间的关系．3．由学生自己回顾本节学习的数学知识：简谐运动的有关概念．本节学习的数学方法：由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值．4．三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题的思路是：如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出，特别是给出图象确定解析式y＝A sin(ωx＋φ)的题型．有时从寻找“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口，一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置．七、课后作业1.课时练与测2．教科书习题1.5A组第1题．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？(其他四种变换方法中选一种)八、教学反思新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，使每个学生都动手参与，让参数“动起来”，让函数图象“动起来”，既可以帮助学生更好地观察规律，又可以激发学生的学习兴趣．学生通过实验手段，经历数学知识建构过程，体验数学发现的喜悦，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学．“问题是数学的心脏”，本节课总体上以问题串的形式，采用“问题教学法”将本节课的教学内容以问题的形式提出，在课堂上不断的提问和回答中，教师及时获取了反馈信息，并能及时地给以方法指导，有利于学生正确地掌握知识和解决问题．学生在教师的指导下以类似科学研究的活动方式去积极主动地获取知识．教师是课程的实践者、开发者，本节课的教学中补充探究函数y＝cos x的图象到函数y ＝A cos(ωx＋φ)的图象的变换过程，从而进一步归纳出函数图象变换与函数解析式变换的内在联系，可以更好地理解由函数y＝sin x的图象到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的其他变换方法，既加大了思维的深度，又拓宽了学生的视野，能较好地突破难点，也为学生课后自主学习留下了较大的空间．。
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》教案
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第二课时）》教案师：结合信息技术动态演示=1ω时，动点G 的轨迹以及动点G 对应的函数解析式．我们知道，动点M 在单位圆1O 上以单位角速度（即=1ω）按逆时针方向运动，如果动点M 以1Q 为起点（此时π=6），经过x s 后运动到点P ，那么点P 的纵坐标就等于πsin +6x （），所以以,x y （）为坐标描点G ，点G 的轨迹对应的函数解析式是π=sin +6y x （）．问题4：若取=2ω，动点1M 以1Q 为起点，在单位圆1O 上以角速度=2ω按逆时针方向运动，经过x s 后运动到点1P ，那么点1P 的纵坐标是什么？生：点1P 的纵坐标就等于πsin 2+6x （）． 追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？生：点H 的轨迹对应的函数解析式是π=sin 2+6y x （）．师：结合信息技术动态演示=2ω时，动点H 的轨迹．问题5：函数π=sin 2+6y x （）与π=sin +6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？生：思考、交流．师：引导学生分析，学生遇到困难时进行点拨．师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以1Q 为起点，以=1ω和=2ω的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置P 时，=2ω时的运动时间始终是=1ω时运动时间的12．对应地，设,G x y （）是函数π=sin +6y x （）图象上的一点，那么1,2K x y （）就是函数π=sin 2+6y x （）图象上的相应点．问题6：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin +6y x （）的图象得到函数π=sin 2+6y x （）的图象？生：思考，交流．师：引导学生理解图象变换的本质是图象上点的变换．总结：函数π=sin 2+6y x （）的图象是把函数πsin()6y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的．并且π=sin 2+6y x （）的周期为π，是π=sin +6y x （）的周期的12．问题7：如果ω取12，3，13时，对应的函数π=sin +6y ωx （）的图象与π=sin +6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？生：仿照上面的研究过程分析、交流． 师：以1=2ω为例，动点的转速是=1ω时的12，以1Q 为起点，到达点P 的时间是=1ω时的2倍，所以把π=sin +6y x （）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），就得到1π=sin +26y x （）的图设计意图：引导学生类比参数 ，ω对函数=sin +y ωx φ（）图象影响的研究过程，明确参数0A A （＞）对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解A 的实际意义，为后面的探索做好准备．问题10：若取=2A ，设射线1OQ 与以1O 为圆心、2为半径的圆交于点1T ，如果单位圆上以1Q 为起点的动点M ，以=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点P ，那么点P 的纵坐标是πsin 2+6x （），相应地，动点1M 在以1O 为圆心、2为半径的圆上，以1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点T ，那么点T 的纵坐标是什么？师：借助信息技术演示．生：点T 的纵坐标就等于π2sin 2+6x （）． 追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？生：点H 的轨迹对应的函数解析式是π=2sin 2+6y x （）． 问题11：函数π=2sin 2+6y x （）与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？生：借助前面的研究过程，分析、交流．师：在学生困难的地方进行点拨，借助信息技术动态演示，引导学生得出一般性的结论．师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以1O 为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以1Q 和1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后分别到达圆周上的点P 和点T ，易得点T 的纵坐标是点P 的纵坐标的2倍．对应地，设,K x y （）是函数π=sin 2+6y x （）图象上的一点，那么,2N x y （）就是函数π=2sin 2+6y x （）图象上的相应点．问题12：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin 2+6y x （）的图象得到函数π=2sin 2+6y x （）的图象？ 生：思考，交流．总结：函数π=2sin 2+6y x （）的图象是把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的．问题13：如果A 取12，3，13时，对应的函数π=sin 2+6y A x （）的图象与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出0A A （＞）的变化对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的一般化结论吗？ 生：仿照上面的研究过程分析、交流．师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．师生总结：以1=2A 为例，把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），就得到1π=sin 2+26y x （）的图象． 一般地，函数=sin +y A ωx φ（）的图象，可以看作是把函数=sin +y ωx φ（）的图象上所有点的纵坐标伸长（当1A ＞时）或缩短（当课后篇巩固提升合格考达标练1.函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]上的简图是()x=0时,y=sin(-π3)=-√32<0,故可排除B,D;当x=π6时,sin(2×π6-π3)=sin0=0,排除C.2.要得到函数y=sin(x-π3)的图象,只需将函数y=sin(x+π6)的图象()A.向右平移π3个单位长度B.向左平移π3个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π6个单位长度y=sin[(x-π2)+π6]=sin(x-π3),所以应将函数y=sin(x+π6)的图象向右平移π2个单位长度.3.(2021天津高一联考)为了得到函数y=sin2x+π4的图象,只需把函数y=sin2x+π6的图象上所有的点()A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π24个单位长度D.向右平移π24个单位长度解析由题得函数y=sin 2x+π4=sin 2x+π24+π6,故要得到函数y=sin 2x+π4的图象,只需将函数y=sin 2x+π6的图象向左平移π24个单位长度即可,故选C . 4.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图时,列表如下:2则根据表格可得出A= ,ω= ,φ=.3 -π4A=2,T=34π-π12=2πω,∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.∵当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4.5.把函数f (x )=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g (x )的图象,则g (x )的最小正周期是 .g (x )=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.6.(2021天津河西高一期末)将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍,则所得图象的函数解析式为 .答案y=sin 4x+π6解析将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,可得y=2sin 2x+π6的图象;再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍,则所得图象的函数解析式为y=sin 4x+π6.7.(2021吉林公主岭高一期末)已知函数f (x )=2sin 2x+π6+1.(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表); (2)写出函数y=f (x )图象的对称中心坐标及对称轴的方程.列表如下:描点连线作图如下:(2)由图象可得对称中心的坐标为kπ2−π12,1,k ∈Z ,对称轴方程为x=kπ2+π6,k∈Z .等级考提升练8.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω=2ππ=2,所以f(x)=sin2x+π4.f(x)=sin2x+π4=cosπ2-2x+π4=cosπ4-2x=cos2x-π4=cos2x-π8.要想得到函数g(x)=cos 2x=cos2x-π8+π8的图象,只需把函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度即可.故选A.9.(2021甘肃天水高一期末)为了得到函数y=√2sin2x+π4的图象,只要把函数y=√2cos 2x图象上所有的点()A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析只要把函数y=√2cos 2x=√2sin2x+π2图象上所有的点向右平移π8个单位长度,可得函数y=√2sin2x+π4的图象,故选B.10.如图为一半径是2米的水轮,水轮圆心O 距离水面1米,已知水轮每分钟旋转5圈,水轮上的点P 到水面的距离y (单位:米)与时间x (单位:秒)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2,则( )A.ω=π6,A=2 B.ω=2π15,A=1 C.ω=π6,A=3 D.ω=2π15,A=2T=605=2πω,可得ω=π6,由图可知y 的最大值为3,sin(ωx+φ)=1时取得最大值,∴3=A+1,解得A=2.11.将函数y=sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f (x )的图象,则( )A.y=f (x )的图象关于直线x=π8对称 B.f (x )的最小正周期为π2 C.y=f (x )的图象关于点π2,0对称D.f (x )在-π3,π6上单调递增解析函数y=sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin x ,即f (x )=sin x.根据正弦函数的图象及性质可知,对称轴x=π2+k π,k ∈Z ,所以A 错误;最小正周期T=2π,所以B 错误;对称中心坐标为(k π,0),k ∈Z ,所以C 错误.单调递增区间为2k π-π2,π2+2k π,k ∈Z ,所以f (x )在-π3,π6上单调递增.故选D .12.(多选题)(2021江苏苏州高一期末)为了得到函数y=cos 2x+π4的图象,只要把函数y=cos x 图象上所有的点( )A.向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 B .向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12倍 C .横坐标变为原来的12倍,再向左平移π8个单位长度D .横坐标变为原来的12倍,再向左平移π4个单位长度解析把函数y=cos x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度,得到y=cos x+π4的图象;再将横坐标变为原来的12倍,得到y=cos 2x+π4的图象.或把函数y=cos x 图象上所有的点横坐标变为原来的12倍,得到y=cos 2x 的图象;再向左平移π8个单位长度,可得y=cos 2x+π4的图象.故选BC .13.(多选题)要得到y=cos 2x 的图象C 1,只要将y=sin 2x+π3的图象C 2( ) A.向左平移π12个单位长度 B.向右平移11π12个单位长度C .先作关于x 轴对称的图象C 3,再将图象C 3向右平移5π12个单位长度 D .先作关于x 轴对称的图象C 3,再将图象C 3向左平移π12个单位长度解析对于A,将y=sin 2x+π3的图象C 2向左平移π12个单位长度,可得y=sin 2x+π12+π3=sin 2x+π2=cos 2x 的图象C 1,故选项A 正确;对于B,将y=sin 2x+π3的图象C 2向右平移11π12个单位长度,可得y=sin [2(x -11π12)+π3]=sin 2x -3π2=cos 2x 的图象C 1,故选项B 正确; 对于C,先作C 2关于x 轴对称的图象,即y=-sin 2x+π3的图象C 3,再将图象C 3向右平移5π12个单位长度,得到y=-sin [2(x -5π12)+π3]=-sin 2x -π2=cos 2x 的图象C 1,故选项C 正确;对于D,先作C 2关于x 轴对称的图象,即y=-sin 2x+π3的图象C 3,再将图象C 3向左平移π12个单位长度,得到y=-sin [2(x +π12)+π3]=-sin 2x+π2=-cos 2x 的图象,故选项D 不正确.14.已知函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g (x )=sin (12x +π4)的图象,只需将y=f (x )的图象上 .4倍,纵坐标不变f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π.∴ω=2.∴f (x )=sin (2x +π4).又g (x )=sin (12x +π4)=sin [2×(14x)+π4],∴只需将y=f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g (x )=sin12x+π4的图象. 15.已知f (x )=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2在0,4π3上单调,且f π3=0,f4π3=2,则f (0)= .1 由题意知14·2πω=4π3−π3,所以ω=12.由f4π3=0,得12×4π3+φ=2k π+π2,k ∈Z , 所以φ=-π6+2k π,k ∈Z . 又因为|φ|≤π2,所以φ=-π6, 即f (x )=2sin12x -π6, 则f (0)=2sin -π6=-1.16.将函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象.(1)求函数f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,3π]时,方程f (x )=m 有唯一实数根,求m 的取值范围.将y=sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y=sin (x +π6)的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin (12x +π6)的图象,故f (x )=sin (12x +π6).(2)令2kπ+π2≤12x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z).又x∈[0,3π],所以x∈[0,2π3],f(x)单调递增,x∈[2π3,8π3],f(x)单调递减,x∈[8π3,3π],f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=12,当x=3π时,m=-√32.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈(-√32,12)∪{-1,1}.新情境创新练17.某同学用“五点作图法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:2(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;(2)将f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.根据表中已知数据,可得A=5,{π3ω+φ=π2,5π6ω+φ=3π2,解得ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:211函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,则g(x)=5sin2x+2θ-π6.因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,所以令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2−π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象公开课一等奖优秀课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考3 一般地，对任意的φ (φ≠0)，函数y＝sin(x＋φ)的图象是 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 答 y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有 的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得 到，上述变换称为平移变换.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考 2 用“五点法”作出函数 y＝sin12x＋π3在一个周期内的图象， 比较它与函数 y＝sinx＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？
答
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
函数 y＝sin12x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sinx＋π3的图象上所有 的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
函数 y＝2sin2x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sin2x＋π3的图象上所 有的点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到的.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考 2 用五点法作出函数 y＝12sin(2x＋π3)在一个周期内的图象，比 较它与函数 y＝sin2x＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
答 函数 y＝12sin2x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sin2x＋π3的图象 上所有的点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考3 一般地，对任意的A(A>0且A≠1)，函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象是由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的 ？ 答 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把函数y＝sin(ωx＋ φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到 原来的A倍(横坐标不变)而得到的，上述变换称为振幅变换.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象优秀教学设计
函数的图像()ϕω+=x A y sin 第一课时（一）教学具准备直尺、投影仪．（二）教学目标掌握由xA y x A y x y ωsin sin sin =→=→=（三）教学过程1．设置情境函数（、、是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，()ϕω+=x A y sin A ωϕ物体作简谐振动时，位移与时间的关系，交流电中电流强度与时间的关系等，都可s t i t 用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数与的简图的作法学起．（板书课题）—函数x A y sin =x y ωsin =与的图像．x A y sin =x y ωsin =2．探索研究（可借助多媒体）（1）函数与的图像的联系x A y sin =x y sin =【例1】画出函数及（）的简图．x y sin 2=x y sin 21=R ∈x 解：函数及的周期均为，我们先作上的简图．x y sin 2=x y sin 21=π2[]π20，列表并描点作图（图1）x 02ππ23ππ2xsin 010－10xsin 2020－20x sin 21021021-0利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在上的简图向左、右分别扩展，从[]π20，而得到它们的简图．图的图像与的图像之间有何联系？请一位同学说出的值x y sin 2=x y sin =x y sin 2=域和最值．生：的图像可以看做是把的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的x y sin 2=x y sin =2倍（横坐标不变）而得到的．，的值域是，最大值是2，最小值x y sin 2=R ∈x []22，-是－2．师：的图像与的图像有何联系？并请你说出的值域x y sin 21=x y sin =x y sin 21=和最值．生：的图像可以看做是把的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的x y sin 21=x y sin =倍，（横坐标不变）而得到的，，的值域是，最大值是，21x y sin 21=R ∈x ⎦⎤⎢⎣⎡-2121，21最小值是．21-师：由例1中、与的图像的联系，我们来探求函数x y sin 2=x y sin 21=x y sin =（且）的图像与的图像之间的联系．x A y sin =0>A 1≠A x y sin =函数（且）的图像可以看做是把的图像上所有点的x A y sin =0>A 1≠A x y sin =纵坐标伸长（当时）或缩短（当）到原来的倍（横坐标不变）而得到，1>A 10<<A A 这种变换称为振幅变换，它是由的变化而引起的，叫做函数的振幅．A A x A y sin =，的值域是，最大值是，最小值是．x A y sin =R ∈x []A A ，-A A -（2）函数与的图像的联系x y ωsin =x y sin =【例2】作函数及的简图．x y 2sin =x y 21sin=解：函数的周期，因此，我们先来作时函数的简x y 2sin =ππ==22T []π，0∈x 图．列表：x04π2π43ππx202ππ23ππ2x 2sin 010－10函数的周期，因此，我们先作时函数的简图．x y 21sin =ππ4212==T []π40，∈x 列表：x 0ππ2π3π4x 2102ππ23ππ2x 21sin 010－10描点作图（图2）师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出，x y 2sin =及，的简图．R ∈x x y 21sin =R ∈x 请同学们观察函数与的图像间的联系及与x y 2sin =x y sin =x y 21sin =x y sin =的图像间的联系．生：在函数，的图像上，横坐标为（）的点的x y 2sin =[]π，0∈x 20x []π，00∈x 纵坐标同上横坐标为的点的纵坐标相等，因此的图像可以看做是把x y sin =0x x y 2sin =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．x y sin =21同样，的图像可以看做把的图像上所有点的横坐标伸长为原来的x y 21sin =x y sin =2倍（纵坐标不变）而得到的．师：由例2中，、与的图像的联系，请你探求函数x y 2sin =x y 21sin =x y sin =（且）的图像与之间在联系．x y ωsin =0>ω1≠ωx y sin =生：函数（且）的图像，可以看做是把的图像上所x y ωsin =0>ω1≠ωx y sin =有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）1>ω10<<ωω1而得到的．这种变换称为周期变换，它是由的变化而引起的，与周期的关系为ωωT 图．ωπ2=T 3．演练反馈（投影）1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图（1） （2）x y sin 23=R ∈x x y 4sin =2．函数，的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系．x sin y 32=R ∈x 3．说明如何由；由x y x y 2sin sin =→=x y x y sin 21sin =→=参考答案：1．2．周期是，把的图像上每个点的横坐标伸长倍（纵坐标不变）即得π3x y sin =23的图像．x y 32sin =3．的图像沿轴方向压缩得的图像（纵坐标不变）；把x y sin =x 21x y 2sin =的图像上纵坐标缩短倍（横坐标不变），即得的图像．x y sin =21x y sin 21=4．总结提炼（1）用“五点法”作或的简图时，先要确定周期，再将周期四x A y sin =x y ωsin =等份，找出五个关键点：0，，，，，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五4T 2T 43T T 个点．（2）的图像可以看做是把正弦曲线图像经过振幅变换而得到．x A y sin =x y sin =（3）函数的图像可以看作是把实施周期变换而得．x y ωsin =x y sin =（4）作图时，要注意坐标轴刻度，轴是实数轴，角一律用弧度制．x （四）板书设计1．函数与的x A y sin =x y sin =图像的联系例1联系2．函数与的图x y ωsin =x y sin =像的联系例2联系小结：演练反馈总结提炼。
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第一课时)》教案
1 《函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第一课时）》教案 教学目标 教学目标： 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密切联系； 2.掌握参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，通过信息技术建立并控制参数φ的变化，理解参数φ在圆周运动中的实际意义，感受数学的应用价值； 3.感受发现问题提出问题的过程，发展数学建模、数学抽象与直观想象的数学素养． 教学重点： 用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程； 参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响． 教学难点： 数学建模的过程与方法； 参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程． 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动
2分钟 创设问题情境 提出研究问题
引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画． 对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面看一个实际问题： 筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原
理． 问题1：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律． 设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．
4分钟 抽象简化问题 建立函数模型
问题2：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位
第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用优秀教案
函数)sin(xAy的图象及应用 教学目标： 1．了解函数)sin(xAy的物理意义； 2．能画出)sin(xAy的图象，了解参数,,A对函数图象变化的影响； 3．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 教学重、难点： 重点：函数)sin(xAy的图象及应用； 难点：函数)sin(xAy的图象. 课时：第一课时. 教学过程： 一、根底知识： 1．函数)sin(xAy的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
振幅 初相 相位 周期 频率
A φ ωx＋φ T＝2πω f＝1T＝ω2π
2．画)2,0,0)(sin(AxAy一个周期内的简图时，五个关键点 x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω
2π－φ
ω
x
0 π2 π 3π2 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．函数xysin的图象经变换得到)sin(xAy的图象的两种途径 xysin )sin(xy )sin(xy 向左〔右〕平移个单位长度
横坐标变为原来的1倍
横坐标变为原来的
1倍
纵坐标变为原来的A倍 )sin(xy )sin(xy )sin(xAy 注意： 〔1〕函数bxAy)sin(图象平移的规律：“左加右减，上加下减〞.
〔2〕由)sin(xy到）（0,0)sin(xy的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度. 二、学生活动： 〔一〕学生辨析： 1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩〞与“先伸缩，后平移〞中平移的长度一致.( ) (2)函数)sin(xAy的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称轴之间
的距离为2T.( ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 〔二〕学生讨论 3.)1cos(xy图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》教学设计
数ｙ Ａｓｎ（ｘ ） ＝ ｉ（） ＋ 的图像 在此之前 ， １ 。 学生已经学习了正弦、 余弦函数的图像 。 本节 内容 主要研 究图像的变换， 特别是 Ａ、 对 函数ｙ Ａｓｎ∞ｘ ） ∞、 ： ｉ（ 十 的图像 的影响， 比较抽象 ， 学生不易掌握。
ｙ Ａｉｃｘ ｏ） ＝ ｓ（ ＋ｄ 的图像 影响， 采用 ｎ ｏ 若 传统的方法讲授 ， 图量大， 作 费时
费 力， 而且 比 较 抽 像 ， 学生 不 易掌 握。 因而 ， 学 时借 助 信 息 技Байду номын сангаас术 强 教
出Ａ ∞ 在图像变换和函 陛质之间的 、、 数
意义 ， 增强学生的作图能力； 借助电脑画 出函数ｙ Ａｓ （ ｘ ｑ￣图像， ＝ ｉ Ｃ ＋ｂ Ｊ ｎＯ ） 并观 察参
大的作图和分析功能， 让学生 充分
３
对 参数 赋值 ， 观察 具体 函数 的特点 ， 形 成对图像 变化的具体 认识， 然后让 参数 动起 来， 看看 是否还 保持 了这 个规 律 ，
领 会由复 杂到简单， 由特殊 到一般的化 归思想。 并利用课 件动态 验证Ａ、１ ｃ 三 ） 、
个 参数的作 用， 学生提 供更 直观 、 为 更 感 性的材料 ， 发学 生学 习的兴趣 ， 激 帮
“ 问题 情境 一 一 探 究 发现 法 ” 模
式（ 如图１。 ） 以问题 为 出发点 ， 生 自主操 作 ， 学
教学目 标
知 识 与 能 力目标 ： 解 三 个 参 理
合作探究， 将信息技术作为教与学的工
具、 方法和手段融于教学过程之中， 培 养学生思维和解决问 题的能力。 对函数 ｙ Ａ ｉ（ｘ 图像的研究， ＝ ｓ 【＋ ） ｎ１ ） 由于涉及
的参 数有 ３ ， 个 因此本 节采取 先逐 一对
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1.3.3函数sin()yAx的图象(1)
学习目标:
1、用五点法画函数)sin(xAy的图象.
2、能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到)sin(xAy的图象，并在这个过程中认识到函数xysin与
)sin(xAy
得联系
重点难点:
1、用五点法列表画函数图象; 2、理解sinyx的图象与sin()yAx的图象之间的变换关系.
一．复习回顾 五点法作图
二．课前预习
在)sin(xAy（其中A>0，0）中，A叫做简谐振动的 ，它是简谐振动的物体离开平衡
位置的 ，周期T= ，频率1fT= ，它是单位时间内往复运动的 ，x叫 ，
时的相位称为 .
三．知识探究
探究1：①在同一坐标系中画出y＝sinx ,y=sin（x3）和y=sin（x+4）的简图;
问题1：一般地,函数)sin(xy的图象与函数xysin的图象有何关系?
结论1、函数sin()yx（其中≠0）的图象，可以看做是把正弦曲线y＝sinx上所有点 （当
0时）或 （当0
时）平行移动 个单位而得到的.
探究2：②在同一坐标系中画出y＝sinx，y=2sinx和y=21sinx的简图;
问题2：一般地, 函数xAysin的图象与函数xysin的图象的关系?
结论2、函数xAysin的图象，可以看做是把xysin的图象上所有点的 变为原来的 _倍
（横坐标不变）而得到的.
探究3：③在同一坐标系中画出y＝sinx，y=sin2x和y=sin21x的简图;
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问题3：一般地,函数xysin的图象与函数xysin的图象有何关系?
结论3、函数xysin的图象，可以看做是把xysin的图象上的所有点的 变为原来的 倍(纵
坐标不变)而得到的.
探究4：④画出)32sin(xy的简图
思考：如何由xy2sin图像得到)32sin(xy图像？
问题4：一般地,函数)sin(xy的图象与函数xysin的图象有何关系?
结论4、函数)sin(xAy（其中A>0，0）的图象可以看做将sinywx的图象上所有点向
（当0时）或向 （当0时）平行移动 个单位而得到的.
四．例题讲解
五．巩固训练
1. 把函数5sin(2)3yx的图象向右平移6个单位，再把所有点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），
所得到的函数解析式为_____________________
2.函数()fx的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2个单位所得的曲线是1sin2yx的图象，
试求()yfx的解析式.
3.把函数()fx的图象向右平移30个单位，再将所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），然后又把
所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数sin(2)4yx的图象，则函数()fx的解析式
为____________________
的单调减区间。）根据简图，写出函数（）画出该函数的简图；（周期，初相；）求这个振动的振幅，（表示一个振动量若3
2
1
)4π2sin(2函数y 例1x