35 高阶系统分析

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时域分析法--高阶系统分析
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∑ ∴ c(t ) = a0 + n1 a j e − p jt j =1
高高阶阶系系统统分分析析，，单单位位阶阶跃跃响响应应
n2
n2
∑ ∑ +
β e −ζ lωnl t l
cos ω nl
1−ζl2t +
γ
e −ζ lωnl t
l
sin
ω nl
1−ζl2t
s→0
ωn2z + 2ζωns + ωn2 ) p
=
z p
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小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数 的大小
主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
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0 −ωn 1−ζ 2
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单位阶跃响应的表达式和曲线：
三三阶阶系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 =
ωn2 p3
⋅1
s (s 2 + 2ζωn s + ωn 2 )(s + p3 ) s
=1+
A1s + A2
+ A3
s s 2 + 2ζωn s + ωn 2 s + p3
i =1 n2
, n1 + 2n2 = n, m ≤ n
∏ ∏ (s + p j ) (s 2 + 2ζ ωl nl s + ω nl 2 )
j =1
l =1
其单位阶跃响应函数为：
∑ ∑ C(s) = Φ(s) ⋅ 1 s
=
a0 s
+
n1 j =1
aj s+ pj
+
n2 l =1
βl (s + ζ lωnl ) + γ lωnl 1 − ζ l 2 s 2 + 2ζ lωnl s + ωnl 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
三阶系统单位阶跃响应曲线（阻尼系数＝0.5）
由图可见，当系统阻尼系数不变时，随着实数极点向虚轴
方向移动，即随着β值下降，响应的超调量不断下降，而峰值 时间、上升时间和调节时间不断加长。
在β小于等于1时，即闭环实数极点的数值小于闭环复数 极点的实部数值时，三阶系统将表现出明显的过阻尼特性。
第四节 高阶系统分析
在控制工程中，几乎所有得控制系统都是高阶系 统，即用高阶微分方程描述的系统。
对于不能用一、二阶系统来近似的高阶系统来 说，其动态性能指标的确定是比较复杂的。
工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进 行近似分析，从而得到高阶系统动态性能指标的估算 公式。
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c(t) β = ∞ β =2
1
β = 0.1
0
图中，β = ∞ 表示无 − p3 极点，由图可 见，加入极点− p3后，当 ζ 不变时，超
ωnt 调量下降了，但调节时间增加了。
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h(t) 1 .4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
β值下降
0.2
0
ωnt
0
1
2
瞬态性能指标主要由它决定。
具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。
[例如]：假设 − p1,2 = −ζ1ωn1 ± jωn1
1
−
ζ
2 1
=
−σ
±
jωd
为某高阶系统的主导极点，
则单位阶跃响应近似为：
c(t) ≈ a0 + e−σt (β1 cos ω d t + γ 1 sin ω d t)
利用主导极点概念可以对高阶系统特性做近似的估计分析。
式中：θ
= tg −1
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1−ζ 2 ζ
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三三阶阶系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共
轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。
影响瞬态特性的有两个因素：
第一是
β = p3 ζωn
，它表示 − p3和− p1,− p2
高阶系统近似简化原则：
在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
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例如：Φ(s)
=
(s2
+
ωn2(s + z) 2ζω n s + ω n2 )(s
+
p)
如果： z > 5以及 p > 5
ζω n
ζω n
− z −×p
1
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：
Φ(s)
=
(s
2
+
ωn2 2ζωns +ωn
2
)(Ts
+1)
，
当 0 < ζ <1 时，极点分布如下：
− p1 = −ζωn − jωn 1− ζ 2 ,
− p2 = −ζωn + jωn 1− ζ 2 ,
−
p3
=
−
1 T
−×p2
− p3×
−
×
ζω
n
− p1
ωn 1−ζ 2
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二、高阶系统分析
高高阶阶系系统统分分析析
高阶系统的传递函数为：
Φ(s)
=
bm s m an s n
+ +
bm−1s m−1 + ... + b0 an−1s n−1 + ... + a0
,m
≤
n
∏ 写成零极点形式：
m
kg (s + zi )
Φ(s) = n1
l =1
l =1
可见：c(t)不仅与 p j ,ζ l ,ωnl （闭环极点）有关，而且与系数
a j , βl ,γ l 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。
高阶系统的单分析]： 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不 稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项） 的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰 减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
则：
Φ(s) ≈
p(s2
zω n 2 + 2ζω n s + ω n2 )
×
− ζω n
×
jω d − jωd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
Q
lim
s
⋅
1 s
⋅
(
s
2
s→0
ωn2(s + z) + 2ζωns + ωn2 )(s +
p)
=
z p
而 lim s ⋅ 1⋅ s (s2
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高高阶阶系系统统分分析析，，主主导导极极点点
系数 a j , βl ,γ l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则运动模态的系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
的相对位置。
当 β >>1 时，表示− p3离虚轴远，− p1,− p2 离虚轴近，系
统的瞬态特性主要由− p1,− p2 决定，呈二阶系统的特性。
反之，当 β <<1 时，表示 − p3 离虚轴近，− p1,− p2 离虚轴远， 系统的瞬态特性主要由 − p3决定，呈一阶系统的特性。
第二个因素是阻尼系数，同前。如下图所示：
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。
存在一对离虚轴最近的共轭极点； 附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
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主主导导极极点点及及应应用用
主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的
式中： A1, A2 , A3 与
ζ ,ωn, β
= p3
ζωn
有关。
（与实极点与共轭极点的位置关系有关）
∴ c(t ) = 1 − A1e −ζω nt sin( ω n 1 − ζ 2 t − θ ) 1−ζ 2
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+
A2e −ζωnt sin ωn ωn 1−ζ
1−ζ
2
2t
+
A3e − p3t