曲线坐标系下张量分析
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。
3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij δ应分为i j δ和j i δ，ijk ε也常分为ijk ε和ijkε。
设给定曲线坐标(1q ,2q ,3q )，过空间任一点M 沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为i i qr g ∂∂=i g 是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选i g /ig为基矢量。
由于i g 的正交性，有ij j i j i g g g g δ =⋅。
而在一般曲线坐标系中，i g 不一定是相互正交，但任选i g为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量i g的基础上，我们还可以选i g ，使得1g 与2g ，3g 正交，且111=⋅g g ，其他类似。
i g 也是一组基矢量，称为逆变基矢量，i g 与i g是正交的，他们称为互逆基矢量。
我们令j i ij g g g ⋅= j i ij g g g ⋅=i i i j j j g g g g g =⋅=⋅分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。
由协变基矢量i g 与逆变基矢量i g的正交性，有i j j i i j g g g δ=⋅=逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出j ij i g g g =因为j j ik ij k ij k i k ik g g g g g g g g δ==⋅=⋅=同理有j ij i g g g =可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。
注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。
由于jl il l k jl ik l k jl ik l jl k ik j i i j g g g g g g g g g g g g g g ==⋅=⋅=⋅=δδ)()(可知ij g 和ij g 互为逆矩阵。
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
第四章-曲线坐标系下张量分析
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分 所以
然而 所以，对平面微元： 由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立； 而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例：在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： 笛卡尔坐标系下 坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： 所以： 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： 其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张 曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度）。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设 则有： 因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量） 互换k,j指标，可得： 可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）
张量分析(最后附题目)
●
矢量微分元
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates ） 右手坐标系： r 如果由 e1按右手螺 r r 旋旋转到 e2 可以得到 e3 左手坐标系： r 如果由 e1按左手螺 r r e2 e3 旋旋转到 可以得到 b .矢量不变特性
r e3
r e1
r e2
r e3
r e1
r e2
α ϕ x
β
ρ
cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos γ = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 γ = 1
张量分析第四章
的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
Γ
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
定义 则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
附录：张量解析
【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用， 右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。 用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标 二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号） 即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证： ＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：
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其中 m ks 的第一个协变指标为张量分量的协变指标 原张量分量的协变指标与 m ks 的逆变指标构成一对哑指标
m ks 的第二个协变指标为曲线坐标的指标
由于
T g k T T i' g ' k i
按张量分量协变导数的定义：
ij s i ' j' s ' k' l' T = sT..kl g gi g j g k gl s 'T..k 'l'g gi ' g j' g g
ij T..k mj i im j ij m ms T..k ms T..m ks 先求 T 的协变导数： T s T..k
ij ..k
ij s ..k
然后缩并 i,k 指标可得：
kj T..k mj k km j kj m T s T..k ms T..k ms T..m ks kj s ..k kj T..k kj m km j kj m s T..m ks T..k ms T..m ks
g j i 2r gi k k g g k ji i j j
gk
ij,k
2r g i g k i j g k ij g k ji,k
g j
说明 Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。 ②不是张量 在直线坐标系中， 由于基矢量不随坐标而改变， 所以第二类 Christoffel 符号全部为零。 如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ② 两类 Christoffel 符号之间的联系 由于 Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标， 所以可以通过度量张量进行升 降。
张量分量的协变导数
T
ij s ..kL
T
ij ..kL;s
ij T..kL mj i im j ij m ij m T..kL ms T..kL ms T..mL ks T..km Ls s
ij T..kL;s
由以下几个部分组成：
79
ij T..kL ① 普通偏导数： s
C A B B A s s s
以及
A s Aijgi g j s
因此：
；
B s Bmn g m g n s
s (AijBmn )gi g j g m g n
(s Aij )Bmn gi g j g m g n Aij (s Bmn )g i g j g m g n (s Aij )Bmn Aij (s Bmn ) gi g j g m g n
ijk gi (g j g k )
ijk
s
g g i g (g j g k ) g i ( sj g k ) g i (g j k ) s s
m m is g m (g j g k ) m js g i (g m g k ) ks g i (g j g m ) m m is mjk m js imk ks ijm
k
i ' T i k T T k T T g k g i' k k g i' g i i' k
' T T i i T T T g k g k i' k k g k i' g i i' ' '
sijk
ijk
s
m m mjk is imk m js ijm ks 0
3. s (AijBmn ) (s Aij )Bmn Aij (sBmn ) 设 A Aijg g ；
B Bmn g m g n
80
； C A B 则有：
ij 可见张量分量的协变导数 sT..kl 是张量梯度的分量，因而是张量分量。
1. 度量张量的协变导数为零
.i j j .j m j j g s .m i ms m is 0 is is 0
.j s i .j s i
2. 置换张量的协变导数为零 （作业）
从而
g i g j ikj k g i ikj g j k
（逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号）
77
⑤与度量张量分量导数之间的关系
gij k g jk i g j gi g gi ki , j kj,i j k k
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： T f r 在空间中每一点定义一个张量 T 曲线坐标系回顾： 笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 r x1e1 x 2e2 x 3e3
x i 坐标线：只变化一个坐标 x i 时，矢径的轨迹。
直线坐标系下，坐标线都是直线。 当 x i x i 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 ， 3 坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： g i 所以：
曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数 基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：
g j
i k ij g k ij,k g k
其中组合系数
k ij 称为第二类 Christoffel 符号
ij,k 称为第一类 Christoffel 符号
Christoffel 符号是协变基矢量g [g1 (g 2 g 3 )] i i g g g 1 (g 2 g 3 ) g1 ( 2 g 3 ) g1 (g 2 3 ) i i i
k k k i1 g k (g 2 g 3 ) i2 g1 (g k g 3 ) i3 g1 (g 2 g k ) 2 3 (1 i1 i2 i3 )g1 (g 2 g 3 ) k ik g
gi
j
r i
x k i i e g ' k i' i i i
' '
x k ek i
g i'
j'
j g m em x
j j j j g j m em j g x
原因：
gi g j j x k j x m j e e i ij m m i k m i x x
从中可得 Christoffel 符号的一个重要性质：
k ik
1 g ln( g ) i i g
Hamilton 算子 定义：
gi i
运算规则：作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量 组成；基矢量指标与曲线坐标指标相同；基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与 张量之间的运算相同：
所以
s (AijBmn ) (s Aij )Bmn Aij (sBmn )
即：张量分量乘积的协变导数符合标量函数乘积的求导法则 该结论对高阶张量同样成立：
s (Aijk Bmn ) (s Aijk )Bmn Aijk (sBmn )
根据度量张量和置换张量协变导数为零的性质，可从上式中得到： 推论 1： s (Aijk g mn ) (s Aijk )g mn 推论 2： s (ijk Bmn ) ijk (s Bmn ) 4. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换：
mj i ② 含逆变指标的分量与第二类 Christoffel 符号相乘： T..kL ms
其中 ims 的逆变指标为张量分量的逆变指标 原张量分量的逆变指标与 ims 的第一个协变指标构成一对哑指标
ims 的第二个协变指标为曲线坐标的指标
ij ③ 含协变指标的分量与负第二类 Christoffel 符号相乘： T..mL m ks
(a) (b) (c)
k i j
ij,k ik, j
g ki jk ,i ij,k j
(b)+(c)-(a) 规则：
ij,k
1 g g ki gij ( jk ) 2 i j k
① 分别求度量张量分量对曲线坐标 i , j , k 的导数， 度量张量的分量指标按与曲线 坐标指标构成顺时针排序确定； ② 曲线坐标的指标为 i, j 时为正，曲线坐标的指标为 k 时为负； ③ 将所得结果相加的一半即为 ij,k 。 例题：求 g g1 (g 2 g3 ) 对曲线坐标的导数
78
T gi
T gi
T i
T i
T
T gi i
T i g i
（张量的左右梯度） （张量的左右散度） （张量的左右旋度）
T
T gi
T i
T i T i g
Hamilton 算子是一种不依赖坐标系的微分算子，计算结果与坐标系的选择无关：
k ij
g j
i
ij,k
g g m ij g k ij g kmg m g kmij
i
g k g km
g j
g m g kmij,m
④逆变基矢量的导数 由 gi g j ij 可知：
g j i gi g g 0 j k k
'
'
k
张量分量的协变导数 张量
k l 对曲线坐标的导数 T T.i .j kg l i g j g g
ij T T..kL gi g j g k g L s s g mj g m im T..kL g j g k g L T..kL gi m gk gL s s m g g m ij L ij k T..mLg i g j s g T..kmg i g j g s ij T mj i im j ij m k L ( ..kL T..kL ms T..kL ms T..mL ks T..ijkm m Ls )g i g j g g s ij k L ij k L s T..k L g i g j g g T..kL;s g i g j g g