对一道高考数学题的多角度思考
高考数学祝福语和鼓励的话
高考数学祝福语和鼓励的话
1. 祝福你们高考数学考试顺利，心态稳定，发挥出最佳水平，拿到理想的成绩。
2. 做题时注意细节，不要急于求成，耐心思考，认真审题，相信自己的能力，一定能解决难题。
3. 数学考试并不可怕，只要你平时勤奋，认真学习，掌握基本知识和技巧，就能轻松应对。
4. 记得做完每一道题后，要认真检查，防止粗心大意带来的失误，保证答案正确。
5. 高考数学考试中，要充分发挥自己的优势，抓住分数较高的题目，争取拿到更高的总分。
6. 不要紧张和焦虑，保持平静的心态，心态好了，一切都会变得容易。
7. 不要放弃任何一个机会，认真对待每一道题目，相信自己的能力，勇敢前行。
8. 数学考试中，要注重思维的发散性，多角度思考，灵活运用所学知识，创造性地解决问题。
9. 不要被题目中的难点所吓倒，要敢于挑战自己，勇往直前，克服难关。
10. 最后，祝愿你们成功，拿到自己满意的成绩，迈向美好的未来，实现自己的梦想。
多角度探究圆锥曲线中的定值问题——以２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题为例
二次曲线系方程可设为llBD ＋λ
lAB lAD ＝０．
设直线 AP :
x＝my－２,
AQ :
x＝ny－２,
PQ :
y＝
易 知 椭 圆 在 点 A 处 的 切 线 方 程 为x＝
k(
x＋２)＋３．
,
由引理可知过点
－２
A,
P,
Q 的二次曲线方程可设为
(
(
(
x＋２)
kx－y＋２
k＋３)＋λ(
x－my＋２)
９＋４
k２
１
１
２
－８
k２ ＋１８
３６
k２
,
．
yQ ＝
９＋４
k２
９＋４
k２
２
２
设 直线 PQ 方程为y＝k(
x＋２)＋３,将点 P ,
Q的
同理,可得 xQ ＝
２
坐标分别代入直线方程,可得
１２
k２
６
k１ ＋３６k＋２７＝０,
１ －３
{
１２
k２
６
k２ ＋３６k＋２７＝０,
２ －３
即 k１ ,
k２ 是方程 １２x２ －３６x＋３６k＋２７＝０ 的 两 个 根,
x１ ,
a＞
y１ )在 椭 圆 ２ ＋ ２ ＝１(
a b
b＞０)外,过点 P 可以作两条直线与椭圆相切,连 接 切
点 A,
B ,称线段 AB 为 切 点 弦,则 切 点 弦 所 在 直 线 的
x１x y１y
方程为 ２ ＋ ２ ＝１．
我们将 点 P 和 切 点 弦 分 别 称 为
a
b
椭圆的一对极点与极线 [１]．
让学生的个性品质在难题突破中得到升华--一道高考数学压轴题的突破感悟
一 、选题原则 ，导向为先
平常每次考试，学生都很难突破此类题.久而久之， 学生心理上已经将其归为难题了. 加上 2013年高考，命 题者将传统的直线与圆锥曲线题前移后，此题也确实承 载了压轴的重任.而用导数研究函数的性质是新课标倡 导的理念，也将其确定为核心知识，难怪高考要重 点 考 查这方面的内容了.
对一道高考数学题解法的探讨及感悟
．
（ 一２ ａ ＋３ ） ≥０ ． 所以ｎ ＝÷ ．
‘
一 Ⅱ（ ３ ２ 。 ＋ ） ＋ ＋
２ ｆ 一 ・ １ ≤０ （ ＊） 看 作 关 于 ａ的一 个 一 元 二 次 不 等 式 ．
当 ＞ ０， 由 △： （ ＋ 。） 一 ４ Ｘ （ ＋ 。 一＿ 丁一 １） 一
对 一追 道 高 局 考 数 学 题 解 法 的 探 讨 及 感 悟
■ 蒋 健
２ Ｏ １ ２年 浙 江 高 考数 学 （ 理） 第 １ ７题 ： 设 ｎ ∈Ｒ， 若 ＞ Ｏ ， 均
有 ｒ（ “ １） 一 １ ］（ 一“ 一 １ ） ≥ｏ ， 则 ｎ 一 ．
相对 于 基 础 一 般 的 学 生 来 说 比较 容 易 想 到 了 ， 入手 点 比 较低 ， 但 如 果 对 题 目 的理 解 不 够 透 彻 ， 容易造成“ 无解” 的 错 误
（ １ ） 求 （ ） 的单 凋 区间 ； （ ２ ） 求 所 有 的实 数 “ ， 使得 ｅ ｌ ≤
１
所以由÷
“ ｉ
一（ ｎ 一１ ） 一ｎ ， 得ｎ 一＿ 昙 Ｉ ．
Ｌ
厂 （ 丁 － ） ≤ｅ 对 ［ １ ， ｅ ］ 恒成立． 仅对本题第（ ２ ） 小 题 作 出解 答 ．
（ ． ２ ｆ 一 ２） （ 一３ ＋ ２ ）一 ０ ． 易 知 在 ＞ ０下 一 ３ ４ － ２＞ ０，
反思 ： 特殊 值 法 简 洁 合 理 快 捷 ， 是 解 决 选 择 题 和 填 空 题 行
之有 效 的一 种 好 方 法 ， 但 若 本题 不是 客 观题 ， 则 又 该 如 何 解
认识 ．
全方位多角度多视角--道高考题的多解研究
下解法 K 解法 5 :利用公式asin"+1cos"= " a 2 +12sin("+#)■ 由于/ = " 3 cos" +sin"=2 sin("+#)， 则 l/l !2,也 就 是说2 ! I / - 4 I! 6 ， 则距离( 的最小值为" T . 解法 6 :用万能公式代换■令tan ! =)， 则 cos"= 士 ， 2 1+)2
一元二次方程:4$2 -2 ( 4 ± " T /)y + ( 4 ± " T /)2-3=0,由 于方程必定有实数解， 故判别式$ & 0 ， 即 4 ( 4 ± " T /)2 -16[ ( 4 ± " T /)2 -3 ]&0. 求解此不等式， 且/ & 0 得到/ ' [ " T ， 3 " T ]， 则/ 最小值" 2 . 通过此求解过程知用此初中所学的判别式法不涉 及到分类讨论， 并且具有一定的普适性. 解法3 :绝对值的范围由"+$直 接 决 定 ， 故可以直接 对"+$的范围进行求解.由于条件"2 +3$2 &3都是平方项， 故 可以联想到对"+$进行平方， 即("+$ )2 ="2 +2"$+/. 由于直接利用基本不等式得到的结果"2+2"$+$2( 2("2 -/)， 此式子与条件没有直" 2 -1%"2 -
$2)-$2 =( 1-% )"2 -$-
横看成岭侧成峰 远近高低各不同——2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析
数理化解题研究2021年第01期总第494期横看成岭侧成峰远近高低各不同2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析章显联(浙江省绍兴鲁迅高级中学312000)摘 要：本文对2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题进行多角度分析：非坐标形式的向量法(基底法)、三余弦定理法、等体积法、纯几何法、空间直角坐标系法.给出了复习的两个建议：关注最小，秒杀线面；重视非坐标形式的向量法.关键词：非坐标形式的向量法；线面角；两个原理中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)01 -0036 -04一、典型考题所成角为0 ,由已知，得0C 与平面DBC 所成角也为0.由公式，得例1（2020年浙江第19题）如图1,在三棱台ABC-DEF 中，平面 ACFD 丄平面 ABC , /ACB - /ACD -45°,DC -2B C.(1) 证明：EF 丄DB ；(2) 求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.本题主要考查空间直线互 相垂直的判定和性质，以及直 线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思 维能力，平面与空间互相转化 能力,几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强 的中档题.笔者认为此题无论图1是试题难度、试题背景、命题立意,还是对数学核心素养 的考查，都很到位,可谓简约不简单.它也是一道解题训 练的优质题,横看成岭侧成峰，很有研究价值.解法1非坐标形式的向量法(基底法)过点D 作D0丄AC 于点0,以｛ C B ，C B ,CD ｝为基底. 不妨设 DC - 2B C -2,贝V DB - 3 , C0 - 2 , / 0CB -：,/0CD - n , /DCB - n ,设平面DBC 的法向量为n - %-CD -0,（• C B -0 得｛2% + y + 4z - 0,% + y + z - 0.C O + y C B + zC B ，贝V 由所以n - -3 C0 +2 B + CD.设直线DF 与平面DBC解法2三余弦定理法过点D 作D0丄AC 于点0,由已知,得0在平面DBC 的射影H 在/DCB 的角平分线上,设直线DF 与平面DBC 所成角为0,由已知,得0C 与平面DBC 所成角也为0.由三余弦定理，得 cos n - cos n • cos 0,cos 0 - f •463所以sin 0 -耳.解法3等体积法.过点D 作D0丄AC 于点0,设直线DF 与平面DBC 所 成角为0,由已知，得0C 与平面DBC 所成角也为0.由 % - DBC 二 % - 0BC ，解得 h 二专,sin 0 二豊二专.解法4坐标形式的向量法以0为原点,0D 为Z 轴,0C 为Y 轴,在平面ABC 内, 过点0作0C 垂线为Z 轴，易求D ,C ,B 坐标，从而求得平面DBC 的法向量，利用线面角公式sin 0 - 3 •解法5纯几何法分析(1)题根据已知条件，作DH 丄AC ,根据面面垂直，可得DH 丄BC ,进一步根据直角三角形的知识可判断收稿日期：2020 -10 -05作者简介:章显联(1972. 12 -)，男，浙江省龙港人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—36—2021年第01期总第494期数理化解题研究出厶BHC是直角三角形，且Z HBC_90°,则HB丄BC,从而可证出BC丄面DHB,最后根据棱台的定义有EF〃BC,根据平行线的性质可得EF丄DB.（2）题可先设BC_1,根据解直角三角形可得BH_1,HC_2,DH_2,DC_2,DB_3,然后找到CH与面DBC的夹角即为Z HCG,根据棱台的特点可知DF与面DBC所成角与CH与面DBC的夹角相图2等，通过计算乙HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC所成角的正弦值.二、考题赏析本题建系有些困难,不存在明显的过同一点的两两垂直的直线.这种情况下，非坐标形式的向量法（基底法）显得更实用.本题解法以｛CO,C B,CD｝为基底，因为它们不共面长度可求,且它们的夹角也可求.应用此法，可使求解过程更自由.若CO,C B,CD是单位向量且两两垂直,就是通常的坐标形式的向量法了.坐标形式的向量法可以看作是非坐标形式的向量法的一种特殊情形.解法2中0在平面DBC的射影H在Z DCB的角平分线上，利用三余弦定理可求出0C与平面DBC所成角.B图4三正弦定理（最大角定理）设二面角M-AB-N的度数为Y,在平面M上有一条射线AC,它和棱AB所成的角为0,和平面N所成的角为//a,贝V sin a_si叩•sin y.（为了力便于记忆，我们约定:0为线棱角,a为线面角，Y为二面角）证明如图4,C0丄平面N,0B丄AB,BC丄AB,0C△0BC,△0AC,△ABC均为直角三角形,sin y_,si叩_BCBCAC，sin a_器，易得sin a_sin S•sin y.说明由sin a_sin S•sin y且sin S W1,知sin a W sin y,a W y，所以二面角的半平面M内的任意一条直线与另一个半平面N所成的线面角不大于二面角,即二面角是线面角中最大的角.若平面斜线上异于斜足的点在平面上的射影不易确定，则可转换为其他点如是操作或利用等体积法求出垂线段的长，利用公式sin O_h求得.如本题解法3.其实不管是纯几何法还是坐标形式的向量法,都能解决线面角问题，高考试题的参考答案一贯都是纯几何法与坐标形式的向量法,每种方法的学习都可促进学生能力的提高,只是各有侧重.如解法4与解法5.三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设点A为平面a上一点，过点A的斜线在平面a上的射影为B0,BC为平面a上的任意直线,那E么Z ABC,乙0BC,乙0BA三、复习建议三角的余弦关系为cosZ ABC图3_cos Z0BC•cos Z0BA.即斜线与平面内一条直线夹角0的余弦值等于斜线与平面所成角a的余弦值乘以射影与平面内直线夹角O的余弦值,cos0_cos a-cos O.（为了便于记忆,我们约定:0为斜线角,a为线面角,O为射影角）证明如图3,^0AB,△0BC,△ABC均为直角三角形,cosQ BCAB，cosaB0AB，cosO B0，易知cosQ_cos a•cos O，得证.说明这三个角中，角0是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积.斜线与平面所成角a是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角.1.紧扣最小，秒杀线面在研究空间角的最值与求值问题时，我们应关注最大角与最小角定理,三余弦公式与三正弦公式.这样的考查在近几年的学考、高考试题中已多次出现：例2（2019年浙江高考第8题）设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为S,二面角P-AC-B的平面角为Y，则（）.A.S<Y,a<yB.S<a,0<yC.S<a,y<aD.a<0,y<0解法1由最小角原理，得S<a，记二面角V-AB-C的平面角为y'（显然y_y'），由最大角原理，得S<y，故选B.解法2（特殊位置）取V-ABC为正四面体,P是棱VA上的中点，算出a,0,y的正弦值，可得选项B.例3（2018年浙江高考第8题）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段—37—数理化解题研究2021年第01期总第494期AB上的点（不含端点）,设SE与BC所成的角为O],SE 与平面ABCD所成的角为O2,二面角S-AB-C的平面角为O3,则（）•A.O1W O2W O3B.O3W O2W O1C.O1W O3W O2D.O2W O3W O1解法1作出三个角，通过定量计算得出答案为D.解法2由最小角与最大角原理知：O1M O2,O3M O2,故选D.例4（2014年浙江高考第17题）如图5,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM-移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角O的大小•若AB=15m,图5AC=25m,Z BCM=30°,贝卩tan O的最大值解析由线面角W面面角,求tan O的最大值转化为求二面角M-AC-Q的平面角•易求最大值为5j•例5（2018年11月浙江学考）四边形ABCD为矩形，沿AC将A ADC翻折成A AD'C.设二面角D'-AB-C 的平面角为O,直线AD'与BC所成的角为O1,直线AD'与平面ABC所成的角为O2,当O为锐角时，有（）•A.O2W O1W OB.O2W O W O1C.O1W O2W OD.O W O2W O1解析由最小角原理，得O1M O2,由最大角原理，得O M O2,下面比较O]与O的大小即可•故选B.例6（2018年全国高考n卷理科第20题）如图6,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=4,0为AC的中点•（1）证明：PO丄平面ABC；（2）若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面图6PAM所成角的正弦值.解析（1）略.（2）由题意，知线棱角Z CPA=60°,二面角M-PA-C为30°，由三正弦定理，得sin a=sin60°sin30°=例7（2009年浙江高考理科第17题）如图7,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点•现将△AFD沿AF折起,使平面—38—ABD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足•设AK=£,则t的取值范围是•」___E.$____C d/一A B A K B图7解析由三余弦定理及已知，得cos Z DAF= cosZ DAK・cosZ BAF,又Z DAF+Z BAF二;，则cos Z DAK=tan Z BAF.在Rt△DAK中t=cos Z DAB,因此t=tanZ BAF,又由折叠前的图形，知0<Z CAB<Z BAFn<Z EAB=；.4所以tan Z CAB<tan Z BAF<tan Z EAB.所以1<t<1.考查这类空间角的大小是命题者难以割舍的情结,其本质是考查线面角与面面角定义的合理性,是考查学生数学核心素养的有效途径•2.非坐标形式的向量法非坐标形式的向量法比坐标形式的向量法应用更自由，更广泛•相比较纯几何法可避免令人深感畏惧的辅助线的添加技巧等.当然,解题方法中的选择也是当用则用，不分彼此,有时多种方法可揉合于同一道题中,特别是向量与几何的紧密联系与转化•应用非坐标形式的向量法解题的基本步骤：（1）会选基底.只需要不共面的三条线段长度可求，且它们的夹角也可求即可.（2）会表示•会用基底表示其他向量,一般只涉及向量的三角形式及其推广（闭合回路）,数乘与平行,数量积与垂直两个定理•特别是要掌握好平面法向量的求法，方法可参考高考真题解法1•（3）会用公式•运算过程中无论是平面向量还是空间向量操作完全一致，运用的公式与坐标形式的向量法一致.笔者尝试用非坐标形式的向量法研究高考数学卷，发现非坐标向量法作为解答立体几何的方法有着诸多的可取之处.例8（2018年浙江高考第19题）如图8,已知多面体ABCA1B1C1中，A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC, Z ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.（1）证明:AB】丄平面A]B]C]；（2）求直线AC】与平面ABB]所成的角的正弦值.解析以｛BA,B C,B—｝为基底，可证明（1）,也可求2021年第01期总第494期数理化解题研究得直线AC]与平面ABB1所成的角的正弦值为晋•例9(2019年浙江高考第19题)如图9,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1丄平面ABC,/ABC-90°,/BAC-30°,A1A二A1C-AC,E,F分别是AC,A]B]的中点(1)证明：EF丄BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.解析以｛E b]c B,C B｝为基底,可证明(1)，也可求得直线EF与平面A]BC所成角的余弦值是3•我们研究的向量是自由向图9量，运用非坐标形式的向量法无需考虑建立空间直角坐标系所需要的特殊要求,使解题过程更自由•例10(2009年浙江高考理科第17题)如图10,在长方形ABCD中,AB-2,BC-1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点•现将△AFD沿AF折起，使平面ABD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足•设AK-t，则t的取值范围是•图10解析以｛K4,KD,KF｝为基底，设DF-m,抓住折叠过程中的不变量AD-1,AB-2,由于平面ABD丄平面ABC,DK丄AB,从而DK丄平面ABC.由DF二D A+AF二d K+k A+AF，得m2二(d K+K4+AF)2.化简,得mt-1,即t——.由1<m<2,得<t<1.m2利用非坐标形式的向量法进行的上述解答,化动为静，简捷别致，令人耳目一新.例11(2000年全国高考理科第18题)如图11,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且/C1CB-/C1CD-/BCD-60°.(1)证明：C]C丄BD；3(2)假定CD-2,CC]-3，记Bi Ai图11面C]BD为a,面CBD为0,求二面角a-BD-0的平面角的余弦值；(3)当CD的值为多少时，能使A]C丄平面C]BD?请给出证明.解析以｛Cc1，CD,C B｝为基底，则CA]-C c]+CD+CB.(1)由BD-CD-CB,得C2C・BD-0,所以C2C丄BD.(2)易知平面a的法向量为C B；--8CC]+CD+C B，所以平面S的法向量为n--4CC]+CD+C B,从而求得a-D-S的平面角的余弦值为3•(3)当CD-1时,能使A]C丄平面C]BD.设CD-2,可证A]C丄BD,再由A]C丄BC2求得CC2-2.例12(2015年浙江省高考理科第13题)如图12,三棱锥A-BCD中，AB二AC二BD二CD-3,AD-BC-2,点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是•解析以｛BA,BC,BD｝为基底，在△ABD,由余弦定理得cos图12/ABD-7,同理得cos/CBD-[,cos/ABC-[,BA・933B C-2,BA・B D-7,B C・BD-2.用基底表示A N,C M,AN--BA+2BC,C M-2(BD+BA-2BC),异面直线AN,CM所成的角的余弦值是简]CM-T•平面向量仅是空间向量的一种特殊情形•“平面向量”可向“空间向量”自然转化.用向量方法求解空间角度与距离问题,为某些位置关系的判断问题创立了一种新的方法•在向量的运算中,要注意数形结合,灵活运用图形的几何意义、向量的几何意义去解题.《新课程标准(2017年版)》对空间向量的应用提出了更多、更高的要求,可见非坐标形式的向量法用于解决立体几何问题,完全符合新课程标准对学生的要求•如何使非坐标形式的向量法成为学生解决立体几何问题的又一个通用的好方法,还需要我们建一步地探索与总结•参考文献:[1]章显联.高考复习要注意回归教材[J].数理化解题研究，2020(13)：15-18.[责任编辑:李璟]—39—。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思我们先来看一下压轴题的特点。
压轴题通常是一道较为复杂、综合性较强的数学题目，需要运用多种数学知识和技巧进行综合运用。
压轴题往往要求考生运用数学知识解决现实生活中的问题，具有较强的实际应用性。
压轴题的解题过程常常需要一定的创新和思维深度，考查考生的数学建模能力和问题解决能力。
压轴题在一定程度上能够较全面地反映考生的数学素养和综合运用能力。
对于高考数学卷压轴题，教育部门和评卷人员通常会根据题目难度和考生答题情况对分数进行适当调整，以保证公平公正。
这也使得压轴题成为一种重要的教育评估工具。
通过对压轴题的考查，可以全面评估考生的数学能力和素养，促进教学质量的提高和学生数学素养的全面发展。
压轴题的设置也对教学有着积极的意义和影响。
一方面，压轴题的综合性和实际应用性能够激发学生学习数学的兴趣。
学生在解决复杂问题的过程中，不仅能够提升数学技能，更能够培养解决问题的能力和信心，促进学生的全面发展。
教师在备课和教学过程中，也可以通过研究压轴题的设置和解题方法，引导学生掌握数学知识，提高数学思维能力，提升教学质量。
压轴题也存在一些问题和挑战。
由于压轴题的综合性和难度较大，一些学生在面对这类题目时可能会感到困惑和沮丧，甚至影响考试发挥。
一些教师可能会为了迎合考试需求，过度注重压轴题的应试技巧和解题方法，忽略了对基础知识和思维能力的培养。
压轴题的设计和评分标准可能存在一定的主观性和不确定性，需要进一步完善和规范。
针对以上问题和挑战，我们可以从以下几个方面进行改进和完善。
教师在教学过程中应更加关注学生的数学基础知识和数学思维能力的培养，引导学生通过多样化的学习方式和实际应用，提升数学解决问题的能力。
教育部门和评卷人员应该在压轴题的设计和评分标准上加强规范和公正，确保对考生数学能力的全面评估。
学生本身也应该树立正确的学习态度，培养自主学习和解决问题的能力，以更加从容地应对高考数学卷压轴题。
对一道高考数学压轴题的几点思考——以2019年江苏数学高考卷第19题为例
为
犕 ，求证：犕
４ ≤２７．
不难发现，前两 问 比 较 常 规，所 以 下 面 我 们 重 点
谈谈对于第 （３）问 的 思 考．分 析 问 题，我 们 发 现：目 标
是要证明 “犕
≤
４”，要 ２７
达
到
目
标，必
须
先
研
究
函
数
犳（狓）的极大值；要研究函数犳（狓）的极大值，必须知 道函数犳（狓）的单调性；要知道函数犳（狓）的单调性， 必须先研究犳（狓）的导函数的零点．接着，我们就执行 这个分析思路．
３
．
因为犳（狓１）＝狓３ １ － （犫＋１）狓２ １ ＋犫狓１，所以犳（狓１）
（ ） ＝狓３ １
－
（犫
＋ １）狓２ １
＋犫狓１
＝犳′（狓１）狓３１
犫＋１ －９
－
２（犫２ －９犫＋１）狓１
＋
犫（犫＋１） 犫（犫＋１）
９
＝
２７
－
２（犫－１２）７２（犫＋１）＋２２７（槡犫（犫－１）＋１）．
因为０＜犫≤１，所以犳（狓１）≤２２７＋０＋２２７≤２４７．
解：因为犳（狓）＝狓（狓 －犫）（狓 －１）＝狓３ － （犫＋ １）狓２ ＋犫狓，所以犳′（狓）＝３狓２ －２（犫＋１）狓＋犫．
因 为Δ ＝４（犫＋１）２ －１２犫＝（２犫－１）２ ＋３＞０，所 以犳′（狓）有２个不同的零点，设为狓１，狓２，不妨令狓１ ＜
狓２． 当狓 ＜狓１ 时，犳′（狓）＞０，当狓１ ＜狓 ＜狓２ 时，
（ ） （２）要证ｌｎ狓＋狓犪－１＞１犪 ≥ １ ２，狓 ＞１ 成立，
（含有狓 和犪两个未知量，考虑消元）即证ｌｎ狓＋狓犪－１ ≥ｌｎ狓＋２（狓１－１）＞１．（利用不等关系消犪）即证２（狓 －１）ｌｎ狓＋１＞２（狓－１）当狓 ＞１时成立．
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由
得 ａ ２ ，＝ ， ＝ ／ ，故 椭 圆 Ｃ 的力 裎 ＝ ｃ ｌ６ Ｘ ３
为 ＋ 等手 Ｌ
（ 法二 ） 由条件知 ， （ ， Ｌ）故直线 峨 的斜率 为 Ｐ Ｌ
，
。
过点 Ｐ － ， ） （ ｃ 的椭 圆的切线方 程为 二 ＋ ＝ ， 上 １ 显
－ ０
。
于 点 Ｑ ．
一
一
ｒ
－ ２ ：， 。 得
＝， — 争 ７ ，
ａ２
’
０
，＋ － 鲁ｌ
Ⅱ Ｄ
（ 如果点 Ｑ的坐标是（ ，）求此时椭 圆 Ｃ的方 Ｉ） ４４ ，
程：
（Ｉ 证明 ： １） 直线 Ｐ Ｑ与椭圆 Ｃ只有一个交点．
ｙ
・
【 析 】Ｉ（ 解 （ 法一 ） ｐ 一 ，ｔ（】 ）代入 ＋ ） 点 （ｃｙ）ｙ ＞０ ，
黼 ２｛ ０ ２年 籀 ｛ ０期
Ｏ
在 Ｒ Ａ Ｎ ： 显然Ｉ ｌｌ Ｎ ｌ与上述所推出结 ｔ Ｍ Ｆ 中， Ｍ ＞Ｍ ， 论 Ｉ ２＝Ｍ ＭＦ ＩＪ Ｎ Ｉ ， 矛盾 所以假设不成立 ，故直线 Ｐ Ｑ
与椭 圆 ｃ只有一个交点．
如此 ，而且 第 （Ｉ Ｉ）问的实际背景 尤为深刻 ，从射影 几何的角度 看 ，其 实质是 ：椭 圆的焦点与相应 准线构
名 师 解 惑
对一道高考数学题的多角度思考 ｛： 。，，椭方为 ４ ：：故圆程 ， ２１ 得
￣ ａ ４， ２＝
■高 慧明
＋＝ 手１ ・
（ 四） Ｑ（ ， ， 法 设 ｍ） 由已知得
Ｐ ， ）则 ： （２， ） （ ， －ｃ ， ： － ， ． Ｐ ａ＿ （ ｃｍ） 由 ＦＡ
又 ： － ． ４…． ②
Ｃ
ｂ（ ， ，＞ ） ０ｂ ｃ ０ ……③
ｃ 将上式代入椭圆方程得 ｘ ２ｘ ｃ Ｏ 解得 ＝ ｃ ＿ ２ ｃ＋ Ｚ ， ＋ ＝ 一，
， ， ， ： 所以直线 Ｐ Ｑ与椭圆 ｃ只有一个交点． ， （ 三） 法 由已知得 Ｐ（ｃ ） 利用导数 知识 可得 一，
库面积建到最 大 ，此规 划是否符合规 定？
四
分析 ：这是 一个 实 际问题 ，给出 的条件 是几何 图形及其 要满足 的条 件． 首先 ．我们知道 临时仓库 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是平 行 四边形 ，且平行 四边形 Ａ Ｄ ＢＣ 的周 长是 ４ ０ 由于平 行 四边形 两对 边平 行且 相等 ，所 以 ＡＢ Ｂ ＝ Ｄ＋ ０ ｍ， ＋ ＣＡ ＡＣ ２ ０ １ ０ 建立 以 ＡＣ所在 直线为 轴 ，Ａ ＝０＞６． ｃ中点 为原点建 立直角 坐标
｛ 一 ・ＮＰ￣ Ｏ 以 线 的 Ｎ ＝＆ ， 直 方 Ｆ 所
然 Ｑ（ ，ｎ满 足上述 切线方程 ， ２） 也即过点 Ｐ的椭圆 切线就是直线 Ｐ 由椭 圆的切线性质可 知直线 Ｐ Ｏ， Ｏ与 椭 圆 Ｃ只有一个交点．
（ 四） 法 假设直 线 － 圆 Ｃ相交 ， ｑ椭 另一 个交点
蕊 ２１ ０ ２年 第 ０黝
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薹 甏
篓“ “
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曩
名螂 懑
例题． 图 ，在一条直的 国道 同侧有 相距 １０米的 Ａ、Ｃ两处 ，点 Ａ、 如 ２
Ｃ到公路 的距 离分别是 １９米 、４ １ ７米 ． 拟规划建设 一个 以 Ａｃ为对角线 的
平行四边 形 Ａ Ｄ的临时仓库 ，且 四周 围墙 总长为 ４ ０米． ＢＣ ０ 根据公路 如何利用解 几知识解决面积最大问题 法以 及省公路管 理条例规定 ，建筑物离公 路距离不得少 于 ２ ０米． 若将临 时仓
系 ，可知 曰、Ｄ两 点在 以 Ａ、Ｃ为焦 点的椭 圆上 （ 除去两个点 ）． 其次 ，临时仓库 面积最大 ．即 ＡＢ Ｄ面积最大． Ｃ 什么时候 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ面积
最大？这是我们要解 决的一个难 点． 由于平行 四边形 Ａ Ｃ 的面积等 于两 ＢＤ 个三角形 Ａ ＤＣ的面积 ，即等于 ＡＣ乘 以高． 图形知 。当 Ｂ、Ｄ是 椭圆 观察 短轴的两个端点时 ，满足条件． ■ 再次 ，建筑物 （ 临时仓库 ）离公路距离不得少 于 ２ ，即求最 近点 ０米 Ｄ到公路 的距离是 多少 ，即可判 断规划是否 符合题意． 问题又可转化 为求
过 Ｆ 做 轴 的垂线 交 Ｉ 椭 圆 Ｃ的上 半部 分 于 点 Ｐ ．过 点 作 直 线 Ｐ 的 垂 线 交 直 线 ：
Ｎ Ｐ Ｎ－ ＿ ＮＹ ￣手１ Ｎ ＋ ・
２ ｂ
— —
—
—
一
一
（Ｉ（ Ｉ】 法一 ） Ｑ（ 设 ｃ ｉ ￣
，
０
ｙ ， 上 ｌ 则 ） 口甘 ＿ ×
Ｋ、 过点 Ｍ 作 删 上Ｑ 垂足为点 Ｎ， 由椭 圆的第 Ｈ． ， 则
Ｐｃ口 为叽 —Ｆ ，以ｒ１ （， △ ＡＭ 所 槲ｒ＝ ＿譬 ￣ Ｑ ｌ Ｊ
ｂ
，
即 亡
８
，
二义 ，籍＝ｅ 圆离率 定得 书＋， 椭的心） ｅ为 （ ， ２ 以 即 ＝ ，Ｋ Ｈ ＝ ， 槲 由／ ， ＰＭ得 槲 ／
【 Ｍ］２１ 年高考安徽卷理科 ２ 题 ）如图， ｈ （ｏ２ Ｘ ０ 点
（ｃ０ ， （ ，） 别 一 ，） 一 ｃ０ 分
是 椭 圆 ｃ ： １ （
Ｑ 知 ・ Ｆ－ ，ｍ＝ ’ ： ，ａ ４ ． ，＝ ， 椭 Ｑ ＝ ． ２ ． ４２＝ ２ｃ １故 － ． － Ｏ
ｂ ０ 的左 、 焦 点 ， ＞） 右 经
点 Ｄ到 直线 （ 公路 ）的距离 ． 这里求直线方程 （ 公路所 在的直线 ）又 是一
童 其 林
个难点． 有两种思路 ：一是 由 （６ ， ，ｃ６ ，） 一 ００ （ ０ ，设公路所在 的直线方程为 ） ｏ
ｙｋ＋， 由 、 ＝ ｘ ｂ再 ｃ到直线 的距离 分别为 １９ １ ｍ、４ ｍ， ７ 建立 关于 、ｂ的二元
一
次方程组 ．再 求出 ｋ 、ｂ的值 ，方程便可求 出；另一种思路是 利用 几何
由Ｐ ： Ｍ ， Ｆｆ Ｎ￣
＝
＇ Ｉ Ｆ ｌ ｆｉ ． Ｍ ２＝Ｍ 是 ． ．
线 Ｐ 与椭 圆 ｃ都只有一个 交点． Ｑ 在此请读 者思考 思
考 上 述 结论 对 于 双 曲 线 、抛 物 线是 否也 成 立呢 ？ 不但
程ｙ 为＝ —
乒故 （，． 设 譬 ， ，Ｑ ２由 知 ２ 。题 ） 。 ＝
４６ ａ，１ 椭 方 为 ＝ ，￣ ＝ｃ ， 圆 程 等 手 １ ｆ ２＝故 ＋ －
（ ）直 譬 交 点 ， 件 法 设 线＝与 轴 于 Ｍ由 知 三 条
为 ．分别过 Ｐ、 Ｍ作直线 ＝ 的垂线 ，垂 足分 别为 Ｃ
过点 Ｐ与 椭 圆 Ｃ相 切 的直线 斜率 ｋ ｙＩ ： ＝ 一 ｋ 所以 尸） 邢， （直线 与椭 圆 Ｃ只有一个交点．
鲁 ｌ ＝． － 譬 ’
ｚ ｂ
． ． ． —
—
—
０
一
Ｐ、Ｑ Ｆ Ｆ
（ 二 ） 线 Ｐ 的方 程 为 法 直 Ｑ
ａ Ｃ２ ａ２ ＝
一
ｃ
，
即
的 某条 弦 时 ．那 么这条 弦所在 的直 线就是 该 点的极
线 ．此 时该 点 与 弦 端 点 的连 线 一 定 与 椭 圆相 切 ． 此 对
考 查层 次分 明，所 以解答起来 ，视 角开放 ，笔者在上
述 解答 中主要 涉及 方程 （ ）法、平几法 、向量法 、 组 同一法等众多重要数 学思 想方 法．
有兴趣的读者不妨探 究一下双曲线、抛 物线 中是 否也 有类似的结论？ （ 作者单位 ：北京市第十二 中学 ）
责 任 编校 徐 国坚
特 别是 第 （Ｉ 问，看似 平淡无奇 ，但仔 细品味 Ｉ ） 起 来 ，意味 深长，实际上 它的逆命题也成立 ，并且可
以证 明 对 椭 圆 上 除 椭 圆与 长 轴 交 点 外 的任 一 点 ｐ ．直
成 了椭 圆的 一 对 极 点 与极 线 ，而 椭 圆准 线上 任 一 点 的
【 点评】本题主要考查椭圆方程和椭圆的几何性
质 、直线与椭 圆的位置关 系等基础知识和运算求解的
基本技 能 ．考查推理论证 能力及数形 结合思想 ． 该题
极线一定垂直于该点与相 应焦点的连线 ：反过 来，当
椭 圆准 线上 某 一 点 与相 应 焦 点 的连 线垂 直 于过 该 焦点