数与式-第4讲：二次根式

1、应用ab a b =⋅时，注意a 、b 都非负，否则不成立，如(6)(5)(6)(5)-⋅-≠-⋅-2、应用a abb=（0a ≥，0b >），注意a 非负，b 必须大于0否则不成立． 3、解分母有理化题目时，要从特殊到一般，理清解题的规律：11n n n n =+-++，再利用这个公式解题．4、在计算二次根式时，要注意结果要求最简形式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．例如8=22．5、分母有理化时，要注意类似于+a b 或者a b -这样的式子，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；6、要注意2()(0)a a a =≥和2a a =的区别．【方法技巧】 第四节 二次根式【知识梳理】7、把根号下的数放入根号下时步骤为①判断整体符号，②变成平方塞到根号下面，③检查整体符号和原来是否一致，④判断根号下是否符合非负数的条件．【考点突破】考点一：二次根式的基本概念例1、如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜2变式1、若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x≠1D．x≤1例2、下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．变式1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．例3、化简的结果为（）A．2+B．2﹣C．﹣2+D．﹣2﹣变式1、由于=﹣1，=﹣，=﹣，…，则（+ ++…+）（+1）=（）A．2007B．2008C．2009D．2010例3、如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2B．3C．4D．5变式1、下列各式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．例4、下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=C．×=6D．=4变式1、下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．考点二：二次根式的基本运算例1、．变式1、计算：．变式2、计算：（1）4+﹣+4（2）6﹣2﹣3．（3）（4）（5）﹣4+（6）（﹣）+（﹣）（+）（7）化简，结果正确的是（）A．1B．C．D．例2、（1）已知a+b=﹣3，ab=1，求的值．（2）已知x2﹣3x+1=0，求的值．变式1、（1）已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．（2）已知：x2﹣3x+1=0，求的值．例3、已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．变式1、．【分层训练】<A组>1、已知，则2xy的值为（）A．﹣15B．15C．D．2、已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．3、下列计算正确的是（）A．=±4B．=﹣=1C．（2﹣）（2+）=1D．=3﹣14、．<B组>1．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣+1C．﹣﹣1D．++12．若4与可以合并，则m的值不可以是（）A．B．C．D．3．观察下列二次根式的化简S1==1+，S2=+=（1）+（1）S3=++=（1）+（1）+（1）则=．4．观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．=．5．已知：a＜0，化简=．6．已知：a、b、c为正实数，且a+b+c=1．（1）比较大小：a2a；（2）试判断与4的大小关系，并说明理由．7．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得=；参照（四）式得=．（3）化简：+++…+．参考答案【考点突破】考点一：二次根式的基本概念例1、解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选B．变式1、解：由题意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，故选：B．例2、解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项不合题意；D、不能化简，符号题意；故选D变式1、解：A、为最简二次根式，符合题意；B、=2，不合题意；C、=，不合题意；D、=2，不合题意，故选A例3、解：原式===2+．故选A．变式1、解：（+++…+）（+1）=（﹣1+﹣+﹣+…+）（+1）=（）（）=2009﹣1=2008．故选B．例3、解：根据题意得，3a﹣8=17﹣2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选D．变式1、解：A、=2，与不是同类二次根式，本选项错误；B、=，与是同类二次根式，本选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，本选项错误；D、=3，与不是同类二次根式，本选项错误．故选B．例4、解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、﹣=﹣=，故本选项正确；C、×=，故本选项错误；D、==2，故本选项错误．故选B．变式1、解：A、3﹣=2≠3，故本选项错误；B、=2，故本选项正确；C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、=2≠﹣2，故本选项错误．故选B．考点二：二次根式的基本概念例1、解：原式===．变式1、解：原式=2﹣﹣（﹣2）=2﹣﹣+2=+．变式2、解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=6﹣﹣=6﹣．（3）原式=3+2﹣2=5﹣2．（4）原式=，====．（5）原式=2﹣+4=5；（6）原式=2﹣2+2﹣3=2﹣3．（7）原式=（2+）2013•（2﹣）2014=[（2+）（2﹣）]2013•（2﹣）=（4﹣3）2013•（2﹣）=2﹣．故选B．例2、解：（1）原式=+==3；（2）∵x2﹣3x+1=0，变形为x+=3，∴原式====．变式1、（1）已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．解：∵a+b=﹣5，ab=1，∴a＜0，b＜0，∴原式=+=﹣（+）=﹣=5．（2）已知：x2﹣3x+1=0，求的值．解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（）2=x++2=5，∴=．例3、解：∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0∴a=2，b=1，∴==7+．变式1、解：要使y=++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x=8，把x=8代入得：y=0+0+9=9，∴=，=+，=+，=．【分层训练】<A组>1、解：要使有意义，则，解得x=，故y=﹣3，∴2xy=2××（﹣3）=﹣15．故选：A．2、解：∵有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴=﹣a．故选A．3、解：A、原式=4，所以A选项错误；B、原式==，所以B选项错误；C、原式=4﹣5=﹣1，所以C选项错误；D、原式=﹣=3﹣1，所以D选项正确．故选D．4、解：x===2﹣，∴原式===﹣=﹣=﹣．<B组>1．解： ﹣=﹣===，a的小数部分=﹣1；﹣===，b的小数部分=﹣2，﹣====．故选B．2．解：A、把代入根式分别化简：4=4=，==，故选项不符合题意；B、把代入根式化简：4=4=；==，故选项不合题意；C、把代入根式化简：4=4=1；=，故选项不合题意；D、把代入根式化简：4=4=，==，故符合题意．故选D．3．解： =1+﹣，=1+﹣，=1+﹣，…=1+﹣，S1==1+，S2=+=（1）+（1），S3=++=（1+﹣）+（1）+（1），…S2016=（1+﹣）+（1）+（1）+…+（1+﹣）+（1+﹣），=2016+1﹣，=2016+，则==1+=．4．解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2009．5．解： 原式=﹣=﹣又 二次根式内的数为非负数a﹣=0a=1或﹣1a＜0a=﹣1原式=0﹣2=﹣2．6．解：（1） a、b、c为正实数，且a+b+c=1，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，a2＜a，故答案为：＜；（2）＞4，理由：方法一：=3a+1+3b+1+2=3（a+b）+2+2＞[3（a+b）+1]+2=，同理可证，＞，＞＞，a+b+c=1，=，即＞4．方法二：由（1）知a2＜a，则b2＜b，c2＜c，=＞=a+1+b+1+c+1=a+b+c+3，a+b+c=1，a+b+c+3=4，即＞4．7．解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．。