全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 函数大题强化训练(解析版)
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何强化训练(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题13平面几何强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．2．【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值=________. 3．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的重心G 到平面α的距离为_______．4．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．5．【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.6．【2018年河北预赛】设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：_____.7．【2018年河北预赛】过动点M 作圆： ()()22221x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则MN 的最小值是__________．8．【2016年江西预赛】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 为正三角形,AD=BD=2,AD ⊥BD,AD ⊥CD.则点D 到面ABC 的距离为______.9．【2016年北京预赛】如图，与正方形的边分别切于点，与边交于点厘米，厘米.则的面积为__________平方厘米10．【2016年北京预赛】如图，切于点交于点交于点于点.联结并延长，与交于点，联结.若，则的度数为__________.11．【2016年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足.则的最大值为________.12．【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可以取到的最大值为______.13．【2018年河北预赛】如图，设的外接圆为的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若的外接圆分别与AB、AC交于P、Q、N为PQ的中点.证明：（1）BP=CQ；（2）.14．【2018年辽宁预赛】如图，交于点的另一个交点为，经过点的一条直线分别与交于点的延长线与交于点，作交于点，再作分别与切于点.证明：.15．【2018年江西预赛】如图，的内心为分别是边的中点，证明：直线平分的周长．。
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题1．【2014年全国联赛】设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.【答案】【解析】如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上.设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点.由于，故，，①其中，.由，知.于是，.故②据式①、②知当P与重合时，的最大值为.2．【2018年全国联赛】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC 的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.求证：若BN=EM，则DF⊥FG.（答题时请将图画在答卷纸上）【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD.记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB.由NB⊥AB可知：∠NBE=∠ABE-∠ABN=（180°-∠ADE）-90°=90°-∠ADE=∠MEI.①又根据内心的性质，有:∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI.结合BN=EM及①知，.于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆.进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。
再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D五点共圆.从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG.3．【2017年全国联赛】如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。
4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为A P的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______. 7．【2012年全国联赛】设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.8．【2011年全国联赛】在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.9．【2010年全国联赛】已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.1．【2018年浙江】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.2．【2018年山西】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 3．【2018年福建】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.4．【2018年江苏】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.5．【2018年湖南】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___. 6．【2018年重庆】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HP C的体积最大时，OB的长为________．7．【2018年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.8．【2018年安徽】在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量强化训练(汇编)(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题17立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年河北预赛】若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则，得,故，所以.2．【2018年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.【答案】【解析】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：3．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC ，,则该四面体外接球的半径为________.【答案】【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则，所以四面体外接球的半径为.4．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD 中，已知，则异面直线AC 与BD所成角的正弦值是_____. 【答案】1 【解析】 因为，故，因此异面直线AC 与BD所成角的正弦值是1. 故答案为：15．【2018年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______． 【答案】【解析】 设菱形两对角线的交点为，则既是线段的中垂线，又是的中垂线，故是四棱锥的高，且点上，于是平面与底面垂直，同理平面与与底面垂直，平面将四棱锥分成两个等积的四面体． 只需考虑四面体．如图，设点在面上的投影为，平面过点，且交，因，则四点共圆．由于，得，由，得，所以，故．在面内的射影，则，即二面角的平面角，于是．据，得，故直线三角形中，．因，所以是正三角形，即．在直角中，，则，故正的边长为4，于是．在直线中，，从而．故答案为：6．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH 上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r ，由△DOF～△EAF，得.而,所以.7．【2018年湖南预赛】已知二面角为60°，动点P、Q 分别在面内，P 到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．【答案】【解析】试题分析：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，,∴AC=PD=2,故,当且仅当点A与P重合时取得最小值.。
2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 数列 真题汇编与预赛典型例题(解析版)
专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。
则的所有可能值为___________。
【答案】13、20【解析】由条件，知均为正整数，且。
由于，故.反复运用数列的递推关系知，。
而，故①注意到，则②当时，式①②分别化为无解。
当时，式①②分别化为得到唯一的正整数，此时。
当时，式①②分别化为：，得到唯一的正整数此时综上，的所有可能值为13、20。
故答案为：13、203．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.【答案】【解析】由题意知记数列的前n项和为.则.上面两式相减得故.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.【答案】491【解析】令.则对每个符合条件的数列，满足条件，且.反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，故.因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 【答案】15【解析】注意到.要使为整数，必有均为整数，即.当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.当时，，在中，中因数2的个数为.同理，可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110.故中因数2的个数为.从而，是整数.当时，.同理，中因数2的个数小于10.从而，不是整数.因此，整数项的个数为.故答案为：157．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.【答案】【解析】设的公差为的公比为.则解得.从而对一切正整数都成立.于是，.解得.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.【答案】答案见解析【解析】取最小值时.每个或1，.设中，n有个.则任意.令，则.由隔板法的解数为.因此所求有个，最小值.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编函数大题强化训练(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围. 2．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.3．【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 4．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．5．【2018年湖南预赛】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．6．【2018年湖南预赛】已知函数.(1)当时，求满足的值；(2)若函数是定义在R上的奇函数，函数满足，若对任意≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值.7．【2018年重庆预赛】设函数（a≠0）满足，求当的最大值．8．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．9．【2018年湖南预赛】已知二次函数.（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数，使得当时，的值域为区间D，且D的长度为. （注：区间的长度为）.10．【2018年湖北预赛】对任意正整数，定义函数如下：①；②；③.（1）求的解析式；（2）设是数列的前项和，证明：. 11．【2018年山东预赛】实数满足，试求的最大值．12．【2018年河北预赛】若函数的定义域为且满足条件：①存在实数，使得；②当时，有恒成立.（1）证明：（其中）；（2）判断上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 13．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.。
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全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)
1．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围.
【答案】
【解析】
解1：，对于，
所以只要考虑.
（1）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有
，所以，
解得
（2）当时，即，此时函数的最值在拋物线的顶点和右端点取得，
而对b=0有.
（3）当时，即时，此时函数的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0
有.
（4）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意
，所以,解得.
综上或.
解2：设，则有依题意，
，或.
2．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.
【答案】最大值为最小值为.
【解析】
易知函数定义域为全体实数，由于，令，则，
所以，因此；函数y最大值为最小值为.
3．【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.
已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.
【答案】4750
【解析】
在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=b=a，得
f(0)=f(0)+f(0)+0+2，于是f(0)=－2.
在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=2，b=－2，得f(0)=f(2)+f(－2)－4+2.
∴－2=f(2)_3－4+2，f(2)=3.
在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=n－2，b=2，得
f(n)=f(n－2)+f(2)+2(n－2)+2=f(n－2)+3+2(n－2)+2=f(n－2)+2n+l.
∴f(n)－f(n－2)=2n+1.
∴f(96)－f(94)=2×96+1，
f(94)－f(92)=2×94+1，
f(94)－f(92)=2×94+1，
……
上述等式左右两边分别相加，得f(96)－f(2)=2(96+94+…+4)+47.
∴.
4．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．
【答案】
【解析】
令u=x－1，则，则
设，则，且
当u>0时，．
由于0<t≤1，故函数单调递减，所以y≥1+2+3=6
当u<0时，（当且仅当，即时取等号）
所以函数的值域为.
故答案为：
5．【2018年湖南预赛】已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）减区间为；增区间为；（2）．
【解析】
试题分析：
（1）当时，，由可得函数的定义域为，结合图象可得函数的减区间为，增区间为。
（2）令，分两种情况考虑。
当时，
若满足题意则上单调递减，且；当时，若满足题意则上单调递增，且。
由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围。
试题解析：
（1）当时，，
由，得，
解得，
所以函数的定义域为，
结合图象可得函数的减区间为，增区间为。
（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当时，。