人教版八年级下册第十六章二次根式第4讲_二次根式的除法
初中八年级数学下册
第4讲：二次根式的除法
一：知识点讲解
知识点一：二次根式的除法法则
➢ 文字语言：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
➢ 符号语言：b a b
a =(a ≥0，
b ＞0) ➢ ()()()(
)b a n m b n a m ÷⋅÷=÷，其中a ≥0，b ≥0，n ≠0 例1：计算： ①：218 ②：61211÷ ③：n
m n mn ++2
(m ，n 均大于0) 知识点二：商的算术平方根
➢ 文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
➢ 符号语言：b
a b a =(a ≥0，b ＞0) 例2：将下列二次根式化简： ①：2516 ②：971 ③：22
94a b (a ＞0,b ≥0) ④：15
12 知识点三：最简二次根式
➢ 条件：
✧ 被开方数不含分母
✧ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例如：22，1030，22a
➢ 化成最简二次根式的一般方法：
✧ 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
例如：22248=⨯=；y x y x =2(x ≥0，y ≥0)
✧ 化去根号下的分母：
❖ 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 例如：33
2333434311=⨯⨯== ❖ 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 例如：1010
3100901099.0=== ✧ 被开方数是多项式时要先进行因式分解 例如：()()b a a b a a b ab a a ab b a +⋅=+=++=++22222a 42222223 例3：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。
①3.0；②xy 52；③x y ；④a a a 9623++； ⑤()222y x +；⑥n 32；⑦3
2 二：知识点复习
知识点一：二次根式的除法法则
1. 下列计算中，正确的是( )
A. 416±=
B. 2323=
C. 4624=÷
D. 26
132=÷ 2. 计算：
3. 计算：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛÷a b c ab a 25235222(a ＞0，c ＞0)
知识点二：商的算术平方根
4. 下列计算错误的是( )
A. 3294=
B. 38
36427= C. 2312924= D. 23
2944= 5. 若x
x x x --=--3232成立，则x 满足 。
6. 化简 ①：49154 ②：22
925b
a (
b ＞0) 知识点三：最简二次根式
7. 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. 51 B. 5.0 C. 5 D. 50
8. 若最简二次根式152++a a 与b a 34+相等，则a ＝ ，b ＝ 。
三：题型分析
题型一：二次根式除法法则成立的条件
例1：若x x x
x -=-33，则x 的取值范围是( ) A. x ＜3
B. x ≤3
C. 0≤x ＜3
D. x ≥0 题型二：二次根式的乘除混合运算
例2：计算
易错点：乘除混合运算顺序出错
例3：计算：3
132⨯÷
四：习题
1：选择题
1) 下列计算中，正确的是( ) A. 34
5435= B. 357
3753759=⨯ C. b
ab b a 1=÷(a ＞0，b ＞0) D. ()()70632483248324822=-⨯+⨯÷
2) 小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⋅；③a a
a a a =⋅=112；④428=÷a a ，做错的题是( ) A. ①
B. ②
C. ③
D. ④ 3) 若b ＞0，把b
a 4-化成最简二次根式为( ) A. a
b b -2 B. ab b 2- C. ab b --2 D. ab b -2
4) 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. 7 B. 9 C. 20 D. 3
1 5) 将y y 53452
-化简得( )
A. 39y -
B. y -
C. y 53-
D. 5
53 6) 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. 2- B. 12 C. 51 D. 2a
7) 下列等式不一定成立的是( ) A. b
a b a =(b ≠0) B. 2221a a a =⋅-(a ≠0) C. ()()b a b a b a 22422-+=- D. ()62342a a =-
8) 利用计算器计算：12122--，13132--，14142--，1
5152--，根据你发现的规律判断1
12--=n n P 与()()11n 1-12-++=n Q (n 为大于1的整数)的值的大小关系为( ) A. P ＜Q
B. P ＝Q
C. P ＞Q
D. 与n 的取值有关
2：填空题
9) 若二次根式53+a 是最简二次根式，则最小的正整数a ＝ 。
10) 化简3
3的结果是 。
11) 计算：=÷⨯
213827 。
3：解答题
12) 化简下列二次根式：
③：22
16121a
b (a ＜0，b ＜0) 13) 计算：
14) 老师在讲解“二次根式及其性质”时，在黑板上写了下面一题作为练习：已知
a =7，
b =70，用含有a ，b 的代数式表示9.4，甲、乙两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法： 甲的解法：10
10707107071010104910499.4ab =⨯=⨯=⨯⨯== 乙的解法：1.071.0499.4=⨯=，因为b a ====7077071011.0， 所以b
a b a 771.079.4=⋅== 老师看了以后，提出了下面的问题，请你解答：
① 甲、乙两人的解法都正确吗？
② 请你再给出一种不同于上面两人的解法。
二次根式的除法(教案)【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2二次根式的乘除第2课时 二次根式的除法核心素养目标：1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
教学重难点：重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算； 难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算。
教学过程：一、问题导入问题1 设长方形的面积为S ，其中一边长为a,则另一边长表示为： ； 问题2 已知S= √24 ，a=√3 ,那么求另一边长时如何列式? 答： ； 问题3 上面列式是什么运算?又该如何计算呢?二、交流预习问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？ 除法有没有类似的法则？三、互助探究探究点一：二次根式的除法计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？____;94)1(=.____94=____;2516)2(=.____2516=____;=____.= 例题精讲例1 计算:(0,0).a b =≥>例2 计算：把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.例3 计算：（1（2（3思考：观察上面各小题计算的最后结果并思考：（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？最简二次根式：满足如下两个特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方）跟踪练习：教材9页例7 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S b==四、课堂小结本节课要掌握√a√b =√ab（a≥0，b>0）和√ab=√a√b（a≥0，b>0）及其运用．五、课堂检测1.计算1-的结果是（）A.3B.5C.6D.82.把√2−1分母有理化得( )A. 1B. 1-C. √2+1D. √2−13.若使等式√2k−4√k−1=√2k−4k−1成立，则实数k取值范围是（）A. k≥1B. k≥2C. 1<k≤2D. 1≤k≤2六、课后作业必做题：教材习题16.2第1、6、7题选做题：教材习题16.2第9题.。
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。
16.2 二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
算术平方根的概念
如果x²=a(x≥0), 那 么 x称 为a 的算术平方根。 用 √a(a≥0) 表示.
2.下列运算正确的是(A
A.(√2)²=2
C.(-√-2)²=2
)
B.(一 √2)²=-2
D.-√(-2)²=2
3. 计算：
(1) √4× √25=10 , √4×25= 10 ;
(2) √16× √9= 12 , √ 16×9= 12 思考：√4× √36 与 √4×36 的结果相● 同吗?你发现了什么?
二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·Jb.√c……√n=Jabc…n(a≥0,b≥0,c≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法 则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被 开方数的积作为被开方数，即
化简二次根式的步骤：
(1) √4× √9= √4×9;
(2) √16× √25= √16×25;
(3) √25× √36= √25×36.
思考你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测：Ja. √b= √a ·b(a≥0,b≥0). ·. 你能证明
这
个猜测吗?
求证：√a · √b= √a·b(a≥0,b≥0).
商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) √3.5;
解：原
解：原式
最简二次根式应满足如下特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
人教版 八年级 数学 下册 第十六章 16.2 二次根式的乘除法课件(共16张PPT)
二次根式相除,实际上就是把被开方数相
除,而根号不变．
请计算下列各式
32 (1)
2
3 4 1 7
5 10
如果根号前有系数，就把 系数相除，仍作为二次根号 前的系数。
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
a b a2c b2c （a＞b＞0）
6u2 10u3v （u＞0）
1）：课本：Page 10-11 1.2.3.4.8 课上完成
2）：课本：Page 11 5.6.7.10.11 课下完成
0.4 10
3 2 23
2 32
1 8 2
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相乘,实际上就是把被开方数 相乘,而根号不变．
逆用乘法法则： ab a • b(a 0,b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积．
请计算下列各式
12
a3 a 0
225
逆用除法法则：a a (a 0,b 0) bb
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab
3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，（目的：使分母不 含根号）.
将下列各式分母有理化:
5
4 9
2
2
3 2
====
9 25 3 5
16 9
4 9 9 25
思考：根据上述结果，我们是否能得出 一个结论呢？ 提示：是否可以将其推广到一般情况呢？
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》教学设计
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《二次根式的除法》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握二次根式相除的运算方法。
教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的除法运算，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为全书的难点，需要学生具备一定的数学基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、分数、有理数的除法运算，具备一定的数学运算能力。
但二次根式的除法运算较为复杂，需要学生能够灵活运用已知知识，解决实际问题。
同时，学生需要具备较强的抽象思维能力，理解并掌握二次根式相除的运算规律。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式相除的运算方法。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式相除的运算方法。
2.灵活运用已知知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生探究二次根式的除法运算。
2.通过实例分析，让学生理解并掌握二次根式相除的运算规律。
3.运用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力。
4.采用分层教学法，针对不同程度的学生进行针对性辅导。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，展示二次根式除法的运算过程。
2.准备实际问题，用于引导学生应用二次根式除法解决实际问题。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程利用PPT展示一个实际问题：某工厂生产一批产品，其中正品有600个，次品有300个，求正品和次品的比例。
引导学生思考如何用数学方法解决这个问题。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的除法运算，讲解二次根式相除的运算规律。
通过PPT 展示例题，让学生跟随老师一起解题，从而掌握二次根式除法的运算方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，老师巡回指导，解答学生遇到的问题。
在此过程中，引导学生运用二次根式除法解决实际问题。
4.巩固（10分钟）小组合作，让学生互相讲解PPT上的练习题，讨论交流解题心得。
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.