111集合的含义与表示(3)
1.1.1集合的含义与表示
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉 语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学 语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）华侨中学所有的高一同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
形式如 :{ | }
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x,并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
A { x R | x2 2 0}. 方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2,因此, 用列举法表示为A { 2, 2}. (2)设 大 于10小 于20的 整 数 为x,它 满 足 条 件x Z 且10 x 20,因 此,用 描 述 法 表 示 为
例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列 举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方 法．例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
(2)已知2是集合M={0，a，a2-3a+2}中的元素，
则实数a为( C )
1-111集合含义与表示
例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合，并
人
体会如何选择适当的表示法来表示集合
教
Ａ 版
（1）方程x2 2 0的所有实数根组成的集合
必
修 一
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合
·
新 课 标
·
数 学
例4:用特征性质描述法分别表示：
人
教
Ａ(1)抛物线
y
=
x
2上点的纵坐标.
{y|
y
=x
2}
修
一
新
{x|x>5,x∈N}
{x ∈R|x=2n,n ∈N+}
课标定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
称为描述法
数
学
·
·
特征性质描述法（描述法）：
人
教 特征性质描述法（描述法）就是用确定的条
Ａ 版 必
件表示某些对象是否属于这个集合的方法。集合 A可以用它的特征性质p(x)描述为
修
一
A x | p(x)
数
学
像这样把集合中的元素一一列举出来，
元素间用逗号隔开，
写在大括号内表示集合的方法叫做列举法.
人 例1.判断下列集合用列举法表示的是否正确
教
Ａ 版
(1)由1~20以内的所有质数组成的集合表示为：
必
{2,5,7,11,13,15,17,18,19}
修
一 新 课
(2)方程x2 x的所有实数根组成的集合表示为：
(3)集合元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性
·
2．元素与集合的关系
人
教
Ａ
关系 文字语言 符号
版 必
属于 a属于集合A a∈A
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
集合的含义与表示知识点
集合的含义与表示一集合与元素1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2.集合中元素的属性（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”.4.集合相等如果构成两个集合的元素个数及元素相同，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关.二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）2.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
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考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1—2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2—1,2—2,2—3选考内容（三选二）：选修4-2，4—4,4—5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1。
1 集合1。
1。
1 集合的含义与表示1。
1。
2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1。
2.1 函数的概念1。
2。
2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1。
3。
1 单调性与最大（小）值1.3。
2 奇偶性第二章基本初等函数(I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2。
1。
2 指数函数及其性质2。
2 对数函数2。
2。
1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2。
3 幂函数第三章函数的应用3。
1 函数与方程3.1。
1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3。
2.1 几类不同增长的函数模型3。
2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1。
1 空间几何体的结构1.1。
1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1。
2 空间几何体的三视图和直观图1。
2。
1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3。
1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3。
2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2。
1 空间点、直线、平面之间的位置关系2。
1。
1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2。
1。
4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2。
1 直线与平面平行的判定2.2。
2 平面与平面平行的判定2.2。
3 直线与平面平行的性质2.2。
4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3。
1 直线与平面垂直的判定2。
集合的含义与表示知识点总结
集合的含义与表示知识点总结一、课标要求《课程标准》对本课内容的要求是:能够了解集合的含义,知道常用数集的表示方法,了解集合元素的三个性质,会用适当的方法表示集合.集合知识是整个高中学习的基础,使学生掌握和使用数学语言表述数学问题的基础.通过学习集合知识,可以使学生更好的理解数学中的集合语言,可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题.二、本节知识要点（1）集合的含义与表示;（2）元素与集合之间的关系与表示;（3）集合元素的三个基本性质;（4）常用数集的表示;（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;（6）集合的分类.三、集合的含义与表示一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.四、元素与集合之间的关系与表示a a元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.a∈a a Aa∉A要求会判断元素与集合之间的从属关系.五、集合元素的三个基本性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.无序性 集合中的元素是没有顺序的.如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.六、常用数集的表示自然数集N ; 正整数集N +或N *; 整数集Z ; 有理数集Q ; 实数集R .七、集合的两种表示方法集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.列举法把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举{}法.用列举法表示集合时要注意以下几点:（1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个a {}a a {}a 元素的集合.二者具有从属关系,及.a a A ∈ 列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.描述法定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,(){}x P I x ∈其中为集合的代表元素,I 表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有x x ()x P 的共同特征.第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.{}0322=--=x x x A {}062<-=x x B 用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示{}n x Z x 2=∈n 为或;{}Z n n x Z x ∈=∈,2{}Z x n x x ∈=,2（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.如集合,也可以写作.{}02=+∈x x R x {}02=+x x x （5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;（6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解. ⎩⎨⎧=-=+152y x y x 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.解:解二元一次方程组得: ⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩⎨⎧==12y x 用列举法表示为,用描述法表示为. (){}1,2()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x 提示:与表示的是两个不同的集合.(){}1,2(){}2,1例2. 指出集合与集合的区别.{}12-=x y x (){}12,-=x y y x 注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其(){}x P I x ∈中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点x 集）.解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的{}12-=x y x 12-=x y 取值范围,所以R ;{}=-=12x y x 集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有(){}12,-=x y y x 12-=x y 点的坐标.例3. 用合适的方法表示下列集合:（1）文房四宝;（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.解:（1）;{}砚纸墨笔,,,（2）;{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,（3）.(){}0,0,><y x y x 且例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程的所有实数根组成的集合;022=-x （2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.解:（1）列举法:;{}2,2-描述法:或.{}022=-∈x R x {}022=-x x （2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;描述法:.{}1511<<∈x Z x 八、集合的分类集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作.∅ 如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即012=+x {}012=+∈x R x .{}∅==+∈012x R x 九、重要结论:判断形如的方程的实数根的个数的方法是:02=++c bx ax （1）当时,方程可化为的形式:0=a 0=+c bx①当时,方程有唯一一个实数根; 0≠b bc x -=②当时,方程有无数个实数根;0,0==c b ③当时,方程没有实数根;0,0≠=c b （2）当时,原方程为关于的一元二次方程:0≠a x ①若,则方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b ②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数042=-=∆ac b 根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若,则方程没有实数根.042<-=∆ac b 提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.例4. 已知集合.{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122（1）若A 中只有一个元素,求的值;a （2）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a 分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程的实数根组成的集0122=++x ax 合,该方程中含有参数,为含参方程.a （1）集合A 中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方0122=++x ax 程可以说一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;()0=a ()0≠a （2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没0122=++x ax 有实数根.解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合0=a 012=+x 21-=x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 题意;当时,∵只有一个实数根0≠a 0122=++x ax ∴,解之得:044=-=∆a 1=a 综上,当或时, A 中只有一个元素;0=a 1=a （2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:或;0=a 1=a 当A 中没有元素时,即方程没有实数根0122=++x ax ∴,解之得:044<-=∆a 1>a 综上,当或≥1时,A 中至多有一个元素.0=a a例5. 实数集A 满足条件:,若,则. A ∉1A a ∈A a∈-11（1）若,求A ; A ∈2（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;（3）求证:. A a∈-11分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性. （1）解:∵, ∴ A ∈212≠A ∈-=-1211∵ ∴ 11,1≠-∈-A ()A ∈=--21111∵ ∴ 121,21≠∈A A ∈=-22111∴﹛2 , , ﹜; =A 1-21（2）解:A 不能为单元素集合.理由如下:若A 为单元素集合,则有,整理得: aa -=11012=+-a a ∵ ()031412<-=⨯--=∆∴方程没有实数根012=+-a a ∴A 不能为单元素集合;（3）证明:若,则 A a ∈A a ∈-11∴. A aa a a ∈-=-=--1111111习题1. 已知集合.{{}0232=+-=x ax x A （1）若A 为空集,求的取值范围;a （2）若A 中只有一个元素,求的值;a （3）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a。
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
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用列举法表示 B.
3、集合的表示方法？
3、韦恩图示法
划一条封闭的曲线，用它的内部表示集合；
A
A={1,3,5}
1,3,
说出集合所含元素的个数A x x2 1 0 ，B x x2 1 0
C x x2 1 0
二、集合的分类
集合按元素多少可分为: 有限集、无限集 、空集 ;
按元素的属性分为: 数集、 点集.
C x, y y x2 1 x 5且x N ;
例1、用描述法表示下列各集合
(1) 直角坐标中坐标轴上的点的集合；
变式： （2）第一象限的点的集合；一、三象限的点的集合
1 -1
(3)阴影部分的点的集K;
2
练习：
-1
设A x N x 4 ，B (a，b) a b2 1，b A ，
1、集合与元素
指定的某些对象的全体叫集合, 简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合中的元素有哪些特征？
确定性、互异性、无序性.
3、常用数集的专用符号
自然数集（非负整数集）：记作 N
正整数集：记作 N * 或 N
整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
3、集合的表示方法？ 1、列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”
括起来，即 {a,b, c, }
2、描述法
把集合的元素的特性描述出来出来，并用花括号“{ }”
括起来，即 {代表元素|元素所具有的性质}
1、用列举法表示下列各集合
A x y x2 1 x 5且x N ; B y y x2 1 x 5且x N ;
思考：，， 0表示的意义是否相同？
例4、集合M x ax2 2x 1 0 仅有一个元素
求实数a的值.