人教版初二数学下册19.1.1 函数
人教版八年级数学下册教案：19.1.1函数
4.实际问题中的应用：结合实际问题，运用函数知识建立模型，解决具体问题，体会函数在生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过函数概念的学习，让学生理解函数的本质属性，提高抽象逻辑思维能力，能够运用函数知识对问题进行分析、推理和判断。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在理论介绍环节，我强调了函数的定义和三要素，这是函数学习的基础。我尽量用简洁明了的语言解释，并通过图表来辅助说明。我发现，当学生们能够看到函数的具体表示时，他们更容易理解抽象的概念。在接下来的案例分析中，我展示了一个具体函数的图像和表格，让学生们自己分析其性质，这样的互动让学生们更加投入。
实践活动和小组讨论是课堂的重要组成部分。我观察到，学生们在讨论和实验操作中表现出很高的积极性，他们通过合作解决问题，加深了对函数性质的理解。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，这时我适时地引导他们回到函数的应用上来。
在小组讨论环节，我尝试提出一些开放性的问题，鼓励学生们思考函数在现实生活中的应用。我感到高兴的是，学生们能够提出一些很有创意的想法，并将函数的概念应用到不同的情境中。这种跨学科的思考方式正是我希望他们能够培养的能力。
人教版数学八年级下册《一次函数》19.1.1 函数的概念
y 与x的关系为y =
−
.
应用概念
（3）变量x、y满足|y|＝x，则y是x的函数. （×）
当x=1时, ＝1，∴ y=±1.
应用概念
（4）在 =
中， 是常量，π和r是自变量，
V是r的函数. （× ）
π是常量.
应用概念
例2. 汽车的油箱中有汽油50 升，如果不再加油，那
数），相对应的收费为y（元）.
（2）并直接写出当x=2和x=6时，对应的y值.
解：当x=2时, y=8；
当x=6时, y= 1.8×6+2.6=13.4.
巩固练习
练习2. 某地白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超
过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，
每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整
么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：
千米）的增加而减少，汽车行驶过程中的平均耗油量
为0.1 升/千米.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 千米时，油箱中还有多少油？
应用概念
例2. 解：
（1） y与x的函数关系为 y = 50 − 0.1x .
w t
（3） = π
π
S r
>
10 -1
y x
0<x<10的整数
y n
n为正整数
（4） y = 10 – x
（5） =
的整数
【问题3】 在每个变化过程中，对每个变量的取
值范围有限制吗？
关系式
《19.1 变量与函数》课件(含习题)
讲授新课
一 函数的相关概念
情景一
想一想，如果你坐 在摩天轮上，随着 时间的变化，你离 开地面的高度是如 何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据左图填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 3 10 37 45 37 11 … (2)对于给定的时间t ，相 应的高度h能确定吗？
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该 量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
二 确定两个变量之间的关系
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm， 每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量 1 2 3 4 5 (kg)
弹簧长度 (cm)
10.5 11
11.5 12 12.5
4x 8 0 x 2
(3) y x 3
x 3 0 x 3
(4) y x 1 1 1 x
x 1且 x 1
x 1 0
1 x 0
即 xx
1 1
... -1 0 1
5.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公 里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里 加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数）， 相对应的收费为y（元）.
4.收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和 千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率 1000 600 500 300 200 f(khz)
你能发现每一组l，f 的值之间的关系吗？并指出变量与 常量.
人教版八年级数学下册说课课件-19.1.1 变量和函数(共16张PPT)
子表示 y ？ y的值随x的值的变化而变化吗？
y = 10x
八年级 数学
第十九章 一次函数
19.1 变量与函数
19.1.1 变 量
活动二 问题（3） lián yī
你见过水中的涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，在这一过程 中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？
y= 5-x S = 60t y = 10x S= πr2
活动四：巩固练习
变量：月用水量x吨和月应交水费y元， 常量：自来水价4元／吨。
变量：通话时间t分钟和话费余额w元， 常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元。
变量：半径r和圆周长C 常量：圆周率π及计算公式中的数字2。
变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本， 常量：书的总数10本。
当r=10cm时，S=400πcm2
当r=30cm时，S=900πcm2
圆面积S= πr2
题目中没有 特别要求时，
要保留π
S的值随r的值变化而变化吗？
八年级 数学
19.1 函数
第十九章 一次函数
19.1.1 变 量
活动二 问题（4）
用10 m 长的绳子围成一个长方形，当长方形的一边长x分
别为 3m，3.5m,4m,4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值
随x
的值的变化而变化吗？ 矩形的周长=（长+宽）×2
已知周长，如何去求长或宽呢？
矩形的宽=周长÷2-长
当x=3m时，y=2m 当x=3.5m时，y=1.5m
当x=4m时，y=1m
y= 5-x
活动二：创设情境-----新知探究
问题1：分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量， 在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？
八年级数学下册第19章一次函数19.1变量与函数19.1.1变量与函数课件(新版)新人教版
例2 下列变量间的关系是函数关系的是
.
①长方形的长与面积;②圆的面积与半径;
③y=± x ;④S= 1 ah中的S与h.
2
解析 ①因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方
形的长与面积不是函数关系.②因为圆的面积公式为S=πr2,当半径r取一
个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.③当
解析 (1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定 的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变 量是体积. (2)体积增加了(π×102-π×12)×3=297π cm3.
2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y=
x
2
2(
x
2),
则当函数值y=8时,自
答案 B 把h=2代入T=21-6h,得T=21-6×2=9.故选B.
5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为 为10.
,当x=
时,函数值
答案 7;2
解析 当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.
知识点三 自变量的取值范围
6.(2018江苏宿迁中考)函数y= 1 中,自变量x的取值范围是( )
知识点一 常量与变量 1.(2017河北唐山乐亭期中)一辆汽车以50 km/h的速度行驶,行驶的路程 s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t,其中变量是 ( ) A.速度与路程 B.速度与时间 C.路程与时间 D.三者均为变量
答案 C 在s=50t中路程随时间的变化而变化,所以行驶时间是自变 量,行驶路程是因变量,速度为50 km/h,是常量.故选C.
19.1.1变量与函数
3.圆的周长公式 C 2 r，这里的变量
是 r和C ，常量是 2 .
4.下列表格是王强4岁到10岁的体重情况
年龄（岁） 4 5 6 7 8 9 10 … 体重（千克）15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25.2 …
这个问题中的变量是 年龄和体重 .
学习变量后，我们会发现变 量的变化并不是孤立地发生， 而是存在一些互相联系，当其 中一个变量取定一个值时，另 一个变量就随之确定一个值.
例2：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不 再加油，那么油箱中油量y(L）随行驶里程x （km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km
问题1：写出表示y与x的函数关系的式子；
y=50-0.1x 问题2：指出自变量x的取值范围；0≦x≦500 问题3：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽 油？ 30L
练习 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1
全体实数
（2） y＝ 2x2 1
1
（3） y= x 2
全体实数 x≠-2
（4） y＝ x 2
x≥2
（5） y＝ 1 x
x 1
x≤1且x≠-1
教你一招：
一般地，函数自变量的取值范围必须满足的条件 1、使分母不为零 2、使二次根式中被开方式非负 3、使实际有意义
问题3：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽 油？
解：（1）行驶里程x是自变量，油箱中的油 量y是x的函数，它们的关系为 y=50-0.1x.
例2：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不 再加油，那么油箱中油量y(L）随行驶里程x （km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km
问题1：写出表示y与x的函数关系的式子
八年级数学下册 第19章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案
售出票数x
100
120
140
160
180
……
票房收入y
①找一名学生填表，让学生一起分析y与x是不是单值对应关系;
②描述y与x的单值对应关系.
【设计意图】通过模仿训练，尝试初步理解单值对应的含义.
3、圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中,圆的半径r 厘米 ,圆的面积为S 平方厘米，圆周率（圆周长与直径之比)为π.
（4）思考问题4中，矩形的宽y为自变量，矩形的长x是y的函数是否正确
①强调辨别函数的关键是：是否有两个变量，并且变量是否是单值对应关系；
②补充说明：一般地，主动变化的量是自变量,随之变化的量是函数。
【设计意图】借此例，将自变量与函数互换，说明只要满足单值对应,就可以用函数来表示这种关系，灵活理解函数的定义。
【设计意图】通过这三道例题，使学生学会根据定义判断函数关系，经过反复训练，突破难点.
4、P是数轴上的一个动点,它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 是 x 的函数吗？为什么？
【设计意图】通过这道题,说明点的坐标y与绝对值x不是单值对应关系，所以不是函数；但反过来，x却是y的函数，采用小组讨论的方式，升华对函数定义的理解.
练习1:指出下列变化过程中的变量和常量:
1、某市的自来水价为4元/吨,现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x 吨,月应交水费为 y 元；
2、某地手机通话费为0.2元/分，李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分，话费卡中的余额为w 元;
3、水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π；
【最新】人教版八年级数学下册第十九章《 19.1.1 变量与函数》公开课课件.ppt
y的值随x的值的变化而变化
三、研读课文
3、你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大. 在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm， 20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s 的值随r的值的变化而变化吗？
当圆的半径为10cm时，面积为s=100πcm 2 ; 当圆的半径为20cm时，面积为s=400πcm 2 ; 当圆的半径为30cm时，面积为s=900πcm 2 .
随t 的值的变化而变化吗？
表19-1
t /h
1
2
3
4
5
s /km
60 12 180 240 30
0
0
(１)请同学们根据题意填写下表：
(２)在以上这个过程中，变化的是_时__间__t __, 不变化的量是__速__度__.
(３)试用含t的式子表示s 是_s_=_6_0_t__.
三、研读课文
2、每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150 张票，第二场售出205张票，第三场售出310 张票， (１)第一场电影的票房收入 _____元；
长y随x的变化而变化，其中常量是_3_6___，变量是 __x_,__y_.
2、分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式S r2 ；
常量：π；变量：S、r
(2)正方形的周长 l 4a ；
常量：4；变量：l、 a (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米 的数量 x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.
变量：t, w ； 常量：0.2 , 30
三、研读课文
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的 半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径的 比）为π.
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八年级下册数学公开课教案与说课稿
课题：19.1.1函数(2)
执教人：骆小飞
时间：2017年04月06日
班级：801班
19．1．1 函数(2)
课型：新授课
教学目标：
1.知识与技能：理解并掌握函数的概念,初步理解对应思想，能正确地判断一些解析式是否是函数，会列出简单的函数关系式，并会确定自变量的取值范围。
2.过程与方法：通过对实际问题的分析、讨论、归纳函数的概念，并在此基础上理解掌握函数的概念。
3.情感态度与价值观：感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
教学重点：对函数概念的理解和确定自变量的取值范围，列函数解析式，
教学难点：函数概念的归纳与理解
教学方法：回顾思考----探索交流----归纳总结．
教学准备：课件
教学过程：
一、 提出问题，创设情境：
1.什么叫变量？什么叫常量？并举例说明
2.在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将划行s 米，一般地有经验公式s=300
2v ，其中v 表示刹车前汽车的速度（单位：千米/小时） （1）当v 分别为50、60、100时，相应的s 值分别是多少？
（2）给你一个v 的值，你能求出相应的s 的值吗？
二、探究新知：
1.从上节课本中的三个问题，思考：每个问题中各有几个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
问题1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。
观察并填写下表：
t / 时 1 2 3 4
s /千米
你会发现：当_______确定一个值时，_______就随之确定一个值。
问题2：票房收入y元与售票数量x张的关系式： y=10x，当X=150时 y= _______；当X=205时 y= ________
你会发现：当________确定一个值时，______就随之确定一个值。
学生思考、讨论、交流归纳得：
每个变化的过程中都存在着两个变量.，两个变量互相联系，当其中一个变量确定一个值时，另一个变量也随之确定一个值。
2.函数和函数值的概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
说明：（1）在一个变化过程中
（2）有两个变量x与y
（3）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应
思考：1.y=60x；2.y=10x；3.y=5-x；4.y2=x；5.x
y
上面五个式子中y 是不是x 的函数？若是，哪些是自变量,哪些是自变量的函数？
学生思考、讨论、交流后回答，再师生共同评析。
3.思考，课本P73，课件出示
学生思考、讨论、交流后回答，师生再共同分析得出：在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间所具有的函数关系。
如：在心电图中，时间x 是自变量，心脏电流y 是x 的函数；人口数统计表中，年份x 是自变量，人口数y 是x 的函数，当x=2010时，函数值y=13.71亿
4.探究，课件出示
学生思考、讨论、交流，再师生共同分析。
5.应用迁移
例1.下列式子是函数吗，如果是自变量是什么，谁是谁的函数？自变量X 的取值范围是什么？
（1）y=5x+1；（2）y=2x 2+7；（3）y=2
1+x ；（4）2+=x y ；（5）3x y -= 学生思考、讨论、交流后回答，再师生共同分析并归纳：
当关系式为整式时，x 取一切实数；当关系式为分式时，分母不能为零；当关系式含有根式时，若是开偶次方根，被开方数是非负数，若是开奇次方根，被开方数为一切实数。
练习：下列各式中，X 是自变量，请判断Y 是不是X 的函数？若是，求出自变量X 的取值范围。
（1） y ＝2x ；（2）y=3-x ；（3）y ＝x ±；（4）y=x
1
学生思考后点名学生口答。
例2.课本例1，课件出示
师生共同分析，师再板书解题过程。
说明：由本例引入函数解析式的概念，也叫做函数表达式或函数关系式；在确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。
三、练习：课本P74 练习
学生自主完成，再师生共析。
四、小结:函数是一个非常有用的概念，它是研究现实世界数量关系变化的一个重要模型，许多生活问题中都存在着函数关系。
我们要理解掌握函数的定义，能根据问题中的条件写出简单的函数关系式和自变量的取值范围，并会求函数值。
作业：P81必做题：2，3，4选做题：8
附板书：
教学反思：函数是中数学中一个重要内容之一，也是中考必考内容。
本节课首先从具体的情境出发，抽象出数学问题，建立数学模型，获得合理解答的学习过程，通过学生动手操作，合作交流，加深学生对函数概念的理解。
由于函数的概念比较抽象，学生理解起来不容易，19．1．1 函数(2) 1、函数的概念：······ 例：················· ····················· ···················· 2、函数值的概念：···· 练习：················ ···················· ······················
它主要是研究变量与变量之间的关系，学生接受起来就更难，所以本节课在教学中，注意对知识进行重组，努力去提示函数概念的本质，使学生真正理解它。
课堂气氛较为活跃，学生不仅能在课堂上勇于发言，积极参与讨论，而且能做到言之有理，教学目标基本完成。
本节课不足之处就是在本节课课堂教学时，知识点讲解过快，导致有部分学生对概念理解不透彻。