高中数学人教版必修一：第二单元 章末复习课 pptx8
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人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习课
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有 两 个 不 等 的 实 根 有两个相等的实根(x1＝
(x1<x2)
x2)
ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的 解 集
{x|x<x1 或 x>x2}
x t;0(a>0) 的 解 集
{x|x1<x<x2}
Δ<0
没有实根 R
【例3】 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取 值范围.
解 法一 y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1<m6 恒成立，只需 x2－x＋1 小于m6 的最小值，即 x2－x＋1<63 x2－x
－1<0
2.基本不等式求最大(小)值问题 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对代数 式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型.
3.一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)(其中a>0)的解集.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图 象
(2)解 因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为 2<a<3，所以13<1a<12，所以13<ba2<2.
【训练 1】 已知 a>0，b>0，且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小.
2019年最新-人教版高中数学必修一第二章小结与复习ppt课件
(ln x)' 1
x；
(loagx)'1 x；loga
(ex )' ex
；
(ax)'ax lna
。
5．导数的四则运算法则：
[ u (x ) v (x )' ] u '(x ) v '(x )
[ u ( x ) v ( x ) ] u ' ( x ) v ( x ) u (
[C u(x)]C u'(x)
练习：课本 作业：课本
P53 复习题：A组1、2、 P53 复习题：A组 5；
五、教后反思：
谢谢！
We are so hungry.How can we get to Italian restaurant?W e are in front of the cinema. Let’s go straight and turn left at the bookstore. Follow me. 加热高锰酸钾制取氧气的装置 适合用双氧水在二氧化锰作催化剂 条件下制取氧气吗？为什么？
[ 1 ( 3 x ) 3 ] 2
( 1
e2x 1(1 16x) (13x)4
例2、已知曲线C1： y， x 2 与曲线C2： y
，直线l与C1、C2都相切，， 求直线l的方程。
解：设l与C1相切于点
P1(x1, y1)，l与C2相切于
，直线l的斜率为k。C1： y x，2 y 2，x k
C2： y(x2)，2 y2(x2)，k2
据此可得出气体的发生装置与哪些 因素有关？如何选择发生装置？如何 选择收集装置？ Na2CO3 +2HCl == 2NaCl +H2O + CO2
新教材人教版高中数学必修第一册 第二章章末 一元二次函数、方程和不等式复习课 教学课件
第八页，共二十页。
＝－－x＋1＋－x4＋1＋5 ≤－2 4＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]
第九页，共二十页。
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量 的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为 “积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是 创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而 拆与凑的目的在于使等号能够成立.
第十五页，共二十页。
(1)－ 22＜m＜0 [由题意，得函数 y＝x2＋mx－1 在{x|m≤x≤m＋1}
上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
所以只需mm2＋＋m122－＋1m＜m0＋，1－1＜0，
2m2－1＜0， 即2m2＋3m＜0，
解得－ 22＜m＜0.]
第十六页，共二十页。
对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
第四页，共二十页。
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
第五页，共二十页。
(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．
由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
所以xx－ －22＋×x－2－14＋x＋x24－＞40x，＋4＞0，
解得x＜1或x＞3.
故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－
第十页，共二十页。
＝－－x＋1＋－x4＋1＋5 ≤－2 4＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]
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基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量 的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为 “积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是 创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而 拆与凑的目的在于使等号能够成立.
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(1)－ 22＜m＜0 [由题意，得函数 y＝x2＋mx－1 在{x|m≤x≤m＋1}
上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
所以只需mm2＋＋m122－＋1m＜m0＋，1－1＜0，
2m2－1＜0， 即2m2＋3m＜0，
解得－ 22＜m＜0.]
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对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
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不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
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(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．
由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
所以xx－ －22＋×x－2－14＋x＋x24－＞40x，＋4＞0，
解得x＜1或x＞3.
故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－
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人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习课
解析 因为当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等 号方向不变； 当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.
Hale Waihona Puke 反思 感悟不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般 是通分、分解因式、配方等. (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反 例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适 合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项.
例1 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是
A.A≤B
√B.A≥B
C.A<B或A>B
D.A>B
解析 ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a－b22＋34b2≥0， ∴A≥B.
(2)若a>b，x>y，下列不等式正确的是
A.a＋x<b＋y
√C.|a|x≥|a|y
B.ax>by D.(a－b)x<(a－b)y
由根与系数的关系，得12×2＝－a2， 12＋2＝－5a，
解得 a＝－2.
(2)求不等式1x－＋a1x>a＋5 的解集.
解 将 a＝－2 代入不等式，得1x＋＋21x>3， 即1x＋＋21x－3>0， 整理得－x＋x＋12>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}.
此时a＝2，b＝1.
三、一元二次不等式的解法
1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项 系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式 的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
高中数学人教版必修一：第二单元 第课时 映射与函数 pptx8
(1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝
1 3
x，x∈A，y∈B；
解 是映射，是一一映射.
(2)A＝N，B＝N＋，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
解 不是映射.
解答
(3)A＝{x|0＜x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：y＝ 1，x∈A，y∈B； x
解 是映射，是一一映射. (4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈B，y∈B. 解 是映射，不是一一映射.
2.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是
√
解析 C选项中，b无象.
12345
解析 答案
3.已知(x，y)在映射f下的象是(2x－y，x－2y)，则原象(1,2)在f下的象为
√A.(0，－3)
C.(0,3)
B.(1，－3) D.(2,3)
解析 2x－y＝2×1－2＝0，x－2y＝1－2×2＝－3，故选A.
解答
反思与感悟
求象与原象的方法 (1)若已知A中的元素a(即原象a)，求B中与之对应的元素b(即象b)，这时 只要将元素a代入对应法则f求解即可. (2)若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时 构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.
跟踪训练2 已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy). (1)求(－2,3)在f作用下的象； 解 把(－2,3)代入对应法则，即x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6， 所以(－2,3)在f作用下的象为(1，－6).
D.(1,3)
解析
由xx－＋yy＝＝12，，
x＝32， 得y＝12，
故选 B.
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高中数学必修一全册课件人教版(共99张PPT)
例如：1∈N， -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
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1 平方后乘以4.94.9
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二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
人教A版高中数学必修1 课件 ：第二章 章末复习与总结
解得 x1＝1，x2＝1＋2
3，x3＝1－2
3 .
因为 1≤m＜n，所以 m＝1，n＝1＋2
3 .
2．进行等价转化有效避免讨论
有时可以将题目中的条件进行等价转化，结合一定的运算技
巧，避免分类讨论．
【例 2】 设函数 f(x)＝|lg x|若 0<a<b，且 f(a)>f(b)，证明：
ab<1. [ 证 明 ] 如 果 是 常 规 做 法 ， 将 f(x) 写 成 分 段 函 数 形 式
章末复习与总结 创新拓展 思想方法 易错警示
有效回避分类讨论的若干策略 分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一．掌握分类 讨论的思想方法，有利于培养学生全面严谨的数学思维能力，并 能够有逻辑地分析、解决问题．然而，这种数学思想对于学生来 说，难度非常大，掌握情况并不理想．具体表现在：没有分类讨 论的意识、不知道分类讨论的标准及讨论的内容．大多数分类讨 论的问题都与参数有关，其实质是“化整为零，各个击破”，而
们分同正、同负和一正一负四类讨论．而事实上，如果运用偶函
数的性质，可以避免讨论．
因为 f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以 f(1－t)<f(t)⇔f(|1－t|)<f(|t|)．因
为|1－t|与|t|都在区间[0，＋∞)内，且 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所 以 |1 － t|>|t| 两 边 同 时 平 方 可 解 得
x－1>0， 3－x>0， [解] 由题意得a－x>0， x－13－x＝a－x，
即1x<<ax<，3， －x2＋5x－3＝a.
设函数 f(x)＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)，则函数 f(x)的值域为
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解答
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次 才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数. 解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多 时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2 ＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N＋.所以当x＝6时，Smax＝72， 此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为 7 920.
则 f(－32)与 f(a2＋2a＋52)的大小关系是
A.f(－32)>f(a2＋2a＋52)
B.f(－32)<f(a2＋2a＋52)
√C.f(－32)≥f(a2＋2a＋25)
D.f(－32)≤f(a2＋2a＋52)
解析 因为 a2＋2a＋25＝(a＋1)2＋32≥32，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数， 所以 f(a2＋2a＋52)≤f(32)＝f(－32).
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解 答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用.
跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； 解 ∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
解答
当堂训练
1.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点
A.至多有一个
B.有一个或两个
√C.有且仅有一个
D.一个也没有
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一 个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有 f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾.故选C.
解答
类型二 函数图象的画法及应用
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 解 函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.
解答
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解 f(x)＝x2－2|x|＝xx22－ ＋22xx＝ ＝xx－ ＋1122－ －11， ，xx<≥00. ， 画出图象如图所示，
12345
解析 答案
规律与方法
1.集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解 与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能. 2.函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强， 渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数 的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题. 3.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题.解题捷 径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择 研究和变形方向.
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1].
解答
反思与感悟
画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图， 一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能 获得精确结果.
跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1] 时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝12 的所有解的和.
12345
解析 答案
2.已知函数f(x)＝2x＋x＋76，，x∈x∈[－[11，，21]，，则f(x)的最大值，最小值分别为
√A.10,6
C.8,6
B.10,8 D.以上都不对
解析 当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝10， f(x)min＝f(1)＝8. 当x∈[－1,1]时，f(x)max＝f(1)＝8， f(x)min＝f(1)＝6. ∴x∈[－1,2]时，f(x)max＝10，f(x)min＝6.
过的路程为x，△APM的面积为y.
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；
解 根据题意得
12x，0<x<1，
f(x)＝34－x4，1≤x＜2，
54－12x，2≤x＜52.
f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，52)＝(0，25).
解答
(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置． 解 易知 f(x)在(0,1)上为增函数，在[1，52)上为减函数， ∴当 x＝1 时，f(x)max＝34－14＝12.
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳 推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具 体函数到抽象函数等. (4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以 更直观，更便于发现数据的内在规律. (5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合 的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有 意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂 别人的想法，从而进行交流与合作.
第二章 函 数
章末复习课
学习目标
1.构建知识网络，理解其内在联系. 2.盘点重要技能，提炼操作要点. 3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.知识网络
2.重要技能 (1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇 偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等. (2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出函数图象， 要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象. (3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性 的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题.
解答
反思与感悟
建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等 量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中， 定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束.
跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的
中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经
(2)是否存在实数a，当a＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]，若存在， 求出a，若不存在，说明理由.
解 假设存在实数a满足条件. ∵x＝1 是 f(x)＝12x2－x＋32的对称轴， 故[1，a]是函数 f(x)的递增区间且ff1a＝ ＝1a， . ∵f(a)＝12a2－a＋32，∴12a2－a＋32＝a， ∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3. ∴存在实数a＝3，使f(x)的定义域和值域均为[1，a].
解答
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2. 解 由(2)知f(－3)＝2， f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)， 由(1)知f(x)在R上为减函数， ∴f(x)>f(－3－x)⇔x<－3－x， 解得解集为{x|x<－23}.
解答
反思与感悟
3.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想， 本章用到以下思想方法： (1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为 数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题. (2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转 化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二 次函数等基本函数的值域. (3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式 的各种性质的探讨. (4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质.
4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－g(x)＝x3＋
x2＋1，则f(1)＋g(1)等于
A.－3
B.－1
√C.1
D.3
解析 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
12345
解析 答案
5.若 f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，
解答
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 解 f(x)为偶函数. 证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝ 1 f(1)＝0.
2 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
解答
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值 范围. 解 依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.
跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝21x2－x＋23. (1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间； 解 ∵f(x)＝12x2－x＋32 ＝12(x2－2x＋3)＝21(x－1)2＋1， ∴f(x)的顶点坐标为(1,1)， 单调递减区间是(－∞，1]， 单调递增区间是[1，＋∞).
解答
解答
类型三 二次函数的图象及性质 例4 已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值 是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式.
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次 才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数. 解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多 时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2 ＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N＋.所以当x＝6时，Smax＝72， 此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为 7 920.
则 f(－32)与 f(a2＋2a＋52)的大小关系是
A.f(－32)>f(a2＋2a＋52)
B.f(－32)<f(a2＋2a＋52)
√C.f(－32)≥f(a2＋2a＋25)
D.f(－32)≤f(a2＋2a＋52)
解析 因为 a2＋2a＋25＝(a＋1)2＋32≥32，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数， 所以 f(a2＋2a＋52)≤f(32)＝f(－32).
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解 答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用.
跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； 解 ∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
解答
当堂训练
1.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点
A.至多有一个
B.有一个或两个
√C.有且仅有一个
D.一个也没有
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一 个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有 f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾.故选C.
解答
类型二 函数图象的画法及应用
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 解 函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.
解答
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解 f(x)＝x2－2|x|＝xx22－ ＋22xx＝ ＝xx－ ＋1122－ －11， ，xx<≥00. ， 画出图象如图所示，
12345
解析 答案
规律与方法
1.集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解 与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能. 2.函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强， 渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数 的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题. 3.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题.解题捷 径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择 研究和变形方向.
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1].
解答
反思与感悟
画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图， 一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能 获得精确结果.
跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1] 时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝12 的所有解的和.
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解析 答案
2.已知函数f(x)＝2x＋x＋76，，x∈x∈[－[11，，21]，，则f(x)的最大值，最小值分别为
√A.10,6
C.8,6
B.10,8 D.以上都不对
解析 当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝10， f(x)min＝f(1)＝8. 当x∈[－1,1]时，f(x)max＝f(1)＝8， f(x)min＝f(1)＝6. ∴x∈[－1,2]时，f(x)max＝10，f(x)min＝6.
过的路程为x，△APM的面积为y.
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；
解 根据题意得
12x，0<x<1，
f(x)＝34－x4，1≤x＜2，
54－12x，2≤x＜52.
f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，52)＝(0，25).
解答
(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置． 解 易知 f(x)在(0,1)上为增函数，在[1，52)上为减函数， ∴当 x＝1 时，f(x)max＝34－14＝12.
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳 推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具 体函数到抽象函数等. (4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以 更直观，更便于发现数据的内在规律. (5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合 的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有 意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂 别人的想法，从而进行交流与合作.
第二章 函 数
章末复习课
学习目标
1.构建知识网络，理解其内在联系. 2.盘点重要技能，提炼操作要点. 3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.知识网络
2.重要技能 (1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇 偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等. (2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出函数图象， 要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象. (3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性 的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题.
解答
反思与感悟
建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等 量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中， 定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束.
跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的
中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经
(2)是否存在实数a，当a＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]，若存在， 求出a，若不存在，说明理由.
解 假设存在实数a满足条件. ∵x＝1 是 f(x)＝12x2－x＋32的对称轴， 故[1，a]是函数 f(x)的递增区间且ff1a＝ ＝1a， . ∵f(a)＝12a2－a＋32，∴12a2－a＋32＝a， ∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3. ∴存在实数a＝3，使f(x)的定义域和值域均为[1，a].
解答
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2. 解 由(2)知f(－3)＝2， f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)， 由(1)知f(x)在R上为减函数， ∴f(x)>f(－3－x)⇔x<－3－x， 解得解集为{x|x<－23}.
解答
反思与感悟
3.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想， 本章用到以下思想方法： (1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为 数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题. (2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转 化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二 次函数等基本函数的值域. (3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式 的各种性质的探讨. (4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质.
4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－g(x)＝x3＋
x2＋1，则f(1)＋g(1)等于
A.－3
B.－1
√C.1
D.3
解析 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
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解析 答案
5.若 f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，
解答
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 解 f(x)为偶函数. 证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝ 1 f(1)＝0.
2 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
解答
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值 范围. 解 依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.
跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝21x2－x＋23. (1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间； 解 ∵f(x)＝12x2－x＋32 ＝12(x2－2x＋3)＝21(x－1)2＋1， ∴f(x)的顶点坐标为(1,1)， 单调递减区间是(－∞，1]， 单调递增区间是[1，＋∞).
解答
解答
类型三 二次函数的图象及性质 例4 已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值 是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式.