用模拟法描绘静电场

用模拟法描绘静电场

静电场是由电荷分布决定的。给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦议程组和边界条件来求得电场分布。但大多数情况下求出解析解，因此，要靠数字解法求出或实验方法测出电场分布。

【实验目的】

1.学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。

2.掌握了解模拟法应用的条件和方法。

3.加深对电场强度及电势等基本概念的理解。

【实验仪器】

导电液体式电场描绘仪，同轴电极，平行板电极，白纸（自备）

【实验原理】

直接测量静电场是很困难的，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。因此，在实验中采用恒定电流场来模拟静电场。即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。

模拟法的要求是：仿造一个场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测曲势分布时，不会使电场分布发生畸变，这样就可以间接测出静电场。

用模拟法测量静电场的方法之一是用电流场代替静电场。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场

具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面。这些面也是静电场中的等位面。通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。这样等位面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。

检测电流中各等位点时，不影响电流线的分布，测量支路不能从电流场中取出电流，因此，必须使用高内阻电压就能消除这种影响。当电极接上交流电压时，产生交流电场的瞬时值是随时间变化的，但交流电压的有效值与直流电压是等效的（见附录），所以在交流电场中用交流电压表测量有效值的等位线与直流电场中测量同值的等位线，其效果和位置完全相同。

模拟法的应用条件是“模拟场“的基本规律或所满足的数学议程要与被模拟的场完全一样，这种模拟为数学模拟。恒定电流场和静电场满足相似的偏微分方程，只要带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。那么这两个场的分布就是一样的。

根据静电场与恒定电流场的对应关系，上述静电场可以用下面的恒定电流场来模拟：两长直同轴圆柱形导体，内圆柱半径为a，外圆筒内半径为b，其间充以电容率为ε的均匀电介质，内

外圆柱保持电势差V

0=V

A

—V

B

。只要我们测出模拟恒定电流场的分布，则可得出被模拟静电场的分

布。

不用形状的电极，可以模拟不同形状的静电场，如平行板电极，可以模拟平行板电容器中的

静电场。

图a 图b

如图a 所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为a ，外电极半径为b ，内电极电势Va ，外电极电势Vb ＝0，在两极间距轴心r 处的电势为：

dr E V V r a a r ??-=，

由高斯定理知半径为r 的圆柱面上的电场是：)(2b r a r E ≤≤=επλ

式中λ是圆柱面单位长度上的电量，ε是两极间介电常数，由两式可得

)ln(22a r V dr r

V V a r a a r ?-=?-=?επλεπλ 当r ＝b 时，0)ln(2=?-=a b

V V a b επλ，则)/ln(2a b V a

επλ=，代入上式有：

)/ln()/ln()/ln()/ln()ln(2a b r b V a b a r V V a r

V V a a a a r ?=?-=?-=επλ

此式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。

若在同轴圆柱电极间充填均匀不良导体，在该电极间将形成稳定的电流场。同上道理，也可

推导出稳定电流场中的电势分布公式为

)/ln()/ln(`a b r b V V a r ?=

比较两个公式不难看出，它们都满足高斯定理的拉普拉斯方程，其电势分布是相同的。而稳定电流场不会因为探针的引入导致电场畸变，所以完全可用电极尺寸相同，边界条件一样的稳定电流场来模拟静电场进行探测，从而间接描绘出静电场的分布状况。

【实验内容及步骤】

1.按线路图连接线路（图b 为同轴圆柱电极）。

2.用水准仪调平水槽架底座。在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记录测绘点；接通电源，电压调至10V ，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。

3.将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V ，其值由数字电压表置“检测”时读出。若电压显示为0V ，则改变电源电压输出极性。

4.让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.0V 、

5.0V 、3.0V 、1.0V 的等势线，每一个等势线8个测量点。

5.用探针沿外电极内、外侧分别取三个和一个记录点，用于确定电极的圆心和外电极的厚度；记录内电极直径和外电极内直径。

6.用平行板电极换下同轴圆柱电极重复（2、3）两个步骤，分别沿

7.5V 、5.0V 、2.5V 三个等势线各记录8个测量点(均匀分布)，并做出确定电极位置的测量点。

7.在平行板电极测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，

绘出实验等势线和电场线。

8.在同轴圆柱电极记录纸上，用几何方法确定圆心，画出内、外电极，用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，绘出理论等势线（根据公式计算）和电场线。

9.量出同轴圆柱电极记录纸上等势线各测量点到圆心的距离，求出平均值。在半对数坐标纸

ln，画出实验曲线。

上绘出Vr/Va～lnr理论曲线，标出对应的实验测量点r

【实验教学指导要点】

1．模拟场除满足与被侧场有相似地数学方程和边界条件外，还要求水槽底座一定要水平，溶液导电率远小于电极且处处均匀，电源必须是一定频率的交流电，以防止电介质的极化。

2．水槽中装入的水不可漫过电极上表面。

3．导线的连接一定要牢固，避免因接触电阻而导致输出电压达不到要求。

4．描绘电场线应始于高电势电极的外表面，终止于低电势电极的内表面，且处处与等势线垂直。电场线的密度反映了电场强度的大小。

５．上层记录纸上打点时，不要用力过猛，轻轻按即可，以免移动电极，带来误差。

６．做实验时，要确定圆心；要确定电极位置；除此之外，还要描出两极板之间的区域外向外延伸的边缘效应。

７．作图时，不仅要画出等势线，还应画出电场线（起于正电荷，止于负电荷）。

平行板电极电场分布

８．在半对数坐标纸上作图时，要把理论直线和实验直线同时作出。

V

r /V

a

～ln r曲线

V

r

此图用半对数坐标纸进行绘制，纵向为均匀分布，横向为对数分布。图中理论曲线为过(ln a,

1)和(ln b, 0)，线上四点为实际测量点。

９．在电极间加上直流电压时所形成的电场是不随时间变化的，是稳定的。如果在电极间加交流电压，电场将随时间而变，场面稳定。但考虑到直电极间加上不同值的直流电压时，

场中相对的电势值一定的等势线或面的几何形状和位置都不变。既接交流电压时，可看

作在电极上块速变换不同值的直流电压（包括极性）。因此，在交流电场中测定的相对

电势线和直流电场中测定的同值相对电势等势线，其开头和位置都完全相同。但必须指出这里的完全相同是有条件的。我们所选的交流电的频率不能高，否则会出现电极间点电势不是目前增减的效应。我们选用的是50HZ的交流电，场中的电极和不良条件互相杨成电容的影响可以忽略不计。完全符合条件。

【实验随即提问】

1.提问：本实验对静电场的测绘采用的是什么方法？为什么要用此方法？

回答：采用的是模拟法测绘静电场。因为直接测量静电场的分布，需用探针对空间各点逐点进行测量。当把探针放入静电场后，由于静电感应，探针上会产生感应电荷，则会改变原电极的电荷分布，从而引起原电场的畸变。显然直接测量不可行，所以采用模拟法来进行测绘。

2.提问：模拟法分为哪两种模拟，其应用的条件是什么？本实验采用的是哪一种模拟？

回答：模拟法分为物理模拟和数学模拟。物理模拟的应用条件为物理相似和几何相似，即模型和原型都遵从同样的物理规律；模型的几何尺寸与原型的几何尺寸成比例的放大或缩小。数学模拟应用的条件为模型与原型在物理实质上可以完全不同，但它们都遵从相同的数学规律，即满足相似的数学方程，还要带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。用恒定电流场模拟静电场采用的是数学模拟。

３.提问：为什么不良导体内的电场分布与真空中的静电场分布相同？

回答：因为在不良导体内没有电流通过时，其中任一宏观体积元中的正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。当有直流电流通过时，单位时间内流出体积元的电荷被流入的同号电荷所

代替，体积元内正负电荷数量还是相等，因而整个体积内呈电中性。换言之，真空中的静电场是由电极上的电荷产生的，而在有恒定电流通过的不良导体中，电场也是由电极上的电荷产生的。不同的是静电场中电极上的电荷静止不动，而恒流场中电极上的电荷一边流失，一边由电源随时补充，在动态平衡状态下保持电荷的数量不变。所以，两种状况下电场的分布是相同的。

４.提问：用恒定电流场模拟静电场的实验条件是什么？

回答：实验条件首先要求不良导体在两极间区域内其电导率是常数，并保持其厚度不变；其次要求测量电势的仪表中基本上无电流通过。从本质上讲就是要保证测量时，恒定电流场的电位分布在极间区域内和边界上不会因测量操作而发生改变。

５.提问：实验中如何做测量点？

回答：⑴同轴柱形电极沿半径做测量点。

首先沿与实验者垂直的两个半径做测量点，沿半径由高电势向低电势（由中心电极向外电极）依次做四个测量点；再反方向沿另一个半径线做四个测量点；其次沿水平方向的两个半径做测量点，最后再做左斜和右斜的四个半径线，其布局如同一个“米”形。这样做测量点的优点在于不会遗漏测量点，同时也可使同一条等势线上的测量点均匀分布。做完所有等势线上测量点后，还需沿外电极外沿做三个测量点，以确定电极的圆心。

⑵平行板电极沿等势线做测量点，由高电势向低电势依次做出等势线。

沿等势线做测量点时，不可只局限于电极两端之间的区域内，一定要向外延伸扩展。因为实验中的平行板电极是有限长的，在电极两端电场存在边缘效应，所以，在测量中沿等势线先在中间做四个测量点，其次在电极两端各做一个测量点，然后向两端外延约1厘米再各做一个测量点，

最后，再沿两个电极板的四个角各做一个测量点，确定电极的位置。

６.提问：如何绘制电场分布图？

回答：⑴ 同轴柱形电极：

首先根据外电极外沿的三个测量点，用几何作图法确定圆心，由测出的半径a 、b ，画出完整的同轴柱形电极。由公式算出各等势线的理论半径值，按理论半径值画出等势线。用同一种符号标出同一等势线上的八个测量点，并注明等势线的量值。再依据电场线与等势线处处正交的特性，画出电场线，标出其方向（由公式E=-dU/dr 知，电场的方向是由高电势指向低电势）。

因为在静电平衡状态下，导体内部电场为零，电荷分布于导体表面。所以电场线始于中心电极的外表面，终止于外电极的内表面。

最后写出图名（同轴柱形电极电场分布图）。

⑵ 平行板电极

根据确定电极位置的测量点画出两电极板，分别用光滑曲线连接同一电势的八个测量点，画出等势线，用同一种符号将测量点标出，并注明等势线量值。与同轴电极一样，画出电场线及其方向。在画电场线时，要特别注意靠近极板两端电场的边缘效应。写出图名（平行板电极电场分布图）。

７.提问：如何为什么对柱形电极要用单对数坐标纸作图？怎样用单对数坐标纸作图？ 回答：由极间电势的公式12

2

ln ln r r r r U U a r 知，a r U U 仅仅只是坐标r 的函数，所以用单对数坐标纸可以表现出a r U U 与r 的线性关系，且作图比较便捷。

单对数坐标纸（又称半对数坐标纸）在制作时已将某个轴向取好对数，从坐标纸上看刻度值，一个轴向是均匀分布，而另一个轴向则是对数分布。在做同轴柱形电极“

a r U U ～r ln 理论曲线”图时，在坐标纸上以均匀分布刻度为纵轴取名a r U U ，以对数分布刻度为横轴取名r （cm ），

以点(lna,1)和点(lnb,0)为端点，画出理论直线。然后，分别量出各等势线上八个测量点的实际半径记录于数据表中，并算出各等势线实际平均半径值，在坐标纸上描出平均值点，观察其是否落在理论直线上。

8.提问：能否模拟平行轴电线或带有等量异号电荷的平行长直圆柱体的电场？为什么?

回答：能。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面。这些面也是静电场中的等位面。通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。这样等位面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。

9. 提问：请给出模拟平面板与其中垂面上长直带电圆柱体的电场的主要步骤？

回答：(1).按线路图连接线路。

(2).用水准仪调平水槽架底座。在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记

录测绘点；接通电源，电压调至10V，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。

(3).将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V，其值由数字电压表置“检测”时读出。若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。

(4).让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.5V、5.0V、2.5V的等势线，每一个等势线8个测量点。

(5).用探针沿带电圆柱体电极外侧取三个记录点，用探针沿带电平面板电极外侧取四个记录点，用于确定电极的圆心和电极的厚度。

(6). 在测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。