第4讲 二次根式(讲练)(精品解析版)

备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第4讲二次根式1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数并且也是非负数.2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．（2020•温岭市校级一模）当x＜1时，有意义．【思路点拨】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【答案】解：∵有意义，∴x﹣1＜0，解得x＜1．故答案为：＜1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解答此题的关键．2．（2019春•余姚市期末）下列各式正确的是（）A．＝±3 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣3【思路点拨】根据算术平方根的定义求解，即正数正的平方根是算术平方根．【答案】解：A、＝3，故此选项计算错误，不符合题意；B、＝3，故此选项计算错误，不符合题意；C、＝3，故此选项计算错误，符合题意；D、＝3，故此选项计算错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．3．（2020春•临邑县期末）下列运算中，正确的是（）A．＝±6 B．﹣1C．＝5 D．3＝3【思路点拨】利用算术平方根的定义对A进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．【答案】解：A、＝6，所以A选项错误；B、原式＝|1﹣|＝﹣1，所以B选项正确；C、原式＝2+2+3＝5+2，所以C选项错误；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．（2018•恩阳区模拟）若，则（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3【思路点拨】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．【答案】解：∵，∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质：≥0（a≥0），＝a（a≥0）．5．（2019•石家庄二模）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78 cm2B．cm2C．cm2D．cm2【思路点拨】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．【答案】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝+4，留下部分（即阴影部分）的面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．6．（2019•武汉）计算的结果是4．【思路点拨】根据二次根式的性质求出即可．【答案】解：＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟练地运用二次根式的性质进行化简是解此题的关键．7．（（2020春•越城区校级月考）如果y＝+3+2，那么x y＝49．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．【答案】解：由题意可知：，∴x＝7，∴y＝2，∴原式＝72＝49，故答案为：49．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．8．（2018春•杭州期末）已知（m﹣3）≤0．若整数k满足m+k＝3，则k＝2．【思路点拨】先根据（m﹣3）≤0，由≥0，可知m﹣3≤0，被开方数是非负数列不等式组可得m的取值，又根据m+k＝3，表示m的值代入不等式的解集中可得结论．【答案】解：由题意得：，∴2≤m≤3，∵整数k 满足m +k ＝3，∴m ＝3﹣k ，∴2≤3﹣k ≤3，∴3﹣3≤k ≤3﹣2，∴k 是整数，∴k ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示m 的值是本题的关键．9.（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a （a ﹣2），其中a ＝+1．【思路点拨】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【答案】解：原式＝a 2﹣2﹣a 2+2a＝2a ﹣2，当a ＝+1时，原式＝2（+1）﹣2＝2．【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．二次根式的有关概念：(1)(2)最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分母．②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．2．二次根式的性质：（1）(a )2＝a (a ≥0)．（2）a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab a ≥0，b ≥0)．（4）a b ＝a ≥0，b ＞0)． 二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a ·b a ≥0，b ≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．【考点一二次根式中字母的取值范围】例1．（2020•亳州模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．【答案】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．【变式训练】1．（2019•诸暨市模拟）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≤3 B．a＞3 C．a≥3 D．a＜3【思路点拨】根据二次根式和分式有意义的条件可得a﹣3＞0，再解即可．【答案】解：由题意得：a﹣3＞0，解得：a＞3．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．2．（2019•临朐县一模）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【答案】解：由题意可知：∴x≤3且x≠1，故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（2020•杭州模拟）要使代数式有意义，则x的取值范围是x＞﹣1．【思路点拨】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【答案】解：要使代数式有意义，则x+1＞0，解得：x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4. （2019秋•玉环市期末）要使代数式有意义，则x的取值范围为x≤1．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件得出1﹣x≥0且x2+1≥0，再求出即可．【答案】解：要使代数式有意义，必须1﹣x≥0且x2+1≥0，解得：x≤1，故答案为：x≤1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．5.（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝2018．【思路点拨】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．【答案】解：∵|2017﹣m|+＝m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017+＝m．化简，得＝2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．【考点二二次根式的性质】例2．（2019春•沂水县期末）下列化简正确的是（）A．＝4 B．＝﹣5 C．D．＝【思路点拨】根据二次根式的性质逐一化简可得．【答案】解：A．＝2，错误；B．＝5，错误；C．＝，错误；D．＝，正确；故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．【变式训练】1．（2020•余杭区一模）下列计算正确的是（）A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝【思路点拨】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．【答案】解：（A）原式＝|﹣7|＝7，故A错误．（B）原式＝|﹣7|＝7，故B错误．（C）原式＝＝，故C错误．（D）原式＝＝，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．2．（2019•中山市模拟）把a•的根号外的a移到根号内得（）A．B．﹣C．﹣D．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得a≤0，原式变形为﹣（﹣a）•，然后利用二次根式的性质得到﹣，再把根号内化简即可．【答案】解：∵﹣＞0，∴a＜0，∴原式＝﹣（﹣a）•＝﹣＝﹣．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质：＝a（a≥0）．3．（2019•鄂州模拟）如果1≤a≤，则的值是（）A．6+a B．﹣6﹣a C．﹣a D．1【思路点拨】由已知判断a﹣1，a﹣2的符号，根据二次根式的性质解答．【答案】解：∵1≤a≤，∴a﹣1≥0，a﹣2＜0故＝+|a﹣2|＝a﹣1+2﹣a＝1．故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a ＝0时，＝0．解决此类题目的关键是掌握二次根式及绝对值的运算．4.（2019秋•淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：+，其中a＝”有不同的解答．甲的解答是：+＝+＝+﹣a＝﹣a＝；乙的解答是+＝+＝+a﹣＝a+＝（1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简+【思路点拨】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．【答案】解：（1）乙的做法错误．当a＝时，，，故乙的做法错误．故答案为：乙（2）当a＜0时，；（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．+＝＝7﹣x+2x﹣5＝x+2【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题关键【考点三二次根式的运算】例3．（2020春•奉化区期末）计算：（1）（﹣）÷；（2）（+2）（﹣2）+．【思路点拨】（1）根据二次根式除法法则进行计算，再合并同类二次根式；（2）根据平方差公式及二次根式的性质进行计算．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝3﹣4+＝﹣2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质．【变式训练】1．（2019春•官渡区期末）下列计算正确的是（）A．＝±8 B．C．4＝1 D．【思路点拨】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【答案】解：A、原式＝8，所以A选项计算错误；B、原式＝＝＝，所以，B选项计算正确；C、原式＝，所以C选项计算错误；D、原式＝＝2，所以，D选项计算错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2．2019春•莒南县期末）下列计算正确的是（）A．＝B．3 C．×＝7 D．＝2【思路点拨】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【答案】解：，故选项A错误，，故选项B错误，，故选项C正确，，故选项D错误，故选：C．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．3.（2020春•温岭市期末）计算：2+（﹣）÷．【思路点拨】利用二次根式的除法法则运算．【答案】解：原式＝+1﹣＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．针对题目特点，灵活运用二次根式的性质计算．4.（2019•长沙一模）在计算的值时，小亮的解题过程如下：解：原式＝＝2……①＝2……②＝（2﹣1）……③＝……④（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．【思路点拨】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【答案】解：（1）③（2）原式＝2﹣＝6﹣2＝4【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．【考点四二次根式的化简求值及应用】例4．（2019•宁波模拟）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6，其中a＝﹣1．【思路点拨】直接利用多项式乘法将原式变形，进而把已知代入求出答案．【答案】解：原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6＝2a2﹣6﹣a2+6a+6＝a2+6a把a＝﹣1代入，得，原式＝a2+6a＝（﹣1）2+6（﹣1）＝4﹣3．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．【变式训练】1．（2019春•潢川县期末）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为8﹣12cm2．【思路点拨】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【答案】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故答案为：8﹣12．【点睛】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．2．（2018秋•宁强县期末）若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为．【思路点拨】根据勾股定理可以求得斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可解答本题．【答案】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，∴斜边长为：＝2，∴这个直角三角形斜边上的中线为，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．3.（2018春•上虞区期末）解答下列各题（1）计算：3﹣（+）+；（2）当a＝+，b＝﹣时，求代数式a2﹣ab+b2的值．【思路点拨】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）将a、b的值代入原式，根据完全平方公式和平方差公式计算可得．【答案】解：（1）原式＝3﹣2﹣+3＝；（2）方法一：当a＝+，b＝﹣时，原式＝（+）2﹣（+）（﹣）+（﹣）2＝5+2﹣（3﹣2）+5﹣2＝9．方法二：当a＝+，b＝﹣时，a+b＝++﹣＝2，ab＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，则原式＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝12﹣3＝9．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与运算法则.。