无处不在的卡特兰数
卡特兰用途
卡特兰用途卡特兰是一种数学组合数列，它在很多数学和计算问题中有重要的应用。
在本文中，我将详细介绍卡特兰数列的定义、性质以及它们的多种应用领域。
首先，让我们来介绍一下卡特兰数列的定义。
卡特兰数列是一组由以下递推关系给出的整数序列：C0 = 1，Cn+1 = Σ(i=0 to n) Ci*Cn-i。
换句话说，卡特兰数列满足以下递推关系：C0 = 1，Cn+1 = C0*Cn + C1*Cn-1 + ... + Cn*C0。
其中，Ci表示第i个卡特兰数。
卡特兰数列具有许多有趣的性质。
首先，卡特兰数列的前几个数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, ...。
我们可以看到，卡特兰数列的增长速度非常快，随着n的增大，数值呈指数级增长。
其次，卡特兰数列是对称的，即Cn = Cn。
另外，卡特兰数列还满足递增性质，即Cn < Cn+1。
这些性质使得卡特兰数列在计算和应用中非常有用。
卡特兰数在计算问题中有着广泛的应用。
首先，卡特兰数被广泛应用于组合计数问题中。
例如，给定一个有n个节点的无向树，卡特兰数可以用来计算该树的不同形态的二叉树个数。
另外，卡特兰数还可以用来计算括号表达式的合法性。
具体地说，给定一个由n个左括号和n个右括号组成的括号序列，卡特兰数可以帮助我们计算出所有合法的括号序列的个数。
这个问题的一个典型应用是将n 对括号正确地嵌套在一起的方式的计数。
卡特兰数还被用于计算棋盘上两个点之间不经过对角线的所有路径的数量。
卡特兰数还在图论中有着广泛的应用。
例如，卡特兰数可以用来计算括号序列对应的有向图中所有不同的拓扑排序的个数。
拓扑排序是一个有向图的顶点的线性排序，使得对于图中的每一对顶点(vi, vj)，如果存在一条从vi到vj的边，则在排序中vj出现在vi之后。
卡特兰数还可以用来计算一个有n个节点的有向无环图的所有不同的折叠排序的个数。
折叠排序是一个有向无环图的顶点的线性排序，使得对于图中的每一对顶点(vi, vj)，如果存在一条从vi到vj的边，则在排序中vj出现在vi之前。
【转】卡特兰数四个公式（简单）
【转】卡特兰数四个公式（简单）
公式⼀
递归公式
h(0)=h(1)=1
h(n)=h(0)∗h(n−1)+h(1)∗h(n−2)+...+h(n−1)∗h(0)(n>=2)
如果我们⽤这个公式显然我们要使⽤递归算法，那么数据⼀⼤就在时空上很⿇烦
公式⼆
递推公式
h(n)=h(n−1)∗(4∗n−2)/(n+1)
这个公式应⽤递推，看上起⼗分和善
但对⼤数据呢？
我们注意到⼤数据的时候h(n)会很⼤，这时候题⽬⼀般会让你对某素数取模（当然你可以打⾼精度（划掉））
但你在取模过程中难保⼀个h(n)%mod=0
那么根据公式下⾯所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了
公式三
组合数公式1
h(n)=C(2n,n)/(n+1)(n=0,1,2,...)
卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上⾯的公式
⽽组合数就是⼀个杨辉三⾓，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃））
但我们发现对于⼤数据你要取模，⽽对于除法你是没办法⽤膜的性质的（当然你可以应⽤逆元（划掉）），所以造成了⿇烦
公式四
组合数公式2
h(n)=c(2n,n)−c(2n,n−1)(n=0,1,2,...)
与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法
减法是可以⽤膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。
卡特兰数——精选推荐
卡特兰数卡特兰数卡特兰数的意义卡特兰数有⼀个很重要的意义就是：C n 表⽰所有在n × n格点中不越过对⾓线的单调路径的个数。
通项公式卡特兰数有两个通项公式，第⼀个是这样的：C n =1n +12n n=(2n )!(n +1)!n !第⼆个是这样的：C n =2nn −2n n +1for n ≥1第⼀个公式就是把第⼆个公式拆开。
卡特兰数通项公式的证明我们考虑证明第⼆个公式。
证明的⽅式有很多，均和卡特兰数的性质有关，证明⽅法之间也可以互相转换。
所以这⾥介绍⼀种最普通的证明⽅法。
根据定义，合法的路径不能越过对⾓线。
那么我们考虑利⽤总⽅案数C n 2n 减去不合法的⽅案数。
这⾥的黄⾊线和绿⾊线连接⽽成的路径代表⼀条不合法的路径，我们把路径第⼀次超越对⾓线的点（点L）到终点（点A）的路径沿粉⾊线条（对⾓线向上平移1个单位得到）对称。
得到了蓝⾊的路径。
显然，这⾥的黄⾊路径和蓝⾊路径是对应的。
⽽之所以选择“向上平移1个单位”的意义就是在任何情况下接触这条线就会变成不合法路径。
容易证明，所有不合法的路径和所有从原点到A'点的路径都是⼀⼀对应的。
所以不合法的路径条数就是从原点到A'的路径条数C n −12n证明如下：因为这个关系是可逆的（通过操作后的路径能得出操作前的路径），所以显然所有不合法的路径和所有从原点到A'点的路径都是⼀⼀对应的。
这样就得出了前⾯提到的卡特兰数第⼆个通项公式：C n =2n n −2n n +1 for n ≥1应⽤组合数学中有⾮常多的组合结构可以⽤卡塔兰数来计数。
C n 表⽰长度2n 的dyck word的个数。
Dyck word是⼀个有n 个X和n 个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满⾜X的个数⼤于等于Y的个数。
以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY。
（这个性质在⽤到了）将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C n 表⽰所有包含n 组括号的合法运算式的个数。
特殊的数系列之卡特兰数(Catalan)
解法 关键代码为： double Catalan(int n) { if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) { var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) { if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j]; if (j < n) arr[j + 1] += arr[j]; arr[j] = 0; } } return arr[0]; 其中： }
分析
“卡特兰数”除了可以使用公式计算，也可以采用“分级 排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例，对于一个序 列 (()而言，有两个左括弧，和一个右括弧，可以看成“抵 消了一对括弧，还剩下一个左括弧等待抵消”，那么说明还 可以在末尾增加一个右括弧，或者一个左括弧，没有左括弧 剩余的时候，不能添加右括弧。 由此，问题可以理解为，总共 2n个括弧，求 1～2n级的 情况，第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1～8 级的计算过程如下表：
HDU1023
while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(i=catalan[n][0];i>=1;i --) printf("%d",catalan[n][i]); printf("\n"); } return 0; }
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卡特兰数算法实现_解释说明以及概述
卡特兰数算法实现解释说明以及概述引言部分是文章的开篇，应该对卡特兰数算法进行简要的介绍和概述。
以下是引言部分内容：1. 引言1.1 概述卡特兰数算法是组合数学中一种重要的计算方法，用来计算大量具有递归关系的问题。
它由比利时数学家欧·乌亚伊斯于19世纪中叶首次提出，并以比利时数学家欧仁·查尔斯·卡特兰的名字命名而得名。
卡特兰数算法被广泛应用于多个领域，如计算机科学、信息技术、电子工程等。
它在组合优化、动态规划、几何图形等问题求解中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和解释卡特兰数算法的实现原理及其应用案例分析，并通过对比不同实现方法及其优劣，总结出适用于不同场景和问题求解的最佳实践。
1.2 文章结构本文共包括五个章节，每个章节都涵盖了不同方面的内容：- 第一章：引言。
本章介绍了本文的背景与目标，并简要概括了卡特兰数算法及其应用。
- 第二章：卡特兰数算法概述。
本章对卡特兰数算法进行定义和历史背景的介绍，并探讨了其在不同领域中的应用。
- 第三章：卡特兰数算法实现步骤。
本章详细解释了卡特兰数算法的具体实现步骤，包括递推公式推导、动态规划实现以及递归实现及优化方法。
- 第四章：卡特兰数算法应用案例分析。
本章通过具体案例分析了卡特兰数算法在括号匹配问题、栈操作序列计数问题和凸多边形三角剖分方案计算中的应用。
- 第五章：结论与总结。
本章总结了卡特兰数算法的优缺点，并展望了其未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在深入研究和探索卡特兰数算法，全面解释其实现原理及其应用领域，并提供具体案例进行分析，以期读者能够更好地理解该算法并将其运用于问题求解过程中。
此外，本文也将为读者提供一些可行的优化方法和未来可能的发展趋势，为相关领域的研究人员和工程师提供参考和借鉴。
2. 卡特兰数算法概述2.1 定义和历史背景卡特兰数算法是一种用于计算排列组合数量的数学算法。
它以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰（Eugène Charles Catalan）的名字命名，他首次研究并发现了这个数列。
卡特兰数
卡特兰数什么是Catalan数说到Catalan数，就不得不提及Catalan序列，Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数，前几个Catalan数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …咋看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。
Catalan数的一些性质Catalan数的基本公式就是上个部分所列出的那样，但是却有一些变形和具体的性质：1、这是根据原来的式子推导出来的，大概过程是这样的：2、这个递推式很容易可以从原来的式子中获得3、4、5、这个是Catalan数的增长趋势。
Catalan数在组合计算中的应用在《组合数学》（机械工业出版社）一书中，介绍Catalan数是由其一个应用推导出的公式，其具体的描述如下：n个+1和n个-1构成2n项，其部分和满足的序列个数等于第n个Catalan数。
其证明也不难，我们假设不满足条件的序列个数为，那么就有。
剩下的工作就是求了，我们假设有一个最小的k令。
由于这里k是最小的，所以必有，并且k是一个奇数。
此时我们将前k项中的+1变为-1，将-1变为+1,那么就得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，这样的序列个数就是我们要求的，数值大小为。
那么我们就得到了，就是我们前面的公式。
在具体的组合数问题中，很多都可以转换为Catalan数进行最后的计算，如下：1、如上文所说，对于任意的k，前k个元素中-1的个数小等于+1的个数的序列计数，我们可以不停地变换形式，比如将-1看成右括号，+1看成左括号，就变成了合法括号表达式的个数。
比如2个左括号和2个右括号组成的合法表达式有种，是()()和(())。
2、既然如上一点都把括号加上去了，那么顺便就再次转换，n+1个数连乘，乘法顺序有种，比如我们三个数连乘a*b*c，那么等于在式子上加括号，有2种乘法顺序，分别是(ab)c和a(bc)。
卡特兰数计算
卡特兰数计算卡特兰数是一个非常重要的组合数学问题，它在很多领域都有广泛的应用。
以下是关于卡特兰数的一些基本概念、计算公式和应用。
一、基本概念卡特兰数是组合数学中的一种数列，它由比利时数学家卡特兰于1838年发现而得名。
卡特兰数的定义如下：C0=1，Cn=(2n/(n+1))*Cn-1 (n≥1)其中，Cn表示第n个卡特兰数。
由此可见，卡特兰数是一个递推数列，每个数都是前一个数的函数。
卡特兰数有许多重要的性质，比如：1. Cn = (2n)!/((n+1)!*n!)，也就是说，当n趋近于正无穷时，Cn的增长速度是非常快的，而且比例接近于1/n。
2. 卡特兰数是一个奇数或偶数。
当n为偶数时，Cn是一个偶数，当n为奇数时，Cn是一个奇数。
3. 卡特兰数是一个整数，说明它有很好的整除性质。
当n>1时，Cn可以被n整除。
二、计算公式卡特兰数的计算公式比较复杂，但是有很多方法可以计算。
以下是常见的计算方法：1. 递推法：递推法是一种最常用的计算卡特兰数的方法。
它的思想非常简单，就是利用卡特兰数的递推公式计算。
这种方法的时间复杂度是O(n)。
2. 公式法：卡特兰数的计算公式非常复杂，但是可以用组合数学的方法进行推导。
这种方法的时间复杂度是O(1)。
3. 贝尔数法：利用贝尔数的递推公式计算卡特兰数，这种方法的时间复杂度是O(n)。
三、应用领域卡特兰数的应用非常广泛，下面是一些常见的应用领域：1. 括号匹配问题：在编程中，经常会出现括号匹配问题，如何判断一个字符串中的括号是否匹配呢？可以利用卡特兰数的性质来解决这个问题。
2. 树的遍历问题：如何遍历一棵树，使得每个节点都被遍历一次，并且从根节点到每个叶子节点的路径都要经过？可以利用卡特兰数的性质来解决这个问题。
3. 凸多边形三角剖分问题：凸多边形的三角剖分问题是一个经典的计算几何问题，如何将一个凸多边形划分成若干个三角形，使得面积最小？可以利用卡特兰数的性质来解决这个问题。
卡特兰数知识讲解
卡特兰数知识讲解在本⽂中，我们⽤(nm)⽽⾮C mn来表⽰从n个互不相同的数中选出m个（也即组合数）的⽅案数。
卡特兰数是组合数学中的⼀个常⽤数列，在数数题中数见不鲜（注意它与卡特兰常数，也即卡常数的区别），我们⽤C n来表⽰卡特兰数的第n项。
其下标从 0 开始，前⼏项依次为 1,1,2,5,14,42,132,...（这有助于我们通过找寻规律来解决良⼼出题⼈精⼼出的⾼质量好题）。
要研究⼀个数列，⾸先就得知道它的意义。
但卡特兰数的意义⾮常⼴泛，所以这⾥只举出两个最典型的例⼦来阐述它的意义。
第⼀个例⼦是折线问题：在平⾯直⾓坐标系中，你在 (0,0) ，⽬的地在 (n,n) ，每次你可以选择向右⾛⼀步或向上⾛⼀步，但你不能穿过直线y=x（但可以⾛到直线上⾯）。
你有着充分多的闲暇时间，于是便想把所有不同的⾛法都试⼀遍（两种⾛法不同当且仅当存在⼀个点在其中⼀种⾛法中被⾛到过⽽在另⼀种⾛法中未被⾛到），那么问题来了，不同的⾛法⼀共有⼏种呢？事实上这个问题的解可以作为卡特兰数的⼀个定义，我们可以定义C n为折线问题中从 (0,0) ⾛到 (n,n) 的⽅案数。
对于⼀个数列，我们⼀定很想得到它的递推式与通项式。
我们先研究⼀下它的递推式。
考虑枚举它在到达 (n,n) 前⾛到的最后⼀个y=x上的点，设其为 (i,i)(0≤i≤n−1) 。
那么，到达这个点前可以按照规则随便⾛，⽅案数为C i，到达这个点后不能碰到直线y=x，相当于第⼀步向右，最后⼀步向上，从 (i+1,i) ⾛到 (n,n−1) ，中间不能穿过y=x−1 ，这也是⼀个⼩规模的问题，⽅案数为C n−i−1。
于是我们可以写出递推式：C n=∑n−1i=0C i C n−i−1,C0=0 。
这个递推式的时间复杂度是O(n2) ，追求极致效率的出题⼈⼀定不会满意。
我们能不能找到⼀个更快的⽅法？我们可以试着求⼀下卡特兰数的通项公式，⼀步到位，算出⽅案数。
我们发现不穿过y=x这条限制很难处理，我们考虑对其进⾏容斥，那么C n就是所有路径条数（这是(2nn)）减去穿过y=x的路径条数。
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无处不在的卡特兰数
亲爱的小伙伴们晚上好哟！继昨天的仿射变换之后，今天又是讨论组合数学问题的时候了。
今天我们要来看的是一个神奇的数列，为了纪念比利时数学家卡特兰而把它叫做卡特兰（catalan)数.这个数列是卡特兰在研究凸n边形的剖时得到的。
凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为Tn。
据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。
那么我们首先来回到卡特兰的时代，看一看这个数列的通项是怎么求解出来的吧。
我们用几个例子开始阐述问题:
首先是三角形, 只有一种方法分成三角形..就是什么都不做。
然后是四边形:
两种方法可以把四边形分成三角形
然后是五边形:
五种方法可以分解一个五边形(把一个角作2条线出来分三角, 有5个角, 故5种分法) 那么n边形可以有几种方法分成三角呢?
我们可以用一种“填括号”的方式来说明这个问题。
也就是一种“对应方法”。
我们可以把这n+2条边用1,2，...,n+2来编号。
在分好的三角形中，先把连接相邻两个顶点的对角线找出来，那么他们相当于是把两条相邻的边连接起来，那么我们可以把这两条边对应的数字用括号括起来。
括起来的目的是把这两条边看成一个整体，因为两条中的任意一条都无法与其他的边相连了。
在图形上，我们可以这样操作：把括起来的两条边擦掉，然后把连接他们的对角线看成新的边，然后在这些边中继续上面的操作。
比如上面这张图就可以这样表示：
1(（（23 ) 4）(56))
那么从最后一个数（n+2）开始数起，数字的个数至少要比左括号（“（”）的个数多1：这是因为边之间连线为两个数字添一个括号，对角线与边连线相当于增加1个数字和增加一个括号。
而我们知道n+2条边有n-1条对角线，我们如果把刚才的数字记成1（也就是边的个数），把刚才的左括号（注意我们不考虑右括号是因为左括号确定以后右括号的补法是唯一确定的，并且左括号的个数比对角线个数多1）记成-1，那么上面这种排列就成了
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1
于是这个问题又变成了n个-1和n+2个1排列，并且从右边数1的个数始终多于-1的情况数。
慢着，我们先回顾一下：刚才我们在分三角形，最后怎么变成排-1和1了？这就是前文所说的“对应方法”：分三角形也好，填括号也好，排-1和1也好，这三种不同的情景实际上是同一个问题的边形，它们所有可能的情况数是一模一样的。
最后，我们把答案算出来：首先最右的两个一定是1（最右边两个位置只能放数字不能放左括号），所以不妨把它们看做一个整体。
那么就变成了2n+1个数排列的问题，并且从右往左数1始终不少于-1的个数。
先不管这个要求，并且我们不需要考虑最右边的那个1，那么相当于在左边2n 个位子选出n 个放-1，结果是n n 2C ；然后再考虑不符合要求的数目：如不
符合要求，则这个数从右往左数的时候，存在一项，在这项右边的-1正好比1多1个.然后从这个数开始，把左边的1变成-1，-1变成
1.那么-1的数量就变成了n+1个，1变成了n-1个（不算最右边的那个1）。
类似的，一个由n+1个-1，n-1个1组成的数，由于-1的总数比1多2，所以这些数排列好以后，一定存在某一项，使得其右边的-1正好比1多1。
并且这一项左边（包括这项自己）中-1也比1多1.将这一项左边（包括这项自己）中所有数的1变成-1，-1变成1，于是又变成了n 个1，n 个-1，并且存在一项，在这项右边的-1正好比1多1个的排列。
绕这个圈子是想说明一件事：不符合要求的数目和n+1个-1，n-1个1的排列数是一样的。
于是相当于2n 个位子选出n+1个放-1结果是12 n n C .
最终求出的卡特兰数列的通项就是
Tn=n n n n n n C n C C C 2n 1n 21221
11n 21-+=+=++ 这是一个非常重要的数列，通项也不难记，小伙伴们可以小小地记忆一下噢
从刚刚的计算中，小伙伴们也发现了，这个数列可以是这么多不同情境下的计数问题的答案（并且这个数列和课上所讲的“折线法”也有千丝万缕的关系呢，小伙伴们你们发现了么？）。
也许对于这个计算你还有疑问或者更好的方法，欢迎带着你的问题继续讨论！。