人力资源配置优化模型

xxxx实验论文报告

系（院）：统计与数学学院

专业：经济学

班级：经基10-1 学号： 20100500xx

姓名： xxx

课程名称：数学建模

实验时间： xxxxxx

指导教师： xx老师

云南财经大学教务处制

用lingo求解人力资源的优化配置问题

摘要

随着中国企业的发展，缺乏科学合理的布局和人力资源配置管理是目前不少小型企业进一步发展的主要障碍。针对这一情况，本文关注企业人力资源配置与企业的最大利润之间的关系，在企业的人力资源配置方面，就如何更有效的提升人力资源配置的效率与企业的利益，本文进行了一些初步的建模研究。

对于该人力资源配置问题，要求如何合理地分配现有的技术力量，使公司每天的直接受益最大，同时人员的分配要满足一定的结构约束条件。在此情况下，通过建立模型，用lingo程序求解有约束的线性规划问题。针对不同的客户要求，首先进行模型假设，然后建立具体的模型进行求解。求解出来的结果再进行灵敏度分析，从而进一步确定当目标函数的利润系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。

最后，根据模型假设，联系实际情况，对该模型进行一定的优化改进处理，从而达到更适合现实人员配置情况的目的，进而使该模型在现实中得到推广。

[关键词]：（人力资源模型利润最大lingo 灵敏度最优解)

一、问题重述

“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 公司的人员结构及工资情况

工作在现场完成；另外两项是工程设计，分别在C和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同的客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的收费标准

为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3。

表3 各项目对专业技术人员结构的要求

（1）表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其它有“～”符号的表示相同的意义。

（2）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加。

（3）高级工程师相对稀缺，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求。

（4）各项目客户对总人数都有限制。

（5）由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

（6）由于收费是按照人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10＋16＋11＋18＝55，多于公司现有的人数41。因此需要解决的问题是：如何合理地分配现有的技术力量，使公司每天的直接受益最大？写出相应的论证报告。

二、问题分析

由问题可知，本题主要关心的问题是有关人力资源的优化配置问题。从题中了解到本题主要是合理分配专业技术人员使得公司获得最大利润，由题意可知该PE 公司安排人员的问题就是有约束的线性规划问题，总利润=总收费-总成本。 由lingo 软件我们可知，有约束的线性规划可以用lingo 软件来求的最优方案，且可以进行灵敏度分析。进而分析各个变量对目标函数得最优解以及最优值的影响。

三、问题假设

1、每人每天都能按时完成工作，不受外界条件影响，如病假,事假等；

2、每人每天都只做一项工作；

3、对于所有的项目，除了既定的工资与个别项目的管理费用外,无其他额外支出；

4、专业技术人员在各个项目之间无流动性和替代性。

四、符号约定

r

ij a 该PE 公司在j 项目中，分配人员i 每天所获得的收益，i ，j=1,2,3,4 v ij a 该PE 公司对人员i 每天所发的工资,i,j=1,2,3,4

c

ij a 该PE 公司在项目j 中每天所支付的管理费用，i ，j=1,2,3,4

ij x 该PE 公司向项目j 中分配i 人员的个数，i ，j=1,2,3,4

i e 该PE 公司第i 类人员的总数，i=1,2,3,4

j p 该PE 公司对第j 个项目所分配的总人员数，j=1,2,3,4

1

ij c 该PE 公司对第j 个项目分配第i 类专业人员的最小约束，i,j=1,2,3,4

2ij c 该PE 公司对第j 个项目分配第i 类专业人员的最大约束，i,j=1,2,3,4

五、模型建立与求解

5.1、约束一：该PE 公司不同类型的工作人员有不同的人数,则该公司第i 类人员分配给不同项目的总数约束为：41ij i j x

e =≤∑（i=1,2,3,4）其中e =

（9 17 10 5）

5.2、约束二：该PE 公司对不同的项目分配不同的人员，则该公司对第j 个项目所投入的人员约束为：41

ij j i x

p =≤∑，j=1,2,3,4.且p=（10 16 11 18） 5.3、约束三：该PE 公司对各项目所分配的各类型专业技术人员的最少约束： 1ij ij x c ≥,i,j=1,2,3,4。且1c =(1 2 2 1;2 2 2 2;2 2 2 1;1 3 1 0).

5.4、约束四：该PE 公司对各项目所分配的各类型的专业技术人员的最大约束：

2ij ij x c ≤,i,j=1,2,3,4.且2c

=（3 5 2 2;17 17 17 8;10 10 10 10;5 5 5 0). 5.5、目标函数：444444111111

r

v

c ij

ij ij ij ij ij j i j i j i a x a x a x π=======--∑∑∑∑∑∑，求该公司在上述约束条件下利润的最大值。

5.6、建立模型：

5.6.1、建立数学LP 模型：

444444

111111max r v c ij ij ij ij

ij ij j i j i j i a x a x a x π=======--∑∑∑∑∑∑

4

1

4

112.,1,2,3,4

ij i

j ij j i ij ij ij ij ij x e x p st x c x c x z i j ==?≤???≤???≥??≤?∈??=?∑∑ 其中e =(9 17 10 5),p=(10 16 11 18),1c =(1 2 2 1;2 2 2 2;2 2 2 1;1 3 1 0),2c =(3 5 2 2;17 17 17 8;10 10 10 10;5 5 5 0).

5.6.2、建立lingo 模型：将上述数学模型转化为lingo 语言：

model :

sets :

employee/1..4/:e;

program/1..4/:p;

links(employee,program):a,x,c1,c2;

endsets

!目标函数

max =@sum (links:a*x);

!约束一

@for (employee(i):@sum (program(j):x(i,j))<=e(i));

!约束二

@for (program(j):@sum (employee(i):x(i,j))<=p(j));

!约束三

@for (employee(i):@for (program(j):x(i,j)>=e1(i,j)));

!约束四

@for (employee(i):@for (program(j):x(i,j)<=e2(i,j)));

!输入已知数据

data :

e=9 17 10 5;

p=10 16 11 18;

!r v c a a a a =--

a=750 1250 1000 700

600 600 650 550

430 530 480 480

390 490 240 340;

c1=1 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 1

1 3 1 0;

c2=3 5 2 2

17 17 17 8

10 10 10 10

5 5 5 0;

enddata

end

5.7、模型的求解：将上述lingo语言在lingo窗口中运行可得输出结果为： Global optimal solution found at iteration: 25

Objective value: 27150.00

Variable Value Reduced Cost

E( 1) 9.000000 0.000000

E( 2) 17.00000 0.000000

E( 3) 10.00000 0.000000

E( 4) 5.000000 0.000000

P( 1) 10.00000 0.000000

P( 2) 16.00000 0.000000

P( 3) 11.00000 0.000000

P( 4) 18.00000 0.000000

A( 1, 1) 750.0000 0.000000

A( 1, 2) 1250.000 0.000000

A( 1, 3) 1000.000 0.000000

A( 1, 4) 700.0000 0.000000

A( 2, 1) 600.0000 0.000000

A( 2, 2) 600.0000 0.000000

A( 2, 3) 650.0000 0.000000

A( 2, 4) 550.0000 0.000000

A( 3, 1) 430.0000 0.000000

A( 3, 2) 530.0000 0.000000

A( 3, 3) 480.0000 0.000000

A( 3, 4) 480.0000 0.000000

A( 4, 1) 390.0000 0.000000

A( 4, 2) 490.0000 0.000000

A( 4, 3) 240.0000 0.000000

A( 4, 4) 340.0000 0.000000

X( 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 2) 5.000000 0.000000

X( 1, 3) 2.000000 0.000000

X( 2, 1) 6.000000 0.000000 X( 2, 2) 3.000000 0.000000 X( 2, 3) 6.000000 0.000000 X( 2, 4) 2.000000 0.000000 X( 3, 1) 2.000000 0.000000 X( 3, 2) 5.000000 0.000000 X( 3, 3) 2.000000 0.000000 X( 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 2) 3.000000 0.000000 X( 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 100.0000 C1( 1, 1) 1.000000 0.000000 C1( 1, 2) 2.000000 0.000000 C1( 1, 3) 2.000000 0.000000 C1( 1, 4) 1.000000 0.000000 C1( 2, 1) 2.000000 0.000000 C1( 2, 2) 2.000000 0.000000 C1( 2, 3) 2.000000 0.000000 C1( 2, 4) 2.000000 0.000000 C1( 3, 1) 2.000000 0.000000 C1( 3, 2) 2.000000 0.000000 C1( 3, 3) 2.000000 0.000000 C1( 3, 4) 1.000000 0.000000 C1( 4, 1) 1.000000 0.000000 C1( 4, 2) 3.000000 0.000000 C1( 4, 3) 1.000000 0.000000 C1( 4, 4) 0.000000 0.000000 C2( 1, 1) 3.000000 0.000000 C2( 1, 2) 5.000000 0.000000 C2( 1, 3) 2.000000 0.000000 C2( 1, 4) 2.000000 0.000000 C2( 2, 1) 17.00000 0.000000 C2( 2, 2) 17.00000 0.000000 C2( 2, 3) 17.00000 0.000000 C2( 2, 4) 8.000000 0.000000 C2( 3, 1) 10.00000 0.000000 C2( 3, 2) 10.00000 0.000000 C2( 3, 3) 10.00000 0.000000 C2( 3, 4) 10.00000 0.000000 C2( 4, 1) 5.000000 0.000000 C2( 4, 2) 5.000000 0.000000 C2( 4, 3) 5.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 27150.00 1.000000

2 0.000000 1200.000

3 0.000000 550.0000

4 0.000000 480.0000

5 0.000000 440.0000

6 0.000000 50.00000

7 0.000000 50.00000

8 0.000000 100.0000

9 14.00000 0.000000

10 0.000000 -500.0000

11 4.000000 0.000000

12 0.000000 -100.0000

13 0.000000 -100.0000

14 3.000000 0.000000

15 1.000000 0.000000

16 3.000000 0.000000

17 0.000000 0.000000

18 0.000000 -300.0000

19 4.000000 0.000000

20 0.000000 -100.0000

21 0.000000 -300.0000

22 0.000000 -500.0000

23 0.000000 0.000000

24 0.000000 0.000000

25 0.000000 0.000000

26 2.000000 0.000000

27 11.00000 0.000000

28 8.000000 0.000000

29 4.000000 0.000000

30 0.000000 0.000000

31 14.00000 0.000000

32 5.000000 0.000000

33 2.000000 0.000000

34 0.000000 0.000000

35 11.00000 0.000000

36 8.000000 0.000000

37 4.000000 0.000000

38 1.000000 0.000000

39 6.000000 0.000000

40 9.000000 0.000000

41 0.000000 0.000000

由此可以得到，该PE公司每天的最大利润为27150.00元，且向各个项目分配的专业人员的最优方案是：向项目A分配高级工程师(X(1,1))1名，工程师(X （2,1))6名，助理工程师(X(3,1))2名，技术员(X(4,1))1名；向项目B分配高级工程师(X(1,2))5名，工程师(X（2,2))3名，助理工程师(X(3,2))5名，技术员(X(4,2))3名；向项目C分配高级工程师(X(1,3))2名，工程师(X（2,3))6名，助理工程师(X(3,3))2名，技术员(X(4,3))1名；向项目D分配高级工程师(X(1,4))1名，工程师(X（2,4))2名，助理工程师(X(3,4))1名，技术员(X(4,4))0名。最优

六、模型的灵敏度分析

6.1、分析求解报告窗口(solution report)：由上述求解lingo所输出的结果，“Global optimal solution found at iteration: 25”表示经过25次迭代后得到全局最优解。“Objective value:27150.00”表示最优目标值为27150.00。“Value”给出最优解中各变量的值：其中E，P，C1，C2,A是已知变量，只有X 是未知变量，表示人员的分配情况，如数据 X( 1, 1)的Value值为1.000000

表示向项目A分配的高级工程师的最优方案为1名，同理可得其他专业技术人员的最优分配情况。“Reduced Cost ”列出的最优单纯形表中判别数所在行变量的系数，表示当变量有微小变动时目标函数的变化率。其中基变量的“Reduced Cost”值应为0，对于非基变量X（i，j），相应的“Reduced Cost”值表示当某个变量X（i，j）增加一个单位时目标函数减少的量。所以在该问题输出报告窗口中，由于X（4,4）的“Reduced Cost”值为100.0000，所以除了X（4,4）是非基变量外，其余的X都为基变量，且当非基变量X（4,4）的值从0变化为1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优函数值=27150-100=27050。

“Slack or Surplus”给出松驰变量的值，如：

第1行松驰变量=27150(模型第一行表示目标函数,所以第二行对应第一个约束) 第2,3,4,5,6,7,8行松驰变量=0

第9行松驰变量=14，如此类推从“Slack or Surplus”给出的值可以知道每行约束的松弛变量值。

“Dual Price”（对偶价格）表示当约束有微小变动时，目标函数的变化率。

输出结果中对应每一个约束有一个对偶价格。若其数值为m，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数将增加m个单位。显然，如果在最优解处约束正好取等号，对偶价格值才可能不是0。如在该输出的报告窗口中，第三行的

“Dual Price”值为550，表示第三行的约束增加一个单位即人员约束17增加到18，目标函数值将增加550个单位，运行一下改变后的程序得到结果：

验证了目标函数值增加了27700-27150=550个单位；如果在最优解处约束为非紧约束，即Dual Price的值为0，如第九行，表示对应约束中不等式右端项的微小变动不影响目标函数。同样的，可以用类似的方法分析得到其他约束条件的对偶价格，从而研究右端约束项的微小变动对目标函数的影响。

6.2、分析灵敏度报告窗口(range report)：激活灵敏度性分析，从而得到灵敏度报告窗口（Range Report）如下所示：

目标函数中X（1，1）变量原来的利润系数为750，允许增加（Allowable Increase）=500，允许减少（Allowable Decrease）=∞，说明当它在[750-∞，750+500]=[-∞,1250]范围内变化时，最优基保持不变，对其他变量可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个利润系数发生变化），所以最优解不变，但由于目标函数中利润系数发生了变化，所以最优值会变化。

第二行约束中右端顶（Right Hand Side，简写为RHS），可允许的增减量都为0，故要使最优基不变，该约束不能发生改变。同样的，看第三行的约束，其变化范围在[17,17+3]=[17,20]内，该问题的最优基都不会发生改变，但最优解和最优值会改变。同理可用同样的方法对其他行的约束条件进行分析。

灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的利润系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。

七、模型的评价与改进

7.1、模型的评价：该模型通过对“PE公司”的技术人员的结构以及工资情况，不同项目和不同人员的收费标准以及要求进行分析，从而将本题中所要求的如何分配专业技术人员转化成线性规划问题从而求公司的最大利润。该模型突出的优

点是用lingo软件进行求解，用集合循环语句处理可以节省大量的时间，从而实现人力资源的合理配置以及利润最大化的目的。

7.2、模型的改进：由于该模型是在诸多假设条件下的理想情况中求解该“PE 公司”的最优分配方案，所以在现实中存在很多与模型假设不同的情况，如某个专业人员因事假不得不请假从而造成的人员相互之间的流动性，再如，除了工人的工资以及C 、D 项目的管理费用外还有其他支出，如技术人员的车旅费等等需要公司报销的其他费用，这都在一定程度上影响公司的每天净收益。所以针对还有其他额外支出的情况，不妨将模型的目标函数改进为：

444444111111max r

v c ij ij ij

ij ij ij j i j i j i a x a x a x πσ=======---∑∑∑∑∑∑

4

1

4

112.,1,2,3,4

ij i

j ij j i ij ij ij ij ij x e x p st x c x c x z i j ==?≤???≤???≥??≤?∈??=?∑∑ 其中σ代表技术人员去客户公司做项目的其他额外支出，

44

11e ij ij j i a x σ===∑∑，e ij a 表示公司对专业人员i 去做项目j 所支付的额外费

用。当然，该改进后的最优解不变，只影响最优值得变化。由此可以知道，该改进后的模型更贴切实际。

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