3.4 中心极限定理
中心极限定理公式解释
中心极限定理：是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
最早的中心极限定理是讨论重点，伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
中心极限定理演示
中心极限定理演示
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，指的是在一定条件下，大量相互独立、同分布的随机变量的均值的分布近似于正态分布。
这个定理对于统计学、自然科学、社会科学等领域都有着重要的应用。
为了更好地理解这个定理，我们可以进行一些演示。
我们可以通过模拟投掷骰子的过程，来演示中心极限定理。
假设我们投掷一枚骰子，点数为1到6的概率相等，为1/6。
我们进行100次投掷，记录每次投掷的结果，并计算这100次投掷的均值。
然后，我们再进行1000组100次投掷，并记录每组的均值。
最后，我们将
这1000组均值绘制成频率分布图。
根据中心极限定理，这个频率分布图应该呈现出正态分布的特征。
我们可以与正态分布曲线进行比较，观察它们的相似程度。
通过这个演示，我们可以更直观地理解中心极限定理的应用和意义。
除了投掷骰子，我们还可以进行其他的演示，例如抛硬币、随机抽样等。
这些演示可以帮助我们更深入地理解中心极限定理，并在实际应用中更加灵活地使用这个定理。
- 1 -。
计量经济学中心极限定理名词解释
计量经济学中心极限定理名词解释计量经济学中心极限定理是计量经济学中的一个基础理论，其主要用于解释样本的分布以及如何估计总体参数。
该定理包含多个重要的名词，下面将分步骤对其进行解释。
首先，需要了解样本和总体的概念。
样本是从总体中选取的一部分，用于对总体进行推断。
总体是研究对象的全体，研究人员往往无法对其进行直接观测和测量，因此需要通过对样本的观测和测量来推断总体的属性。
其次，需要了解中心极限定理的含义。
中心极限定理是指，当样本量充分大时，样本均值的分布近似于正态分布，且均值的期望等于总体均值，方差等于总体方差除以样本量。
这种近似关系在统计学中被广泛使用，可以帮助研究人员估计未知总体参数，并进行假设检验。
中心极限定理的应用需要满足一些条件，其中最重要的是样本量足够大。
样本量越大，比例就越接近正态分布，因此我们可以更准确地预测总体参数。
除此之外，样本应当是从总体中简单随机抽取，样本应当相互独立，且总体分布应当对称。
在实际应用中，中心极限定理通常用于进行假设检验。
假设检验是通过观测样本来推断总体参数的一种方法，其中核心是对样本均值和总体均值进行比较。
当样本均值与总体均值之间的差异显著超过统计学上的随机变异时，我们可以拒绝原假设，并认为两个均值存在显著差异。
总之，中心极限定理在计量经济学中有着广泛的应用，可以有效地进行总体参数估计和假设检验。
这一定理的核心概念包括样本、总体、正态分布以及样本均值等，了解这些概念对于进一步深入计量经济学理论和实践至关重要。
167;34大数定律和中心极限定理
1 n
nk1 Xk E(Xk)
(3)
1n nk1Xk
P
也就是当观察次数无限增多时，观察
结果的算术平均值几乎变成一个常数，不是随机的了。
定理2（贝努利大数定理）设n是n次独立试验 中事件A发生的次数，则对任意的正数有
lim P | np| 1 , 其P 中 A p
n n
引人随机变量
k=1,2,…则对任意实数 x有
n
Xk
n
lim Pk1`
x
x
1
t2
e 2dt
n
n
2
n
Xk n
(1)令Ynk1 n 的分布Fn函 x， 数那么
n l i F m （ nx ） n l i P m (Y nx) x 2 1e t2 2d t (x)
E n Xk n E(Xk)n, k1 k1
课内练习2. 某单位设置一电话总机，共有200架分机.设每个 电话分机是否使用外线通话是相互独立的. 设每时刻每个分 机有 5% 的概率要使用外线通话. 问总机需要多少外线才能 以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？
设需要k条外线, X为某时刻通话的分, 机数 则 X ~ B (2,0 0 .0 0 )5 n , p 1,n 0 p 9 .5 q P(0Xk)kn npp q 0 nnpp q
|X n a | a X n a
Xn
a a a
或Xn落在（a - ε，a + ε ）的概率无限接近于1。
二、两个大数定理
定理1 ( 切比雪夫大数定律 ) 设X1,X2,…,Xn…是一
个随机变量序列, 且E(Xk)= ,D(Xk)=2 (k=1,2,…）
则对任意正数 , 有
中心极限定理
解 ： 记 V V1V2 V20, EVk 5, DVk 100 /12, k 1,2,,20.
由中心极限定理， 所求概率为
P{V
105
}
P
V -205
105-20 5
20 100 /12 20 100 / 12
n
Vk - n
k 1
N(0,1)
n
1 (0.387) 0.348.
k1
y
若
lim
n
F n(
y)
1 et2 /2dt.
2
即
Yn N( 0, 1 ), n .
则称 { Xn } 满足中心极限定理.
{ Xn } 满足的条件？
中心极限定理
2. 中心极限定理
定理1 （独立同分布的中心极限定理）
设X1 , X2 , … , Xn , …相互独立且同分布，且 EXn , 2 DXn.
中心极限定理
这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 测量结果 X = μ + X1+ X2 + …+ Xn + …
μ : 待测量量的真实值， Xk : 第 k 个随机因素的影响.
前 n 个随机因素的综合影响: X1+ X2 + …+ Xn 近似服从正态分布.
即 n 很大时，近似的有
n
n
Xk - E( Xk )
P{0 X r } (r 120) (17.32) (r 120) 0.999
48
48
查表得 (r 120)/ 48 3.1, r 141.
练习
1. 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1. 系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。
中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。
二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。
三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。
1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。
2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
中心极限定理简单解释
中心极限定理简单解释
嘿，你知道中心极限定理不？这玩意儿可神奇啦！咱就这么说吧，中心极限定理就像是一个魔法棒，能把一堆乱七八糟的数据变得有规律起来。
比如说，你想想看，一个班级里同学们的身高，那可是各种各样啊，高的矮的胖的瘦的都有。
但是呢，当你把这个班级的身高数据收集起来，用中心极限定理这么一分析，哇塞，就能发现一些规律啦！
就好像你在一堆乱石中突然找到了一条路一样。
“这难道不神奇吗？”再比如，你去调查一个城市里人们每天上班花费的时间，那肯定也是各不相同啊，有的人住得近很快就到了，有的人住得远得花好长时间。
但通过中心极限定理，就能看到一个大致的趋势。
“这多有意思啊！”
中心极限定理其实就是告诉我们，在大量随机变量的作用下，不管这些随机变量原来是什么分布，它们的和或者平均值会趋近于一个正态分布。
“这像不像变魔术一样？”这意味着什么呢？意味着我们可以通过这个定理来对很多现象进行预测和分析。
想象一下，一个大工厂生产零件，每个零件的尺寸可能会有一些误差，但是当生产了成千上万的零件后，中心极限定理就能让我们知道这些尺寸误差大致会是个什么情况。
“是不是很厉害？”在生活中，我们也经常能用到中心极限定理呢。
比如预测选举结果，虽然每个人的
投票意向很难确定，但是当有足够多的人参与时，就能通过中心极限定理来大致估计出结果啦。
总之，中心极限定理就像是我们探索数据世界的一把钥匙，能打开很多神秘的大门，让我们看到数据背后隐藏的规律和信息。
“你说它重要不重要？”
我的观点就是，中心极限定理真的超级重要，它让我们能更好地理解和分析各种复杂的数据现象，为我们的生活和工作带来很多便利和帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ( 30 20) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062 16
23
练布问习律需为3一要公多寓少有车200位户,住才户能, 一使户每住辆户拥汽有车汽都车辆具数有X的 一个车位的概率至少 为0.95.
X0 1 2
pk 0.1 0.6 0.3
解: 设需要车位数为x, 且设第i(i 1,2, ,200) 户有车辆数为Xi，
Sn n
p
0
证明： 由中心极限定理
P
Sn n
p
P
Sn
np
npq
n
pq
2(
n ) 1
pq
2() 1 =1
即
lim P
n
Sn n
p
0
16
中心极限定理的应用有三大类：
1) 已知 n 和 y，求概率； 2) 已知 n 和概率，求y ； 3) 已知 y 和概率，求 n .
17
一、给定n 和y，求概率
二项分布的正态近似 黑实线：正态近似 红点线：二项分布
13
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分 布 ，所以用正态分布作为二项分布的近似时， 可作如下修正：
Pk1 n k2 Pk1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
0.95 P( Xi x)
i1
由正态近似知，上式中n应满足
0.95 ( x 2001.2) ( x 240)
200 0.36
72
因 0.95 (1.645)
从而由 (x) 的单调性知
x 240 1.645
故
72
x 253.96
由此知至少需要254个车位.
25
课后作业
P121 ＃2 ＃4 ＃5
y)
y
/
15
0.5
140
0.95
42
解得
y 2252.
19
三、给定y 和概率，求n
例 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目
的•收Yn视服率从bp(的n, 估p) 计分。布，要k有为9Y0n％的实的际把取握值，。使根k/n据与题p意的 差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 •PYnY表n /示nnp个 0调.05查 对2象0中.05收n看/ p此(1节 p目) 的1人0数.90，则
注1：历史上人们通过精确估计二项分布的值来证明 定理，相当繁复。从现代分析概率的角度来看，此定 理只是更一般的中心极限定理的特殊情形。
注2：注意二项分布用Poisson近似或正态近似的条件： 当n很大时，若p大小适中，用正态近似；若p接近 0(或1)，且np较小(或较大)，用Poisson近似。
12
3m
于是 E( X k ) 0.2, D( X k ) 0.16
100
以X表示100根木柱中短于3m的根数，则 X X k
由中心极限定理有
k 1
P{X 30} 1 P{X 30}
100
X k 100 0.2
1 P{ k1
100 0.2 0.8
30 100 0.2 } 100 0.2 0.8
26
3.4.3 二项分布的正态近似
记一次Bernoulli试验中成功的概率为p(0<p<1)，令Sn 为n重Bernoulli试验中成功的次数, 则Sn ~B(n, p)
实际问题中，人们感兴趣的是 P{ Sn }
P{ Sn }
Cnk p k q nk
Байду номын сангаас
k
当n很大时，上式计算相当麻烦。
此时若p很小时，而np适中，则可用Poisson近似。
8
例题与解答
每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克， 标准差为10克。 一箱内装200袋味精，求一箱味精 的净重大于20500克的概率? 解：设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
由中心极限定理得，所求概率为：
P
200 i 1
定理 设{Xn}为i.i.d.r.v.序列。记
n
Sn X i，EX1 ，DX1 2，则中心极限定理成立，即
i1
l i m
n
P
n
X i n
i1
n
x
( x)
Sn n dN (0,1) n
7
林德贝格列维中心极限定理的注意事项
注1：实际应用中，只要n足够大，就可以将独立 同分布随机变量和的标准化当作正态变量。
但是若np很大，则Poisson逼近也不适合。
De Moivre和Laplace发现，当n→∞时，可用正 态分布作为二项分布的近似。
11
De Moivre-Laplace中心极限定理
定理 设Φ(x)为N(0, 1)的分布函数，对一切 -∞<x<+∞ ，有
lim PSn np x (x)
n npq
从中解得
0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6
n = 271 .
20
练习1 设每颗炮弹命中目标的概率为 0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1)
P(X
5)
Xi
20500
1
20500 200 100 200 100
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
9
例题与解答
设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
§3.4 中心极限定理
1. 一个重要现象 2. 独立同分布下的中心极限定理 3. 二项分布的正态近似 4. 独立不同分布下的中心极限定理
1
3.4.1 一个重要现象
投掷骰子的例题 N=1000
2
3
4
均匀分布的例题 N=1000
5
6
3.4.2 独立同分布下的中心极限定理
Lindeberg-Lévy中心极限定理
n 0.25
(0.2 n) (0.2 n) 2(0.2 n) 1
(0.2 n) 0.95 0.2 n 1.64 n 69
15
中心极限定理的其它用处
例：利用De Moivre-Laplace 中心极限定理证明：在n
重Bernoulli试验中，若0<p<1，则 0
lim P n
例 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才 可有95%的可能性保证正常生产?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.
设供电量为y, 则从
P(15Y
P{X 30}
30 100 0.2 X 100 0.2
P{
}
100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
1 (30 20) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062
16
22
法二、引入随机变量：
Xk
1, 0,
若 第 k根 木 柱 若1第,2k, 根,木10柱0 不短于
短
于3m k
C
5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼近:
P(X=5)
=
P(4.5
<
X
<
5.5)
5.54.955
4.5 5 4.95
= 0.1742
练习2 有一批建筑房屋用的木柱, 其中80% 不小于的3m长, 现度从这批木柱中随机地取100根, 求其中至 少
有30根短于3m的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
(3.53)(6.85)= 0.99979
14
例题与解答
掷一枚均匀硬币至少多少次才能保证正面朝上的频率
在0.4与0.6之间的概率不小于90%？
解：令n为抛掷次数，Sn为正面朝上的次数，Sn~B(n, 0.5)
P 0.4
Sn n
0.6 90%
由中心极限定理
左边
P
0.4n
0.5n
n 0.25
Sn 0.5n n 0.25
0.6n 0.5n
例 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一
个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P(Y
85)
1
85
0.5 9
90
0.966.
18
二、给定n 和概率，求y
注2：若取Xn为0-1随机变量，则此定理即为 De Moivre-Laplace中心极限定理。
注3：应用该定理时,需要找出独立同分布的随机 变量序列以及它们的期望和方差，再应用正态 分布的有关计算方法。