巧构一线三直角解题
中考数学二轮复习《一线三等角模型》知识梳理及典例讲解课件
DF＝ AD＝2.∵
∠ADC＝90°，∴ ∠EDM＝180°－∠ADC＝
90°.∵ ∠M＝45°，∴
DM＝
＝3，EM＝
＝3
.∴ MF＝
DF＋DM＝5.∵ ∠PFE＝45°，∴ ∠AFG＋∠EFM＝180°－
∠PFE＝135°.∵ ∠FAG＝45°，∴ ∠AFG＋∠FGA＝180°－
∠FAG＝135°.∴ ∠FGA＝∠EFM.又∵ ∠FAG＝∠M＝45°，
∴ △AFG∽△MEF.∴
＝ ，即 ＝ .∴
AG＝ .
典例5图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上.
典例4图答案
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F
是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，
PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长.
解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
＝CE.在Rt△ABC中，BC＝
＝2
，∴ BD＝BC－DC＝2 －2.∴ CE
＝2 －2.∴ AE＝AC－CE＝4－2 .③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE
＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴
AE＝ AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2
巧构一线三直角解题
巧构一线三直角解题教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。
通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。
几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。
所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。
基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。
我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或△ABD≌△DCE)。
点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。
当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。
综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。
本文将重点对这一基本图形进行探讨。
一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等）如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。
若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为()。
解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。
点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。
变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。
把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。
分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。
二、在折叠中构造一线三直角如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。
若ＯＢ=5，tan∠BOC=，则点A’的坐标是多少？解析：因为ＯＢ=5，tan∠BOC=，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题几何模型—一线三等角模型(解析版)
专题13 几何模型3—一线三等角模型【模型介绍】一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角【解题关键】构造相似或是全等三角形【典型例题】【题型一：一线三直角模型】如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ．【例1】如图1所示，已知△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC ，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF =AE +BF ；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF <AE ），其余条件不变，猜想EF 与AE ，BF 有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m 绕点C 旋转到图3所示的位置时（BF >AE ）其余条件不变，问EF 与AE ，BF 321DBP AC的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．【答案】（1）见解析；（2）EF=AE−BF，证明见解析；（3）EF=BF−AE，证明见解析【解析】（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CF+CE，∴EF=AE+BF；（2）解：EF=AE−BF，理由如下：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CF−CE，∴EF=AE−BF；（3）解：EF=BF−AE，理由如下：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CE−CF，∴EF=BF−AE．【练1】如图，在平面直角坐标系中，将直线y=−3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形AB C．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，∴∠ECF＝90°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，{∠AFC ＝∠BEC ＝90°∠ACF ＝∠BCEAC ＝BC， ∴△ACF ≌△BCE （AAS ），∴S △ACF ＝S △BCE ，∴S 矩形OECF ＝S 四边形OBCA ＝S △AOB ＋S △AB C ．∵将直线y ＝−3x 向上平移3个单位可得出直线AB ，∴直线AB 的表达式为y ＝−3x ＋3，∴点A （0，3），点B （1，0），∴AB ＝√OA 2＋OB 2=√10，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC =BC =√22AB =√5， ∴S 矩形OECF ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12×1×3＋12×√5×√5＝4．∵反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点C ，∴k ＝4，故选C ．【练2】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA =60°，若点A 在反比例函数y =3x (x >0)的图象上，则经过点B 的反比例函数表达式为（ ）A ．y =−3xB ．y =3xC ．1y x =-D ．y =1x【答案】C 【解析】解：作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，如图，∵∠AOB=90°，∠ABO=60°，∴∠BAO=30°，∴OB=√33OA．∵点A在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，∴xy=OD∙AD=3．∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOC=∠DAO，∴Rt△BOC∽Rt△OAD，∴S△BOCS△DAO =(OBOA)2=13．∵S△DAO=12OD∙AD=12×3=32，∴S△BOC=12，即12|k|=12，∴|k|=1．∵k<0，∴k=−1，∴经过点B的反比例函数解析式为y=−1x．故选：C．【练3】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．13B. 617C．√55D. √1010【答案】D【解析】如图，过点A作AD⊥l1于点D，过点B作BE⊥l1于点B，设l1，l2，l3之间的距离为1∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE在等腰直角△AB C中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt△AC D中AC=√AD2+CD2=√22+12=√5在等腰直角△AB C中AB=√2AC=√2×√5=√10∴sinα=1√10=√1010故选：D【练4】如图1，等腰Rt△AB C中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD ⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BE C．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P 是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG 是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、(203,22 3).【解析】解：（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3，∴OD=3+4=7，∴点C的坐标为（7,3）；②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处，a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）；b、若点C在C1的位置处，同理可得，则点C1的坐标为（4,7）；c、若点C在C2的位置处，则C1、C1关于点A对称，∵点A（0，4)，点C1（4,7），∴点C2的坐标为（-4,1）；d、若点C在C3的位置处，则C3、C关于点B对称，∵点B(3，0），点C（7,3），∴点C3的坐标为（-1,-3）；综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况：①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM =BG，即：12-2x=8-x，解得x=4，∴G（4，2）；当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF 的延长线于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM =BG，即：2x-12=8-x，解得x=203，∴G(203,223)；综上，G点的坐标为（4，2）、(203,22 3).【题型二：一线三锐角与一线三钝角】如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3∴∠C ＝∠DPB ，∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．（证明同锐角）【例2】如图，在等腰三角形AB C 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．【答案】（1）y =12x 2−√3x +2(0<x <2√3)(2) AE ＝4－2√3或AE ＝23 【解析】解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，3CDBP A 231DB P A CEC DB A∴∠AFB ＝90°，∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝√3，∴BC ＝2BF ＝2√3，则DC ＝2√3−x ，EC ＝2－y∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD =DC CE ， ∴2x =2√3−x 2−y， 化简得：y =12x 2−√3x +2(0<x <2√3)．（2）①当AD ＝DE 时，如图，△ABD ≌△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝2√3−x ，x ＝2√3−2，代入y =12x 2−√3x解得：y ＝4−2√3，即AE ＝4−2√3，②当AE ＝ED 时，如图，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°则ED ＝ 12 EC ，即y ＝12 （2－y ）解得y ＝23，即AE ＝23；③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120° 此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． EC DB AAB C所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－2√3或AE＝23【练1】如图，在△AB C中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见解析；（3）可以，110°或80°.【解析】解：（1）∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，{∠ADB ＝∠DEC∠B ＝∠CAB ＝DC∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，∵∠BDA =110°时，∴∠ADC =70°，∵∠C =40°，∴∠DAC =70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC =100°，∵∠C =40°，∴∠DAC =40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．【练2】阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△AB C 中，∠ABC ＝45°，AB ＝2√2，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，CE ＝√5，求CD 的长；小胖经过思考后，在CD 上取点F 使得∠DEF ＝∠ADB （如图2），进而得到∠EFD ＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF ∽△CDE ．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在△AB C 中，∠ACB ＝∠DAC ＝∠ABC ，AD ＝AE ，12∠EAD +∠EBD ＝90°，求BE ：E D ．【答案】CD=5；（1）证明见解析；（2）12【解析】解：（1）在CD 上取点F ，使∠DEF ＝∠ADB ，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝√2AD＝√2AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴DFAB =DEAD＝√2，∵AB＝2√2，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴CECF =DCCE，又∵DF＝4，CE＝√5，∴√5CF =√5，∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵12∠EAD+∠EBD＝90°，∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴BEDT =DEAD，∠ADT＝∠BED，∴BEDE =DTAD，且AD＝DC，∴BEDE =DTCD，∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，∴∠BED＝∠AER，∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，∴RE＝RB＝DT，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）∴BR＝TC，∴DT＝TC，∴CD＝2DT，∴BEDE =DTCD＝12【练3】数学模型（“一线三等角”模型）(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．(2)如图2，在△AB C中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；(3)如图3，D，E是直线l上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)a+b(3)△DEF是等边三角形，理由见解析．【解析】(1)证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠C，在△ABD和△CAE中，{∠1=∠C∠ADB=∠CEA=90°AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），(2)解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∵CE＝a，BD＝b，∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；(3)解：△DEF是等边三角形，理由如下：∵△ABF和△ACF都是等边三角形∴AB＝AC，由（2）知：△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，AB＝AF，∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠F AE，在△BDF和△AEF中，{FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，∴△BDF≌△AEF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，∴△DEF是等边三角形．【练4】数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x，AB=2，BD=5，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5，BC=6．若△CDE为直角三角形，求CD的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内任一点．△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．【答案】(1)CD=−12x2+52x(2)3(3)(3,1)或(−1,3)【解析】(1)解：∵∠ABP=∠APC=∠PDC=α，∴∠A+∠APB=∠APB+∠CPD，∴∠A=∠CPD，又∵∠ABP=∠PDC，∴△ABP∽△PDC，∴ABPD =BPCD，即xCD =25−x，∴CD=−12x2+52x．(2)解：如图4，当∠CED=90°时，∵∠ADE=∠C，∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴∠ADC=∠AED=90°，∵∠B=∠C，∠ADC=90°∴点D为BC的中点，∴CD=12BC=12×6=3．如图5，当∠EDC=90°时，∵∠B=∠C，∴∠BAD=∠EDC=90°，过点A作AF⊥BC，交BC于点F，∴BF=12BC=3，cos B=BFAB=ABBD=35，BD=253>6，不合题意，舍去，∴CD=3．(3)解：分两种情况：①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C ＝90°，∴四边形OECD是矩形∵点A的坐标为（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，{∠C=∠BEO=90°∠BAC=∠OBEAB=BO∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，∴x＝3，x－2＝1，∴点B的坐标是（3，1）；②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）．。
专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
一线三垂直模型的应用技巧
一线三垂直模型的应用技巧
一线三垂直模型是指在制图中，正视图的三条垂直线能够构成一个等腰直角三角形，这种模型适用于以下应用技巧：
1. 定位标高点：利用垂直线的高度来确定标高点，可以采用标注高度的方式快速定位建筑物或地形的高度。
2. 确定尺寸和比例：在制图过程中，通过修改垂直线的长度来调整尺寸和比例，以确保图纸的尺寸与比例的准确性。
3. 实现构图对称性：利用三垂直线的对称性，构图更易对称，令图纸更美观。
4. 精确表示立体配合关系：通过垂直线的位置和长度，可以精确表示建筑物或物品间的立体配合关系，便于设计和制造。
5. 改进制图流程：采用一线三垂直模型，可以简化制图流程，减少出错率，提高制图效率。
一线三垂直全等模型解题技巧
一线三垂直全等模型解题技巧1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个看似神秘却又超级有趣的数学话题——一线三垂直全等模型。
听起来有点高大上，其实就是在解题时用一个简单的图形来搞定复杂的问题，真的是轻松又带劲！想象一下，数学就像一场游戏，咱们只需要找到通关的钥匙就行。
今天就带大家一起来看看，这个技巧是怎么让我们从“数学恐惧症”中解放出来的！2. 一线三垂直全等的基础2.1 什么是一线三垂直？首先，让我们弄清楚“一线三垂直”这个概念。
顾名思义，就是有一条线，然后从这条线上引出三条垂直的线段。
想象一下，像一个小叉子，叉子底部是那条水平线，而上面的三个尖尖的地方就是那三条垂直线。
听起来简单吧？这就是咱们解题的基础模型，轻松到位，简直是数学界的“黄金搭档”！2.2 为什么全等很重要？好啦，既然有了这个模型，那全等又是什么呢？简单来说，全等就是在形状和大小上完全一样，就像你和你的小伙伴儿一模一样！在数学里，全等的概念能帮助我们轻松判断各种几何关系，比如找出相似三角形、平行线等。
把这个原理运用到一线三垂直的模型里，可以说是事半功倍，像是吃了“强力补剂”一样，分分钟提升解题效率！3. 解题技巧3.1 从简到繁，逐步深入接下来，我们就要聊聊解题时的具体步骤了。
首先，看到题目后，不要慌！先把题目里的关键信息标出来，比如点、线和角。
接着，画出一线三垂直的模型，确保每个点的位置都清晰。
这个时候，画图真的很重要，毕竟“心中有图，手中无忧”！然后，借助全等的性质，去推导出所需的结论，像个侦探一样，逐步揭开谜底。
3.2 应用实例，实践出真知让我们来看一个实际例子吧！假设题目给了你一个三角形，其中有一条边是水平的，另外两条边是垂直的。
此时，我们可以直接用“一线三垂直”的模型，将问题转化成更简单的形式。
比如，如果你要找这个三角形的高，可以直接利用垂直的特性，进行简单的计算。
没错，数学就是这样简单粗暴，让你在解题时瞬间感觉像是在打游戏一样，爽！4. 总结最后，别忘了，一线三垂直全等模型不仅仅是解题工具，更是一种思维方式。
建构数学模型 深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例
技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。
W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。
这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。
由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。
对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。
似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。
1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。
2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。
所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。
根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。
初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型
初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一 三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一 致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试 题，由于模型的题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题． 两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都 着重推理转化等数类型二 隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查， 提升了学类型三 一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模 型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性． ，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型 这几道题实时也有效地检测类型四 线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。
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巧构一线三直角解题
发表时间：2017-02-14T14:06:18.193Z 来源：《中小学教育》2017年2月第269期作者：鲍玉秀张刚
[导读] 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。
山东省淄博市周村区北郊中学255000；山东省淄博市修文外国语学校255000
教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。
通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。
几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。
所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。
基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。
我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或
△ABD≌△DCE)。
点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。
当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。
综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。
本文将重点对这一基本图形进行探讨。
一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等）
如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。
若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为( )。
解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。
点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。
变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。
把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。
分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。
二、在折叠中构造一线三直角
如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。
若ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，则点A’的坐标是多少？
解析：因为ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。
设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1), DE=AB，2a+ (a+1)=2，解得a= ,所以A’的坐标（- ，）。
点评：此题是以矩形折叠为载体，如果利用常规方法勾股定理及全等计算很麻烦。
如果构造一线三直角是非常简单的，过A’做AB的平行线，与BC、AO的延长线交于E、D, △A’OD∽△A’BE。
设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1),DE=AB，2a+ (a+1)=2，计算量相当简单。
三、画斜为直，找直线构造一线三直角
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标是（-7，1），∠AOB=135°，OB=5。
（1）求△AOB的面积。
（2）求点B的坐标。
解析：设B（x,y），过B点作BF⊥x轴，过D点作x轴的平行线，与y轴交于G点，过A点作AC⊥CD。
因为∠AOB=135°，AO=5 2，所以∠AOD=45°，AD=OD=5，所以△BOF≌△DOG≌△DCA，所以AD=OD=BO,AC=DG=OF,CD=OG=BF，所以△AOB的面积= ×5×5= ，所以x+y=7,1+y=x，所以x=4,y=3。
点评：这是一道一题多解的题，将∠AOB=135°转化为∠AOD=45°，构造等腰直角三角形，再构造模型一线三直角（全等）。
四、在圆中构造一线三直角
如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F。
若点F的坐标为(0,1),点D的坐标为(6,－1)。
（1）求证：DC=FC。
（2）求直线AD的解析式。
解析：(1)由△OFC≌△GDC得到OC=CG，过点作DG⊥x轴，连接AC，因为AD为直径，所以∠AGD=90°，△OAG∽△CGD，所以DG∶GC=OG∶OA，所以1∶3=3∶OA，所以OA=9。
点评：从圆中找直角，利用直径得圆周角等于90°，问题便可迎刃而解。
基本图形的教学是初中几何教学的重点，也是难点，教师在平时教学中要注重基本图形的研究，要有足够的耐心等学生慢慢积累。
学生的学习达到一定程度就会从复杂的图形中提炼出基本图形，才会出现解决问题时的灵感。