【好题】高三数学上期中试卷(及答案)(2)
2023-2024学年北京朝阳区高三(上)期中数学试题和答案
2023北京朝阳高三（上）期中数 学2023.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =Z ，集合{22}A x x =∈-<<Z |，{1,0,1,2}B =-，则()U A B = ð（A ）{1,2}-（B ）{1}（C ）{0,1}（D ）{2}（2）下列函数中，既是奇函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是（A ）lg y x =（B ）3y x =（C ）1y x x=+（D ）22x xy -=+（3）若sin θθ=，则tan 2θ=（A）（B（C）（D（4）已知5log 0.5a =，0.55b =，0.60.5c =，则（A ）a c b<<（B ）a b c<<（C ）c a b<<（D ）b c a<<（5）函数π2sin(26y x =+的图象的一条对称轴是（A ）6πx =-（B ）0x =（C ）π6x =（D ）π2x =（6）设x ∈R ，则“(1)0x x +>”是“01x <<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知平面内四个不同的点,,,A B C D 满足22BA DB DC =-，则||||AC BC = （A ）23（B ）32（C ）2（D ）3（8）已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（A ）23（B ）1（C）2（D）4-（9）已知函数|1|1,(,0),()ln(1),[0,),x x f x x x +-∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩2()44g x x x =--．设b ∈R ，若存在a ∈R ，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（A ）[1,5]-（B ）(,1][5,)-∞-+∞ （C ）[1,)-+∞（D ）(,5]-∞（10）已知点集{(,)|,}x y x y Λ=∈∈Z Z ，{(,)|1}5,15S a b a b ∈Λ=≤≤≤≤．设非空点集T ⊆Λ，若对S中任意一点P ，在T 中存在一点Q （Q 与P 不重合），使得线段PQ 上除了点,P Q 外没有Λ中的点，则T 中的元素个数最小值是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省济南市2022-2023学年高三上学期期中数学试题(含答案解析)
山东省济南市2022-2023学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．ABC 中，内角,,A B C c ，且6,4b c ==，点BC =（）．20-B ．-10D ．设方程e e 0x x ++=和ln 的根分别为p 和q ，函数()f x =）．(42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题．方程3sin2cos22x x +=上有解，则解可能为（）三、填空题四、双空题五、解答题参考答案：8．B【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，推得e p q +=-，由此得到()()4341e 3g x x x x =--≥与4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而解出.【详解】方法一：由e x x +综上可得：2a ≤时，()f x 有一个零点，2a >时，()f x 有三个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。
新高三数学上期中试卷含答案(2)
新高三数学上期中试卷含答案(2)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．17．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmB ．3 kmC ．105 kmD ．107 km8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-10．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为______.14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.16．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 18．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．19．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 23．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题1. 已知集合M ，N ，若，，则( )A. B.C. D.2. 已知，，则p 的否定是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在数列中，则( )A. 36B. 15C. 55D. 664. 已知数列的前n 项和为，且满足，，则( )A. 0B.C. 1D.5. 已知数列满足，，则数列( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项6.已知数列是等差数列，且若是和的等差中项，则的最小值为( )A.B. C. D.7. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，与中至少有一个不小于M ，则记作▹，那么下列命题正确的是.( )A. 若▹，则数列各项均不小于MB. 若▹，▹，则▹C. 若▹，则D.若▹，则▹8. 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项( )A.B.C. D.9. 已知数列的通项公式为，则( )A.B.C. D.10. 已知等差数列的前n 项和为，公差为d ，则( )A.B.C.D.11. 已知函数，则下列叙述正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的图象关于对称D. 不存在单调递减区间12. 对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：则( )A. B. 数列为等比数列C. 数列不单调D.13. 已知锐角满足，则__________.14. 已知数列是等差数列，，，则__________.15.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前n项和为，则__________，__________.16. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计__________年初的存栏量首次超过8900头参考数据：，17. 已知数列满足，，设证明：数列为等比数列;设数列，记数列的前n项和为，请比较与1的大小.18.记数列的前n项和为，已知，求的通项公式；若，数列的前n项和为，，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值.19.在中，设角所对的边分别为，且满足求证：；求的最小值．20. 已知函数，当时，比较与2的大小；求证：，21. 记等差数列的前n项和为，公差为d，等比数列的公比为，已知，，求，的通项公式；将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.22. 已知函数求函数的极值;若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，集合的包含关系判断，交集运算，属于基础题.根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【解答】解：，，对于A，当集合时，M不是N的子集，故A错误；对于B，当集合时，N不是M的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判断，解分式不等式，属于基础题.求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【解答】解：由，解得或，所以p的否定为：，因为不是的子集，且是的子集，所以p的否定是q的必要不充分条件.故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题.利用递推公式，代入计算即可.【解答】解：由题意得，，则故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用分组法求和，属于基础题.由求解即可.【解答】解：故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于一般题.根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断.【解答】解：因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列，又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，等差中项，利用基本不等式求最值，属于中档题.易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或舍，又因为是和的等差中项，所以，则，则，所以，且m，，且，，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义▹，属于较难题．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故可得D正确．【解答】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，数列各项均不小于M不成立，故A不正确；B中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，M可以为，而各项均为3，则▹不成立，故B不正确；C 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，此时不正确，故C错误；D 中，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故▹，故D正确．故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定，等比数列的通项公式，函数与数列的综合应用问题，属于较难题.由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式，利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到【解答】解：函数的定义域为R，且，为偶函数，图象关于y轴对称，的零点关于y轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查求数列的项，求数列的前n项和，属于中档题.由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断.【解答】解：由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系，结合等差数列的性质，进而可得即可.【解答】解：由题意得：对于选项A：当时，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：由上可知，则，即C错误；对于选项D：因为，且，所以，即D正确.故选：11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用特殊值可判断AC，利用奇函数的定义可判断B，利用导数可判断【解答】解：因为，所以，，故A错误；令，则，所以是奇函数，故B正确；又，所以，所以的图象不关于对称，故C错误；因为，所以不存在单调递减区间，故D正确.故选12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等比数列的判定与证明，属于中档题.对于A，利用列举法即可判断；对于B，由3是质数，得与互质的数有个，可得，根据等比数列的定义判断即可；对于C，举特例判断不单调即可；对于D，由7为质数，可得与不互质的数共有个，结合对数运算即可求解.【解答】解：不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，，所以数列是以3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增，又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用同角三角函数基本关系化简求值，二倍角的正弦公式，属于基础题.利用同角三角函数基本关系及倍角公式计算即可.【解答】解：因为，所以，又为锐角，，所以，即，所以，所以故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.令，可得，，根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【解答】解：令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以故答案为：15.【答案】43【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【解答】解：由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第n圈的8n个点对应的8n项的和为0，即，设在第k圈，则，当时，，由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以故答案为：16.【答案】2036【解析】【分析】本题考查等比数列在实际生活中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，构造数列求出数列通项公式，由此能求出结果．【解答】解：由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，化简得，令将代入得，，得，故，即，故数列是以700为首项，为公比的等比数列，故，令，解得，两边取对数得，即因为，故，则，故预计2036年初存栏量超过8900头，故答案为：17.【答案】证明：数列满足，，则，由于，故，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.解：由得，所以，所以，，因为，所以【解析】本题考查了等比数列的判定和通项公式，裂项相消求和，属于中档题.根据题意可得，进而得，可证明结论；根据的结论求得，再根据裂项相消法可求得，即可求得结论.18.【答案】解：当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即，又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，符合，所以的通项公式为；由得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以，令，得，又，解得，当时，可得，此时数列单调递减，故数列中的最大项为第2项，即【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，等差数列的通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，属于中档题.当时，得，当时，利用，即可得到通项公式；由得，利用错位相减法求得，代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.19.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：，即由正弦定理得到，又，故，因为，所以，因为，所以所以由得，所以，，由，得，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；由得到，，得，再由基本不等式可得最值.20.【答案】解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，证明：由知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，【解析】本题考查利用函数导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．利用函数的导数求出的单调性，结合，即可得出结论．根据的结论，当时，，令，，有，利用累加以及对数的运算，证得结论．21.【答案】解：由，得，因为，所以，结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；由可知，当时，，又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项，将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组法求和，属于较难题.根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.22.【答案】解：由题意得：，，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，为，无极大值.由已知得，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则对任意恒成立，下证：对任意恒成立，令，则在上恒成立，且仅当时取"="所以在上单调递减，，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，即a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数解不等式，属于较难题．对函数求导，得到函数的单调性，即得到函数的极值;原不等式可化为对任意恒成立，令，利用函数单调递增求a的取值范围.。
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。
2020年高三数学上期中试卷(附答案)(2)
5．下列函数中， 的最小值为4的是（）
A． B．
C． D．
6．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为
A．4B．5C．6D．4或5
7．已知不等式 的解集为 , 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则 （ ）
A．-3B．1C．-1D．3
8．关于x的不等式 的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
那么： =4a+ ．
∵a＜0，
∴-（4a+ ）≥2 = ，即4a+ ≤-
故 的最大值为 ．
故选D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.
17．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x
6．B
解析：B
【解析】
由 ，即 ，
所以 取最大值时的 为 ，
故选B．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意先求出集合 ，然后求出 ，再根据三个二次之间的关系求出 ，可得答案.
【详解】
由不等式 有 ，则 .
由不等式 有，则 ，则 .
2023-2024学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|0}1xA x x =<−，{|03}B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合2{|40}A x x =−，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =−，则(a = )A ．4−B ．2−C ．2D ．43．已知(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，若a b ⊥，则tan α的值为( ) A ．2−B ．2C ．12D ．12−4．将函数sin()3y x π=−的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=−C ．1sin()26y x π=−D ．sin(2)6y x π=−5．设13log 2a =，121log 3b =，0.31()2c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为( ) A ．92πB ．6πC ．9πD ．18π7．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，则5(b = ) A ．32B ．64C ．128D ．2568．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个极小值C ．(0)f 为函数的极小值D ．(1)f −为()f x 的极小值9．设函数22,0(),0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨−+<⎩当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．(−C ．，0)D ．，1]2−二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．已知函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是 ．11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =、若1a 、2a 、5a 成等比数列，则n a =（5分） 12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，且3AC BC ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅= ．13．已知函数()sin(2)4f x x π=−，则()f x 的最小正周期为 ；()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是 ．14．已知向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，若()//a b c +，则m = ；若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围为 ． 15．若正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式234yx m m +>−恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值．17．（15分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点．14AA AB ==，6BC =． （Ⅰ）证明：1//AB 平面1BC D ． （Ⅱ）求二面角1C BD C −−的余弦值．18．（15分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*3(1)()n n S na n n n N =−−∈，且212a =． （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：1113ni i S =<∑． 19．（15分）已知函数2()(1)f x x a x a =−++， （1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集； （2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（16分）已知函数2()1f x x alnx =−−．（1）若()f x 的单调递增区间为[2，)+∞，求a 的值． （2）求()f x 在[1，)+∞上的最小值．2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|0}1xA x x =<−，{|03}B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由01xx <−得01x <<，即{|01}A x x =<<， 分析可得A B ，即可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件，故选：A ．2．设集合2{|40}A x x =−，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =−，则(a = )A ．4−B ．2−C ．2D ．4解：集合2{|40}{|22}A x x x x =−=−，1{|20}{|}2B x x a x x a =+=−，由{|21}AB x x =−，可得112a −=，则2a =−．故选：B ．3．已知(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，若a b ⊥，则tan α的值为( ) A ．2− B ．2C ．12D ．12−解：(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，a b ⊥，∴2sin cos 0a b αα=−+=，cos 2sin αα∴=， sin 1tan cos 2ααα∴==． 故选：C ．4．将函数sin()3y x π=−的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=−C ．1sin()26y x π=−D ．sin(2)6y x π=−解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数1sin()23y x π=−，再将所得的图象向左平移3π个单位，得函数1sin[()]233y x ππ=+−，即1sin()26y x π=−，故选：C ．5．设13log 2a =，121log 3b =，0.31()2c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<解：1133log 210a log =<=， 112211log 132b log =>=， 0.30110()()122c <=<=，a cb ∴<<． 故选：D ．6．已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为( ) A ．92π B ．6π C ．9π D ．18π解：设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R ， 因为正方体的表面积为18， 所以2618a =，所以23,a a = 所以22(2)39R a ==，得32R =， 所以正方体外接球的体积为334439()3322R πππ==，故选：A ．7．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，则5(b = ) A ．32B ．64C ．128D ．256解：等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，∴12102a d d +=⎧⎨=⎩，则14a =，2d =， 则34228a =+⨯=，742616a =+⨯=，则238b a ==，3716b a ==，则公比321628b q b ===， 则25316464b b q ==⨯=， 故选：B ．8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个极小值C ．(0)f 为函数的极小值D ．(1)f −为()f x 的极小值解：由函数()()g x xf x '=的图象， 可得当(,2)x ∈−∞−时，()0xf x '>， 所以()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2,0)x ∈−时，()0xf x '<， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,1)x ∈时，()0xf x '<， 所以()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0xf x '>， 所以()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当2x =−时，函数()f x 取得极小值； 当0x =时，函数()f x 取得极大值； 当1x =时，函数()f x 取得极小值， 故选项ABC 错误，选项B 正确． 故选：B ．9．设函数22,0(),0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨−+<⎩当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是( ) A．B．(− C．，0)D．，1]2−解：0a =时，显然不符题意；当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，即为()f x 的图象恒在()f x a +的图象之上， 则0a <，即()f x 的图象右移． 故A ，B 错；画出函数22,0()(0),0ax x x f x a ax x x ⎧+=<⎨−+<⎩的图象， 当12x =−时，111()242f a −=−−；而22(),()(),a x a x a x af x a a x a x a x a ⎧+++−+=⎨−+++<−⎩， 则12x =−时，由21111()2242a a a a −−++−=−−，解得a =， 随着()f x a +的图象左移至()f x 的过程中，均有()f x 的图象恒在()f x a +的图象上，则a 的范围是，0)，故选：C ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．已知函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是 2(,)3+∞ ．解：函数32()1f x ax x =−+． 可得2()32f x ax x '=−．函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，可知导函数在(0,1)上有极值点，导函数在(0,1)上有解，或0a =时，2320ax x −恒成立（显然不成立）． 可得2(0,1)3a ∈，解得：23a >， 故答案为：2(,)3+∞．11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =、若1a 、2a 、5a 成等比数列，则n a = 21n − 解：设公差为d ，则21a d =+，514a d =+， 则21(14)(1)d d ⨯+=+，2d ∴=， 21n a n ∴=−， 故答案为：21n −．12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，且3AC BC ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅= 3 ．解法一：因为点M 满足2BM MA =，90C ∠=︒，且3AC BC ==， 所以1112()3333CM CA AM CA AB CA CB CA CB CA =+=+=+−=+，所以2212121()3333333CM CB CB CA CB CB CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯=．解法二：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(3,0)A ，(0,3)B ，设(,)M x y ，则由2BM MA =，得2(3)32x x y y =−⎧⎨−=−⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即M 点的坐标为(2,1)，所以(2,1),(0,3)CM CB ==， 所以20133CM CB ⋅=⨯+⨯=． 故答案为：3．13．已知函数()sin(2)4f x x π=−，则()f x 的最小正周期为 π ；()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是 ．解：由函数()f x 的解析式，可得最小正周期22T ππ==； 3[,]88x ππ∈，可得2[04x π−∈，]2π，所以()[()8f x f π∈，3()][08f π=，1]．所以()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是[0，1]．故答案为：π；[0，1]．14．已知向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，若()//a b c +，则m = 1− ；若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围为 ．解：根据题意，向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，则(1,1)a b m +=−， 若()//a b c +，则有2(1)m =−−，解可得1m =−；若a 与b 的夹角为钝角，则2021a b m m ⎧⋅=−−<⎪⎨≠⎪⎩，解可得2m >−且12m ≠，即m 的取值范围为{|2m m >−且1}2m ≠；故答案为：1−，{|2m m >−且1}2m ≠．15．若正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式234yx m m +>−恒成立，则实数m 的取值范围是 (1,4)− ．解：因为正实数x ，y 满足141x y+=， 所以144()()22244444y y y x y x x x y x y x +=++=+++=， 当且仅当44y x x y =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号，则4yx +的最小值4， 因为234yx m m +>−恒成立， 所以234m m −<，解得14m −<<． 故m 的范围为(1,4)−． 故答案为：(1,4)−．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值．解：（1）sin cos b A B ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B ，即得tan B ， 由于：0B π<<， ∴3B π=．（2）sin 2sin C A =， 由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−， 229422cos3a a a a π=+−⋅，解得a =∴2c a ==．故a =c =17．（15分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点．14AA AB ==，6BC =． （Ⅰ）证明：1//AB 平面1BC D ． （Ⅱ）求二面角1C BD C −−的余弦值．（Ⅰ）证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以点O 为1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD 为△1AB C 的中位线， 所以1//OD AB ，因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊂/平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ；（Ⅱ）解：因为三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥， 所以11B C ，1B B ，11B A 两两互相垂直，以1B 为原点，11B C ，1B B ，11B A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(6C ，0，0)，(0B ，4，0)，(6C ，4，0)，(3D ，4，2)，所以(3,0,2)BD =，1(6,4,0)BC =−，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1320640n BD x z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，解得3232z x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 取2x =，得3y =，3z =−，所以(2,3,3)n =−， 由题知平面BCD 得一个法向量为(0,1,0)m =，所以cos ,||||14m n m n m n ⋅<>==⨯由图可知，二面角1C BD C −−为锐二面角，所以二面角1C BD C −−． 18．（15分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*3(1)()n n S na n n n N =−−∈，且212a =． （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：1113n i i S =<∑． （Ⅰ）解：由3(1)n n S na n n =−−，得122232(21)a a a +=−⨯⨯−， 即126a a =−，212a =，11266a ∴=−=；（Ⅱ）解：由3(1)n n S na n n =−−，得11(1)3(1)(2)(2)n n S n a n n n −−=−−−−，两式作差得：1(1)66n n n a na n a n −=−−−+，即16(2)n n a a n −−=． ∴数列{}n a 是以6为首项，以6为公差的等差数列， 66(1)6n a n n ∴=+−=；（Ⅲ）证明：6(1)63(1)2n n n S n n n −=+=+， 则11111()3(1)31n S n n n n ==−++， ∴1121111111111111(1)(1)32231313n i i n S S S S n n n ==++⋯+=−+−+⋯+−=−<++∑． 19．（15分）已知函数2()(1)f x x a x a =−++，（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）当2a =时，则2()32f x x x =−+，由()0f x >，得2320x x −+>， 令2320x x −+=，解得1x =，或2x =∴原不等式的解集为(−∞，1)(2⋃，)+∞（2）由()0f x <得()(1)0x a x −−<，令()(1)0x a x −−=，得1x a =，21x =，5⋯ 分， 当1a >时，原不等式的解集为(1,)a ；6⋯ 分， 当1a =时，原不等式的解集为∅；⋯（7分）， 当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ．⋯（8分）．（2）由()20f x x +即20x ax x a −++在(1,)+∞上恒成立， 得2..91x x a x +⋯− 分， 令1(0)t x t =−>，则22(1)1232231x x t t t x t t++++==+++−，13⋯ 分∴223a +．故实数a 的取值范围是(3]14−∞⋯ 分20．（16分）已知函数2()1f x x alnx =−−．（1）若()f x 的单调递增区间为[2，)+∞，求a 的值．（2）求()f x 在[1，)+∞上的最小值．解：（1）已知2()1f x x alnx =−−，函数定义域为(0,)+∞可得22()2a x a f x x x x−'=−=， 若函数()f x 的单调增区间为[2，)+∞，此时0a >；当)x ∈+∞时，()0f x '，所以函数的单调递增区间为)+∞．2=， 解得8a =；（2）易知22()x a f x x−'=，[1x ∈，)+∞ 当0a 时，()0f x '，函数()f x 在[1，)+∞上单调递增， 所以()f x f （1）0=；②当0a >，当x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 12a ，即02a <时， 函数()f x 在[1，)+∞单调递增，此时()f x f （1）0=，1>，即2a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增； 此时()()12222a a a a f x f ln =−−． 综上所述：当2a 时，最小值为0；当2a >时，最小值为1222a a a ln −−．。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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【好题】高三数学上期中试卷(及答案)(2)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1825．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 16．不等式211x x --<的解集是 ．17．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 18．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 19．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin7A=，②sin3sinA C=，③2a c-=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．在等比数列{}n b中，公比为()01q q<<，13511111,,,,,,50322082b b b∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（1）求数列{}n b的通项公式；（2）设()31n nc n b=-，求数列{}n c的前n项和n T.23．已知数列{}n a满足：1=1a，()*11,2,nnna na n Na n++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n nb a-=．（1）证明：数列{}2nb+为等比数列；（2）求数列3+2nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S．24．如图，Rt ABCV中，,1,32B AB BCπ===.点,M N分别在边AB和AC上，将AMNV沿MN翻折，使AMNV变为A MN'△，且顶点'A落在边BC上,设AMNθ∠=（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段CN长度的最大值以及此时A MN'△的面积，25．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．26．已知函数()f x a b =⋅v v，其中()()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈v v． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【详解】：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212132q q 2a a a ==⇒=，所以47213q a f f a ===D 【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。
2．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值； 选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
【详解】关于x 的不等式()210x a x a -++<，∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。
【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。
其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。
7．A解析：A在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．9．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.10．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．A解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。