【中考必备】最新中考数学试题分类解析 专题24 方程、不等式和函数的综合
中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题(doc 22页)
中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题(doc 22页)变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。
两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。
三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x ＝2时，y ＝0，∴关于x 的方程2x +b ＝0的解是x ＝2。
【解答】2【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b 值，就会加快解题速度。
例2．（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【分析】（1）根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉x 1（2）代入-=x a b 2即可【解答】解：（1）设每千克应涨价x 元，列方程得：(5+x)(200－x)=1500解得：x 1=10 x 2=5 因为顾客要得到实惠，5＜10所以 x=5答：每千克应涨价5元．（2）设商场每天获得的利润为y 元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x 2+150x －500当x=5.7)10(21502=-⨯-=-a b 时,y 有最大值. 因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多【评注】（1）中列方程解应用题关键是找出相等关系, 根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点（2）中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可解题．考点二：函数与不等式（组）综合应用 例1．（2010江苏镇江）深化理解对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x >即：当n 为非负整数时，如果11,22nx n ≤<则<x >＝n如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）； ②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为 ；（2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；（3）求满足43x x 的所有非负实数x 的值；（4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x 2－x ＋14的自变量x 在n ≤x ≤n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足k n 的所有整数k 的个数记为b .求证：a ＝b ＝2n .【分析】(1)第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3-12≤2x －1＜3+12，解这个不等式组，可求得x 的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y ＝<x >，y ＝43x ，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x 的值．（4）根据在12＜n ≤x ≤n ＋1范围内y 随x 的增大而增大，所以可得出y 的取值范围，从而求出y 的整数解的个数，同样地由定义得，1122n k n ，把此式两边平方可得2211()(),22n k n k 与y 的取值范围一致．所以a ＝b.【解答】（1）①3；②x 79≤<44 2211()(),22n k n（2）①证明：[法一]设<x >＝n ，则n －12≤x ＜n ＋12，n 为非负整数；又(n ＋m )－12≤x ＋m ＜(n ＋m )＋12，且m ＋n 为非负整数，∴<x ＋m >＝n ＋m ＝m ＋<x >[法二]设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分1）当0≤b ＜0.5时，<x >＝km ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k∴<x ＋m >＝m ＋<x >2）当b ≥0.5时，<x >＝k ＋1则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k ＋1∴<x ＋m >＝m ＋<x >综上所述：<x ＋m >＝m ＋<x >②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴<x >＋<y >＝ <x ＋y >不一定成立．（3）[法一]作x y x y 34,=>=<的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）y＝<x>的图象与y＝43x图象交于点(0，0)、3(,1)4、3(,2)2∴x＝0，33,42[法二]∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，k为整数则x＝34k，∴＜34k＞＝k，∴131,0242k k k k-≤<+≥∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2 ∴x＝0，33,42（4）∵函数y＝x2－x＋14＝(x－12)2，n为整数，当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，∴(n－12)2≤y＜(n＋1－12)2即(n－12)2≤y＜(n＋－0.5 O 0.5y32.521.5112)2， ①∴n 2－n ＋14≤y ＜n 2 ＋n ＋14，∵y 为整数 ∴y ＝ n 2－n ＋1，n 2－n ＋2，n 2－n ＋3，…，n 2－n ＋2n ，共2n 个y .∴a ＝2n ② （8分） 则,)21()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③比较①，②，③得：a ＝b ＝2n【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高．例2．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x 的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.【解答】解：（1）y 2=500+30x.（2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W=-2(x-35)2+1950.而25<35<40, ∴当x=35时，1950W.最大即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数知识部分的核心知识.考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010四川内江）已知非负数a，b，c满足条件a＋b＝7，c－a＝5，设S＝a＋b＋c 的最大值为m，最小值为n，则m－n ＝.【分析】把a＋b＝7和c－a＝5两式相加，即可得b＋c＝12，所以S＝a＋b＋c＝a＋12，故确定S的最大值和最小值的关键就是确实a的取值范围.由a＋b＝7得b＝7－a，根据a≥0，b≥0,有7－a≥0，所以0≤a≤7；由c－a＝5，得c＝5＋a，因为c≥0，所以5＋a≥0，即a≥－5，由于a≥0，所以一定有a≥－5，所以0≤a≤7，所以m＝7＋12＝19，n＝0＋12＝12，从而m－n＝7－0＝7.【解答】7【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例2．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【分析】利用购买3个书包和2本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案．【解答】（1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得： 3 x +2(x －8)＝124解得：x ＝28．∴ x －8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）解：设昀买书包y 个，则购买词典(40－y )本．根据题意得：1000[232040]1001000[282040]120y y y y -+-⎧⎨-+-⎩（），（）．≥≤解得：10≤y≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12． 所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的热点．解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确定方案考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。
中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结
中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。
它通常由未知数、已知数和运算符号组成。
在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。
理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。
二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。
解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。
三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。
解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。
四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。
对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。
公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。
掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。
五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。
它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。
不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。
理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。
六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。
但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(附答案)
2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(一)不等式过关训练➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜20202．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜22．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜53．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜125．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是．(二)不等式组过关训练➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝22．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜196．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．219．（2022•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．3610.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤32．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣364．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．16．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤17．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．18．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．109．（2022秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．7B．8C．9D．1010．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．（三）方程与不等式组综合过关训练➢典例精讲1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．62．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣22B．﹣18C．11D．123．（2021秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．304．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10➢课后训练1．（2022秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．102．（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．103．（2021春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为．参考答案与试题解析➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜2020【解答】解：∵不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，∴a+2020＜0，解得，a＜﹣2020，故选：B．2．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．【解答】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣，∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，∵，即8a＝﹣12b，，∵a+3b＜0，2a+3b＝0，则a＞0，b＜0，∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．故答案为：x＜﹣．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是x ＞﹣1．【解答】解：ax＜﹣bx+b，（a+b）x＜b，∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，∴＝，且a+b＜0，∴a＝b＜0，∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，∴x＞﹣1，故答案为x＞﹣1．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜≤4，解得：10＜a≤14，∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，故选：B．5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是﹣6≤a＜﹣1．【解答】解：解不等式得：x＞，∵负整数解是﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2．∴﹣6≤a＜﹣1．故答案为：﹣6≤a＜﹣1．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜2【解答】解：根据题意得：2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：C．2．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜5【解答】解：不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n，变形得：（2m﹣n）x＞5n+m，根据已知解集为x＜，得到＝，且2m﹣n＜0，即2m＜n，整理得：4m+20n＝26m﹣13n，即33n＝22m，整理得：3n＝2m，即m＝1.5n，n＜0，代入所求不等式得：0.5nx＞2.5n，解得：x＜5．故选：D．3．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为x≤2．【解答】解：不等式移项得：3（a﹣b）x＞5b﹣a，由不等式的解集为x＜1，得到a﹣b＜0，且＝1，整理得：a＜b，且4a＝8b，即a＝2b，∴a＜0，则不等式ax≥4b变形得：x≤＝2，故答案为：x≤2．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．5．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是﹣8＜m≤﹣6．【解答】解：∵2x﹣m≥0，∴2x≥m，∴x≥，∵不等式组的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3，∴﹣4＜≤﹣3，则﹣8＜m≤﹣6，故答案为：﹣8＜m≤﹣6．➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝2【解答】解：，解x﹣m＞0，得：x＞m，解5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式组的解集是x≥2，∴m＜2，故选：C．2．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2【解答】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥【解答】解：，解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x≤4a，又∵不等式组有解，∴4a≥1，解得：a≥，故选：D．4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【解答】解：解不等式＜﹣1得：x＞8，又∵不等式组无解，∴m≤8，故选：A．三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜19【解答】解：不等式组整理得：，解得：a﹣2＜x＜21，由不等式组恰有4个整数解，得到整数解为17，18，19，20，∴16≤a﹣2＜17，解得：18≤a＜19，故选：B．6．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜m+5，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜m+5，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为﹣1，0，1，2，∴2＜m+5≤3，∴﹣2＜m≤﹣故答案为﹣2＜m≤﹣．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a，解不等式2x+3a≥0，得：x≥﹣a，则不等式组的解集为﹣a≤x≤a，∵不等式至少有6个整数解，则a+a≥5，解得a≥2．a的最小值是2．故选：B．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．21【解答】解：解不等式组，得﹣1＜x≤，∵至多有4个整数解，＜4，解得m＜7；∴故满足条件的所有非负整数m的值之和为0+1+2+3+4+5+6＝21，故选：D．9．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．36【解答】解：解不等式组，得：﹣＜x＜，∵不等式组有且仅有2个奇数解，∴-1＜≤1，解得：0＜m≤8，所以所有满足条件的整数m的值为1，2，3，4，5，6，7，8，和为36．故选：D．10.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【解答】解：，∵解不等式①得：x，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为＜x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴7≤a＜9，当时，整数解是﹣2，﹣1，0，1，3和4，∴﹣3，∴﹣3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【解答】解：解不等式3（x+1）＞12，得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：D．2．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a＞﹣2C．a＜﹣2D．a≤﹣2【解答】解：解不等式﹣2x﹣1＞3，得：x＜﹣2，解不等式a﹣x≥0，得：x≤a，∵不等式组的解集为x≤a，∴a＜﹣2，故选：C．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣36【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选：D．4．（2020春•陇西县期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥﹣2．【解答】解：，解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥﹣2．故答案是：a≥﹣2．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．1【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．6．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤1【解答】解：，解不等式①可得x＞m，解不等式②可得x≤3，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为m＜x≤3，∵该不等式组恰好有三个整数解，∴整数解为1，2，3，∴0≤m＜1．故选：C．7．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：，解①得x≤2a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤2a．∵不等式至少有7个整数解，则2a+a＞7，解得a＞2．整数a的最小值是3．故选：B．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：不等式组的解为，∵至多5个整数解，∴＜5，∴m＜，故选：B．9．（2020秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个奇数解，得到奇数解为3，1，∴﹣1≤＜1，∴﹣3≤a＜5，则满足题意a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5四个，则符合条件的所有整数a的和是9．故选：C．10．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，∵不等式组的整数解的和为﹣7，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，则﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3，故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．➢典例精讲方程与不等式综合含参问题1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．6【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，∵方程的解为非负整数，∴≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，3，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到k＞﹣1，∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，当k＝0时，x＝4.5，不是整数；当x＝2时，k＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；综上，k＝1，3，则符合条件的整数k的值的和为4．故选：C．2．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：去分母得：3ax+3＝﹣14x﹣6，解得：x＝﹣，∵关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，∴3a+14＜0，∴a＜﹣，不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，∴﹣2≤＜﹣1，∴﹣7≤a＜﹣3，则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，则符合条件的所有整数a的和是﹣18．故选：B．3．（2019秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．30【解答】解：解方程组得：，∵方程组的解为正整数，∴a﹣3＝1或a﹣3＝2或a﹣3＝5或a﹣3＝10，解得a＝4或a＝5或a＝8或a＝13；解不等式（2x+8）≥7，得：x≥10，解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，∵不等式组无解，∴a+2≤10，即a≤8，综上，符合条件的a的值为4、5、8，则所有满足条件的a的和为17，故选：C．4．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10【解答】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝10或m＝2或m＝﹣4，又m≤4，∴m＝﹣4或m＝4或m＝2，则符合条件的所有整数m的和是2，故选：B．➢课后训练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：解方程x+2a＝1得：x＝1﹣2a，∵方程的解为负数，∴1﹣2a＜0，解得：a＞0.5，∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式组无解，∴a≤4，∴a的取值范围是0.5＜a≤4，∴整数和为1+2+3+4＝10，故选：D．2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．10【解答】解：解不等式≤2x，得：x≥，解不等式2x+7≤4（x+1），得：x≥，∵不等式组的解集为x≥，∴≤，解得m≤5，解方程3y﹣2＝，得：y＝，∵方程的解为非负整数，∴符合m≤5的m的值为2和5，则符合条件的所有整数m的积为10，故选：D．3．（2019春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为5．【解答】解：，①﹣②得：3y＝7﹣m，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程组的解为正整数，得到7﹣m与8+m都为3的倍数，∴m＝1，4，不等式组整理得：，即﹣1≤t≤m，由不等式组有解，得到m＝1，4，综上，符合条件的整数m的值的和为1+4＝5．故答案为：5．。
初中数学不等式与方程综合试题含答案
目录第一套：第一套：方程与不等式复习巩固第二套：中考数学方程与不等式复习测试第三套：中考方程（组）与不等式（组）综合精讲30道第四套：方程思想在解决实际问题中的作用第五套：中考数学不等式（组）与方程（组）的应用第六套：方程（组）与不等式（组）综合检测试题第一套：方程与不等式复习巩固一.教学内容：方程与不等式 二. 教学目标：通过对方程与不等式基础知识的复习，解决中考中常见的问题。
三. 教学重点、难点：熟练地解决方程与不等式相关的问题 四、课堂教学： 中考导航一中考大纲要求一中考导航二中考大纲要求二⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧一元一次方程的应用一元一次方程的解法程的解一元一次方程定义、方等式及其性质一元一次方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧用题列二元一次方程组解应的解法简单的三元一次方程组解二元一次方程组义及其解二元一次方程（组）定二元一次方程组中考导航三中考大纲要求三中考导航四中考大纲要求四⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧的应用一元一次不等式（组）的解法一元一次不等式（组）解集的含义一元一次不等式（组）的概念一元一次不等式（组）不等式的性质一次不等式组一元一次不等式和一元⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧程的应用一元二次方程及分式方分式方程可化为一元二次方程的一元二次方程的解法一元二次方程的定义一元二次方程【典型例题】例1. 若关于x 的一元一次方程的解是，则k 的值是（ ）A.B. 1C.D. 0答案：B例2. 一元二次方程的两个根分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：C例3. 如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D.答案：B 例4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）12k3x 3k x 2=---1x -=721113-03x 2x 2=--1x 1=3x 2=1x 1=3x 2-=1x 1-=3x 2=1x 1-=3x 2-=0b a >-0ab <0b a <+0)c a (b >- B A O C⎩⎨⎧>-≥-3x 604x 2答案：A例5. 某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告。
湖北省各市2024年中考数学分类解析专题3方程和不等式
湖北省2024年中考数学考试涉及了方程(组)和不等式(组)这一专题。
在该专题中，主要考查了解方程的概念、解方程的基本方法和应用，掌握不等式的性质和解不等式的方法等内容。
下面将从题目类型、考查重点和解题思路等方面进行分类解析。
一、方程(组)的解法和应用方程是数学中的重要内容，它描述了等式中未知数与已知数之间的关系。
在中考中，方程(组)的考查主要涉及以下三种类型：一元一次方程、一元二次方程和简单的一元线性方程组。
1.一元一次方程：考查对一元一次方程的基本概念和解法的掌握。
常见的题目类型有：解一元一次方程、方程应用解析、方程综合应用等。
解题思路：首先根据题意列出方程，其次运用解方程的方法解得未知数的值。
2.一元二次方程：考查对一元二次方程的基本概念、解法和应用的掌握。
常见的题目类型有：解一元二次方程、方程应用解析等。
解题思路：根据方程的形式，运用配方法、公式法、因式分解法解方程，求得未知数的值。
3.一元线性方程组：考查对一元线性方程组的基本概念、解法和应用的掌握。
常见的题目类型有：解一元线性方程组、方程组应用解析等。
解题思路：根据方程组的形式，利用消元法或代入法等解方程组，求得未知数的值。
二、不等式(组)的性质和解法不等式是数学中描述不等关系的重要工具。
在中考中，不等式(组)的考查主要涉及以下两种类型：一元一次不等式和简单的一元二次不等式。
1.一元一次不等式：考查对一元一次不等式的概念、性质和解法的掌握。
常见的题目类型有：解一元一次不等式、不等式的应用解析等。
解题思路：类似于解一元一次方程，根据不等式的形式，运用解不等式的方法求得未知数的取值范围。
2.一元二次不等式：考查对一元二次不等式的概念、性质和解法的掌握。
常见的题目类型有：解一元二次不等式、不等式的应用解析等。
解题思路：类似于解一元二次方程，根据不等式的形式，运用解不等式的方法求得未知数的取值范围。
解题技巧：在解不等式时，需要注意正负号的变化和解不等式时移项的规则，同时还需要根据不等式的性质进行分析和推理。
初三数学重要知识总结函数与方程的应用题解析
初三数学重要知识总结函数与方程的应用题解析初三数学重要知识总结：函数与方程的应用题解析函数与方程是初中数学中的重要内容之一，它们在实际问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将对函数与方程的应用题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、线性函数的应用题解析线性函数是初中数学中最基本的函数之一，它的解析式为y = kx + b。
在实际应用问题中，线性函数常用于描述和分析两个变量之间的关系。
下面通过一个例子来解析线性函数的应用。
例题：小明骑自行车每小时的速度是10km/h，他骑行的时间为t小时，求小明骑行的距离d。
解析：根据题意可得速度v与时间t之间的关系为v = 10，距离d 与时间t之间的关系为d = vt。
将速度v代入距离d的表达式中，得到d = 10t。
这里的d就是距离，t是时间，10是速度的固定值。
通过这个例题的解析，我们可以看到线性函数在描述和求解实际问题中的重要性。
二、二次函数的应用题解析二次函数是初中数学中较为复杂的函数之一，它的解析式为y =ax^2 + bx + c。
在实际应用中，二次函数常用于描述和分析物体的运动轨迹、面积和体积等问题。
下面通过一个例子来解析二次函数的应用。
例题：一块矩形花坛的长为x米，宽为y米，面积为16平方米。
现在要围上一条宽为1米的石子路，求石子路的长度L。
解析：根据题意可得矩形花坛的面积为xy = 16，石子路的面积为(x+2)(y+2) - xy。
将面积代入表达式中并展开，得到石子路的面积表达式为L = 2x + 2y + 4。
通过这个例题的解析，我们可以看到二次函数在描述和求解实际问题中的灵活运用。
三、函数与方程综合应用题解析除了线性函数和二次函数，函数与方程在其它应用问题中也有广泛的应用。
下面通过一个综合应用题解析来展示它们的运用。
例题：某商场打折促销，某商品实际售价为原价的80%，小明想要购买这个商品，但他只有180元钱，问小明能否购买这个商品。
2023年数学中考试题精选：方程、不等式和函数应用(一)
2023年数学中考精选（一）1.(2023.北京16题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一个学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品加工，则需要______分钟，若由两名学生合作完成此木艺艺术的加工，则最少需要_____分钟。
2.(2023.沈阳21题)甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.3.（2023.贵州省19题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业. 根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品，解答下列问题：（1）更新设备后每天生产_____件产品（用含x的式子表示）；（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品。
4.（2023.上海22题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？5.(2023.江西省18题)今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺少25棵.（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元，购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？6.(2023.云南省21题).蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意，某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷. 若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的(1/3)，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？7.(2023.山东省济南市20题)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩,已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3元，且用15万元购买A型充电桩与20万元购买B型充电桩的数量相等.（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的1，2问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？8.(2023.北京23题)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？9.（2023.四川省泸州21题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销. 根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获利利润最大? 最大利润是多少？10.(2023.扬州市26题)近年不，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大，某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元。
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解方程和不等式是数学中的重要内容，也是中考数学考试中经常出现的题型。
掌握方程和不等式的解法和应用，对于提高中考数学成绩至关重要。
下面将对方程和不等式的知识进行讲解，帮助同学们更好地复习和理解。
一、一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 移项：将方程中的常数项移到方程的另一侧，得到ax = -b。
2.化简：将方程中的系数和常数进行运算和化简，得到x的系数为1，b的相反数为其常数项。
3.消元：将方程两边同时除以系数a，得到x=-b/a。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b 和 c 是已知数，x 是未知数。
解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式D = b² - 4ac。
2.判断解的情况：a.当D>0时，方程有两个不相等的实根。
b.当D=0时，方程有两个相等的实根。
c.当D<0时，方程没有实数解。
3.求解实根：根据判别式的情况，应用二次根式公式x=(-b±√D)/2a求得方程的实根。
三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a、b 是已知数，x 是未知数。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1.移项：根据不等式的符号，将常数项移到不等式的另一侧。
2.化简：将不等式中的系数进行运算和化简。
3.计算不等号的符号：根据不等式的规则，计算出x的取值范围。
四、一元一次不等式组一元一次不等式组是形如{ax + by > 0, cx + dy < 0}的不等式组，其中a、b、c、d 是已知数，x、y 是未知数。
解一元一次不等式组的基本步骤如下：1.分别解出两个不等式的解集。
2.将解集进行交集操作，得到不等式组的解集。
2022年中考数学方程(组)与不等式(组)(解析版)
热点02 方程（组）与不等式（组）方程（组）与不等式（组）的考点，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点。
但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察。
涉及本考点的知识点重点有：由实际问题抽象出一次方程（组）或分式方程，解方程（包含一次方程、二次方程、分式方程），一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等。
不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式（组）及不等式（组）的应用题等。
这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程（组）和不等式（组）的相关概念、性质、解法及应用。
1.一次方程（组）：熟记定义，熟悉解法步骤，注重基础计算格式及其准确性，实际应用找准等量关系；一次方程（组）如果考定义或者实际应用时，多以选择、填空题形式出现，这就从问题本身降低了难度，但是也要求必须对这部分的定义或实际应用的等量关系较为熟悉才能更快更准确的拿分。
而对一次方程（组）解法的考察，多在于其解法步骤上，所以基本各类方程的解法步骤必须熟悉。
2.不等式（组）：熟记解法步骤，注意是否变号，画解集—＞向右，＜向左，实际应用找准不等量关系；不等式（组）解法的考察多以解答题的形式出现，还会要求在数轴上画出解集，这类问题一是不能漏画解集，二是实心、空心，向左、向右不要搞反了。
不等式（组）的实际应用问题，也基本都是以解答题形式出现，并且常和二元一次方程组结合考察，分值较高，复习时需要不留“死角”。
3.分式方程及其应用：解分式方程勿忘验根；分式方程的考察不管是单独的解分式方程，还是分式方程的应用题，在解完方程之后，都需要加上“验根”这一步，这步缺失是要扣分的。
其他注意事项同一次方程（组）。
4.一元二次方程：考定义要注意“2次”与“系数≠0”要同时成立；考解的情况想“b2-4ac”；考两根关系想“根与系数的关系”；中考中对一元二次方程的考察是多方面的，每个考点都有不同的考察方向，而且，一元二次方程还可以结合二次函数同时考察，有些考点的变形就更多.中考复习时，需要对一元二次方程的各个知识重点都加以重视，遇到问题随机应变。
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】①y =x ②y =－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个【答案】B 。
【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。
【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： ①∵y =x 的k ＞0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ②∵y =－2x ＋1的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小； ③∵1y=x-的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ④∵2y=3x 的a ＞0，对称轴为x =0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小。
∴正确的有2个。
故选B 。
2. （2012四川广元3分） 已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A . 3y x =- B . 1y x = C . 2y x = D . 2y x=-【答案】D 。
【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。
【分析】关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=化成一般形式是：2x 2＋（2－2b ）x ＋（b 2－1）=0，∵它有唯一实数解，∴△=（2－2b ）2－8（b 2－1）=－4（b ＋3）（b －1）=0，解得：b =－3或1。
∵反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∴1+b ＜0。
∴b ＜－1。
∴b =－3。
∴反比例函数的解析式是13y x -=，即2y x=-。
故选D 。
3. （2012山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D【答案】C 。
【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。
【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为=02bx <a-，∴由a ＜0得b ＜0。
∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴=0c 。
∴一次函数y bx c =+过第二四象限且经过原点，反比例函数=ay x位于第二四象限， 观察各选项，只有C 选项符合。
故选C 。
4. （2012山东泰安3分）二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 【答案】C 。
【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。
【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0。
∴m ＜0，∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限。
故选C 。
5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y =x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y =﹣abx 2+（a +b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-【答案】B 。
【考点】关于y 轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（a ，b ），∴N 点的坐标为（﹣a ，b ）。
又∵点M 在反比例函数1y=2x的图象上，点N 在一次函数y =x +3的图象上， ∴1b=2a b=a+3⎧⎪⎨⎪-⎩，即1ab=2a+b=3⎧⎪⎨⎪⎩。
∴二次函数y =﹣abx 2+（a +b ）x 为()22119y=x +3x=x 3+222---。
∵二次项系数为12-＜0，∴函数有最大值，最大值为y =92。
故选B 。
二、填空题 三、解答题1（2012广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分．（1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A 处的最远距离是多少？【答案】解：（1）设直线l 的解析式是y =kx +b ，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得k+b=453k+b=42⎧⎨⎩，解得k=6b=60-⎧⎨⎩。
∴直线l 的解析式是：y =﹣6x +60。
（2）由题意得：y =﹣6x +60≥10，解得x ≤253。
∴警车最远的距离可以到：25160=25032⨯⨯千米。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据直线l 的解析式是y =kx +b ，将（3，42），（1，54）代入求出即可。
（2）利用y =﹣6x +60≥10，求出x 的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。
2. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？【答案】解：（1）设购进电视机x 台，则洗衣机是x 台，空调是（40－2x ）台，根据题意得： ()402x 3xx 0402x 05000x 2000x 2400402x 118000-≤⎧⎪≥⎪⎨-≥⎪⎪++-≤⎩， 解得：8≤x ≤10。
∵x 是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y =5500x +2160x +2700（40－2x ），即y =2260x +10800。
∵y =2260x +10800是单调递增函数，∴当x 最大时，y 的值最大。
∵x 的最大值是10，∴y 的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。
∵现金每购1000元送50元家电消费券一张， ∴33400元，可以送33张家电消费券。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设购进电视机x 台，则洗衣机是x 台，空调是（40－2x ）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x 以及40-2x 都是非负整数，即可确定x 的范围，从而确定进货方案。
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x 的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。
3. （2012浙江衢州10分）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？【答案】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米），答：乙工程队每天修公路120米。
（2）设y乙=kx+b，则3k+b=09k+b=720⎧⎨⎩，解得：k=120b=360⎧⎨-⎩。
∴y乙=120x﹣360。
当x=6时，y乙=360。
设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x。
（3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）。
设需x天完成，由题意得：（120+60）x=1620，解得：x=9。
答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成。
【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数。
（2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式。
（3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数。
4. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。
设安排x件产品运往A地。
（1）当n200=时，①根据信息填表：②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？（2）若总运费为5800元，求n的最小值。
【答案】解：（1）①根据信息填表②由题意，得2003x2x160056x4000-≤⎧⎨+≤⎩，解得40≤x≤6427。
∵x为整数，∴x=40或41或42。
∴有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；（ii）A地41件，B地77件，C地82件；（iii）A地42件，B地74件，C地84件。
（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．∵n－3x≥0，∴x≤72.5。
又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。
∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）①运往B 地的产品件数=总件数n －运往A 地的产品件数－运往B 地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。
②根据运往B 地的件数不多于运往C 地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。
（2）总运费=A 产品的运费+B 产品的运费+C 产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x 的取值求得n 的最小值即可。