专题12二次函数的图象及性质

素养全练12二次函数的图象及性质
夯实基础
1.(2019·浙江衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是()
A.(1,3)
B.(1,-3)
C.(-1,3)
D.(-1,-3)
2.(2019·重庆)抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()
A.直线x=2
B.直线x=-2
C.直线x=1
D.直线x=-1
y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,∴抛物线顶点坐标为(1,5),对称轴为x=1.故选C.
3.
(2019·四川遂宁)二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是()
A.a=4
B.当b=-4时,顶点的坐标为(2,-8)
C.当x=-1时,b>-5
D.当x>3时,y随x的增大而增大
二次函数y=x2-ax+b,∴对称轴为直线x=a
=2,∴a=4,故A选项正确;当b=-4时,y=x2-4x-4=(x-
2
2)2-8,∴顶点的坐标为(2,-8),故B选项正确;当x=-1时,由图象知此时y<0,即1+4+b<0,∴b<-5,故C选项不正确;
∵对称轴为直线x=2且图象开口向上,∴当x>3时,y随x的增大而增大,故D选项正确.故选C. 4.
(2019·广西河池)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中,错误的是()
A.ac<0
B.b2-4ac>0
C.2a-b=0
D.a-b+c=0
a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上,可得c>0,因此ac<0,故A正确,不符合题意;由抛物线与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,故B正确,不符合题意;由对称轴为x=-b
=1,得
2a
2a=-b,即2a+b=0,故C错误,符合题意;由对称轴为x=1及抛物线过(3,0),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(-1,0),所以a-b+c=0,故D正确,不符合题意.故选C.
5.(2019·内蒙古呼和浩特)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是
()
y=ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(-1,0),排除A,B;当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过第一、三、四象限,当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过第二、三、四象限,排除C.故选D.
6.(2019·黑龙江哈尔滨)二次函数y=-(x-6)2+8的最大值是.
a=-1<0,∴y有最大值,当x=6时,y有最大值8.
7.(2018·江苏镇江)已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围
是.
4
y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.
8.(2019·山东泰安)若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.
=2,x2=4
1
二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,∴-b
=2,得b=-4,则x2+bx-5=2x-13可化为x2-4x-
2
5=2x-13,解得,x1=2,x2=4.
9.(2019·安徽合肥包河校级月考)已知抛物线图象过(-1,0),(1,-4),(3,0)三点,求抛物线的解析式.
抛物线图象过点(-1,0),(3,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3).
把(1,-4)代入得,-4=a·2·(-2),解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
10.(2018·浙江杭州)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0)
(1)判断该二次函数图象与x 轴交点的个数,说明理由;
(2)若该二次函数的图象经过A (-1,4),B (0,-1),C (1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式; (3)若a+b<0,点P (2,m )(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
a ≠0,∴Δ=
b 2+4a (a+b )=(b+2a )2≥0.
∴二次函数与x 轴有1个或2个交点.
(1,0),则不经过C (1,1),
∴过A ,B 两点,代入A ,B 坐标得:
{a -b -(a +b )=4,a +b =1,∴{b =-2,a =3.
∴y=3x 2-2x-1.
P (2,m )在二次函数图象上,
∴m=4a+2b-(a+b )=3a+b=a+b+2a. ∵a+b<0,m>0,∴2a>0,即a>0.
提升能力
11.
(2019·广西玉林)已知抛物线C :y=12
(x-1)2-1,顶点为D ,将C 沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位,得到抛物线C 1,顶点为D 1,C 与C 1相交于点Q ,若∠DQD 1=60°,则m 等于( ) A.±4√3 B.±2√3 C.-2或2√3 D.-4或4√3
解析抛物线C :y=1
2(x-1)2-1沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位得到y=1
2(x-m-1)2-1,∴D (1,-1),D 1(m+1,-1).∴Q 点的横坐标为:
m+2
2
,代入y=1
2(x-1)2-1求得Q
m+22
,m 2
8-1.若∠DQD 1=60°,则
△DQD 1是等边三角形,∴QD=DD 1=|m|.由勾股定理得,m+22-12+m 28
-1+1
2=m 2,解得m=±4√3,故
选A . 12.
(2019·内蒙古通辽)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,现给出以下结论:①abc<0;②c+2a<0;③9a-3b+c=0;④a-b ≥m (am+b )(m 为实数);⑤4ac-b 2<0.其中错误结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
由抛物线可知:a>0,c<0,对称轴x=-b
2a
<0,∴b>0,∴abc<0,故①正确;②由对称轴可知:-b 2a
=-1,∴b=2a.∵x=1时,y=a+b+c=0,
∴c+3a=0.∴c+2a=-3a+2a=-a<0,故②正确;③(1,0)关于x=-1的对称点为(-3,0),∴x=-3时,y=9a-3b+c=0,故③正确;④当x=-1时,y 的最小值为a-b+c ,∴x=m 时,y=am 2+bm+c.
∴am 2+bm+c ≥a-b+c ,即a-b ≤m (am+b ),故④错误;⑤抛物线与x 轴有两个交点,∴Δ>0,即b 2-4ac>0.∴4ac-b 2<0,故⑤正确.故选A .
13.(2019·湖北武汉)抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (4,0)两点,则关于x 的一元二次方程a (x-1)2+c=b-bx 的解是 .
2或5
a (x-1)2+
b (x-1)+c=0.令y'=a (x-1)2+b (x-1)+
c ,则可由y=ax 2+bx+c 的图象向右平移一个单位长度得到.
又∵y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为(-3,0)和(4,0).∴y'=a (x-1)2+b (x-1)+c 与x 轴的坐标为(-2,0)和(5,0).故方程的解为x 1=-2,x 2=5. 14.
(2019·四川雅安)已知函数y={-x 2+2x (x >0),-x (x ≤0)的图象如图所示,若直线y=x+m 与该图象恰有三个不
同的交点,则m 的取值范围为 .
<m<1
4
y=x+m 与该图象恰有三个不同的交点,∴直线与y=-x 有一个交点,与y=-x 2+2x 有两个交点,
∴m>0.∴x+m=-x 2+2x ,Δ=1-4m>0,∴m<14,∴0<m<1
4.。