2015年上海市崇明县高考数学二模(理科)试卷
2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)含详解
2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）函数的定义域是．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．218．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m= 0．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．【解答】解：由幂函数y=x m2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．【点评】本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的定义域是（0，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解答】解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：【点评】本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．【解答】解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．【解答】解：∵椭圆的焦距为4．∴2c=4，即c=2∵在椭圆中，a2=b2+c2①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．【点评】本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开并利用即可得出直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开为，化为x+y﹣1=0，∴极点O到这条直线的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为3．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ=，得×，由此能求出口袋中白球的个数．【解答】解：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∵Eξ=，∴×，解得x=3．∴口袋中白球的个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．【解答】解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．【点评】本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．【考点】3C：映射．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为f：x→sin x，f（x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395【点评】本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=0．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．【解答】解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得x1999•x2000的系数a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；5M：推理和证明．【分析】由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．【解答】解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．【点评】本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．【解答】解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除【考点】FC：反证法．【专题】5M：推理和证明．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】56：三角函数的求值．【分析】x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．【点评】本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2﹣2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由数列递推式可得数列{b n}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得T n，再由作差法证明T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．【解答】解：（1）由b n+1=16b n，得数列{b n}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵T n+12﹣T n•T n+2=．于是T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2，当n=1时求得a1=S1=6；当n≥2时，=4n．a1=6不满足上式，∴a n=．当n=1时，c1=a1﹣log d b1=6﹣log d1=6，当n≥2时，可得c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，要使数列{c n}是递增数列，则，解得：0＜d＜1或d＞4．综上，d∈（0，1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】F1：归纳推理；GP：两角和与差的三角函数．【专题】15：综合题；57：三角函数的图像与性质；5M：推理和证明．【分析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，则振幅是=，由=1，即可求得φ1﹣φ1的值．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得cosφ1=﹣，可取φ2=（或φ2=﹣等），证明f1（x）+f2（x）+f3（x）=0．（3）由题意可得f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，从而可求f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【解答】解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+φ1）+sin（x+φ2）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，振幅是=则=1，即cos（φ1﹣φ2）=﹣，所以φ1﹣φ2=2kπ±，k ∈Z．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+φ1）+Asin（x+φ2）=Asinx（1+cosφ1+cosφ2）+Acosx（sinφ1+sinφ2）=0恒成立，则1+cosφ1+cosφ2=0且sinφ1+sinφ2=0，即有：cosφ2=﹣cosφ1﹣1且sinφ2=﹣sinφ1，消去φ2可解得cosφ1=﹣，若取φ1=，可取φ2=（或φ2=﹣等），此时，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+）（或f3（x）=Asin（x﹣）等），则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=A[sinx+（sinx+cosx）+（﹣sinx﹣cosx）]=0，所以是平波．（3）f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0，即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．令g（t）=，t∈[3，4]设u=t﹣2，u∈[1，2]，则g（t）=f（u）==∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值，∴t=3时，a2+b2的最小值为．【点评】本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．（2）：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．分别与抛物线方程联立可得P，Q．直线PQ的方程为：，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x﹣y=，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．即可得出．【解答】解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x=0，则y===3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则=，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i，取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．以下证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n，用数学归纳法证明．1°当n=1时，成立；2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除x k+y k，则当n=k+2时，x k+2+y k+2=x k+2﹣x k y2+x k y2+y k+2=x k（x2﹣y2）+y2（x k+y k），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n．又∵当n为奇数时，=（y p+y q）M，其中M是关于y p，y q的整式，∵Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，∴每一个集合“对”（Y p，Y q）都满足y p+y q=0．则一定有=（x+y）M=0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n=0是常数．【点评】本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市崇明县2015年高考二模数学(理)试卷(含详细答案)
上海市崇明县2015年高考二模数学理试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则M N =∩ ． 2、若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 3、2246......2lim(1)n nn →∞++++=+ ．4、函数20.5log (43)y x x =-的定义域为 ．5、在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于．6、设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．7、在ABC ∆中，已知8BC =,5AC =，三角形面积为12，则cos 2C = ．8、在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0)，直线的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直线的距离等于 ．9、如果3213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则含31x 项的系数等于 ．（用数字作答）10、9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望值等于 ．11、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．12、已知点(1,22)A ,(0,0)B ,(1,0)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，如果BC CE λ=，那么λ等于 ．13、已知函数[]11,2,0()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()f x x a -=在区间[]2,4-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．14、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，111101n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下结论： ①若45m =，则53a =；②若32a =，则m 可以取3个不同的值；③若2m =，则{}n a 是周期为3的数列；④存在m Q ∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列．其中正确结论的序号是 （写出所有正确命题的序号）．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
上海市崇明县年高三二模数学理科试题.doc
崇明县2014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1.每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；3.本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点A （1,0）且法向量为齐=（2, -1）的直线I的方程是_____________ .2、己知集合A = [x\丄vl,兀w/?!,集合B是函数y = \o（x + l）的定义域，则x J=.3、方程丄+疋=1表示焦点在）‘，轴上的双曲线，则实数m取值范围是_________________ .加+ 2 44、已知数列｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列，表示数列｛色｝的前77项和,则lim 冇—二__________ •"T8 矿一15、在（丄—兀2）6的展开式中，含兀3项的系数等于_________ .（结果用数值作答）X6^方程sin兀+ cos兀=-1的解集是_________ .7、实系数一元二次方程+ = 0的一根为x｝=—（其中i为虚数单位），则a +b = _______________ .8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽収1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19,现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽収100人，则应在高三年级中抽収的人数等于_______________ .9、已知/（x） = 2X的反函数为j =厂⑴,g（x）=广Q - x）一厂（1 + x）,则不等式g（x）< 0的解集是_________________ •10、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比岭I柱：岭求二________ （结果用数值作答）.11、___________________________________________________________________________ 在极坐标系中，圆p = 4sin&的圆心到直线&旦（pwR）的距离等于_________________________ .12、如果函数1蔦(o,i[, g(x)= bgn，关于兀的不等式/(兀)它(兀)303or-l xe (1,+OQ)对于任意XG (0, + oo)恒成立，则实数d的取值范围是 _____________ .13、己知二次函数/(x) = x2-ca +a (xe R)同时满足：①不等式/(x)W 0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0v召 <七，使得不等式/(%,)>/(%2)成立.设数列仏“｝的前斤项和为S”，且= /(n).规定：各项均不为零的数列｛$｝中,所有满足妇鬲v 0的正整数，的个数称为这个数列｛仇｝的变号数.若令b n=\~— WNf则数列仇｝的变号数%等于________ .14、已知圆O: x2 + r=c(O<c^l),点P(a,b)是该圆而(包K-OO圆周及内部)上一点，则a + b + c的最小值等于 ___________ .选择题(本大题共4小题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
崇明县2015学年第二次高考模拟高三数学(文科答案)
崇明县2015学年第二次高考模拟高三数学（文科）参考答案及评分标准一、填空题1．(0,1)； 2.3-； 3.2110x y +-=；4.1； 5.3； 6.12π； 7.15；8.3； 9.4-； 10.-1； 11.2； 12.6063 ； 13.3π； 14.28log 9 .二、选择题15.B ； 16.B ； 17.B ； 18.D.三、解答题19.（1）由V Sh =得ABC S ∆=，所以正三棱柱底面三角形边长为2所以正三棱锥表面积为2S S S =+=侧底分（2）因为11//AA CC ，所以1BCC ∠就是异面直线1BC 与1AA 所成角1Rt BC C ∆中，11tan 3BC C ∠= 所以异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为1arctan3...................12分 20.（1）由()3f x = ，得3433x x --⋅=令30x t => ，则原方程可化为2340t t --=所以4t =或1t =- （舍去）所以3log 4x =..................................................6分（2）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............9分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............11分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................14分21.（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+， 由sin sin AD AC ACD CDA=∠∠ ，得 sin)sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ .................................3分 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin()sin 63AC ACB h ABC ππθθ⋅∠==+-∠()126ππθ≤≤...................6分 （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC AC BAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠.................................9分 所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin2θ=+分 因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈......................13分 制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分22. （1）由题意得b c ==所以椭圆的方程为：22142x y +=..........................................4分 （2）设(,)P x y ，因为P 是椭圆C 上一点，所以22122y x =-||PM ==分 因为[2,2]x ∈-所以当1x =时，min ||PM =当2x =-时max 5||2PM =.................................................10分 （3）设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点(,0)a -和点(,0)a 在轨迹上................................12分 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点..................................14分在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.........................16分23. （1）112()4n n n n a a b b ++-=-=所以数列{}n a 为等差数列................................2分因为11a =，所以43n a n =-.............................4分（2）数列{}n b 是公比等于2的等比数列，12b =，所以2n nb =，所以111()2(2,*)n n n n n a a b b n n N λλ----=-=⋅≥∈ 所以112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12(22...2)1212n n n λλλ--=⋅++++=⋅+- ...........7分因为数列{}n a 是等比数列所以2213a a a =，所以12λ=， 当12λ=时，12n n a -= ，数列{}n a 是等比数列 所以12λ=..................................................10分 (3)当2,*n n N ≥∈时，11()n n n n a a b b λ---=- 所以112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+112211()()...()n n n n b b b b b b a λλλ---=-+-++-+1211n n b b a λλλλλ+=-+=-+当1n =时，上式依然成立，所以12n n a λλλ+=-+................12分 2122n n a λλλ+=-+，因为(1,0)λ∈-，所以212222(1)0n n n a a λλ++-=->即数列{}n a 的偶数项构成的数列2{}n a 是单调增数列同理222121(1)0n n n a a λλ+--=-<即数列{}n a 的奇数项构成的数列21{}n a -是单调减数列又212210n n a a λλ+-=-<，所以数列{}na 的最大值1M a λ==2232120n n a a λλ++-=->，所以数列{}na 的最小值322m a λλλ==-+.....14分 所以322211()241M m λλλλλλλ-+-=-+==+ 因为(1,0)λ∈-，所以213()(1,3)24λ-+∈ 所以1(,1)3M m ∈..................................................16分。
上海市崇明县2015年第二次高考模拟考试高三英语试卷(含详细答案)
上海市崇明县2015年第二次高考模拟考试高三英语试卷（考试时间120分钟，满分150分。
请将答案填写在答题纸上）第Ⅰ卷 (共103分)I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speak e rs. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Doctor and patient. B. Bank clerk and customer.C. Waiter and customer.D. Shop assistant and customer.2. A. In a café. B. In a stationary shop. C. In a kitchen. D. In a food market.3. A. The weather won’t be fine. B. The man has called to cancel their plan.C. T hey have got no permission.D. The woman has to look after her nephew.4. A. S he wanted to see what the man bought. B. The man bought a lot of books.C. She didn’t like the books the man bought.D. The man shouldn’t h ave bought books.5. A. At 2:50. B. At 3:25. C. At 3:50. D. At 4:50.6. A. Bob’s mouth is getting bad. B. Bob spoke ill of the man.C. Bob doesn’t like the woman.D. Bob’s proud of the man’s success.7. A. The wool sweaters. B. The cool weather. C. Their plan in August. D. The summer vacation.8. A. His annual checkup should be at 4:15 today.B. He has no time to take the annual checkup tomorrow.C. He made a mistake about the date of his annual checkup.D. His annual checkup needs to be postponed until tomorrow.9. A. We should care more about the danger of drunk driving.B. People killed in traffic accidents are mostly drunk drivers.C. Drunk drivers shouldn’t be responsible for traffic accidents.D. We have paid enough attention to the danger of drunk driving.10. A. Buy a new car. B. Look for a less expensive car.C. Buy a car from the woman.D. Help the woman paint her car.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following news.高三英语共10页第1页11. A. 74 centimeters. B. 110 centimeters. C. 220 centimeters. D. 276 centimeters.12. A. It has legs. B. It flies at night. C. It is solar-powered. D. It is the longest.13. A. Michelle Obama’s helping educate girls in Japan.B. Japan’s feedback on the White House’s initiative.C. The reason for proposing Let Girls Learn initiative.D. Michelle Obama’s promoting an initiative in Japan.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. V oice our opinion where we have experience.B. Be brave enough to ask questions in LinkedIn.C. Give our sincere suggestions to the employers.D. Invite experts to write recommendations for us.15. A. To share interesting articles. B. To better sell ourselves.C. To learn about new job openings.D. To chat with people in our field.16. A. In the digital age, finding a job is only a piece of cake.B. Social media plays an important role in the job search.C. Digital equipment is becoming more and more popular.D. Online conversations can improve a job hunter’s abilities.Section CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.高三英语共10页第2页II. Grammar and VocabularySection ADirections:After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)After 30 years (25)_____ a pilot, Captain Peter Elliott got to fly holiday-makers on a Thomas Cook flight from Birmingham, UK, to Tenerife, Spain with his daughter.Senior First Officer Laura Elliott (26)_____(fly) for six years but has never before got to work with her father. “It’s my dream to be able to fly with my Dad,” she said.It had seemed unlikely that the pair would ever co-pilot (27)_____ same aircraft because Miss Elliott learned to fly on Airbus planes when she joined the company in 2009, and her father flew Boeings. However, after Peter Elliott, 59, retrained to fly Airbuses, their dream of flying together came true.Miss Elliott, 30, became interested in flying when (28)_____(inspire) by her father with a trial flight as her birthday present. Miss Elliott said: “Becoming a pilot was never something I had considered. It was only when my Dad bought me a trial flight for my 18th birthday (29)_____ I considered following in my Dad’s footsteps.”The pair finally sat in the cockpit (驾驶员座舱) together and Mr Elliott made an announcement to passengers (30)_____ the flight made it a special day for him as he was flying with his daughter.Miss Elliott recalled the flight, (31)_____(say), “I was initially nervous and he kept asking (32)_____ I was nervous or not. It was like going for a driving lesson with him. Thankfully, everything went smoothly and the passengers loved it. If it ever happens again, I will definitely be a lot(33)_____(relaxed).”(B)Has the world just witnessed its first ever robot suicide? Boring housework was seemingly too much for one cleaning robot to take, when it apparently rebelled and decided to end it all.The robot was given the tiresome task of cleaning up some spilt grain before it climbed on to a kitchen hotplate (34)_____ it destroyed itself, according to reports in Austria. It had reportedly grown tired of (35)_____(force) to clean the house every day and decided to become a martyr(殉道者) to the robot cause.“Somehow it seem s (36)_____(restart) itself again before it made its way along the work surface. Then it pushed a cooking pot out of the way and basically that was the end of it,” explained fireman Helmut Kniewasser, who (37)_____(call) to deal with the fire at Hinterstoder in Kirchdorf. “It pretty quickly started to melt underneath and then stuck to the kitchen hotplate. It then caught fire. (38)_____ _____ _____ we arrived, it had become just a pile of ash.” He added: “The entire building (39)_____ _____be evacuated (疏散) and there was severe smoke damage particularly in the flat in which the robot had been in use. “It’s a mystery how it came to be started and ended up making its way to the hotplate.” (40)_____ took an hour to clean and make the building safe. The homeowner plans to charge the robot’s manufacturer.Section BDirections:Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.高三英语共10页第3页。
崇明县2015年第一次高考模拟考试试卷数学试题与评分标准
（3）设（2）中的数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ，对任意的正整数 n ， (1 − n) ⋅ ( Sn + n + 2) + (n + p)2n +1 < 2 恒成立，求实数 p 的取值范围．
高三数学 共 4 页 第 4 页
崇明县 2014 学年高三一模参考答案及评分标准
一、填空题： 1、 − 2 ； 2、 [0,1) ； 3、
2 2
由 x2
由 ∆ > 0 得 3 + 4k > m 。 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，则 x1 + x 2 = −
由 OA + 2OB = OA − 2OB 得， OA ⋅ OB = 0 所以 x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 = 0 化简得 7 m = 12 + 12k
− 1≤ x < 0 ， ax + 1 ， 11、设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [ −1, 1] 上， f ( x) = bx + 2 ， 0 ≤ x ≤ 1， x +1 1 3 b ∈ R ．若 f = f ，则 a + 3b 的值为 其中 a ， ． 2 2
崇明县 2015 年第一次高考模拟考试试卷 数 学
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
考生注意： 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不 得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（每题 4 分，共 56 分）
21、 （本题 14 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分） 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为 60 ，整治后前四个月的污染度 如下表； 月 数 1 60 2 31 3 13 4 0 …… ……
2015年上海高考数学(理科)试题(解析版)
2015年上海高考数学（理科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。
答案：{1,4}2、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。
答案：1142i+3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53yx ，则=-21c c ___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。
答案：164、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。
答案：45、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________. 分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。
答案：26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为1:2π，则其母线与轴的夹角的大小为 _______.7、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。
答案：28、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。
高考数学二模专题试题2015年高三二模汇编——解析几何
2015年高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，则点M 到x 轴的距离等于 ． 【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ；4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B角形，则双曲线的实轴长为__________.18. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y ++-=-++=也可以是；22246510第6题y xA O FB10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3y x =?；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .【答案】2；14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O e ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 ． 【答案】2,2⎡⎤-⎣⎦；15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ． 【答案】116．（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-u u u r u u u r OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．【答案】22182x y +=；17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-r，则此直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】6π18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原ABDyCNMO是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点， F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ， 则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；x y 2±=x y 2±=x y 22±=x y 21±=βαP BADC4（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22 所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x y m x -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ=计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分) 【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+-Q 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b -=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=>20342200033y k k x b -===Q 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分330,024b b-+≥∴<≤ 10分焦距是 12分∴ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>= 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆 设椭圆的方程为12222=+bya x ，则22,222==c a ，1222=-=c ab ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分（2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,,2448a b a b ===-=-……8分 所以直线MN 的斜率MNk 2121b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分6假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-u u r u u r因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=u u r u u r即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=u u r u u r 恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分4.（2015黄浦二模理23）已知点()1F、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0． ∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可． 设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d为定值3．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF u u u r u u u u r．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0．∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．8(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-．由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A Ax k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得23d =． 综合0012和可知，总有23d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值233．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+ 22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分 或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分 （方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分107.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r12当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ………………14分 Q 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标． 【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，知道1MA MB k k =-,Q (0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………14分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=14122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者at a -=1λ，a t a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分16因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m .2（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka =，(2,1),PM a ka =-- 6分由PM OM ⊥得0OM PM =u u u u r u u u u rg ,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221ka k+=+，所以22222(,)11k k k M k k ++++ 8分S RP QDCBAO 22222001232211122111k k k k k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+V g 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x y M a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：OM =ON =22sin 1kMON k ∠=+ 12分 11sin 2MON S OM ON MON k=∠=V g ，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±()()20,20A B ---()28AB cm =≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k x k +=-<…..7’(()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’18得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=u u u u r u u u u r ，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-u u u u r u u u r u u u r，求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pmy y p my x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221************222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP +Θ为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时， 由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。
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崇明县2015年第二次高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
2． 一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则M N =∩ ． 2、若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 3、2246......2lim(1)n nn →∞++++=+ ．4、函数y =的定义域为 ．5、在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于．6、设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．7、在ABC ∆中，已知8BC =,5AC =，三角形面积为12，则cos 2C = ． 8、在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0)，直线l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直线l 的距离等于 ．9、如果3nx ⎛ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则含31x 项的系数等于 ．（用数字作答）10、9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望值等于 ．11、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x轴的距离等于 ．12、已知点(1,A ,(0,0)B ,(1,0)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，如果BC CE λ=，那么λ等于 ．13、已知函数[]11,2,0()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()f x x a -=在区间[]2,4-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．14、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，111101n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下结论： ①若45m =，则53a =；②若32a =，则m 可以取3个不同的值；③若m =，则{}n a 是周期为3的数列；④存在m Q ∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列．其中正确结论的序号是 （写出所有正确命题的序号）．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………………………（ ）A ．3,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈ C ．,y x x R =∈D. 1,2xy x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭16、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS =………………………………（ ） A ．310B ．13C ．18D ．1917、如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧 AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为………………………………………（ ） A．, B．100(1,πC．,D．100(1,π+A ．（1）（2）（3）B ． （2）（3）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（4）18、设函数()f x 的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数1()f x -,若(4)0f =，则1(4)f -=（ ）A ．0B ．4C ．2-D ．2三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19、（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ-+-∈．（1）化简并求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取得最大值的x 集合．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π．21、（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+(010)x ≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用 之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22、（本题满分16分）本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分． 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；x（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知无穷等比数列{}n a 公比为(01)q q <<，各项的和等于9，数列{}2n a 各项的和为815．对给定的(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列(3)T 的前10项之和；（3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且 不等于零．崇明县2015年高考模拟考试高三数学(理科)试卷解答一、填空题 1、{}0 2、38 3、1 4、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41 5、n 2 6、0323=--y x 7、257 8、22 9、21 10、41511、332 12、4231--13、{}{}102| <<-a a 14、①②③ 二、选择题15、A 16、A 17、B 18、C 19.解：（1）2())2sin ())1cos(2)61266f x x x x x ππππ=-+-=-+--2sin(2)13x π=-+所以函数()f x 的最小正周期T π=（2）当22,32x k k Z πππ-=+∈，即5,12x k k Z ππ=+∈时，函数取得最大值，所以使函数()f x 取得最大值的x 集合为5{|,}12x x k k Z ππ=+∈20.（理科）解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，11(1,0,1),(0,0,0),(0,0,1)A D D 设(1,,0)([0,2])E y y ∈则11(1,,1),(1,0,1)D E y DA =-=… 所以110D E DA ⋅=……所以11D E A D ⊥……（2）设(,,)n u v w =为平面1D CE 的一个法向量由1100n CD n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得200v w u yv w -+=⎧⎨+-=⎩，所以(2)2u y v w v =-⎧⎨=⎩… 因为二面角1D EC D --的大小为4π，所以cos||4π===又[0,2]y∈，所以2y=2AE=1D EC D--的大小为4π21.解：(1)依题意得:8,405kk=∴=所以40800()6206,0103535f x x x xx x=+⋅=+≤≤++（2）800800()62(35)1010703535f x x xx x=+=++-≥-=++当且仅当8002(35)35xx+=+，即5x=时等号成立而5[0,10]∈，所以隔热层修建为5厘米时，总费用最小，且最小值为70万元…… 14分22、解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+babyax根据题意得1==cb所以2222=+=cba所以椭圆方程为1222=+yx（2）根据题意得直线方程为1:-=xyl解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222xyyx得QP,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ点O到直线PQ的距离为22所以，32=∆OPQS（3）假设在线段OF上存在点)1)(0,(<<mmM,使得以,MP MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=kxky．QP,坐标为),(),,(2211yxyx由⎩⎨⎧-==+)1(2222xkyyx得，0224)21(2222=-+-+kxkxk222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m 23、解（1）由于2212q a a nn =+为常数，所以{}2n a 为以21a 为首项，2q 为公比的等比数列。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-5811912211qa qa 解得，32,31==q a 。
所以1)32(3-⨯=n n a （2）3512,3433=-==a d a ，数列(3)T 的前10项之和等于31883529103410=⨯⨯+⨯。
（3）2(1)(21)(21)(1)3(21)()(1)3i i i i i b a i a i a i i i =+--=---=---所以12n n S b b b =+++计算得2)1()32)(4518(45--+-=n n n S n n 所以2(1)45(1845)()32lim n n m m n n n n S n n →∞--+-= 计算得，当2=m 时，2(1)45(1845)()132lim 2n n m m n n n n S n n →∞--+-==-；2m >时，lim n m n S n →∞=0 所2=m 。