2019年最新(统考)广东省高考考前冲刺数学(文)试卷及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(广东卷)
试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第一部分 选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( 1 ) 若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N = （ ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}【答案】B解: ∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或， ∴M ∩N }0{=，故选B ．( 2 ) 若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ ）A ．0B ．2C ．25 D ．5【答案】D解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．( 3 ) 93lim 23-+-→x x x =（ ）A ．61-B ．0C ．61 D ．31 【答案】A 解: 6131)3)(3(3933323lim lim lim-=-=-++=-+-→-→-→x x x x x x x x x ，故选A ．( 4 ) 已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形 （如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为 （ ） A ．41B ．21C ．63D ．43【答案】D解:∵ ,ABC B B 平面⊥'A'C'AC图1∴43343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ． 故选D.( 5 ) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32【答案】B解: ∵轴上焦点在x ，∴2=a ，∵ 21==a c e ，∴22=c ， ∴23222=-==c a b m ，故选B ．( 6 )函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(∞+B ．)2,(∞-C ．)0,(-∞D ．（0，2）【答案】D解: ∵,63)(2x x x f -='20,063,0)(2<<<-<'x x x x f 解得即令，故选D ．( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C解：③是假命题，如右图所示满足βα//,//m l , βα//，但 m l \// ，故选C ．( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ ）A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 【答案】C解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像lαβm关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移２个单位， 再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线 （如图２所示），则函数)(x f 的表达式为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f【答案】A解：将图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得下图A ，从而可以得到)(x g 的图象，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ，∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f ，故选A ．(也可以用特殊点检验获得答案)（10）已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1xA ．23B ．3C ．4D ．5【答案】B解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x xx n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ，∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ，nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．第二部分 非选择题(共100分)二．填空题：本大题共4小题目，每小题5分，共20分．(11)函数xex f -=11)(的定义域是 ．【答案】)0,(-∞解：使)(x f 有意义，则01>-x e ， ∴ 1<x e ，∴0<x ，∴)(x f 的定义域是)0,(-∞．(12)已知向量)3,2(=，)6,(x =，且b a //，则=x ．【答案】4解：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x .(13)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos． 【答案】22±解：4)45(+x 的通项为r r rx C )45(44⋅⋅-，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ.(14)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）【答案】5，)2)(1(21-+n n解：由图B 可得5)4(=f ，由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，可推得∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个， ∴)1(432)(-++++=n n f2)2)(12(--+=n n)2)(1(21-+=n n ．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ( 15 )（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.【答案】解: )23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f ++--+++=πππππ)23sin(32)23cos()23cos(x x x +++++=πππ)23sin(32)23cos(2x x +++=ππ]3sin )23sin(3cos)23[cos(4ππππx x +++= x 2cos 4=∴ ]4,4[)(-∈x f ，ππ==22T ， ∴)(x f 的值域是]4,4[-，最小正周期是π．( 16 ) （本小题共14分）如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，342,8,10====PB AC AB PC ．F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥． （Ⅰ）证明：ＣＥF PB 平面⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的大小．图BABPF E(Ⅰ)证明：在ABC ∆中， ∵,6,10,8===BC AB AC ∴,222AB BC AC =+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形． 在PCB Rt ∆中，∵,341715,342,6,10====CF PB BC PC ∴,CF PB BC PC ⋅=⋅ ∴,CF PB ⊥ 又∵,,F CF EF PB EF =⊥ ∴.CEF PB 平面⊥（II ）解法一：由（I ）知PB ⊥CE ，PA ⊥平面ABC∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE ∴CE ⊥平面PAB ，而EF ⊂平面PAB ， ∴EF ⊥EC ，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角， ∵EFB PAB ∆∆~∴35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB ， ∴二面角B —CE —F 的大小为35arctan ．解法二：如图，以C 点的原点，CB 、CA 为x 、y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则)0,0,0(C ，)0,8,0(A ，)0,0,6(B ，)6,8,0(P ，∵)6,0,0(=PA 为平面ABC 的法向量，)6,8,6(--=PB 为平面ABC 的法向量， ∴34343342636,cos -=⋅-=<PB PA ， ∴二面角B —CE —F 的大小为34343arccos ．(17 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点O 的两不同动点Ａ、Ｂ满足BO AO ⊥（如图４所示）（Ⅰ）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．y C解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率显然存在，∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，① ∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦， 由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆得重心G 的轨迹方程．（Ⅱ）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB ，∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．解法二：（Ⅰ）∵ AO ⊥BO, 直线OA ，OB 的斜率显然存在， ∴设AO 、BO 的直线方程分别为kx y =，x ky 1-=， 设),(11y x A ，),(22y x B ，依题意可得由⎩⎨⎧==2xy kxy 得 ),(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=21xy x ky 得 )1,1(2kk B -， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则31321k k x x x -=++=① ， 31302221k k y y y +=++= ②，由①②可得，3232+=x y ，即为所求的轨迹方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，42||k k OA +=，4211||k k OB +=， ∴42421121||||21k k k k OB OA S AOB +⋅+⋅=⋅⋅=∆212122++=k k 12221=+≥， 当且仅当221kk =，即1±=k 时，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 .解法三:（I ）设△AOB 的重心为G(x , y ) ，A(x 1, y 1)，B(x 2 , y 2 )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1） 不过∵OA ⊥OB ，∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， …（2） 又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==， 代入（2）化简得121-=x x ，∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y ， ∴所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y ，（II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆， 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB ，当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立，所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．( 18 ) （本小题共12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为t s :．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）取出黄球的概率是t s s A P +=)(，取出白球的概率是ts tA P +=)(，则 ts sP +==)0(ξ， 2)()1(t s st P +==ξ， 32)()2(t s st P +==ξ， ……， n n t s st n P )()1(1+=-=-ξ， nn t s st n P )()(1+==-ξ，∴ξ的分布列是（Ⅱ）++⨯++⨯++⨯=322)(2)(10t s st t s st t s s E ξ…n nn n t s t n t s st n )()()1(1+⨯++⨯-+- ①++++=+4332)(2)(t s st t s st E t s t ξ (11)11)()()1()()2(+++-+++-++-+n n n n n n t s nt t s st n t s st n ②①—②得++++++=+43322)()()(t s st t s st t s st E t s s ξ (11)11)()()1()()(+++-+-+--++++n n n n n n n n t s nt t s st n t s nt t s st∴ 11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ∴ξ的数学期望是11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ．( 19 ) （本小题共14分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ． （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】 解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴)52()32(+=-f f即 )5()1(f f =-，∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ， ∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数．（Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-,∴)10()(x f x f +=，∴)(x f 是以10为周期的周期函数，由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称， ∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ， ∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，∴在闭区间]2005,2005[-上的根的个数是802．( 20 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．。
2019年最新(统考)广东省高考考前冲刺数学试题(理)及答案解析
频数（人数）
频率
[60，70）
9
[70，80）
0.38
[80，90）
16
0.32
[90，100）
合计
1
（1）求出上表中的 的值；
（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
设函数 .
（Ⅰ）若函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： .
请考生在第22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系 中，曲线 .直线 经过点 ，且倾斜角为 .以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线 的极坐标方程与直线 的参数方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求实数 的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 对任意实数 恒成立，求 的取值范围.
高考理科数学考前冲刺题（答案）
一、选择题
题号
1
2
3
4
13．设 （其中 为自然对数的底数），则 的图
象与直线 ， 所围成图形的面积为．
14.已知 是等差数列，若 ，则 的值是．
15.四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有对异面直线.
16.已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是.
2019届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)文科数学(解析版)
2019年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i为虚数单位，则复数z=i（2-i）的共轭复数=（）A. B. C. D.2.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（∁R B）=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A. B. C. 40 D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. B. C. D.5.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若公差d=1，S9-S4=10，则S17=（）A. 34B. 36C. 68D. 726.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A.B.C.D.7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.8.函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增，且为奇函数．已知f（1）=2，f（2）=3，则满足-3＜f（x-3）＜2的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（）A. B. C. D.10.函数的部分图象不可能为（）A.B.C.D.11.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知直线x=2a与双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠PF2F1=-，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则a=______．14.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.在四棱锥P-ABCD中，PA与矩形ABCD所在平面垂直，AB=3，AD=，PA=，则直线PC与平面PAD所成角的正切值为______．16.在数列{a n}中，a n+1=2（a n-n+3），a1=-1，若数列{a n-pn+q）为等比数列，其中p，q为常数，则a p+q=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AC=3，C=120°．（1）若AB=7，求BC边的长；（2）若cos A=sin B，求△ABC的面积．18.《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．（ⅰ）求这11名学生中女生的人数；（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．附：K2=，其中n=a+b+c+d．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．（1）证明：EF∥平面BCC1B1．（2）求三棱锥B1-AEF的体积．20.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1与抛物线C：x2=4y交于A，B两点．（1）证明：△AOB为钝角三角形．（2）若直线l与直线AB平行，直线l与抛物线C相切，切点为P，且△PAB的面积为16，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间；（2）已知a∈（1，2]，b∈R，函数g（x）=x3+bx2-（2b+4）x+ln x．若f（x）的极小值点与g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=i（2-i）=1+2i，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则∁R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间一组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】C【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，且S9-S4=10，所以10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，所以a9=a7+2d=2+2=4，S17===17a9=17×4=68．故选：C．数列{a n}是等差数列，S9-S4=10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，所以a9=a7+2d=2+2=4，S17===17a9，将a9代入可得S17．本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S=3×+=，r=，几何体的体积为：=．故选：A．首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】A【解析】解：∵f（x）是奇函数，且（1）=2，f（2）=3，∴f（-2）=-3，则不等式-3＜f（x-3）＜2等价为f（-2）＜f（x-3）＜f（1），∵f（x）是增函数，∴-2＜x-3＜1得1＜x＜4，即x的取值范围是（1，4），故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，基本事件总数n==10，至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数m==7，∴这批轮胎基本合格的概率为p==．故选：C．基本事件总数n==10，至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数m=C =7，由此能求出这批轮胎基本合格的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cosx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin （x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f （）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，则k，故选：C．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），cos∠PF2F1=-，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故选：B．设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：根据题意，若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则f（-2）=log2（a-2）=0，即a-2=1，解可得a=3，故答案为：3根据题意，由函数零点的定义可得f（-2）=log2（a-2）=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设z=，则k得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA的斜率最大，由，解得A （3，4），则OA 得斜率k=，则的最大值为．故答案为：．设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z 得几何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 15.【答案】【解析】解：∵在四棱锥P-ABCD 中，PA 与矩形ABCD 所在平面垂直， ∴CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∵AD∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴∠CPD 是直线PC 与平面PAD 所成角， ∵AB=3，AD=，PA=，∴直线PC 与平面PAD 所成角的正切值： tan ∠CPD===．故答案为：．推导出CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，从而CD ⊥平面PAD ，进而∠CPD 是直线PC 与平面PAD 所成角，由此能求出直线PC 与平面PAD 所成角的正切值．本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题． 16.【答案】-2【解析】解：数列{a n }中，a n+1=2（a n -n+3），a 1=-1， 若数列{a n -pn+q ）为等比数列， 则：，所以：a n+1-p （n+1）+q=2（a n -pn+q ）解得：p=2，q=2，故：数列{a n -pn+q}是以-1+2-2=-1为首项，2为公比的等比数列． 所以：， 整理得：．故：a p+q =a 4=-8+8-2=-2， 故答案为：-2首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2-2BC ×AC ×cos C ，代入数据整理得BC 2+3BC -40=0，解得BC =5（BC =-8舍去）． （2）由cos A = sin B 及C =120°， 得cos （60°-B ）= sin B ， 展开得cos B +sin B - sin B =0，即sin B =cos B ，tan B ==， 所以B =30°．从而A =60°-B =30°， 即A =B =30°， 所以BC =AC =3．故△ABC 的面积为×3×3×sin120°=． 【解析】（1）直接利用余弦定理和一元二次方程的解的应用求出结果． （2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．【答案】解：（1）填写列联表如下：…（4分）因为K2的观测值k==＜2.706，…（6分）所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关…（7分）（2）（ⅰ）这11名学生中，被抽到的女生人数为20×=5…（9分）（ⅱ）因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，所以这11名学生中女生的平均分的最小值为×（120+121+122+123+124）=122…（12分）【解析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（ⅰ）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数；（ⅱ）由题意计算所求平均分的最小值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与平均数的计算问题，是基础题．19.【答案】（1）证明：如图，连接BC1．（1分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC1的中点．（2分）又因为F为AB的中点，所以EF∥BC1．（3分）又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．（5分）（或先证面面平行，再证线面平行，也是常见的方法，阅卷时应同样给分．）（2）解：因为AC⊥AB，AA1⊥AC，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面ABB1A1，（7分）又AC=4，E为A1C的中点，所以E到平面ABB1A1的距离为：×4=2．（9分）因为△AB1F的面积为：×2×6=6，（10分）所以==×2×6=4．（12分）【解析】（1）连接BC1．证明EF∥BC1，然后证明EF∥平面BCC1B1．（2）说明AC⊥平面ABB1A1，求出E到平面ABB1A1的距离，通过=求解体积即可．本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，（1分）则x1x2=-4，（2分）所以y1y2==1，（3分）从而•=x1x2+y1y2=-3＜0，（4分）则∠AOB为钝角，故△AOB为钝角三角形．（5分）（得到x1x2，y1y2的值分别给（1分）；若只是得到其中一个，且得到•=-3＜0，可以共给（3分））．（2）解：由（1）知，x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，（6分）则|AB|=y1+y2+p=4k2+4．（7分）由x2=4y，得y=，y'=，设P（x0，y0），则x0=2k，y0=k2，则点P到直线y=kx+1的距离d==．（9分）从而△PAB的面积S=d|AB|=2（k2+1）=16，（10分）解得k=±，（11分）故直线l的方程为y=±x-3．（12分）【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，利用韦达定理以及向量的数量积证明△AOB为钝角三角形．（2）求出|AB|=y1+y2+p=4k2+4，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点P到直线y=kx+1的距离，写出|AB|，利用△PAB的面积，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】（1）解：当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）的单调递减区间为（0，1）．（2）证明：f'（x）==，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．因为a∈（1，2]，所以f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，所以p（a）=0，即3a2+（2b+3）a-1=0，即b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b=-3-=a--．因为a∈（1，2]，所以a-≤3-=．故g（x）的极大值不大于．【解析】（1）当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．即可得出单调区间．（2）f'（x）=，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．由a∈（1，2]，可得f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，可得p（a）=0，b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）代入利用函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最小值为3-k；又不等式对x∈R恒成立，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2019广东高考文科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科) 一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 333sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又6cos 36()3sin()3sin()3cos 3 6.66323f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 000:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,7214x x a x f x f x x a a a a a a ax x a +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即000002574811,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a a a x a a x f x f a x f x <∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,110,()3,111,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,11),(11,1),5111),()(0,),(,1),422a a i a a f x x f x f ii a f x a a a f x <∴-+->≤--+-≤∈-<<-+--+-=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,111,,(11,1),4212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,011,,(0,11),421775(0)()0,0,,2224124x a a x x a a f f a a x a a x x a a f f a -<<-<-+-<∈-+-->+>>--<<--<<<-+-<∈-+-->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
广州市2019年高三考前冲刺数学文科试题解析卷
最大面积 为 3 × 22 × 6 = 3 3，
42
4
故可得周长 l 为定值，面积 s 为定值，故选 B.
6
【点睛】本题主要考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于中档题.
9.如图，正方体 ABCD − A1B1C1D1的对角线 BD1上存在一动点 P，过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与 正方体表面相交于 M,N 两点.设 BP = x，ΔBMN 的面积为 S，则当点 P 由点 B 运动到 BD1的中点时，函数 S = fx 的图象大致是（ ）
3
为 S = 1 × MN × BP = 1 × 2
2
2
6x2 =
3
6 3
x2x
>
0，故选
D.
10.已知双曲线xa22
−
y2 b2
=
1(a,b＞0)的左焦点F1，过点F1作倾斜角为
30°的直线与圆x2
+
y2
=
b2相交的弦长
为 3a，则双曲线的离心率为( )
A.
21 3
B.
7 3
C.
5
D.
5 5
【答案】A
可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即 EF//A1B 等
设 EF
A1B
=
λ，则 B1E
A1B1
=
B1E
=
λ，∴ NE
B1D1
=
A1E A1B1
=
1
−
λ，
∴EF + NE = 2λ + 21 − λ = 2，同理可得六边形其他相邻两边的和为 2， ∴六边形的周长 l 为定值 3 2．
广东省2019年高考[文数]考试真题与答案解析
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，则C．185 cm在[-π，π]的图像大致为．．．．．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面学生中被抽到的是C ．A =1A 112A+10．双曲线C ：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．2sin40°B ．2cos40°C ．D ．1sin50︒1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-，则=14bcA ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若12(1,0),(1,0)F F -，，则C 的方程为22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．2)3(e xy x x =+(0,0)14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．13314a S ==，15．函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为___________．3三、解答题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2019年最新广东省高考数学三模试卷(文科)及答案解析
广东省高考数学三模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．734．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．05．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+27．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞208．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ．7cm 310．在△ABC 中，，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是5πcm 2和8πcm 2，球心不在截面之间，则球面的面积是（ ）A ．36πcm 2B ．27πcm 2C ．20πcm 2D ．12πcm 212．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f（x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a+b=（ ）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由lgx≥0，解得x≥1，再利用集合运算性质即可得出．【解答】解：由lgx≥0，解得x≥1．∴A=[1，+∞）．又B={x|x≤1}，∴A∩B={1}≠∅，A∪B=R，故选：B．2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．73【考点】系统抽样方法．【分析】根据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值．【解答】解：由题意知，间隔k==10，∵在第1组随机抽取的号码为m=6，6+7=13，∴在第7组中抽取的号码63．故选C．4．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】解：①f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），则y=xcosx是奇函数，不满足条件．②当x=1时，f（1）=e+1，当x=﹣1时，f（﹣1）=+1≠f（1），则y=e x+x2，不是偶函数，不满足条件．③由x2﹣2＞0得x＞或x＜﹣，此时f（﹣x）=lg=lg，则y=lg，是偶函数，④f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），则y=xsinx是偶函数，满足条件．故偶函数的个数为2个，故选：B．5．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出直线在y轴上的截距，可得b=1，求得a和c，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：直线l：x﹣2y+2=0过点（0，1），由题意可得b=1，则椭圆方程为+y2=1，即有a=，b=1，c==2，即有e===．故选：D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+2【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选：A．7．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞20【考点】程序框图．【分析】根据算法的功能是计算+++…+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i ＞10或i ≥11． 故选：B ．8．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系和二倍角公式可得tan2α，再由两角和的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵，且α为第二象限角， ∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，∴==﹣，故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3 B．cm3C．cm3D．7cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD，其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．10．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B11．在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，则球面的面积是（）A．36πcm2B．27πcm2C．20πcm2D．12πcm2【考点】球内接多面体．【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．【解答】解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是2，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3，∴球面的面积是4πr2=36π故选：A．12．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于12 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=2×5+2=12，故答案为：12．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再求出•，||，||，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：∵，∴=+=（1，﹣2），∴•=2×1+（﹣1）×（﹣2）=4，||==，||==，∴cos∠BAC===，故答案为：．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设所求的椭圆方程为，且，由此能求出所求的椭圆的方程．【解答】解：∵﹣=﹣1的标准方程为，∴该双曲线的焦点坐标为F1（0，﹣4），F2（0，4），顶点坐标为A1（0，﹣2），A2（0，2），由题意设所求的椭圆方程为，且，∴b2=42﹣=4，∴所求的椭圆的方程为．故答案为：．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为 4 ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的前n项和公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=6，S5=15．∴=6，=15，解得a1=d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（II）=，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+，=++…++，∴S n=+…+﹣=﹣=1﹣．∴S n=2﹣．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）分别求出A校样本的平均成绩、方差和B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中，（Ⅱ）根据分成抽样求出故抽取的7分有4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）从A校样本数据的条形图知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人A校样本的平均成绩为：=（4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3）=6（分），A校样本的方差为S A2=[6（4﹣6）2+15（5﹣6）2+21（6﹣6）2+12（7﹣6）2+3（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.5．从B校样本数据统计表知：B校样本的平均成绩为：=（4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6（分），B校样本的方差为S B2=[9（4﹣6）2+12（5﹣6）2+21（6﹣6）2+9（7﹣6）2+6（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.8．∵=，S A2＜S B2，∴两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中．（Ⅱ）A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，由于7分、8分、9分的学生分别有12人，3人，3人，故抽取的7分有6×=4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，故从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共有15种，其中2人成绩之和大于或等于15的分的有Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共9种，故这2人成绩之和大于或等于15的概率P==19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】（I）根据勾股定理的逆定理可证BD⊥BC，由面面垂直的性质可得BD⊥平面EBC，故BD⊥CE；（II）取BC中点F，连接EF，DF，AF．则EF⊥平面ABCD，利用勾股定理求出EF，AF，DF，AE，DE，得出V E﹣ABD，S△ADE，根据等体积法计算棱锥的高．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，∵BC=2，BD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD=BC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面BCE，∵CE⊂平面BCE，∴BD⊥CE．（II）取BC的中点F，连接EF，DF，AF．∵EB=EC，∴EF⊥BC，∵平面EBC⊥平面ABCD，平面EBC∩平面ABCD=BC，∴EF⊥平面ABCD．∵BE=CE=，BC=2，∴EF=，DF==，AF==，∴DE==，AE==．∴V E﹣ABD===2．cos∠AED==，∴sin∠AED=．∴S△ADE===．设B到平面ADE的高为h，则V B﹣ADE===2，∴h=．∴三棱锥B﹣ADE的高位．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（Ⅱ）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆∴C（﹣1，2），|P1P2|=∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2，当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，∴k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，∴a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（Ⅱ）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=0时，，；当，有f'（x）＞0；当，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又，，，∴，．（2），则g（x）的定义域为（0，+∞），．①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，∴a的范围是，综合①②可知，当时，对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（2）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】解：（1）如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD•OC=AB•OD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把把C1的参数方程先消去参数化为直角坐标方程，再化为极坐标方程．（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，先求出它们的交点的直角坐标，再把它化为极坐标．【解答】解：（Ⅰ）把C1的参数方程（t为参数），先消去参数化为直角坐标方程为x=y2，化为极坐标方程为ρcosθ=（ρsinθ）2．（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4=0，即（x+1）2+y2=5，由，求得或，C1与C2交点的直角坐标为（1，1）或（1，﹣1），再把它们化为极坐标为（，）或（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由a＞0，b＞0，运用均值不等式a+b≥2，可得ab的最小值；（Ⅱ）将不等式的左边化为ab+++，运用均值不等式和对勾函数的单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，1=a+b≥2，即有0＜ab≤，当且仅当a=b=时，ab取得最大值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得a，b＞0，且0＜ab≤，（a+）（b+）=ab+++≥+4+2=6+=，当且仅当a=b=时，等号成立．。
2019年最新(统考)广东省高考考前冲刺数学试题(文)及答案解析
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
A．3 B．2 C．1 D．0
4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三 人中，抽取 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 ，那么 （）
A. B. C. D.
A． B． C． D．
7.双曲线 的一条渐近线与圆
相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
8.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ），则这个几何体的体积是（）
A.16 B.32 C. D.
9．已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足： ，
5.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”（）
A.3B.4C.5D.6
6.若执行如图所示的程序框图，输出 的值为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．已知实数 满足条件 ,则 的最小值为．
14.已知向量 ,且 ，则 =．
15．正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，则正四棱锥 的内切球的表面积是．
16.设 为数列 的前 项和，若 ,
则S10=．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）在 中，三个内角 的对边分别为 ,
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又∵ 底面 ，
∴ ，
则点 为 的外心，又因为 是直角三角形，
∴点 为 中点.
（2）证明：由（1）知，点 在底面的射影为点 ，点 为 中点，
于是 面 ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
从而 即 ，
由 ， 得 面 ，
∴ .
（3）∵ ，
∴ 是平行四边形，
在 中，∵ ，∴ ，
由（2）知： 面 ， ，
由 ， ，
∴ ，
∴ ，
.
设点 到面 的距离为 ，由等体积法பைடு நூலகம்，
∴ ，
∴ .
即点 到面 的距离为1.
20题：
所以 .
又
.
所以 .
21.题:解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣1）ex+ax2，
f′（x）=x（ex+2a），
①a≥0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
A． B． C． D．
7.双曲线 的一条渐近线与圆
相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B． C． D．
8.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ），则这个几何体的体积是（）
A.16B.32C. D.
9．已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是()
A． B．
C． D．
10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足： ，
5.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”（）
A.3B.4C.5D.6
6.若执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）
广东省高考文科数学考前冲刺题
一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．已知全集 ，集合 ， ，那么 =（）
A. B. C. D.
2．已知复数 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法中不正确的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件
19．（本小题满分12分）在四棱锥 中， ， ， 和 都是边长为2的等边三角形，设 在底面 的射影为 .
（1）求证： 是 中点；
（2）证明： ；
（3）求点 到面 的距离.
20．（本小题满分12分）已知椭圆E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明： ．
级中度污染
级重度污染
级严重污染
空气质量指数
频数
频率
该社团将该校区在 年连续 天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率.
估算得全年空气质量等级为 级良的天数为 天（全年以 天计算）.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂
黑矩形区域），并估算这 天空气质量指数监测数据的平均数.
21．（本小题满分12分）已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数， ）．以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
若∠ACD=60°，则t的值为（）
A． B． C． D．
11．设函数 是偶函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）D．（0，2）∪（2，+∞）
12.抛物线 的焦点为 ，设 是抛物线上的两个动点，若 ，则 的最大值为（）
②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
A．3B．2C．1D．0
4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三 人中，抽取 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 ，那么 （）
A. B. C. D.
②﹣ ＜a＜0时，ln（﹣2a）＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜ln（﹣2a），
令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＜x＜0，
故f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，在（ln（﹣2a），0）递增，在（0，+∞）递减；
③a=﹣ 时，ln1=0，f（x）在R递增；
④a＜﹣ 时，ln（﹣2a）＞0，
17．（本小题满分12分）在 中，三个内角 的对边分别为 ,
， ．
（1）求角 的值；
（2）设 ，求 的面积 ．
18．（本小题满分12分）某大学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 ）：
空气质量指数
空气质量等级
级优
级良
级轻度污染
二、填空题
13题：-6 ；14题： 15题： 16题：
三、解答题
17题：
∴ ，
∴ ．
∴ ．…………………8分
18题：
【解析】（Ⅰ） ， ，又
故 ， ------- 4分
（Ⅱ）补全直方图如图所示 -------8分
由频率分布直方图，可估算这 天空气质量指数监测数据的平均数为：
.-------12分
19题：解：（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
（Ⅰ）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）正数 满足 ，求证： .
文科数学参考答案
一、选择题：
CCBDA CADBA BD
A. B. C. D.
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．已知实数 满足条件 ,则 的最小值为．
14.已知向量 ,且 ，则 =．
15．正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，则正四棱锥 的内切球的表面积是．
16.设 为数列 的前 项和，若 ,
则S10=．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤