扩散定律
第八章扩散
扩散现象和本质
图8-3 对称和倾斜的势能曲线
扩散现象和本质
呈正弦波形变化（图8-12b）。
扩散应用举例
（一）铸锭（件）的均匀化退火
图8-12 铸锭中的枝晶偏析a）及溶质 原子在枝晶二次轴之间的浓度分布b）
扩散应用举例
（二）金属的粘接
1.
钎焊是连接金属的一
种方法。钎焊时，先将零
件（母材）搭接好，将钎
料安放在母材的间隙内或
间隙旁（图8-13），然后
将它们一起加热到稍高于
三、固态金属扩散的条件
扩散过程都是在扩散驱动力作用下进行的，如 果没有扩散驱动力，也就不可能发生扩散。墨水向 周围水中的扩散，锡向钢表面层中的扩散，其扩散 过程都是沿着浓度降低的方向进行，使浓度趋于均 匀化。相反，有些杂质原子向晶界的偏聚，使晶界 上的杂质浓度要比晶内高几倍至几十倍，又如共析 转变和过饱和固溶体的分解，扩散过程却是沿着浓 度升高的方向进行。可见，浓度梯度并不是导致扩 散的本质原因。
扩散现象和本质
应当指出，固态扩散是大量原子无序跃迁的统计 结果。在晶体的周期势场中，原子向各个方向跃迁的 几率相等，这就引不起物质传输的宏观扩散效果。如 果晶体周期场的势能曲线是倾斜的（图8-3），那么
原子自左向右跃迁的激活能为Q，而自右向左的激活 能在数值上为Q+ΔG（图8-3c）。这样一来，原子向
固态金属扩散的条件
（一）扩散要有驱动力
从热力学来看，在等温等压条件下，不管浓度 梯度如何，组元原子总是从化学位高的地方自发地 迁移到化学位低的地方，以降低系统的自由能。只 有当每种组元的化学位在系统中各点都相等时，才 达到动态平衡，宏观上再看不到物质的转移。当浓 度梯度与化学位梯度方向一致时，溶质原子就会从 高浓度地区向低浓度地区迁移；相反，当浓度梯度 与化学位梯度不一致时，溶质原子就会朝浓度梯度 相反的方向迁移。可见，扩散的驱动力不是浓度梯 度，而是化学位梯度。
第六章 扩散
J2 =
∂J dx + J 1 ∂x
J1
J2
物质在微小体积内的积存速率=
J1 A − J 2 A = −
∂J Adx ∂x
也可用体积浓度的变化率来表示，在微小体积Adx内的物质积存速率 为：
∂( CAdx ) ∂C = Adx ∂t ∂t
代入前式，约去Adx，有： 将扩散第一定律代入，有：
∂C ∂J =− ∂t ∂x
第六章 扩散 Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散 来进行，因而研究扩散特别重要。物质内 部的原子依靠热运动使其中能量高的部分 脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。 大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做 扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁 移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律 Fick’s First Law
N1-2=n1Pvdt
1
N2-1= n2Pvdt
2
设n1>n2，则及2净增加的溶质原子摩尔数为 Jdt=（n1－n2）Pvdt 所以：J=（n1－n2）Pv 选用体积浓度C=溶质摩尔数/体积，所以，1面和2面上的溶质原子体 C2=n2/a 积浓度分别为：C1=n1/a； 而从连续分布来看，2面上的溶质体积浓度又可表示为：
一、扩散现象 两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间， 发现浓度分布发生变化。
C=C2 C2>C1 C=C1
浓度
x
C2
原始状态 C1 距离x
二、菲克第一定律（Fick –1855） 菲克第一定律 菲克（A. Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向 的单位截面积的扩散流量J与浓度梯度dC/dx成正比。其数学表达 式为：
扩散系数的公式
扩散系数的公式扩散系数（Diffusion coefficient）是描述物质扩散能力的物理量。
一、菲克定律与扩散系数。
1. 菲克第一定律。
- 表达式为J = -D(dc)/(dx)，这里J是扩散通量（单位时间内通过单位面积的物质的量），D就是扩散系数，(dc)/(dx)是浓度梯度（沿x方向的浓度变化率）。
- 由该定律可以推导出扩散系数D=(-J)/(frac{dc){dx}}（在已知扩散通量J和浓度梯度(dc)/(dx)的情况下）。
2. 菲克第二定律。
- 表达式为(∂ c)/(∂ t)=Dfrac{∂^2c}{∂ x^2}（在一维扩散情况下），其中c是浓度，t是时间，x是空间坐标。
- 在一些特定的初始条件和边界条件下，通过求解菲克第二定律的方程，可以得到扩散过程中浓度随时间和空间的分布，进而可以确定扩散系数D的值。
例如在简单的扩散问题中，假设扩散物质初始时局限于某一区域，随着时间的推移，根据浓度分布的变化情况来计算D。
- 如果已知浓度c随时间t和空间x的函数关系c(x,t)，可以通过对(∂ c)/(∂ t)和frac{∂^2c}{∂ x^2}求导，然后根据菲克第二定律计算D=(frac{∂ c)/(∂ t)}{frac{∂^2c}{∂ x^2}}。
二、爱因斯坦 - 斯托克斯方程（适用于稀溶液中的球形粒子扩散）1. 公式为D = (kT)/(6πeta r)，其中k是玻尔兹曼常量（k = 1.38×10^-23J/K），T 是绝对温度，eta是溶剂的粘度，r是球形粒子的半径。
2. 这个公式的推导基于分子运动论和流体力学原理。
它表明扩散系数与温度成正比，与溶剂粘度和粒子半径成反比。
例如，在研究胶体溶液中球形胶粒的扩散时，可以通过测量温度T、溶剂粘度eta以及已知胶粒半径r，利用该公式计算扩散系数D。
第八章-扩散
F ui x
当化学位降低的方向与浓度降低的方向相反，如溶质原子 的偏聚、调幅分解等，扩散表现为向浓度高的方向进行， 称为上坡扩散。
1.弹性应力作用下的扩散 金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。 2.晶界的内吸附 如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会
扩散而聚集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内高。 3.电场作用下的扩散
第二节 扩散机制
§8.2.1 间隙扩散（Interstitial diffusion）
间隙扩散是小的间隙原子， 扩散时由一个间隙位置跃 迁到另一个间隙位置。间 隙原子换位时，必须从基 体原子之间挤过去，这就 要求间隙原子具有足够的 激活能来克服基体原子造
成的势垒。
图 间隙扩散机制示意图
图 面心立方结构的八面体间隙及（100）间隙
§8.2.2 置换扩散
1.柯肯达尔效应 柯肯达尔（Kirkendall）于1947年首先用实验验证了置换
将伴随有相变过程的扩散，或者有新相产生的扩散称为反 应扩散或者相变扩散。
图 反应扩散时的相图（a）与对应的浓度分布（b）和相分布（c）
图 纯铁的表面氮化 （a）Fe-N相图 （b）相分布 （c）氮浓度分布
第三节 影响扩散的因素
§8.3.1温度
由扩散系数的表达式 D=D0exp(-Q/RT) ，可以看 出，温度对扩散的影响是 很大的。
D0和Q是随成分和晶体结 构变化而变化的，与温度 基本无关，常看作常数。 扩散系数与温度的变化就 是指数关系。
图 Na＋在NaCl中的扩散系数
金属学与热处理8.2扩散定律
14
扩散系数是决定扩散速度的重要参量。讨论影响
扩散系数因素的基础常基于下式
Q D D0 exp( ) RT
从数学关系上看，扩散系数主要决定于温度，显
于函数关系中，其他一些因素则隐含于D0和Q 中。这
些因素可分为外在因素和内在因素两大类。
1 2 S m D0 d Z exp 6 k
2
9
（a）两端成分不受扩散影响的扩散偶
假设：1）两根无限长A、B合 金棒，各截面浓度均匀， 浓度C2>C1 2）两合金棒对焊，扩
散方向为x方向
3）合金棒无限长，棒 的两端浓度不受扩散影响 4）扩散系数D是与浓度无关的常数 根据上述条件可写出初始条件及边界条件 初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2 边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2
（2）因固体原子每次跳动方向是随机的，所以在 没有任何扩散情况下扩散通量为零。
原子每次跳动方向是随机的。只有当系统处于热平衡状态， 原子在任一跳动方向上的跳动几率才是相等的。此时虽存 在原子的迁移(即扩散)，但没有宏观扩散流。如果系统处 于非平衡状态，系统中必然存在热力学势的梯度(具体可 表示为浓度梯度、化学位梯度、应变能梯度等)。原子在 热力学势减少的方向上的跳动几率将大于在热力学势增大 方向上的跳动几率。于是就出现了宏观扩散流。
自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化。) 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。 （有浓度变化）
根据扩散方向
下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。
上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。
玻尔兹曼扩散定律
玻尔兹曼扩散定律引言玻尔兹曼扩散定律是描述微观粒子扩散行为的数学模型，被广泛应用于物理、化学和生物学等领域。
它由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪提出，经过多年的发展和实验验证，逐渐形成了完整的理论体系。
本文将全面介绍玻尔兹曼扩散定律的基本原理、数学表达式以及应用领域，并深入探讨其在自然界和工程实践中的重要性和意义。
理论基础扩散的基本概念扩散是指物质由高浓度区域向低浓度区域自发传播的过程。
在自然界中，大量的物质传输现象都可以归结为扩散现象，如二氧化碳在大气中的传播、离子在溶液中的扩散和脂质双层中的分子传输等。
扩散行为的描述玻尔兹曼扩散定律基于一系列假设，描述了微观粒子扩散行为的数学模型。
根据该定律，扩散速率与浓度梯度成正比，并与温度、压强等因素有关。
玻尔兹曼扩散定律的数学表达玻尔兹曼扩散定律可以用下式表示：J=−D dc dx其中，$ J $ 是物质的扩散通量，$ D $ 是扩散系数，$ c $ 是物质浓度，$ x $ 是传输距离。
扩散系数扩散系数是描述物质传输速率的重要参数。
它与物质的性质、温度、压强等因素密切相关。
在实际应用中，扩散系数可以通过实验测定或计算得到。
实验验证为了验证玻尔兹曼扩散定律的准确性，科学家们进行了大量的实验研究。
例如，他们将溶质分子溶解在液体中，并观察其在时间和空间上的分布变化。
实验结果往往与玻尔兹曼扩散定律的预测相吻合，验证了该定律的可靠性。
应用领域环境科学玻尔兹曼扩散定律在环境科学中有广泛的应用。
通过研究大气中的污染物扩散行为，可以评估和预测空气质量，为环境保护决策提供科学依据。
材料科学在材料科学中，玻尔兹曼扩散定律被用于研究材料中的原子和分子的扩散行为。
通过控制扩散速率，可以改变材料的性能和结构，从而实现材料的功能设计和优化。
生物学玻尔兹曼扩散定律在生物学领域的应用非常广泛。
例如，通过研究细胞膜中的分子扩散过程，可以揭示细胞内物质传输的机制，进而推动研究生物学中的一系列问题。
第11讲扩散定律
第十一讲扩散定律1.扩散第一定律考点再现：08、09年出现了证明扩散第一定律的题目，而10年出现了用误差函数解决扩散第二定律的问题，所以按照往年的经验，扩散第一定律和扩散第二定律必考其一，所以这部分比较重要，分值会在8至10分，题型还是简答。
考试要求：理解，记忆，并且要求会推导出扩散第一定律。
知识点在气体或者液体中，物质的传输方式为（扩散）和（对流）。
★★★★在固体中，物质的传输方式为（扩散）。
★★菲克第一定律，条件——稳态扩散，即材料内部各处的浓度不随时间而变（dc/dt=0）★★★★★单位时间内通过垂直于扩散方向单位截面的物质流量（称为扩散通量J）与该出的浓度梯度成正比。
J为扩散通量；D为扩散系数；dc/dx为浓度梯度。
由扩散第一定律可以得到一下几点结论：★★★（1）只要有浓度梯度，就会有扩散。
（2）扩散通量的大小与浓度梯度成正比（3）扩散方向与浓度梯度正方向相反，即扩散的宏观流动总是从溶质浓度高的向浓度低的方向进行。
2.扩散第二定律考点再现：10年已经出现了扩散第二定律的内容，相对来说11年考的可能性就要小一些，但是不能完全忽视，毕竟08，09还都考了扩散第一定律了，考试方式很固定，即误差函数法解扩散第二定律。
考试要求会用误差函数法解题，会计算，知道每个字母所代表的意义，对于一些题目，能够从中抽象出问题。
知识点扩散第二定律的表达★★★条件，非稳态扩散，即材料内部溶质浓度随时间改变。
dc/dt≠0因为这个公式相对比较复杂，所以对于这个公式的推导并不作为考试的要求，这一部分我们只需要把公式记住就可以了。
利用误差函数分布作为扩散第二定律的解★★★★★现对书中的例题进行讲解注：公式中，C0为初始浓度，C为某一点的浓度，Cs为表面浓度，x为浓度为C的那一点的深度，t为所需要的时间，将计算得到的结果查询误差函数表，就可以得到最后的结论。
同学们，以上就是第十一讲的主要内容，考点只有两个，即扩散第一定律的证明和用误差函数法解扩散第二定律，这两个考点都是非常重要的，每年二者必考其一，好了这一讲就到这里。
材料科学基础-第4章-扩散
边界条件：t＞0时，若x=0，则ρ=ρs
ρ0
若x=∞，则ρ=ρ0
由
x
ρ A 1 exp( β )dβ A 2
2 0 β
ρ
ρs ρ0 0
得解为：
)
ρ ρ s (ρ s - ρ 0 )erf(
x 2 Dt
11
第二章
固体结构
例题：在930℃对原始含碳量为ρ0的钢制工件进行渗碳，其表 面含碳量维持为ρs。渗碳t1 时，距表面深度0.2mm处含碳量为 ρc，求渗碳t2 时，含碳量为ρc处距离表面的深度。
散物质量。 D -扩散系数；ρ-扩散物质质量浓度；x -沿扩散方向距离 式中负号表示物质扩散方向与浓度梯度方向相反。 菲克第一定律反映稳态扩散，即扩散过程中，各处浓度不 随时间变化（
ρ t 0
）。
J x
2
第二章
固体结构
二、菲克扩散第二定律
通常扩散为非稳态扩散，即扩散过程中，各处浓度随时间 而变化（
若知各β值，查误差函数表可得erf(β) 值，若知 erf(β) 值，反查误差函数表可得β值。
7
第二章
固体结构
8
第二章 对（4）式
ρ A 1 exp( β
0 β 2
固体结构
)d β A 2
由初始条件确定积分常数，当t=0时： 若x＞0，则ρ=ρ1，β 代入ρ
A1
x 2
2
ρ 2 M πDt exp(2
lnρ
x
2
)
4Dt
x2
示踪原子
有： ln ρ A
x
4Dt
由lnρ-x2 曲线斜率可计算出D。
24
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概述
四、扩散的意义
无机非金属材料制备工艺中很多重要的物理化学过程 都与扩散有关系。例如，固溶体的形成、离子晶体的 导电性、材料的热处理、相变过程、氧化、固相反应 、烧结、金属陶瓷材料的封接、金属材料的涂搪与耐 火材料的侵蚀。因此研究固体中扩散的基本规律的认 识材料的性质、制备和生产具有一定性能的固体材料 均有十分重大的意义。
A
第一节 宏观动力学方程
一、稳定扩散和不稳定扩散
稳定扩散：
扩散物质在扩散层内各处的浓度不 随时间而变化，即dc/dt=0
不 间而变化，即dc/dt0
A
第一节 宏观动力学方程
二、扩散的动力学方程
1、菲克第一定律（Fick’s First Law）
在扩散体系中，参与扩散质点的浓度因位置而异、且可随时间 而变化。
A
第一节 宏观动力学方程
2、 菲克第二定律（Fick’s Second Law）
如图10-2所示，通过横截面积为A，相距为 dx的微小体积元前后的流量分别为J1和J2。 由物质平衡关系可得出：流入Adx体积元的 物质量减去流出该体积的量即为积存在微小 体积元中的物质量。 物质流入速率=J1A
物质流出速率 J2AJ1(JxA )dx 物质积存速率 J1AJ2A J x•A•dx
公式 ：
Jx=-Ddc/dx
式中 Jx—— 扩散通量。即单位时间单位 面积上溶质扩散的量。 由于扩散有方向性，故J为矢量, 对于三维有如下公式：
JD(icjckc) x y z
A
第一节 宏观动力学方程
菲克第一定律是质点扩散定量描述的 基本方程。它适于稳定扩散（浓度分 布不随时间变化），同时又是不稳定 扩散（质点浓度分布随时间变化）动 力学方程建立的基础。
A
概述
三、扩散的基本特点：
1、气体和液体传质特点
主要传质是通过对流来实现，而在固体中，扩散是主要传质过 程；两者的本质都是粒子不规则的布朗运动（热运动）。
2、固体扩散的特点：
a 固体质点之间作用力较强，开始扩散温度较高，远低于熔点；
b 固体是凝聚体，质点以一定方式堆积，质点迁移必须越过势 垒，扩散速率较低，迁移自由程约为晶格常数大小；晶体中质 点扩散有各向异性。
A
第二节 扩散机理和扩散系数
由热力学理论可知，在多组分的多相系统中任一组分i由α 相迁移到 相中，迁移量为dnimol，物系的吉布斯自由能的 变化为：
要使上述迁移过程自发进行，必须是 ：
因式中dni＞0，所以： 上式表明，组分i自发地由α相迁移到 相，即产生定向扩散 的条件是α相中i组分的化学势必须高于相中i组分的化学势， 即存在化学势梯度。随着扩散的进行，化学势梯度减小，直 到化学势梯度为零，达到平衡，扩散过程停止。
公式为：
dGDdcdsdt dx
式中 dc/dx—— 沿扩散方向（x方向）的浓度梯度。C是溶质单位容积浓度，
以g/cm3、l/cm3、原子数/m3。X是扩散方向上的距离（m）.
D—— 比例常数，又称扩散系数。
方程前面的负号表示原子流动方向与浓度梯度方向相反。 A
第一节 宏观动力学方程
菲克第一定律的另一种叙述：原子的扩散通 量与浓度梯度成正比。
A
第一节 宏观动力学方程
由菲克第一定律可得出单位时间内氧气的泄漏量：
式中 D —— 氧分子在球罐壁内的扩散系数； dc —— 氧分子在球罐壁内的浓度梯度。
dr
积分得：
式中 c1、c2——分别为氧气在球罐内外壁表面的溶解浓 度，c1>c2。 A
第一节 宏观动力学方程
根据西弗尔特（Sievert）定律：双原子分子气体在固体 中的溶解度通常与压力的平方根成正比。
第一节 宏观动力学方程
3、菲克定律的应用实例
气体通过某物质的渗透过程属于稳定扩散。 如对高压氧气球罐的氧气泄漏量的计算， 可应用菲克第一定律。
如图10－3。设氧气球罐的内外直径分别为r1和r2。罐中氧 气压力为P1，罐外氧气压力为大气压中氧分压p2．由于氧 气泄漏量与大气中氧分压相比很小，故可认为p2不随时间 变化。因此，当达到稳定状态时，氧气将以一恒定速率渗 透而泄漏。
即c＝Κ p 因此可得出单位时间内球罐中氧气的泄漏量为：
A
第二节 扩散机理和扩散系数
一、扩散推动力
根据热力学，扩散过程的发生与否与系统中化学势 有根本的关系，物质从高化学势流向低化学势是一 个普遍规律，一切影响扩散的外场（电场、磁场、 应力场等）都可以统一于化学势梯度之中。
因此扩散推动力的本质是化学势梯度，而且只有当 化学势梯度为零时系统扩散方可达到平衡；浓度梯 度不是质点定向扩散推动力的实质。
互扩散：有浓度差的空间扩散； 自扩散：没有浓度差的扩散。
2、按扩散方向分： 顺扩散：由高浓度区向低浓度区的扩散，又称下坡扩散; 逆扩散：由低浓度区向高浓度区的扩散，又称上坡扩散。
A
概述
3、按原子的扩散方向分：
体扩散：在晶粒内部进行的扩散； 表面扩散：在表面进行的扩散； 晶界扩散：沿晶界进行的扩散称为。 表面扩散和晶界扩散的扩散速度比体扩散要快得多， 一般称前两种情况为短路扩散。 此外还有沿位错线的扩散，沿层错面的扩散等。
A
第一节 宏观动力学方程
物质在微体积中积聚速率可表示为：
(CA)dxc•A•dx
t
t
∴
c•A•dxJ•A•dx c J
t
x
t
x
代入第一定律，则有：
c (Dc) t x x
A
第一节 宏观动力学方程
也可写作
c t
D2Cx2
三维菲克第二定律形式：
ctD (2cx22cy22cz2)
菲克第二定律主要适于不稳定扩散。 A
A
第二节 扩散机理和扩散系数
二、晶体质点扩散的微观方式
晶体质点迁移方式有以 下五种方式。 如图10－5所示：
1、易位扩散 如图中（1）所示，两个相 邻结点位置上的质点直接 交换位置进行迁移。
A
第二节 扩散机理和扩散系数
2、环转易位扩散 如图中（2）所示，几个结点位置上的质点以封闭的环形依次 交换位置进行迁移。 3、空位扩散 如图中（3）所示，质点从结点位置上迁移到相邻的空位中， 在这种扩散方式中，质点的扩散方向是空位扩散方向的逆方向。 4、间隙扩散 如图中（准）所示，间隙质点穿过晶格迁移到另一个间隙位置。 5、准间隙扩散 如图中（5）所示，间隙质点从间隙位置迁到结点位置，并将 结点位置上的质点撞离结点位置而成为新的间隙质点。
第十章 扩散与固相反应
主讲人: 冶金学院硅酸盐教研室
概述
一、扩散的基本概念
当物质内有浓度梯度、应力梯度、化学梯度 和其它梯度存在的条件下，由于热运动而导 致原子（分子）的定向迁移，从宏观上表现 出物质的定向输送，这个输送过程称为扩散。 扩散是一种传质过程。
A
概述
二、从不同的角度对扩散进行分类
1、按浓度均匀程度分：