【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
第2章_第3节_一阶微分方程的初等解法(3)
例1
解
求方程 ( x 3 3 xy 2 ) d x ( y 3 3 x 2 y ) d y 0 M 的通解. N
M N 6 xy , y x
x 3 0
原方程是恰当方程,
2 y
u( x , y ) ( x 3 xy ) d x y 3 d y
2. 判别法
M N (5.1)是全微分方程 ， ( x, y) G y x 其中M，N在单连通域G内有一阶连续偏导数 .
3. 求解法 关键：求 u( x , y ).
常用的方法有三种：
1 特殊路径法 :
M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0 恰当方程
C.
(方法2) 取 z φ( x , y ) x 2 y 2 , 则
x y M N 2x2 y y x 2 x, 2y
M x ( x 2 y2 ) x 2 , Ny
M N 2 2 x y y x 2 xy [ x ( x 2 y 2 ) x 2 ] 2 y N M x y 1 2 x y2
2 2 ( 3 xy y ) d x ( x xy ) d y 0的通解. ① M N 1 M N 解 ( ) N y x 1 2 [( 3 x 2 y ) ( 2 x y )] 1 , x xy x
μ( x )
1 dx e x
x.
§3 恰当方程与积分因子法
一、恰当(全微分)方程及其求法
1. 类型5 M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0 (5.1)
若 u u( x , y ), 使
第二章 一阶微分方程的初等解法3
30 由 u N (x, y)求( y).
y
例1 验证方程 (ex y)dx (x 2sin y)dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
2 分组凑微法
采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分.
---应熟记一些简单二元函数的全微分.
2 方程为恰当方程的充要条件
定理1 设函数M (x, y)和N(x, y)在一个矩形区
域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
为恰当方程的充要条件是
M (x, y) N (x, y) , (2).
y
x
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
10 判断M (x, y)dx N(x, y)dy 0是否为恰当方程, 若是进入下一步.
或写成 d (x3 y4 3x2 y2 ) 0
故通解为: x3 y4 3x2 y2 c, c为任常数 。
定义1 若有函数u(x, y), 使得
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0 是恰当方程.
(1) 如何判断方程为恰当方程? M (x, y) N (x, y)
充要条件是
(M N ) y x , M
仅与y有关, 这时(1)的积分因子为 (M N )
( y) e( y)dy, ( y) y x .
M
例3 求微分方程 ydx xdy x2 ydy 的通解.
例4 求解方程
ydx ( y x)dy 0.
小结
1 积分因子不具有唯一性，只需找出一个。 2 求积分因子方法需要灵活掌握。
第二章 一阶微分方程的初等解法(12课时)
如
都是恰当方程.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0 (1)
①方程(1)是否为恰当方程? ②若(1)是恰当方程,怎样求解? ③若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2. 方程为恰当方程的充要条件 定理1 设函数 M ( x , y ) 和 N ( x , y )在一个区域内连续可微, 则方程
dy a1 x b1 y c1 2.形如 的方程,这里 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 dx a2 x b2 y c2 均为常数.
分三种情形来讨论:
(1) c1 c2 0
y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x 为齐次微分方程,可化为变量分离方程.
注:求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式
p( x )dx ye (
Q( x )e
p( x )dx
). dx c
dy 3 2 y 4 x 1 例3 求初值问题 dx x 的解. y(1) 1
二、伯努利(Bernoulli)方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n , (3) dx 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.这里 P ( x ), Q( x ) 是x
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
是恰当方程的充分必要条件是
M ( x , y ) N ( x , y ) . y x 注:若 M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0为恰当方程,则其通解为 M ( x, y )dx [ N y M ( x, y )dx]dy c, c为任意常数.
一阶微分方程的初等解法(精)
化简得方程的通解：
y
C C
cos2 cos2
x x
其中C eC1为非0的任意常数。
另外，y 1也是方程的解，且y 1可在通解中
取CΒιβλιοθήκη 0得到，即如果在通解y
C C
cos 2 cos 2
x x
中
允许C 0，则y 1已含在通解中。但y 1不可
在通解中取适当的C得到，因此原方程的解为：
于是得到原方程的通解为
y x
, x,C
0.
例5 求解微分方程 dy y tan y
dx x
x
解：这是齐次方程。令u y ，则原方程变为 x
u x du u tan u, dx
化简并变量分离（当tanu 0时），得到
cot udu dx . x
两边积分，得到 ln sinu ln x C.
。例如： 2xdx x2 等。
§2.1 变量分离方程与变量变换
• 一、变量分离方程 • 二、可化为变量分离方程的类型 • 三、应用举例
一、变量分离方程
先看一些简单的例子：
1. dy ye x y , dx
2. dy x2 y2 1 , dx
3. dy e x ye y , dx
h(1y)dy与 g(x)dx，再加上任意常数即可。
先看一个简单的例子
求解方程 dy x2 y2 1 dx
解:
第一步:分离变量
dy y2 1
x 2dx
第二步:两边积分
dy y2 1
x2dx C
微分方程第2章习题解
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
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第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f(t)dt 1, x0,试求函数f (x)的一般表达式。
0 x解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得xf (x) f (t)dt f 2(x)0，f (X)丄 f(x) f 2(x) 0，分离变量，可求得代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。
解由导数的定义可得x(t s) x(t)x (t) lims 0s2|im x(s) x (t)x(s) s 0[1 x(t)x(s)]slim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0)0，故分离变量，再积分可得x(t)[1 2x (t)] !i 叫x(s) x(0)sx (0) [1 x 2(t)]f(x)、2(x C)'12x 。
而是需将通解代回原方程来2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。
x(t) tan[x(O)t C],再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因1xM(x,y) yN(x, y)证方法1用凑微分法求积分因子。
我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dv2{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x鱼din (xy)，x y空翌din仝，x y y所以原方程变为-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。
2 y1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x-d ln(xy) d in 0，2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M(x,y)xN(x, y)y为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y yI XMX" N(x,y)y % 巧F(in^)，M(x,y)x N(x,y)y y yN(x，y)y)(¥3)}y用(x,y)1M(x,y)x乘上式两边，得N(x,y)y1(M) y(七)y2 [卫(xM(xM yN) yyN)原方程进一步可改写成1d In xy 21 x x -F(ln )d In0,2 y y它为一个恰当方程，表明1(x, y)为齐次方程的积分因子。
方法2化为分离变量方程求积分因子。
设M (x, y), N (x, y)是m 次齐次函数，则令 y ux ， dy xdu udx ，有M(x,y) M (x, xu) x m M (1,u), N(x, y) N(x,xu) x m N(1,u),将其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中，得x m {[ M (1,u) N(1,u)u]dx xN(1,u)du} 0，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是(x,y)1xM (x,y) yN(x,y) °方法3用定义求积分因子。
匚型丄巴即可。
为此，我们计算1MN矿扃[yN 匚 yM - NM]，(x,y)________ 1 ________ m 1x [M (1,u)uN(1,u)]1xM (x, y) yN(x, y)由积分因子的定义，只需证明二元函数(x, y)1 xM (x, y) yN(x, y)满足N(N) ( ) xM yN xx除了可以化为变量可分离方程以外， 我们还可以采用本例中所得到的结果， 很快寻找出一个1[N(xM yN)…■・、2 [(xM yN)N](xMyN) xx1NM[xMxNNM ]，(xM yN)2xx(M) (N)yxx(NM x MN x )y(NM y MN y )(xMyN)2N(x,y)显然g x (-)x g y (-)x2x1 -g x yg 1 N2 (M x N N X M), l(M y N MN y ), N 22xy 因而 (M) yN)N 2马g N 2-gx x2(xM gN)N 2(』上 x (xM)g xgN)2是齐次方程的积分因子。
评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0，积分因子(x,y)1xM(x,y) yN(x, y)将其转化为恰当方程来求解。
2-4解方程dy------------dx xy x y 解由题得dx3 3dy xy x y ，这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有3dx x dy2故 z y 2 1 Ce y ,从而原方程的解为而空dy2yz 的解为z采用常数变易法，令z C(y)dz dyCeC(y)e2yz y2y 2e y22y 3,dz 3代入2zy 2y 中得dy2e y C ,x 2(1 Cey2) 1。
评注：在微分方程中，变量 x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y 求解,也可以就x 进行求解，如果方程鱼 f (x,y)就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化dxdx 1为，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果,dy f (x,y)参见典型习题2-15,4)，和 2-16，4 )。
2-5试导出方程 M(x, y)dx N(x,y)dy 0分别具有形为 (x y)和(xy)的积分因子的充要条件。
解根据判别准则(定理 2.1)， (x y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0的积分因子的充要条件是[业 y)M(x, y)] [ y)N(x, y)]M N y x yN xM评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子,而给出求积分因子的思路。
2-6设f(x, y)及丄连续，试证方程dy f(x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有 y则有M (Xy)( M yN) xN (i(xxy)Myy)y)(- MN 、 N d (j(x y) Md u(xy) M (X)y xd(x y)d(x y)M N yxd (x y) 1N M d(x y) (x y)f(x y),因此方程具有形如(x y)的积分因子的充要条件是f(x y)。
(xy)是方程 M (x, y)dxN (x, y)dy 0的积分因子的充要条件是 ((4xy)M)( "y)N)M^xy)(-y N (j(xy)(i(xy)-)N Mxxy(xy)(7) (yN XM )證，M N y x yN xMd (xy) d(xy)1 (xy)g(xy),因此方程具有形如(xy)的积分因子的充要条件是g(xy)。
仅依赖于x的积分因子。
证必要性。
若方程dy f(x, y)dx 0为线性方程，则方程可写为dy (P(x)y Q(x))dx 0,令M (P(x)y Q(x)) ,N 1，M N由题有卫连续，」x P(x)，y NP(x)dx由定理2-2的结论1方程有积分因子e ，仅依赖于x。
充分性。
设方程dy f (x, y)dx 0有仅依赖于x的积分因子(x)，即(x)dy (x) f (x, y)dx 0为恰当方程，有((x)f(x, y)) d (x)y dx(x)- f(x,y)) d (x) y dxf(x, y) 1 d (x)y (x) dx上式右端仅为x的函数，令其为P(x)，积分上式，得f(x,y) P(x)y Q(x)，故该方程为线性方程。
评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。
2-7 设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u) g(u)，试证方程yf (xy)dx xg(xy)dy 0I l 1有积分因子(xy[ f (xy) g (xy)])。
证 方法1用积分因子定义证明。
令 M yf(xy), Nxg(xy)(M p) (N 小yxf (fg) (f g )f g (f g) (f g )g 0(fg)22，(f g)2故该方程有积分因子(xy[ f(xy) g(xy)])。
方法2利用变量代换方法证明。
令u xy , du ydx xdy ，代入方程消掉一个变量x ，有恰当方程。
评注：求积分因子时，注意整体变量代换。
2-8假设方程证由于f (u)(du ~dy) yug(u)dy 0， yf (u)du — (f (u) yg(u))dy 0，这是分离变量方程，只要给两端乘以因子1[u( f (u) g(u))]就可分离变量，从而变为所以原方程的积分因子为[xy( f (xy)1g(xy))]。
M(x,y)dx N (x, y)dy 0中的函数满足关系 —y-Nf (x) Mg(y)，其中 xf (x), g(y)分别为x 和y 的连续函数，试证方程M (x,y)dxN(x, y)dy 0有积分因子exp( f (x)dx g(y)dy)。
(M )y(N ) x[M y e f (x)dx g(y)dyf (x)dx g( y)dyMg(y)e ]f (x)dx g(y)dy [N x ef (x) dxg (y)dye (M yf (x)dx g(y)dyNf (x)e]-x Mg(y) Nf(x)) 0故exp( f(x)dx g(y)dy)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的积分因子。
评注：给出了积分因子的一种构造方法。
2-9设p(x, y)是方程M(x,y)dx N(x, y)dy 0的积分因子，从而可得可微函数U(x,y)，使得dU K Mdx Ndy)。
试证7(x, y)也是方程的积分因子的充要条件是7<x, y) 口(U )，其中柚)是t的可微函数。
证必要性。
若~t(x,y)也是方程的积分因子，则存在可微函数U~(x, y),使得dJ 7(Mdx Ndy)，即有~ 〜(1 (1dU 1Mdx Ndy) 上1Mdx Ndy) -dU ,1 〜dU dU则U -dU，即U是U的函数，当然竺也是U的函数，且记为竺©(U)，由于积1 dU dU分因子的可微性，(KU)是可微函数。
由dU -dU，则1(x,y) i (U)。
充分性。
证明—X, y) 1 (U )是积分因子。
为此将其乘以方程两端得-(U )(Mdx Ndy) 0,MU )[ 1 Mdx Ndy)] 0 ,MU )dU 0 ,d «U)dU 0。