3次方程根与系数的关系
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
方程两个根的关系
方程两个根的关系【最新版】目录1.引言：介绍方程及方程根的基本概念2.方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系3.方程根的性质：根的判别式4.实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用5.总结：方程根的关系的重要性和应用价值正文一、引言方程是数学中常见的一种表达形式，它由等号连接左右两边的代数式。
方程的解，也称为方程的根，是指能够使方程左右两边相等的未知数的值。
在代数学中，研究方程根与系数之间的关系具有重要意义。
二、方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
一元二次方程的两个根 x1 和 x2 满足以下关系：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a通过这两个关系式，我们可以根据已知的系数求解方程的根，也可以根据方程的根求解系数。
三、方程根的性质：根的判别式方程的根的性质可以通过判别式来描述。
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其判别式Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1.当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；2.当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；3.当Δ < 0 时，方程无实根。
四、实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用方程根的关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理、化学、生物、经济等领域，我们常常需要通过建立数学模型，利用方程根的关系来求解问题。
五、总结方程根的关系是代数学中的基本概念，它对于理解和解决实际问题具有重要意义。
根与系数的关系
根与系数的关系1．已知：方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，a、b、c为△ABC的三边且满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0二根，求k的值．解：（1）∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，∴△＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，∵3a﹣2c＝b．∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0二根，且a＝b，∴△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得：k＝1或k＝﹣3，当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，（符合题意）；故k＝1．2．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．解：（1）将x＝2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0，解得：a＝．将a＝代入原方程得﹣x2+2x﹣＝0，解得：x1＝，x2＝2．∴a＝，方程的另一根为．（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0；②当a≠1时，由b2﹣4ac＝0得4﹣4（a﹣1）2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2+2x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣1；当a＝0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1＝0，解得：＝＝1．3．已知关于x的方程2x2﹣（2m+4）x+4m＝0．（1）求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）等腰△ABC的一边长b＝3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．解：∵△＝[﹣（2m+4）]2﹣4×2×4m＝4m2+16m+16﹣32m＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）①当b＝c时，则△＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；②若b＝3是等腰三角形的一腰长，即b＝a＝3时，∵2x2﹣（2m+4）x+4m＝0．∴2（x﹣2）（x﹣m）＝0，∴x＝2或x＝m，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴m＝b＝3，∴c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8．综上所述，△ABC的周长为7或8．4．已知，关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若a，b是此方程的两个根，且满足（a2﹣a+1）（2b2﹣4b﹣1）＝，求m的值．解：（1）∵x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△＝4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）将a，b代入一元二次方程可得：a2﹣2a﹣m＝0，b2﹣2b﹣m＝0，∴a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，又（a2﹣a+1）（2b2﹣4b﹣1）＝，∴（m+1）（2m﹣1）＝，即（2m+5）（m﹣1）＝0，可得2m+5＝0或m﹣1＝0，解得：m＝1或m＝﹣（舍去）．5．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1），解得：k1＝0，k2＝2，∵k＞，∴k只能是2．6．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0有两个实数根．（1）求k得取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足|x1|+|x2|＝4x1x2﹣5，求k的值．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[﹣（k+1）]2﹣4（k2+1）＝2k﹣3≥0解得：k≥；（2）∵k≥，∴x1+x2＝k+1＞0．又∵x1•x2＝k2+1＞0，∴x1＞0，x2＞0，∴|x1|+|x2|＝x1+x2＝k+1．∵|x1|+|x2|＝4x1x2﹣5，∴k+1＝4（k2+1）﹣5，∴k2﹣k﹣2＝0，∴k1＝﹣1，k2＝2，又∵k≥，∴k＝2．7．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+＝0（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22＝|x1x2|+，求实数m的值．解：（1）由关于x的方程x2﹣（m+3）x+＝0，得△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×≥0，解得m≥﹣；（2）由根于系数的关系，得x1+x2＝m+3，x1x2＝＞0，x12+x22＝|x1x2|+，（x1+x2）2＝3x1x2+，（m+3）2＝+，解得m1＝﹣26（不符合题意，舍），m2＝2．8．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0（1）请说明对于任意实数m方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝3﹣x1x2，求m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0，∴x2﹣3x+2﹣m2＝0，∴△＝9﹣4（2﹣m2）＝1+4m2＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2，∵（x1+x2）2＝3﹣x1x2，∴9＝3﹣2+m2，∴m＝±2．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝m2﹣1，求实数m的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4m＞0，即m＜；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝1，x1•x2＝m，∴1+m＝m2﹣1，整理得：m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1或m＝2，∵m＜，∴所求m的值为﹣1．10．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+＝1，求m的值．（1）证明：∵方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）是一元二次方程，∴△＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β＝，αβ＝，∵+＝1，∴＝＝1，解得m＝0，∵m≠0，∴m无解．11．关于x的方程x2﹣2k（x+1）x﹣k﹣2x＝0有实根；（1）若方程有一个实数根，求出这个根；（2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，且+＝﹣6，求k的值．解：（1）把原方程整理得：（1﹣2k）x2﹣（2k+2）x﹣k＝0，若方程有一个实数根，则1﹣2k＝0，解得：k＝，方程为：﹣3x﹣＝0，解得：x＝﹣；（2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，∵+＝﹣6，∴＝﹣6，即＝﹣6，解得：k＝2．12．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22﹣x1x2＝2，求m的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m（m﹣2）＝4m+1＞0，解得：m＞﹣，∵二次项系数≠0，∴m≠0，∴当m＞﹣且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝（）2﹣＝2，解得：m1＝+1，m2＝﹣+1（舍去）；∴m＝+1．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣6，求k的值．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4k2≥0，解得k≤．（2）由根与系数关系知：，又|x1+x2|＝x1x2﹣6，化简代入得|2（k﹣1）|＝k2﹣6，∵k≤，∴2（k﹣1）＜0，∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣6，解得k1＝﹣4，k2＝2（舍去）∴k＝﹣4．14．已知关于x的方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这方程的两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值．解：（1）∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0；（2）设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣2）…①，x1•x2＝k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22＝x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2＝21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）＝21，∴k＝17（舍去）或k＝﹣1，∴k＝﹣1．15．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0．（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根．（2）若这个方程的两个实数根x1、x2满足|x1﹣x2|＝4，求m的值．解：（1）∵△＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣3）＝（m﹣3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝2﹣m，x1．x2＝m﹣3，∴|x1﹣x2|＝＝＝4，解得：m1＝0，m2＝6．16．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根；（3）设x1，x2是方程的两个实根，若2x1+x1x2+2x2＝8，求k的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得k＞﹣；（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；取k＝﹣2，原方程为x2﹣3x+2＝0，解得，x1＝1，x2＝2；（3）∵x1，x2是方程的两个实根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣k，∵2x1+x1x2+2x2＝8，∴2（x1+x2）+x1x2＝8，即2×3﹣k＝8，解得k＝﹣2．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两根为x1，x2，求出当＝﹣4时k的值．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝k﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣3）＝k2+2k+1﹣4k+12＝k2﹣2k+13＝（k﹣1）2+12＞0，∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝k+1，x1•x2＝k﹣3，∴＝＝＝＝﹣4，解得：k1＝﹣2，k2＝﹣﹣2．18．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围．（2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k的值．解：（1）∵一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，∴k≤；（2）∵方程的两个实数根互为倒数，∴x1x2＝k2﹣1＝1，∴k＝±，∵k≤，∴k＝﹣．19．已知关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）是否存在+＝0的m的值？说明理由．解：（1）∵一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根，∴△＝（m+2）2﹣4m×＝4m+4＞0，解得：m＞﹣1；（2）∵一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴+＝＝﹣＝0，∴m＝﹣2，∵m＞﹣1，∴不存在+＝0的m的值．20．已知关于x的方程x2+kx﹣1＝0．（1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是2+，求另一根及k的值．解：（1）有道理，△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4，∴k2≥0，∴k2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为a，∵方程的一个根是2+，∴a（2+）＝﹣1，解得：a＝﹣2+，﹣2++2+＝﹣k，k＝﹣2．21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，且满足αβ＝1，求m的值．（1）证明：∵△＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得αβ＝，∵αβ＝1，∴＝1，∴m＝2．22．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根．（2）设x1、x2使（1）中所得方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值．解：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即32﹣4（1﹣m）＞0，解得m＞﹣，所以m可取1；（2）∵m＝1时，方程为x2+3x＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝0，∴x1x2+x1+x2＝0﹣3＝﹣3．23．已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m2＝0的两根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×m2≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是m≤1；（2）由两根关系，得根x1+x2＝4（m﹣2），x1•x2＝4m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即4（m﹣2）＝0，解得m＝2，∵m≤1，∴m＝2不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2，∴△＝0，由（1）知m＝1，故当x12﹣x22＝0时，m＝1．24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a﹣1＝0；（1）求证：方程必有两个不相等的实数根．（2）当a取何值时，方程的两根都是正数？（1）证明：△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+4＝（2a﹣1）2+3，∵不论a为何值，（2a﹣1）2+3＞0，∴△＞0，所以方程必有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2＝2a，x1•x2＝a﹣1，∵方程的两根都是正数，∴2a＞0且a﹣1＞0，解得：a＞1，当a＞1时，方程的两根都是正数．25．已知关于x的一元二次方程x2+x+2m﹣1＝0．（1）请你为m选取一个合适的正整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2是（1）中所得到的方程的两个实数根，求x12+x22+x1x2的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝15﹣4（2m﹣1）＞0，解得m＜．∴m＝1．（2）当m＝1时，则得方程x2+x+1＝0，∵x1，x2是方程x2+4x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝1，∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣）2﹣1＝14．26．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+2m﹣1＝0：（1）若其根的判别式为﹣20，求m的值；（2）设该方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．解：（1）△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣10m+5，∵△＝﹣20，∴m2﹣10m+5＝﹣20∴m2﹣10m+25＝0解得m1＝m2＝5∴m＝5；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝m﹣1，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2 x1x2＝（m﹣1）2﹣2（2m﹣1）＝10，∴m2﹣6m﹣7＝0，解得：m1＝7，m2＝﹣1，当m1＝7时，△＝m2﹣10m+5＝﹣16＜0 方程无实数根，不符合意愿，舍去；当m2＝﹣1时，△＝m2﹣10m+5＝16＞0符合题意．∴m＝﹣1．27．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．解：（1）由题意有△＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是m≥﹣1；（2）由两根关系，得x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1，（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16＝0，∴m2+8m﹣9＝0，解得m＝﹣9或m＝1∵m≥﹣1∴m＝1．28．已知，关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x有两个实数根x1、x2．（1）若2m﹣3＜0，求实数m的取值范围；（2）若x1、x2满足丨x1丨＝x2，求实数m的值．解：（1）方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2＝0，∵关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；2m﹣3＜0，m＜，∴﹣≤m＜；（2）∵|x1|＝x2，∴x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，解得m＝﹣1，而m≥﹣，所以m＝﹣1舍去，∴m的值为﹣．29．已知：关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22＝2，求m的值．解：（1）∵△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4（﹣2m2+m）＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2≥0，∴方程总有实数根；关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（2）∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（m﹣1）2﹣2（﹣2m2+m）＝2，解得m1＝﹣，m2＝1．30．已知x的一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，设它的两个根分别为x1、x2．（1）求k的取值范围．（2）若x1、x2满足x1x2﹣（x1+x2）＝3，求k的值．解：（1）∵一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+4）＝﹣16k≥0，∴k≤0；（2）∵一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣2）＝﹣2k+4，x1x2＝k2+4，∴x1x2﹣（x1+x2）＝k2+4﹣（﹣2k+4）＝k2+2k＝3，解得：k1＝﹣3，k2＝1，∵k≤0，∴k＝﹣3．31．已知：关于x的方程x2+（1﹣2t）x+t2＝0（1）若方程有两个相等的实数根，求t的值；（2）是否存在t，使方程的两个实数根的平方和等于7？若存在，请求出满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵关于x的方程x2+（1﹣2t）x+t2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（1﹣2t）2﹣4t2＝0，解得：t＝；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2＝2t﹣1，x1•x2＝t2，令x12+x22＝7得：（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2t﹣1）2﹣2t2＝7，解这个方程得，t＝3或m＝﹣1，当t＝3时，△＜0，所以不合题意，应舍去，当t＝﹣1时，△＞0，所以存在实数t＝﹣1，使得方程的两个实数根的平方和等于7．32．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0，（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设x1，x2是方程的两根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2﹣k，求k的值．解：（1）△＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8，∵k2≥0，∴k2+8＞0，即△＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵设x1，x2是方程x2+kx﹣2＝0的两根，∴x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣2+k+1＝k2﹣k解得：k1＝k2＝1．33．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）求使方程有两实数根的实数m的取值范围．（2）若方程的两实数根为x1、x2，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．解：（1）要使方程有两实数根，则需△＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）≥0，解不等式得：m≥﹣2；（2）因为（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣3或4，又因为x1+x2＝2（m+1），所以2（m+1）＝﹣3或2（m+1）＝4，解得m＝﹣或m＝1，又因为m≥﹣2，所以m＝﹣舍去，所以m＝1．34．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．（1）证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵△＝（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）＝（k+1）2≥0，∴无论k为任何实数，方程总有实数根．（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，即﹣4×＝4，解得：＝±2，即k＝1或k＝﹣，经检验k＝1或k＝﹣是方程的解，则k＝1或k＝﹣．35．已知关于x的方程：（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求k的取值范围；（2）如果x1＝﹣2是原方程的一个实数根，求k的值及另一个根x2；（3）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△＝﹣12k+13＞0，可解得k＜且k≠1；（2）∵x1＝﹣2是原方程的一个实数根，∴4（k﹣1）﹣2（2k﹣3）+k+1＝0解得：k＝﹣3∴方程为：﹣4x2﹣9x﹣2＝0解得：x＝﹣2或x＝﹣，∴k的值为﹣3，另一根为﹣；（3）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴﹣＝0，∴k＝，又∵k＜且k≠1，∴k不存在．36．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x13+x23）﹣（2m+1）（x12+x22）+2（x1+x2）+5的值．（1）证明：m≠0，∵△＝（2m+1）2﹣4m×2＝（2m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x＝，∴x1＝2，x2＝，∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴m＝±1；（3）解：∵方程的两个实数根分别为x1、x2，∴mx12﹣（2m+1）x1+2＝0，mx22﹣（2m+1）x2+2＝0．∴mx13﹣（2m+1）x12+2x1＝0，mx23﹣（2m+1）x22+2x2＝0．∴原式＝mx13﹣（2m+1）x12+2x1+mx23﹣（2m+1）x22+2x2+5＝0+0+5＝5．37．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求的a取值范围．（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．（3）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴，即，解得a≥0且a≠6；（2）存在．∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，△＝（2a）2﹣4a（a﹣6）＝24a≥0，∴a≥0，∵﹣x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4﹣，解得：a＝24；（3）∵由（2）知，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴（x1+1）（x2+1）＝x1•x2+x1+x2+1＝﹣++1．∵（x1+1）（x2+1）为负整数，∴﹣++1＜0，即＜0．∵a＞0且a≠6，∴a＝7，8，9，12．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝5，求m的值，并求出此时方程的两根．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+6m+9﹣4m﹣4＝m2+2m+5＝（m+1）2+4，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+4＞0，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，而x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝5，∴（m+3）2﹣2（m+1）＝5，∴m2﹣4m+2＝0，解得∴m＝﹣2+或﹣2﹣．当m＝﹣2+时，x2+（1+）x+﹣1＝0．解得x1＝，x2＝；当m＝﹣2﹣时，x2+（1﹣）x﹣﹣1＝0．解得x1＝，x2＝．39．已知关于x的一元二次方程px2﹣（3p+2）x+2p+2＝0（p＞0）．（1）求证：无论p为何值时，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若设这个方程的两根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．且S＝x2﹣2x1，求S关于p的函数解析式．（1）证明：△＝[﹣（3p+2）]2﹣4p（2p+2）＝p2+4p+4＝（p+2）2＞0，∴无论p为何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1＜x2∴∴40．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）试说明无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两根分别是p和3，试求|p﹣3|的值．解：（1）△＝（m+2）2﹣4（m﹣1）＝m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得p+3＝m+2，3×p＝2m﹣1，∴p＝1，∴|p﹣3|＝|1﹣3|＝2．。
根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
根与系数关系的推导过程
根与系数关系的推导过程
在研究多项式方程时,求解多项式方程的根与方程系数之间的关系是非常重要的。
通过建立根与系数的关系,我们可以直接由系数来判断方程是否存在实根、求解方程的实根,或者直接获得其他有关根的信息。
下面我们将推导出一般n次多项式方程根与系数的关系公式。
设n次多项式方程为:
x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 = 0
假设该方程有n个根,分别为α_1,α_2,...,α_n,则可以将左边展开为: (x - α_1)(x - α_2)...(x - α_n) = 0
将两边展开,比较同次项系数,我们可以得到:
1) 常数项a_0与所有根的乘积有关:
a_0 = (-1)^n * α_1α_2...α_n
2) 次数为n-1的项系数a_(n-1)与所有根的和有关:
a_(n-1) = (-1)^(n-1) * (α_1 + α_2 + ... + α_n)
3) 次数为n-2的项系数a_(n-2)与所有根的平方和有关:
a_(n-2) = (-1)^(n-2) * (α_1α_2 + α_1α_3 + ... + α_(n-1)α_n)
...
k) 次数为n-k的项系数a_(n-k)与所有k次根式有关,其中一个k次根式为:
α_(i1)α_(i2)...α_(ik), 1≤i1<i2<...<ik≤n
最终我们得到了一个包含n个方程的方程组,这n个方程刻画了n次方程根与系数之间的精确关系。
利用这些关系,我们可以由已知的系数去推导方程的根,反之亦然。
这为多项式方程的理论研究和应用奠定了基础。
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。
掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。
本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。
二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。
而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。
2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。
设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。
（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。
通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。
三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。
对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。
2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。
通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。
四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。
根与系数的关系一元二次方程
根与系数的关系一元二次方程
嘿，宝子们！今天咱来唠唠一元二次方程里那奇妙的根与系数的关系呀！这关系可太重要啦！就好比是一把解开方程秘密的钥匙呢！
比如说方程x²+3x-4=0，它有两个根，咱可以通过计算或直接求解发
现这两个根。
那根与系数有啥关系呢？哈哈，这关系可神了，韦达定理就说明白啦！在一元二次方程ax²+bx+c=0 中，两根之和就等于 -b/a，两根之积就等于 c/a 呀！咱就拿刚才那个例子，两根之和不就是 -3 嘛，两根之积
就是 -4，神奇不神奇？这就好像你知道了一个人的特点，就能猜到他下一
步会干啥一样！
根与系数的关系用处可大了去了呀！咱可以用来判断方程根的情况。
你想想，要是能一下子就知道根的大概情况，那得多厉害呀！就好比你知道前方道路的状况，心里就有底了呀！还能快速解题呢，节省好多时间呢！哎呀，真的是超棒的哟！宝子们，一定要好好掌握这个神奇的根与系数的关系呀！。
高次方程的根与系数的关系及其应用研究
利用根与系数的关系解决几 何问题
利用根与系数的关系解决数 列问题
在数学研究中的应用
代数方程的求解：通过根 与系数的关系，可以更快 速地求解高次代数方程。
数学分析：根与系数的关 系在高次方程的导数和积 分等数学分析中也有应用。
数学建模：利用根与系数 的关系，可以建立更精确 的数学模型，解决实际问
对称性的应用：根的对称性在高次方程的求解、不等式的证明等方面有广 泛的应用，可以简化计算过程。
举例说明：以一元三次方程为例，其根的对称性可以通过系数之间的关系 式进行证明，并应用于求解其他高次方程。
根与系数互为反函数
根与系数的关系：对于 一元n次方程，根与系 数之间存在一定的关系，
可以通过求解得到
在数学教育中的应用前景
提高学生数学思维能力
帮助学生理解抽象概念
促进数学与其他学科的融合
为数学教育提供新的教学方法 和手段
在数学研究中的应用前景
代数方程的求解：高次方程根 与系数关系的应用可以帮助解
决复杂的代数方程问题。
数学建模：通过高次方程根与 系数关系，可以建立更精确的 数学模型，用于解决实际问题。
0 1
题目：已知一 元二次方程 x^2 + 3x - 4 = 0 的两个根 为 a 和 b，求 a^3 + b^3 的 值。
0 2
题目：解方程 x^4 - 6x^2 + 1 = 0，并利用 根与系数的关 系证明该方程 有四个实根。
0 3
题目：已知一 元三次方程 x^3 + 2x^2 4x + 5 = 0 的 一个根为 a， 求 a^2 的值。
数学理论的发展：高次方 程根与系数关系的研究可 以推动数学理论的发展， 为数学研究提供新的思路