江苏2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.6对数与对数函数教师用书文苏教版
(课标通用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.6 对数与对数函数学案 理
§2.6 对数与对数函数考纲展示► 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案：x ＝log a N a N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝____________； ②log a MN＝____________； ③log a M n＝________(n ∈R )； ④log a m M n＝n mlog a M .(2)对数的性质： ①alog aN＝________；②log a a N＝________(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于0且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.答案：(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M (2)①N ②N (3)②log a d(1)[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( ) A.12 B ．1 C ．10 D ．100答案：B(2)[教材习题改编](log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12 C ．2 D ．4 答案：D(3)[教材习题改编]已知log 53＝a ，log 54＝b ，lg 2＝m ，求lg 3a ＋lg 4b的值(用m 表示)．解：lg 3a ＋lg 4b ＝lg 3lg 3lg 5＋lg 4lg 4lg 5＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m )．误用对数运算法则．(1)log 334－log 394＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝________.(2)(log 29)·(log 34)＝________. 答案：(1)2 (2)4解析：(1)原式＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34÷94＋31＝log 313＋3＝－1＋3＝2.(2)解法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.解法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.[典题1] (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100[答案] A[解析] 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.(2)计算：log 222＝________； 2log 23＋log 43＝________；(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. [答案] －12 3 3 2[解析] log 222＝log 22－log 22＝12－1 ＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23 ＝3 3. (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．[答案]124[解析] 因为2＋log 23＜4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23＞4，所以f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 log 23＝18×13＝124. [点石成金] 对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点2 对数函数的图象及应用对数函数的图象(1)[教材习题改编]函数y ＝log 2(x ＋1)的单调递增区间是________． 答案：(－1，＋∞)解析：由x ＋1>0得x >－1，且函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．(2)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过的点是________．答案：(2,2)解析：因为对数函数y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过点(2,2)．对数函数常见两误区：概念；性质． (1)函数f (x )＝lg x －3x ＋2的定义域是________，函数g (x )＝lg(x －3)－lg(x ＋2)的定义域是________．答案：{x |x >3或x <－2} {x |x >3} 解析：由x －3x ＋2>0得x >3或x <－2， 所以函数f (x )＝lgx －3x ＋2的定义域为{x |x >3或x <－2}； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －3>0 得x >3，所以函数g (x )＝lg(x －3)－lg(x ＋2)的定义域是{x |x >3}．可以看出f (x )与g (x )不是同一函数．(2)[2014·天津卷]函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 答案：(－∞，0)解析：函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．[典题2] (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1 [答案] D[解析] 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1. 又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1. (2)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[答案] B[解析] 由题意，得当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，4 12 ＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. [题点发散1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)时恒成立”，如何求解？解：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图．要使当x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)， 即(2－1)2≤log a 2， 又即log a 2≥1，所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．[题点发散2] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x －1)2<log a x 恰有三个整数解”，如何求解？解：不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出图象可知a >1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a－2，log a －2，得165≤a <94.即实数a 的取值范围为[165，94)．[点石成金] 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.1.函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )A BC D答案：D解析：f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知选D.2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1答案：D解析：作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨设x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10 x2＝－lg(－x2)，此时10 x1<10 x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.考点3 对数函数的性质及应用1.对数函数的性质答案：(0，＋∞)(1,0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 增减2．反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．答案：y＝x[考情聚焦] 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要有以下几个命题角度：角度一比较大小[典题3] (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b[答案] D[解析] ∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c＞1，∴c ＞a ＞b .(2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜y C ．z ＜y ＜x D ．y ＜z ＜x[答案] D[解析] ∵x ＝ln π＞ln e ，∴x ＞1. ∵y ＝log 52＜log 55，∴0＜y ＜12.∵z ＝e －12 ＝1e ＞14＝12，∴12＜z ＜1.综上可得，y ＜z ＜x .[点石成金] 比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法，根据图象观察得出大小关系． 角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围[典题4] (1)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞) [答案] D[解析] 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0.(3)函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．[答案] 12[解析] y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同． ①当a ＞1时，f (x )的最大值为f (1)，最小值为f (0)． ②当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为f (0)，最小值为f (1)．∴不论a ＞1还是0＜a ＜1都有f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12.[点石成金] 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2．对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．角度三对数函数性质的综合问题[典题5] (1)设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0,1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为( )A.14 B ．14或23 C.23D ．23或34[答案] C[解析] 作出y ＝|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a＝－aa －a<0，故1－a <1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.(2)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列结论：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数． 其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①③④[解析] 因为函数f (－x )＝lg －x 2＋1|－x |＝lg x 2＋1|x |＝f (x )，所以函数为偶函数，即图象关于y轴对称，故①正确．因为函数y ＝x ＋1x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝|x |＋1|x |在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函数，故②错，④正确．③因为x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，所以f (x )≥lg 2，即最小值为lg 2，故③正确．[点石成金] 解决对数函数综合问题时，要注意以下三点： (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.[方法技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．比较幂、对数大小有两种常用方法 (1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防范] 1.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围．真题演练集训1．[2015·湖南卷]设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵ f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴ f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x －11－x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A.2．[2015·陕西卷]设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q答案：C解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .3．[2014·天津卷]函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.4．[2014·福建卷]若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A BC D答案：B解析：因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.5．[2016·浙江卷]已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案：4 2解析：由于a >b >1，则log a b ∈(0,1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12 ＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.6．[2015·浙江卷]若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案：433解析：∵ a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，∴ 2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋2log 233 ＝3＋33＝433.课外拓展阅读数形结合思想在对数函数中的应用[典例] [2017·江西七校联考]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1<x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪[5，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，1∪(1,5] [审题视角] 当函数y ＝f (x )与y ＝log a |x |有5个交点时，求实数a 的取值范围．[解析] 依题意知，函数f (x )的周期为2，在平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图．结合图象可知，要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0<a <15或a ≥5，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞)．故选B. [答案] B。
(通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ26对数与对数函数学案理!
§2.6对数与对数函数考纲展示 ? 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x 互为反函数( a>0，且 a≠1)．考点 1对数的运算1.对数的概念如果 a x＝ N( a>0且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作________，其中________ 叫做对数的底数，________叫做真数．答案： x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果 a>0且 a≠1， M>0， N>0，那么①l og a( MN)＝ ____________；M②l og a N＝ ____________ ；n③log a M＝ ________( n∈R) ；m n n④log a M＝ log a M.m(2)对数的性质：①a l og N N 且 a≠1)．a a(3)对数的重要公式：log a N①换底公式： log b N＝log a b( a，b均大于 0 且不等于1) ；1②log a b＝log b a，推广 log a b·log b c·log c d＝ ________.- 1 -答案： (1) ①log a M ＋ log a N ② log a M －log a N ③ n log a M (2) ①N ②N (3) ② log a d(1)[ 教材习题改编 ]lg 5＋ lg 20的值是 ( )1A. 2 B ．1 C ．10 D ．100答案： B(2)[ 教材习题改编 ](log 29) ·(log 34) ＝ ( )11A.B ．4 2 C ．2D ．4答案： D(3)[ 教材习题改编 ] 已知 log 53＝ ， log 54＝ ， lg 2 ＝ ，求lg 3＋lg 4的值 ( 用表示 )． abmabmlg 3lg 4lg 3 lg 4 ＝2lg 5解： a ＋ b＝lg 3＋lg 4lg 5 lg 5＝ 2(1 － lg 2) ＝ 2(1 －m ) ． 误用对数运算法则．(1)log33－ log39＋ 1－1＝ ________.44 3(2)(log 29) ·(log 34) ＝ ________. 答案： (1)2(2)43 9 11解析： (1) 原式＝ log 3 4÷4 ＋3＝ log 33＋ 3＝－ 1＋ 3＝2.lg 9 lg 4(2)解法一：原式＝ lg 2 · lg 32lg 3 ·2lg 2 ＝ 4.＝ lg 2 ·lg 3 log 24解法二：原式＝2log 23·log 23- 2 -＝ 2×2＝ 4.ab1 1[典题 1] (1)设2 ＝ 5＝m ，且 a ＋ b ＝ 2，则 m＝ ( )A. 10 B ．10C ．20D ．100[ 答案]A[ 解析]2 51 1 1由已知，得 a ＝ log m ， b ＝ log m ，则 a ＋b ＝log1＋ ＝ log m 2＋ log m 5＝ log m 10 2m log 5m ＝ 2. 解得 m ＝ 10.2(2) 计算： log 2 2 ＝ ________；2log2 3＋log 43＝________；(lg 2) 2＋lg 2 ·lg 50 ＋ lg 25 ＝________.[ 答案]－1 33 2221[ 解析]log 2 2 ＝ log 2 2－ log 22＝ 2－ 11＝－ ；22 log3 log 3log 3log 3log 32＋4 ＝ 22·24＝3×24log 2 3＝3×2＝3 3.(lg 2)2＋lg 2 ·lg 50 ＋ lg 25＝(lg 2) 2＋ (1 ＋ lg 5)lg2 ＋ lg 52＝(lg 2 ＋ lg5 ＋ 1)lg 2 ＋ 2lg 5 ＝(1 ＋ 1)lg 2 ＋ 2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5) ＝2.1 x ， x ≥4，(3) 已知函数 f ( x ) ＝2则 f (2 ＋ log 23) 的值为 ________．f x ＋ 1 x <4，[ 答案]1 24- 3 -[ 解析 ]因为 2＋ log 23＜4，所以 f (2＋log 23)＝ f (3＋log 23)， 而 3＋ log 23＞ 4，13 log 311log 3所以 f (3＋log 23)＝2＋2 ＝8×221 11 ＝×＝.8 3 24[ 点石成金 ]对数运算的一般思路(1) 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式， 使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2) 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点 2对数函数的图象及应用对数函数的图象y ＝ log aa >1 0< <1x a图象(1)[ 教材习题改编 ] 函数y ＝ log 2( x ＋ 1) 的单调递增区间是________． 答案： ( － 1，＋∞)解析： 由 x ＋1>0得 x >－1，且函数 y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递 增区间是 ( － 1，＋∞ ) ．(2) 函数y ＝log a ( x － 1) ＋2( a >0，a ≠1) 的图象恒过的点是________．- 4 -答案： (2,2)解析： 因为对数函数 ＝ log x 的图象恒过点 (1,0) ，所以函数 y ＝log ( x － 1) 的图象恒过yaa点 (2,0) ，所以函数y ＝ log a ( x － 1) ＋2 的图象恒过点 (2,2) ． 对数函数常见两误区：概念；性质．x －3(1) 函数f ( x )＝lg x ＋2的定义域是________，函数g ( x )＝lg( x －3)－lg( x ＋2)的定义域 是 ________．答案： { x | x >3 或x <－2} { x | x >3}x －3解析： 由x ＋2>0 得x >3 或x <－ 2，x －3所以函数 f ( x ) ＝ lg x ＋2的定义域为 { x | x >3 或 x <－2} ；x ＋ 2>0，由得 x >3，所以函数 g ( x ) ＝lg( x － 3) － lg( x ＋2) 的定义域是 { x | x >3} ．可以x － 3>0看出 f ( x ) 与 g ( x ) 不是同一函数．(2)[2014 ·天津卷 ] 函数 f ( x ) ＝lg x 2 的单调递减区间是 ________． 答案： ( －∞， 0)解析：函数 f ( x ) ＝ lg x 2 的单调递减区间需满足 x 2>0 且 y ＝ x 2 单调递减， 故 x ∈( －∞，0) ．[典题 2](1) 已知函数 y ＝ log a ( ＋ )( ， c 为常数，其中＞0，且 ≠1) 的图象如图，x c a a a则下列结论成立的是()- 5 -A ．a ＞ 1，c ＞ 1B ．a ＞ 1,0 ＜c ＜ 1C ．0＜a ＜ 1，c ＞ 1D ．0＜a ＜ 1,0 ＜c ＜ 1 [ 答案] D[ 解析]由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜ a ＜1.又当 x ＝ 0 时， y ＞ 0，即 log a c ＞0，所以 0＜ c ＜ 1.1 x＜ log a x ，则 a 的取值范围是 () (2) 当 0＜ x ≤ 时， 42A.2B ．20， 22 ， 1C ．(1 ， 2)D ．( 2， 2)[ 答案] B[ 解析 ]由题意，得当 0＜a ＜ 1 时，要使得 4x＜ log a x 0<x ≤1， 21 x即当 0＜ x ≤2时，函数 y ＝4的图象在函数 y ＝ log a x 图象的下方．11 2x1又当 x ＝ 2时， 4＝2，即函数 y ＝ 4 的图象过点 ， 2.2把点 1x ，得 a 2， 2 代入函数 ＝ log ＝ .y2a2xy ＝ log x 图象的下方，则需2若函数 y ＝ 4 的图象在函数a- 6 -当 a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数 a 的取值范围是2，1 .2[ 题点发散 1] 若将本例 (2) 中的条件换为“不等式 ( x － 1) 2a时恒成<log x 在 x ∈ (1,2)立”，如何求解？解：设 f 1( x )＝( x －1)2，f 2( x )＝log a x ，要使当 x ∈(1,2)时，不等式( x －1)2<log a x 恒成立，只需 f1( x )＝( x －1)2在(1,2)上的图象在 f 2( x )＝log a x 图象的下方即可．当 0<a <1 时，显然不成立； 当 a >1时，如图．要使当 x ∈(1,2)时 f 1(x ) ＝(x － 1)2的图象在 f 2(x ) ＝log a x 的图象下方，只需 f 1(2) ≤ f 2(2) ，即(2 － 1) 2≤log a 2，又即 log a 2≥1，所以 1< ≤2，即实数a 的取值范围是 (1,2] ．a[ 题点发散 2] 若将本例 (2) 中的条件换为“不等式2a( x － 1) <log x 恰有三个整数解”，如何求解？解：不等式 log a>( － 1) 2 恰有三个整数解，画出图象可知 a >1，其整数解集为 {2,3,4} ，x xa12log 4> ，则应满足log a 5≤5－ 12，- 7 -169得5≤a< 4.即实数 a 的取值范围为[165，94)．[ 点石成金 ]在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点( 与坐标轴的交点、最高点、最低点等) 排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.1. 函数f ( x) ＝ lg1的大致图象为 () | x＋1|ABCD答案： D解析：f ( x)＝lg1y＝－lg| x|的图象左移 1 个单位＝－ lg| x＋ 1| 的图象可由偶函数| x＋1|- 8 -得到．由 y＝－lg| x|的图象可知选D.2．设方程x ＝|lg( － x)|的两个根分别为x ， x ，则()101 2A．x1x2<0 B．x1x2＝ 0C．1x 2>1 D．0< 1x2<1x x答案： D解析：作出 y＝10 x与 y＝|lg( － x)|的大致图象，如图．显然 x1<0， x2<0.不妨设 x1<x2，则 x1<－1<x2<0，所以 10x1＝ lg( －x1) ， 10 x2＝－ lg( －x2) ，此时 10 x1<10 x2，即 lg( －x1)< － lg( －x2) ，由此得 lg( x1x2)<0 ，所以 0<x1x2<1.考点 3对数函数的性质及应用1.对数函数的性质- 9 -答案： (0 ，＋∞)(1,0)1 0y>0y<0y<0y>0增减2．反函数指数函数 y＝a x( a>0且 a≠1)与对数函数y＝log a x( a>0且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 ________对称．答案： y＝ x[ 考情聚焦 ]对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要有以下几个命题角度：角度一比较大小[ 典题 3] (1) 设a＝ log 32，b＝ log 52，c＝log 23，则 ()A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b-10-[ 答案] D[ 解析] ∵ 3＜ 2＜3,1 ＜ 2＜5， 3＞2，∴log3 3＜ log 2＜ log 3，log 1＜ log 2＜ log55，log 3＞ log 2，∴ ＜a＜ 1,0 ＜b＜，c3 3 5 5 2 2 1 12 2＞1，∴c＞ a＞ b.1(2) 已知x＝ln －2 ，则()π， y＝log 2， z＝e5A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x[ 答案] D[ 解析] ∵x＝ln π＞ ln e ，∴x＞ 1.∵y＝log 5 5 12＜ log21－2 1 1 1 1∵z＝e ＝＞＝，∴ ＜ z＜1.e 4 2 2综上可得， y＜ z＜ x.[ 点石成金 ]比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“ 0”“ 1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法，根据图象观察得出大小关系．角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围[典题 4] (1) 函数f (x) ＝ log a(－ 3) 在[1,3] 上单调递增，则a的取值范围是 () axA．(1 ，＋∞)B．(0,1)C. 0，1D．(3 ，＋∞) 3[ 答案] D[ 解析] 由于 a>0，且 a≠1，∴u＝ ax－3为增函数，∴若函数 f ( x)为增函数，则 f ( x)＝log a u 必为增函数，因此 a>1.又 u＝ ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即 a>3.-11-log 2x ，x >0，(2) 设函数f ( x ) ＝log 1xx <0.若 f ( ) ＞ (－ )，则实数a 的取值范围是a f a2()A ．( － 1,0) ∪ (0,1)B ．( －∞，－ 1) ∪ (1 ，＋∞)C ．( － 1,0) ∪ (1 ，＋∞)D ．( －∞，－ 1) ∪ (0,1) [ 答案] C [ 解析]由题意可得，a >0，a <0，或 log 1aalog 2 >－ log 22a a2解得 a ＞ 1 或－ 1＜ a ＜0.(3) 函数 f ( x ) ＝ a x ＋ log a ( x ＋ 1) 在[0,1] 上的最大值和最小值之和为a ，则 a 的值为________．[ 答案]12[ 解析]y ＝a x 与 y ＝ log a ( x ＋ 1) 的单调性相同．①当 a ＞ 1 时， f ( x ) 的最大值为 f (1) ，最小值为 f (0) ． ②当 0＜ a ＜1 时， f ( x ) 的最大值为 f (0) ，最小值为 f (1) ．∴不论 a ＞ 1 还是 0＜a ＜ 1 都有 f (0) ＋ f (1)aa1＝ a ，即 a ＋ log 1＋ a ＋ log 2＝ a ，解得 a ＝2. [ 点石成金 ] 1. 解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值， 再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2．对数函数的单调性和底数 a 的值有关， 在研究对数函数的单调性时， 要按 0<a <1 和 a >1 进行分类讨论．角度三对数函数性质的综合问题[典题 5](1) 设函数 f ( x ) ＝|log x |(0<a <1) 的定义域为 [ m ， n ]( m <n ) ，值域为[0,1]，若a1n － m 的最小值为 3，则实数 a 的值为 ()1 12 A. 4 B ．4或3 C.2D ．2或 3 33 4-12-[答案] C1[ 解析 ]作出 y ＝ |log a x |(0<a <1) 的大致图象如图所示，令|log a x | ＝ 1，得x ＝a 或x ＝a ，1 1－ a aa － 1 1 又 1－ a － a － 1 ＝ 1－a － a ＝a<0，故 1－ a <a － 1，12 所以 n － m 的最小值为1－ a ＝ ， a ＝.33x 2＋ 1(2) 关于函数 f ( x ) ＝ lg | x | ( x ≠0) ，有下列结论：①其图象关于 y 轴对称；②当 x >0 时， f ( x ) 是增函数；当 x <0 时， f ( x ) 是减函数； ③f ( x ) 的最小值是 lg 2 ；④f ( x ) 在区间 ( － 1,0) 和 (1 ，＋∞ ) 上是增函数． 其中所有正确结论的序号是 ________．[ 答案]①③④x2＋1x 2 ＋1[ 解析] 因为函数 f ( － x ) ＝ lg| － x |＝ lg| x | ＝ f ( x ) ，所以函数为偶函数， 即图象关于 y轴对称，故①正确．因为函数y1＝ ＋ 在 (0,1) 上单调递减，在 (1 ，＋∞ ) 上单调递增，所xx1以函数 y ＝ | x | ＋| x | 在 ( －∞，－ 1) 和 (0,1) 上单调递减，在 ( － 1,0) 和 (1 ，＋∞ ) 上单调递增，从而函数 f ( x ) 在区间 ( － 1,0) 和 (1 ，＋∞ ) 上是增函数，在区间 ( －∞，－ 1) 和 (0,1) 上是减函x 2＋ 11 1数，故②错，④正确．③因为 | x | ＝ | x | ＋ | x | ≥2 | x | · | x | ＝ 2，所以 f ( x ) ≥lg 2 ，即最小值为 lg 2 ，故③正确．-13-[ 点石成金 ]解决对数函数综合问题时，要注意以下三点： (1) 要分清函数的底数是 a ∈ (0,1) ，还是 ∈(1 ，＋∞ ) ；a(2) 确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3) 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. [ 方法技巧 ] 1. 对数值取正、负值的规律当 a >1且 b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0；当a >1且0<b <1或0<a <1且 b >1时，log a b <0.2．比较幂、对数大小有两种常用方法 (1) 数形结合；(2) 找中间量结合函数单调性．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标 进行判定．α[ 易错防范 ]1. 在运算性质 log a M ＝α log a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应α*为 log a M ＝αlog a | M |( α∈ N ，且α为偶数 ) ．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1) 务必先研究函数的定义域； (2) 注意对数底数的取值范围．真题演练集训 1．[2015 ·湖南卷 ] 设函数 f ( x ) ＝ ln(1 ＋x ) － ln(1 － x ) ，则 f ( x ) 是 ( )A ．奇函数，且在 (0,1) 上是增函数B ．奇函数，且在 (0,1) 上是减函数C ．偶函数，且在 (0,1) 上是增函数D ．偶函数，且在 (0,1) 上是减函数 答案： A1＋ x >0，得－ 1< <1，则函数的定义域为( － 1,1) ．又∵ f ( － ) ＝ ln(1)解析： 由－ 1－ x >0，xxx1 1－ ln(1 ＋ x ) ＝－ f ( x ) ，∴ f ( x ) 为奇函数． f ′(x ) ＝ 1＋x － 1－ x ，当 x ∈ (0,1) 时， f ′(x )>0 ， 故 f ( x ) 在 (0,1) 上为增函数．故选 A.a ＋ b12．[2015 ·陕西卷 ] 设 f ( x ) ＝ ln x, 0＜ a ＜ b ，若 p ＝ f ( ab ) ， q ＝ f 2 ， r ＝2[ f ( a ) ＋-14-f ( b)]，则下列关系式中正确的是( )A．＝＜p B．＝＞pq r q r C．p＝r＜q D．p＝r＞q答案： C解析：因为 b＞ a＞0，故a＋bab.又 f ( x)＝ln x( x＞0)为增函数，所以 fa＋b＞＞221 1f ( ab)，即 q＞p.又 r ＝2[ f ( a)＋f ( b)] ＝2(ln a＋ln b)＝ln ab＝ p.3．[2014 ·天津卷 ] 函数f ( x) ＝log 1 ( x2－4) 的单调递增区间为 ( )2A．(0 ，＋∞)B．( －∞， 0)C．(2 ，＋∞)D．( －∞，－ 2)答案： D解析：函数＝(x ) 的定义域为 ( －∞，－2) ∪ (2 ，＋∞ ) ，因为函数y＝(x) 是由y＝ log1y f f2t 与 t ＝g( x)＝ x2－4 复合而成，又 y＝log 1 t 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减，g( x) 在( －∞，－ 2)2上单调递减，所以函数y＝f ( x)在(－∞，－2)上单调递增．故选 D.4．[2014 ·福建卷 ] 若函数y ＝ log ( ＞0，且 a ≠1) 的图象如图所示，则下列函数图象正x aa确的是 ( )AB-15-CD答案： B解析：因为函数y＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a3，解得 a＝3，所以 y＝3－x不可能过点 (1,3) ，排除 A；y＝ ( －x) 3＝－x3不可能过点 (1,1) ，排除 C；y＝ log 3( －x) 不可能过点 ( － 3，－1) ，排除 D. 故选 B.5．[2016 ·浙江卷 ] 已知a>b>1，若 log b＋log 5 b aa b答案：4 2ab∈(0,1) a b 5 a 15解析：由于 a>b>1，则log ，因为 log b＋ log a＝2，即log b＋log a b＝2，所以11 2 2 b 2 b2b alog a b＝2或 log a b＝ 2( 舍去 ) ，所以 a ＝ b，即 a＝b ，所以 a ＝( b )＝ b ＝ b ，所以 a＝2b，b2＝2b，所以 b＝2( b＝0舍去)， a＝4.6．[2015 ·浙江卷 ] 若a＝ log 43，则 2a＋ 2－a＝ ________.43答案：31解析：∵ a＝log43＝log223＝log23＝log23，23log 2 3 －log 2 3 log 23∴ 2 a＋ 2－a＝ 2 ＋ 2 ＝ 3＋23 4 3＝3＋3＝3 .课外拓展阅读数形结合思想在对数函数中的应用-16-[ 典例 ] [2017 ·江西七校联考 ] 已知定义在 R 上的函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝f ( x ) ，当3a个零点，则实数 a 的取值范围－ 1<x ≤1时， f ( x ) ＝ x ，若函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － log | x | 至少有5 是 ()A ．(1,5)1B. 0，5∪ [5 ，＋∞)1 C. 0，5∪ [5 ，＋∞)1D.， 1 ∪ (1,5]5[ 审题视角 ]当函数 y ＝ f (x ) 与 y ＝ log a |x | 有 5 个交点时，求实数a 的取值范围．[ 解析 ]依题意知， 函数 f (x ) 的周期为 2，在平面直角坐标系内画出函数y ＝f ( x )与函数 y ＝log a | x |的图象，如图．1结合图象可知，要使函数g ( x )＝ f ( x )－log a | x |至少有5个零点，则有0<a <5或a ≥5，即1 实数 a 的取值范围是0，5∪ [5 ，＋∞ ) ．故选B. [答案]B-17-。
江苏2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值教师用书文苏教版
2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值【知识拓展】 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)所有的单调函数都有最值.( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ )1.(教材改编)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________.(填序号) ①y ＝1x；②y ＝2x －1；③y ＝1－x ；④y ＝(2x －1)2. 答案 ②解析 ①y ＝1x在(0,2)上为减函数；②y ＝2x －1在(0,2)上为增函数； ③y ＝1－x 在(0,2)上为减函数；④y ＝(2x －1)2在(－∞，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数.2.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为____________；单调减区间为____________.答案 [0，＋∞) (－∞，0)解析 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数.3.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是[a ，＋∞)， 由[1,2]⊆[a ，＋∞)，可得a ≤1.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________. 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞). 5.(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为____________. 答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0,1]解析 (1)因为y ＝12log t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性.解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－x 22－＝a x 2－x 1x 1x 2＋x 21－x 22－1∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数. 引申探究如何用导数法求解例2? 解 f ′(x )＝ax 2－－ax ·2x x 2－2＝－a x 2＋x 2－2，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1,1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为__________.(2)函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是________________. 答案 (1)[3，＋∞) (2)(－3,1)解析 (1)设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).(2)f ′(x )＝－2x ·e x ＋e x (3－x 2)＝e x (－x 2－2x ＋3)＝e x[－(x ＋3)(x －1)]. 当－3<x <1时，f ′(x )>0，所以函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(－3,1). 题型二 函数的最值例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞).(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－a x2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1].思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝x －2＋x －＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2 x －9x －1＋2＝8， 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8. 方法二 (导数法)f ′(x )＝x －x ＋x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去). 当1<x <4时，f ′(x )<0，f (x )在(1,4)上是递减的；当x >4时，f ′(x )>0，f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________. 答案 b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2017·苏州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足f (19log x )>0的x 的集合为________________.答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由f (19log x )>0，得19log x >12，或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________. 答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，－a＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2).思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝x (e x－1ex )，若f (x 1)<f (x 2)，则下面正确的式子为________. ①x 1>x 2; ②x 1＋x 2＝0； ③x 1<x 2; ④x 21<x 22.(2)(2016·宿迁模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)④ (2)(－∞，－4)解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x)＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|， ∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数. 又函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.1.解抽象函数不等式典例(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数. [7分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[9分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2). [14分]解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.1.(2016·南京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是________. ①y ＝－x ＋1； ②y ＝11－x ；③y ＝－(x －1)2；④y ＝31－x.答案 ②解析 ①中，函数在(1，＋∞)上为减函数，③中，函数在(1，＋∞)上为减函数，④中，函数在(1，＋∞)上为减函数.2.(2016·无锡二模)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 3.定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，－a2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [4,8)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a －a2＋2，解得4≤a ＜8.5.(2016·兰州模拟)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是____________.答案 [12，23)解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，即12≤x <23. 6.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.答案 3解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.8.(2017·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________. 答案 32解析 方法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数，∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.方法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.9.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.函数的单调递增区间为[－a2，＋∞)，∴－a2＝3，∴a ＝－6.10.(2016·连云港调研)已知a >0且a ≠1，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，2＋log a x ，x >3的最大值为1，则a 的取值范围为______________. 答案 [13，1)解析 f (x )在(－∞，3]上是增函数，则f (x )max ＝1. ∵f (x )在R 上的最大值为1，∴0<a <1，且2＋log a 3≤1，解得13≤a <1，∴a 的取值范围是[13，1).11.(2016·江苏新海中学期中)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0,1]内有一个最大值－5，则a 的值为________. 答案 54解析 f (x )＝－4(x －a2)2－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为(a2，－4a ).①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增.∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1＜2(舍去).②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f (a2)＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2).12.(2016·江苏泰州中学月考)已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 二次函数y ＝x 2－2x －t 图象的对称轴为x ＝1，函数y ＝|x 2－2x －t |的图象是将二次函数y ＝x 2－2x －t 的图象在x 轴下方的部分翻到x 轴上方(x 轴上方部分不变)得到的.由区间[0,3]上的最大值为2，知y max ＝f (3)＝|3－t |＝2，解得t ＝1或5；检验t ＝5时，f (0)＝5>2不符，而t ＝1时满足题意.13.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (x )＋f (y )＝f (xy ).(1)求证：f (x )－f (y )＝f (x y)； (2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f (1x －12)≥－12. (1)证明 由条件f (x )＋f (y )＝f (xy )可得f (x y )＋f (y )＝f (x y·y )＝f (x )， 所以f (x )－f (y )＝f (x y). (2)解 因为f (4)＝－4， 所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8，f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)可得f (x )－f (1x －12)＝f (x (x －12))， 又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1x －12>0⇒x >12，由f (x )－f (1x －12)≥－12， 即f (x (x －12))≥f (64)，所以x (x －12)≤64. 所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0， 得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12,16]. 故原不等式的解集为{x |12<x ≤16}.14.(2016·江苏南通中学质检)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ≥－1，－x ＋2＋x <－，其大致图象如图所示.由图易知函数f(x)在区间(－∞，－2]，(－1,0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减.(2)易知2a2＋a＋1>0且3a2＋2a＋1>0恒成立，由(1)知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故由f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1)，得2a2＋a＋1>3a2－2a＋1，即a2－3a<0，解得0<a<3，∴a的取值范围为{a|0<a<3}.。
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第二章函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书理苏教版1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得条件 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0) 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)结论 f (x 0)为最大值 f (x 0)为最小值【知识拓展】 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)所有的单调函数都有最值.( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ )1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是________.(填序号) ①y ＝1x；②y ＝2x －1；③y ＝1－x ；④y ＝(2x －1)2.答案 ②解析 ①y ＝1x在(0，2)上为减函数；②y ＝2x －1在(0，2)上为增函数； ③y ＝1－x 在(0，2)上为减函数；④y ＝(2x －1)2在(－∞，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数.2.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__________；单调减区间为__________.答案 [0，＋∞) (－∞，0)解析 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数.3.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是[a ，＋∞)， 由[1，2]⊆[a ，＋∞)，可得a ≤1.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________. 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞). 5.(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为____________. 答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0，1]解析 (1)因为y ＝12log t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性.解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 引申探究如何用导数法求解例2?解 f ′(x )＝a ·x 2－1－ax ·2x x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1，1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为__________. 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).(2)已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 解 (导数法)依题意知f (x )的定义域为(0，＋∞). 对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx2x.当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ －12m. 当x ∈(0，－12m)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0， －12m)上单调递增； 当x ∈(－12m，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－12m，＋∞)上单调递减. 题型二 函数的最值例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞).(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－a x2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，1].思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2 x －1·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8. 方法二 (导数法)f ′(x )＝x －4x ＋2x －12，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去). 当1<x <4时，f ′(x )<0，f (x )在(1，4)上是递减的；当x >4时，f ′(x )>0，f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________. 答案 b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2017·苏州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足19(log )f x >0的x 的集合为________________.答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由19(log )f x >0，得19log >12，或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2).思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝x (ex－1e x )，若f (x 1)<f (x 2)，则下面正确的式子为________. ①x 1>x 2; ②x 1＋x 2＝0； ③x 1<x 2;④x 21<x 22.(2)(2016·宿迁模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)④ (2)(－∞，－4)解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x)＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|， ∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数. 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.1.解抽象函数不等式典例(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数. [7分] (2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[9分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3，2). [14分]解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.1.(2016·南京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是________. ①y ＝－x ＋1; ②y ＝11－x ；③y ＝－(x －1)2;④y ＝31－x.答案 ②解析 ①中，函数在(1，＋∞)上为减函数，③中，函数在(1，＋∞)上为减函数，④中，函数在(1，＋∞)上为减函数.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是__________. 答案 [1，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，f (x )为增函数，当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的增区间； [1，2]是函数f (x )的减区间.3.定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，4－a2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [4，8)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a2＋2，解得4≤a ＜8.*5.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f (13)＋f (18)＝________.答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f (13)＝12f (1)＝12.令x ＝13，可得f (19)＝12f (13)＝14.由③结合f (13)＝12，可知f (23)＝12，令x ＝23，可得f (29)＝12f (23)＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0，1]上为非减函数，所以f (18)＝14， 所以f (13)＋f (18)＝34.6.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.答案 3解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.8.(2017·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________. 答案 32解析 方法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数，∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.方法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.9.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.函数的单调递增区间为[－a2，＋∞)， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.*10.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3， 同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).11.(2016·江苏新海中学期中)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________. 答案 54解析 f (x )＝－4(x －a2)2－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为(a2，－4a ).①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0，1]上递增.∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1＜2(舍去).②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f (a2)＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0，2).12.(2016·江苏泰州中学月考)已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0，3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 二次函数y ＝x 2－2x －t 图象的对称轴为x ＝1，函数y ＝|x 2－2x －t |的图象是将二次函数y ＝x 2－2x －t 的图象在x 轴下方的部分翻到x 轴上方(x 轴上方部分不变)得到的.由区间[0，3]上的最大值为2，知y max ＝f (3)＝|3－t |＝2，解得t ＝1或5；检验t ＝5时，f (0)＝5>2不符，而t ＝1时满足题意.13.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值. 解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0，4)，舍去.③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0，2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.14.(2016·江苏南通中学质检)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ≥－1，－x ＋22＋4x <－1，其大致图象如图所示.由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减.(2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1，即a2－3a<0，解得0<a<3，∴a的取值范围为{a|0<a<3}.。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数学案理
§2.6 对数与对数函数考纲展示► 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案：x ＝log a N a N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝____________； ②log a MN＝____________； ③log a M n＝________(n ∈R )； ④log a m M n＝n mlog a M .(2)对数的性质： ①alog aN＝________；②log a a N＝________(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于0且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.答案：(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M (2)①N ②N (3)②log a d(1)[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( ) A.12 B ．1 C ．10 D ．100答案：B(2)[教材习题改编](log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12 C ．2 D ．4 答案：D(3)[教材习题改编]已知log 53＝a ，log 54＝b ，lg 2＝m ，求lg 3a ＋lg 4b的值(用m 表示)．解：lg 3a ＋lg 4b ＝lg 3lg 3lg 5＋lg 4lg 4lg 5＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m )．误用对数运算法则．(1)log 334－log 394＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝________.(2)(log 29)·(log 34)＝________. 答案：(1)2 (2)4解析：(1)原式＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34÷94＋31＝log 313＋3＝－1＋3＝2.(2)解法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.解法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.[典题1] (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100[答案] A[解析] 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.(2)计算：log 222＝________； 2log 23＋log 43＝________；(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. [答案] －12 3 3 2[解析] log 222＝log 22－log 22＝12－1 ＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23 ＝3 3. (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．[答案]124[解析] 因为2＋log 23＜4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23＞4，所以f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 log 23＝18×13＝124. [点石成金] 对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点2 对数函数的图象及应用对数函数的图象(1)[教材习题改编]函数y ＝log 2(x ＋1)的单调递增区间是________． 答案：(－1，＋∞)解析：由x ＋1>0得x >－1，且函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．(2)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过的点是________．答案：(2,2)解析：因为对数函数y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过点(2,2)．对数函数常见两误区：概念；性质． (1)函数f (x )＝lg x －3x ＋2的定义域是________，函数g (x )＝lg(x －3)－lg(x ＋2)的定义域是________．答案：{x |x >3或x <－2} {x |x >3} 解析：由x －3x ＋2>0得x >3或x <－2， 所以函数f (x )＝lgx －3x ＋2的定义域为{x |x >3或x <－2}； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －3>0 得x >3，所以函数g (x )＝lg(x －3)－lg(x ＋2)的定义域是{x |x >3}．可以看出f (x )与g (x )不是同一函数．(2)[2014·天津卷]函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 答案：(－∞，0)解析：函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．[典题2] (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1 [答案] D[解析] 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1. 又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1. (2)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[答案] B[解析] 由题意，得当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，4 12 ＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. [题点发散1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)时恒成立”，如何求解？解：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图．要使当x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)， 即(2－1)2≤log a 2， 又即log a 2≥1，所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．[题点发散2] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x －1)2<log a x 恰有三个整数解”，如何求解？解：不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出图象可知a >1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a－2，log a －2，得165≤a <94.即实数a 的取值范围为[165，94)．[点石成金] 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.1.函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )A BC D答案：D解析：f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知选D.2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1答案：D解析：作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨设x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10 x2＝－lg(－x2)，此时10 x1<10 x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.考点3 对数函数的性质及应用1.对数函数的性质答案：(0，＋∞)(1,0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 增减2．反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．答案：y＝x[考情聚焦] 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要有以下几个命题角度：角度一比较大小[典题3] (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b[答案] D[解析] ∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c＞1，∴c ＞a ＞b .(2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜y C ．z ＜y ＜x D ．y ＜z ＜x[答案] D[解析] ∵x ＝ln π＞ln e ，∴x ＞1. ∵y ＝log 52＜log 55，∴0＜y ＜12.∵z ＝e －12 ＝1e ＞14＝12，∴12＜z ＜1.综上可得，y ＜z ＜x .[点石成金] 比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法，根据图象观察得出大小关系． 角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围[典题4] (1)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞) [答案] D[解析] 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0.(3)函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．[答案] 12[解析] y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同． ①当a ＞1时，f (x )的最大值为f (1)，最小值为f (0)． ②当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为f (0)，最小值为f (1)．∴不论a ＞1还是0＜a ＜1都有f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12.[点石成金] 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2．对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．角度三对数函数性质的综合问题[典题5] (1)设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0,1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为( )A.14 B ．14或23 C.23D ．23或34[答案] C[解析] 作出y ＝|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝1－a －1－a a＝－aa －a<0，故1－a <1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.(2)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列结论：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数． 其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①③④[解析] 因为函数f (－x )＝lg －x 2＋1|－x |＝lg x 2＋1|x |＝f (x )，所以函数为偶函数，即图象关于y轴对称，故①正确．因为函数y ＝x ＋1x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝|x |＋1|x |在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函数，故②错，④正确．③因为x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，所以f (x )≥lg 2，即最小值为lg 2，故③正确．[点石成金] 解决对数函数综合问题时，要注意以下三点： (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.[方法技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．比较幂、对数大小有两种常用方法 (1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防范] 1.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围．真题演练集训1．[2015·湖南卷]设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵ f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴ f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x －11－x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A.2．[2015·陕西卷]设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q答案：C解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .3．[2014·天津卷]函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.4．[2014·福建卷]若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A BC D答案：B解析：因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.5．[2016·浙江卷]已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案：4 2解析：由于a >b >1，则log a b ∈(0,1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12 ＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.6．[2015·浙江卷]若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案：433解析：∵ a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，∴ 2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋2log 233 ＝3＋33＝433.课外拓展阅读数形结合思想在对数函数中的应用[典例] [2017·江西七校联考]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1<x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪[5，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，1∪(1,5] [审题视角] 当函数y ＝f (x )与y ＝log a |x |有5个交点时，求实数a 的取值范围．[解析] 依题意知，函数f (x )的周期为2，在平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图．结合图象可知，要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0<a <15或a ≥5，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞)．故选B. [答案] B。
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_5指数与指数函数教师用书理苏教版
第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中s ，t ∈Q ，a >0，b >0.2.指数函数的图象与性质1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a ).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘.( × )(3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数.( × )(5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________. 答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42________. 答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式： (1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简1213321()4(0.1)()a b ---⋅⋅＝________.答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x －1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(0≤x <1)，2x －12(x ≥1)，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a －7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1).命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2x x f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x ≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2，2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，22x xb a ++∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数， ∴a t ∈[1，1a ]，则22x xb a++∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1， 所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________.答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________. 答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1； 当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解. ∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b ，则a ，b 的大小关系为________. 答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ， 又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (0，12)解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14. ∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]. 故函数的值域为[－14，14]. 10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值. 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2). 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2). 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)， ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去； ②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去. 综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x＋1＋m ，m 是实常数. (1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ， 3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x 1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_9函数模型及其应用教师用书理苏教
第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书理 苏教版1.几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数且a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的单调递增单调递增单调递增【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增， 在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减. (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x 0，使0x a <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a(a >0)的增长速度.( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250解析 设每台原价是a 元，则a (1＋40%)·80% ＝a ＋270，解得a ＝2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y (千克)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________. 答案 y ＝22－11100x (0≤x ≤200)解析 流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x ，则y ＝22－11100x (0≤x ≤200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e－nt，那么乙桶的水就是y ＝a －a e－nt，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min ，甲桶中的水只有a8 L.答案 10解析 由题意可得，5 min 时，a e －5n＝12a ，n ＝15ln 2， 那么ln 25et a ＝18a ，∴t ＝15，即再过10 min ，甲桶中的水只有a8L.题型一 用函数图象刻画变化过程例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解 设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元. 由题意设f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0). 由图①知f (1)＝14，∴k 1＝14.由图②知g (4)＝52，∴k 2＝54.∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0).思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (min)与通话费y (元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解 (1)设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (300,35)，C (300，15)分别代入得k 1＝150，k 2＝120.∴y 1＝150x ＋29，y 2＝120x .(2)令y 1＝y 2，即150x ＋29＝120x ，得x ＝96623.当x ＝96623时，两种卡收费一致；当x ＜96623时，y 1＞y 2，即“如意卡”便宜；当x ＞96623时，y 1＜y 2，即“便民卡”便宜.题型二 已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10 lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10 lg I 2I 0＝10 lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10 lg I 3I 0＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10 lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝).(2)由题意知0≤L 1<50，即0≤10lg I I 0<50， 所以1≤I I 0<105，即1×10－12≤I <1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于等于1×10－12W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.答案(1)19 (2)2解析(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·x100，令104·(100－10x)·70·x100≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2. 题型三构造函数模型的实际问题命题点1 构造二次函数模型例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元. 答案 95解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225].∴当x ＝95时，y 最大.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y ＝(1－10%)k ＝0.9k ； 光线通过2块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.9k ＝0.92k ； 光线通过3块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.92k ＝0.93k ； ……光线通过x 块玻璃后，强度y ＝0.9xk . 故y 关于x 的函数解析式为y ＝0.9x k (x ∈N *). (2)由题意，得0.9xk <k4，即0.9x <14，两边取对数，得x lg 0.9<lg 14.因为lg 0.9<0，所以x >lg 14lg 0.9.又lg 14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14， 且x ∈N *，所以x min ＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下.命题点3 构造分段函数模型例 5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x <20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13200－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x 200－x ， 20≤x ≤200，当0≤x <20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 0000≤x ≤400，60 000－100x x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以x ＝300时，y max ＝25 000，当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[3分]当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. [5分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760. [12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元.[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少203p 万件.则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________.答案 y ＝60(80－203p )p解析 征收附加税后年销售为(80－203p )万件，故每年征收的税金y ＝60(80－203p )p .2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________.答案①解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案9解析出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m 3. 答案 13解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 0<x ≤10，10m ＋x －10·2mx >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________. 答案 16解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)， 分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元. 答案 43解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 答案 2019解析 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 答案 20解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 当x ＝20时，S max ＝400.*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析 依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12.11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N ).前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N ).(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值. 解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋301≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋20031≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 0001≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 00031≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，160xx ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2016年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？ 解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x ， 验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12). (2)第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋40x 35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，－3x 2＋40x ·160x x ∈N *，且7≤x ≤12，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400x ∈N *，且7≤x ≤12.①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去).当1≤x <5时，g ′(x )>0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元).②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v ×60≤10⇒v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x )列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1 min 、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝303018－x ×60＝6018－x.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ， 于是有t ＝|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x＝⎩⎪⎨⎪⎧72x ＋60x －18，1≤x ≤9，x ∈N *，－72x ＋60x －18，10≤x ≤17，x ∈N *，该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.又t (9)>t (10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.。
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2.6 对数与对数函数 1.对数的概念 一般地，如果a (a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，N叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②logaMN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R). (2)对数的性质 ①logaNa＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1). (3)对数的换底公式
logaN＝logcNlogca(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1). 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<1
图象
性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0 当01时，y<0 当00 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称. 【知识拓展】 1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝1logba；
(2)logambn＝nmlogab. 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) (2)logax·logay＝loga(x＋y).( × ) (3)函数y＝log2x及y＝13log3x都是对数函数.( × )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √ )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.( √ )
1.(教材改编)log2716log34的值为________. 答案 23
解析 原式＝lg 16lg 27lg 4lg 3＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23. 2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为____________. 答案 (－∞，32] 解析 由题意可得－x2＋22>0， 即－x2＋22∈(0，22]，
故所求函数的值域为(－∞，32]. 3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0,0答案 logca解析 ∵0b>0，∴logca4.(2017·徐州月考)函数y＝log0.5x－的定义域为________.
答案 (34，1]
解析 由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得345.(教材改编)若loga34<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________. 答案 0，34∪(1，＋∞) 解析 当0当a>1时，loga341. ∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞).
题型一 对数的运算 例1 计算下列各式：
(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；
(2)2log32－log3329＋log38－3log55. 解 (1)原式＝lg112122[25210(10)] ＝lg(5×2×1210×102) ＝lg 7210＝72. (2)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3＝－1. 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. (1)若a＝log43，则2a＋2－a＝________. (2)2(lg2)2＋lg 2·lg 5＋22－lg 2＋1＝________.
答案 (1)433 (2)1 解析 (1)∵a＝log43＝22log3＝12log23＝log23， ∴2a＋2－a＝22log3log322 ＝3＋23log32 ＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋2－2 ＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二 对数函数的图象及应用 例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是________.
①a>1，c>1; ②a>1,0③01; ④0(2)(2016·宿迁模拟)当0
答案 (1)④ (2)(22，1) 解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0
(0，12]上的图象，可知f(12)22，所以a的取值范围为(22，1).
思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________.
(2)已知f(x)＝|lg x|，若1c>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是__________. 答案 (1)② (2)f(c)>f(a)>f(b) 解析 (1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝(13)x， 显然图象错误；②中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符. (2)先作出函数y＝lg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lg x|的图象，如图.
由图可知，f(x)＝|lg x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f(1c)＞f(a)＞f(b)，而f(1c)＝|lg 1c|＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).所以f(c)＞f(a)＞f(b).
题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例3 (2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________.
答案 c＜a＜b 解析 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f(log0.53)＝0.52log3log321=2-－1＝2， b＝f(log25)＝2log52－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c.
命题点2 解对数不等式
例4 (1)若loga23<1，则a的取值范围是________.
(2)(2016·连云港模拟)已知函数f(x)＝ 3x＋1x，log13xx，则不等式f(x)>1的解集为________. 答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)(－1，13)
解析 (1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga23当0由loga23故0综上，a的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞). (2)若x≤0，则不等式f(x)>1可转化为3x＋1>1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－1若x>0，则不等式f(x)>1可转化为13logx>1⇒x<13，
∴0综上，不等式f(x)>1的解集是(－1，13). 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3>0，得－1函数f(x)的定义域为(－1,3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减. 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
即 a>0，3a－1a＝1，解得a＝12. 故存在实数a＝12使f(x)的最小值为0. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较； ③借用中间量(0或1等)进行估值比较. (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则