初中数学根与系数关系的应用及拓展专题辅导
人教版九年级数学上册(教案)：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生依赖性强，需要进一步加强独立思考能力的培养。在未来的教学中，我会更多地设计一些开放性问题，引导学生自主探究，提高他们的问题解决能力。
-解释：学生需要具备将实际问题转化为数学问题的能力，这需要一定的抽象思维。
-难点2：将根与系数的关系应用于解决复杂问题。
-解释：在解决一些综合性的问题时，学生需要能够将根与系数的关系与其他数学知识结合使用，这要求学生对知识有较深的理解和灵活的运用能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一元二次方程的情况？”（如：物体自由落体运动的距离与时间的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
-举例：已知方程的一个根，求解另一个根及方程中的未知系数；
-举例：已知方程根的和与积，求解方程的系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
2.教学难点
-难点内容：理解并掌握一元二次方程根与系数之间的内在联系。
-难点1：理解为什么两个根之和等于一次项系数的相反数。
-解释：这一点需要学生理解一元二次方程的求解过程中，判别式与根的关系，以及一次项系数在求解过程中的作用。
-难点2：理解为什么两个根之积等于常数项。
初中数学九年级专题复习专题04 根与系数关系
专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题 04 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4.0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==-例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0c =，得0b ca a =，即)12120x x x x +=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x 21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =+=++=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
根与系数的关系的应用[上学期]--旧人教版
![根与系数的关系的应用[上学期]--旧人教版](https://img.taocdn.com/s3/m/7ea6ec727e21af45b307a8f9.png)
求方程对称式的值
例题:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列
代数式的值
1 1 (1) (2) 2 2 (3)
分析:
(2) 2 2 ( )2 2
(1) 1 1
(3) ( ) 2 ( ) 2 4
初三总复习专题复习
根与系数的关系的应用
设计、制作:老王
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对于方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,有
b x1 x2 a
c x1 x2 a
对于方程x2+px+q=0的两根x1,x2,有
x1 x2 p
x1 x2 q
应用 小结
知一根(两根关系)，求另一根及未知系数的值； 不解方程,求方程两根的对称式的值; 构造新方程； 求未知系数的取值范围。
37 9
4 9
再由知识点的第二个种情况可列出方程
y2
37 4 y 0 9 9
练习
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1.已知关于x的方程2x2+5x-6=0,且关于y的方程的两根是 关于x的方程的两根的倒数,则关于y的方程是__________
x y 5 2.解方程组 xy 6
(提示:将x,y视为x1,x2)
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求未知系数的取值范围
例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0
初中数学《一元二次方程根与系数关系》教案
初中数学《一元二次方程根与系数关系》教案（一）学问教学点：1．使同学了解一元二次方程及整式方程的意义；2．把握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）力量训练点：1．通过一元二次方程的引入，培育同学分析问题和解决问题的力量；2．通过一元二次方程概念的学习，培育同学对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由学问来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向同学渗透方程的思想方法，由此培育同学用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让同学拿出事先预备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．同学的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培育同学手、脑、眼并用的力量．2．现有一块长80cm，宽60cm的'薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应当怎样求出截去的小正方形的边长？老师启发同学设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学学问不够用，需要学习新的学问，学了本章的学问，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．老师恰当的语言，激发同学的求知欲和学习爱好．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使同学真正熟悉到学问来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的学问，可以解决很多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动同学乐观主动参加数学活动中．同时让同学感到一元二次方程的解法在本章中处于特别重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？【学校数学《一元二次方程根与系数关系》教案】。
根与系数的关系应用
根与系数的关系及其应用如果一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根为21,x x ，那么a b x x -=+21，ac x x =21.这就是根与系数的关系，也称为韦达定理.下面归纳它在中考解题中的几种典型应用.一、直接利用根与系数关系例1.（1）不解方程求下列方程的两根之和与两根之积0132=++x x 132=x 01322=--x x（2）若==⋅=+=++a ,13,022121212则，满足的两根x x x x x x b ax x ，b= .二、已知方程的一个根，求另一个根及参数的值例2 已知关于x 的方程032=++a x x 的一个根为2，则=a ，另一根是 ．方法技巧：一元二次方程已知方程一根求另一根的问题可以利用回代法将已知根代入原方程，求得a 的值，再将a 的值代入方程，通过解方程求出另一个根.但这种解法没有用根与系数的关系求解简便.三、求与两根有关的代数式的值例3（1）若=+=-+22212x ,035x x x 求 ，()()=--1121x x . （2）已知a,b 是020172=-+x x 的根，则=++b a a 22 .（3）已知0120172=-+x x 的两根为n m ,，求mn mn n m -+22的值.方法技巧：解这类问题的关键是将式子化成含2121,x x x x ⋅+的形式.常见的公式变形有：①()()()111212121++-=--x x x x x x ;②();2212212221x x x x x x -+=+③21212111x x x x x x +=+等. 四、求方程中参数的取值例4（1）若关于x 的方程01)3(2=++++m x m x 的两实根21,x x 满足2221x x +=4，则m 的值为 .(2) 若0)32(22=+++m x m x 的两不等实根βα,满足111-=+βα，求m 的值.(3)已知关于x 的方程047)1(222=--+-+a a x a x 的两根为21,x x ，且满足02332121=---x x x x 求a 的值.方法技巧：利用根与系数关系确定方程中字母系数取值时，要先根据方程根的情况利用0>∆或0≥∆确定字母的取值范围，再利用已知条件进行取舍.五、探究字母系数的存在性例5关于x 的方程01)2(2=++++k x k kx 有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围;（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.练习：已知0122=-+-m x x 有两实根21,x x①求m 的取值范围②是否存在m 的值使得2122216x x x x =+，若存在求出m 的值，若不存在说明理由。
根与系数的关系(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊1.5根与系数的关系知识点一根与系数的关系【注意】题型一利用韦达定理求方程的根例1已知关于x 的方程0322=+++a a x x 有一个根为-2，则另一个根为（）A ．5B ．2C ．-1D ．-5【答案】【分析】根据关于系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于∴2-解得，故选例变1若关于x 的一元二次方程032=+-bx x 有一个根是1=x ，求b 的值及方程的另一根.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+3=0有一个根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x 2﹣4x+3=0，设另一根为m ，可得1+m=4，解得：m=3，则b 的值为4，方程另一根为x=3.变2若73+是方程062=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.【答案】解：∵=3+7是此方程的一个根，设另一个解为2则1+2=6，∴2=3−7，即方程的另一个根为3−7∵12=∴=(3+7)(3−7)=2.题型二利用韦达定理判断根的正负例1一元二次方程2410x x --=根的情况是（）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于5D ．有两个正根，且有一根大于4【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．【解答】解：2410x x --=，△24164200b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两个根为12x x ⋅，则：124x x +=，121x x ⋅=-，∴方程的有一个正根，一个负根；故选：B ．例2关于x 的方程2(2)(1)(x x p p -+=为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到△0>，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，利用根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，根据有理数的性质得到1x 、2x 的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为2220x x p ---=， △222(1)4(2)490p p =----=+>，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，根据根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C ．变1关于x 的一元二次方程2250x x --=有（）A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的正数根C ．两个不相等的负数根D ．一个正数根和一个负数根【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．【解答】解：2250x x --=，△224(2)41(5)240b ac =-=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，设方程2250x x --=的两个根为e 、f ，则50ef =-<，则e 和f 异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D ．变2关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C ．两个负根D ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a ，b ，利用根与系数的关系表示出a b +与ab ，判断即可．【解答】解：设方程两根设为a ，b ，方程整理得：2220x x p +--=，∴由根与系数的关系得：10a b +=-<，220ab p =--<，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D ．例3一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）A ．a ，c 异号B ．a ，c 异号；a ，b 同号C ．a ，c 异号；b ，c 同号D ．b ，c 异号变3一元二次方程20ax bx c ++=中，若0a >，0b <，0c <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有两个正的实数根【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据12cx x a=判断根的符号情况．【解答】解：0a > ，0b <，0c <，0ac ∴<，∴△240b ac =->，∴方程有两个不相等的实数根，120cx x a=< ．∴两根异号，故选：C ．例4若方程22210x x m +-+=有一正实根和一负实根，则m 的取值范围是（）A ．167≥m B ．12m >C ．716m >D ．21≥m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：210m -+<，12m ∴>，由△18(21)0m =--+>，716m ∴>，12m ∴>，故选：B ．变4若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【分析】利用根的判别式△0>及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解： 关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴2241(12)0120m m ⎧=-⨯⨯->⎨-<⎩，解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．知识点二韦达定理与代数式题型三利用韦达定理求代数式的值例1已知21x x ，是方程2310x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）21x x +（2）12·x x （3）()()1211x x --（4）()()122111x x x x +++（5）2212x x +（6）()212x x -（7）1211+x x （8）2112x x x x +变1已知21x x ，是方程03622=-+x x 的两个实数根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)2)(2(21++x x（3）2112x x x x +（4）221)(x x -（5）21x x -例2一元二次方程x 2+4x +1=0的两个根是x 1，x 2，则2112x x x x -的值为______．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到21−12=12【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，所以21−12=22−1212=(1+2)(2−1)===﹣83．故答案为﹣83例3已知方程2410x x ++=，记两根为,αβ，求βααβ+的值为（）A ．3B ．C ．4D ．变3已知：m 、n 是方程022=--x x 的两根，则=--)1)(1(22n m ______．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，从而得到2−1=+1,2−1=+1，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 、n 是方程2−−2=0的两根，∴2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，∴2−1=+1,2−1=+1，∴2−12−1=+1+1=B +++1=−2+1+1=0故答案为：0变4已知a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，则式子abbb a a+的值为______．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入=【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，∴a +b =−52，a •b =12，∴a ＜0，b ＜0，∴+=+=B==−(−52)+2×12=−故答案为：−题型四根据代数式的值求参数的值例1已知21x x ，是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为______．【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.【解答】)12(4)13(4222≥+-+=-=∆k k ac b （注意：可以不用解出来）∵2218)1)(1(k x x =--∴2212181)(k x x x x =++-将)13(21+-=-=+k a b x x ，12221+==⋅k acx x 代入得：22811312k k k =++++，解得211-=k ，12=k .再将k 的值带入△，判断是否满足△≥0即可.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣（3k +1），x 1x 2=2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1=0，解得：k 1=﹣，k 2=1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴△=（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2，∴k =1．例2已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根为21x x ，，使得16222121-=--x x x x 成立，则k 的值______．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式求得k 的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2=﹣16，所以﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k =0有两个实数根，∴△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤14，由根与系数的关系得x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案为﹣3．即6180m -=，解得：3m =．变4已知关于x 的一元二次方程0)14(62=++-m x x 有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为21x x ，，且421=-x x ，求m 的值．【答案】见解析。
专题05 根与系数关系的应用(解析版)
专题05 根与系数的关系问题考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠ 2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系： Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程没有实数根； 4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 应用举例:招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2，所以（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．【例2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∵=4m ，∴=4m ，∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2， 故选A ．【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C【解析】∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1， ∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4， ∴m n =（﹣4）2=16．故选C ． 招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于x 的一元二次方程的两个非负实根，∴可得a +b =4，ab =t ﹣2，===，∵≥0，∴代数式的最小值是﹣15，故选A ．方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣4 D ．4【答案】D【解析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣1，x 1?x 2＝﹣3，x 12+x 1＝3，∴x 22﹣4x 12+17＝x 12+x 22﹣5x 12+17＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣5x 12+17 ＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x 12+17＝24﹣5x 22＝24﹣5（﹣1﹣x 1）2 ＝24﹣5（x 12+x 1+1）＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D ．2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1【解析】设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13.设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为 ． 【答案】32-【解析】∵方程1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根， ∴1235x x +=，1225x x =-， ∴1211x x +=1212x x x x +=32()55÷-=32-． 故答案为：32-．4.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值． 【答案】（1）m ≤；（2）1【解析】（1）由题意△≥0， ∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤．（2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．5.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值． 【答案】（1）a ＜2；（2）a 的值为﹣1，0，1．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．6.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=37.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m；②．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x 1x 2﹣17＝（2m+1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．8.已知x 1，x 2 是关于x 的一元二次方程x 2-2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根． （1）若（x 1-1）（x 2 -1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m 的值为6;（2）17.【解析】(1)(x 1－1)(x 2－1)＝28，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＝27，而x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5， ∴m 2＋5－2(m ＋1)＝27，解得m 1＝6，m 2＝－4， 又Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2＋5)≥0时，m ≥2， ∴m 的值为6;(2) 若7为腰长，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一根为7， 即72－2×7×(m ＋1)＋m 2＋5＝0， 解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，方程x 2－22x ＋105＝0，根为x 1＝15，x 2＝7，不符合题意，舍去． 当m ＝4时，方程为x 2－10x ＋21＝0，根为x 1＝3，x 2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17 若7为底边，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m ＝2，此时方程为x 2－6x ＋9＝0，根为x 1＝3，x 2＝3，3＋3<7，不成立， 综上所述，三角形周长为179.已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 【答案】（1）m ＞﹣174；（2）m =﹣4． 【解析】（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=24m-．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴222(21)2(4)m m----+=+-=22()2a b a b ab=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．10.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．【答案】（1）略；（2）2；（3）1．【解析】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．。
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
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根与系数关系的应用及拓展
崔现昌
一元二次方程不仅是初中的重点知识，而且也是学生后续学习不可缺少的，其中根与系数的关系应用十分广泛，现就应用及拓展做简单介绍.
应用一、已知方程及方程的一根求另一根
例1 已知方程06kx x 52
=-+的一根是2，求它的另一根及k 的值。
解：设方程的另一根为1x ，则 5/3x ,5/6x 211-=-=.
又因为5/k 25/3-=+-，
所以7k -=.
思考：如果条件变为0k x 6x 52=-+的一根是2，如何用根与系数的关系求另一根和
k 的值.
应用二、求根的代数式的值
例2 已知一元二次方程01x 3x 2
=+-的两根为βα,，求β+α/1/1的值. 解：因为1,3=β⨯α=β+α，
所以3/)(/1/1=β⨯αβ+α=β+α.
中考链接：（2004年宁夏）已知一元二次方程01x 3x 2
=++的两根为21x x 、，那么)x 1()x 1(21+⨯+的值等于（ ）
答案：1-.
奥数链接：（2002年全国）设21x x 、是关于x 的一元二次方程2a ax x 2
=++的两个实数根，则)x 2x )(x 2x (1221--的最大值为______. (提示：由方程判别式
0≥∆知a 取全体实数，
（18a 9a 2)x 2x )(x 2x 21221-+-=--）看作a 的二次函数，求顶点纵坐标)
应用三、求作新的一元二次方程
例3 已知βα、是方程02x 7x 22
=+-的两根，求作两根为β+αβ+α/1,/1的一元二次方程.
解：由题意知：1,2/7=β⨯α=β+α.
则)/1()/1(β+α+β+α
7
2/72/7/)()(=+=β⨯αβ+α+β+α= 4
2112)/(1)
/1()/1(=++=+β⨯α+β⨯α=β+α⨯β+α
所求新方程为04x 7x 2=+-.
中考链接：（2006年黄冈市）若方程02x 3x 2
=--的两个实根为βα,，那么下列说法正确的是（ ）
（A ）3-=β+α
（B ）β≠α
（C ）2/3/1/1=β+α
（D ）以22βα、为根的一元二次方程是04y 13y 2
=+- 答案：（B ）、（D ）
应用四、求方程中字母的值
例4 已知方程01k 2kx x 22
=+-+的两个实数根的平方和为29/4，求k 的值. 解：设方程的两根为21x x 、，则
4
/292/)1k 2(2)2/k (x x 2)x x (x x 2212212
221=+-⨯--=-+=+
解得3k ,11k 21-==.
把3k ,11k 21-==代入
)1k 2(8k 2+--=∆，
当3k 2-=时，0<∆舍去，所以11k =.
总结：求出的k 的值要保证判别式0≥∆所以要检验.
中考链接：（2007年淄博市）已知关于x 的一元二次方程03k 4kx x 22=-++，设
方程的两个实数根分别为21x ,x ，且满足2121x x x x =+，则k 的值是（ ）
（A ）1-或4
3 （B ）1- （C ）4
3 （D ）不存在 答案：（C ）.
奥数链接：（2005年山东省）一元二次方程0q px x 2=++的两个根分别为q ,p ，则q p ⨯等于（ ）
（A ）0
（B ）1 （C ）0或2-
（D ）0或1
答案：（C ）. 拓展一 若实数)n m (n m ≠、分别满足等式0c bn an ,0c bm am 22=++=++则
可以把n m 、看作是一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，从而用
a /c mn ,a /
b n m =-==去解决问题.
例5
已知n m ≠且满足1m 2m 2=-和1n 2n 2=-，求代数式n /m m /n +的
值。
解：因为n m ≠，所以可以把n m 、看作是一元二次方程01x 2x 2=--的两个根.
则1mn ,2n m -==+，
所以n /m m /n +
[]
.
6mn mn 2)n m (2-=÷-+= 中考链接：（2003年青岛市）已知01,0122=-β+β=-α+α且β≠α，则β+α+β⨯α的值为（ ）
奥数链接1：（2001年全国）如果b ,a 为质数，且0m b 13b ,0m a 13a 2
2=+-=+-，那么b /a a /b +的值为（ ）
（A ）123/22 （B ）125/22或2
（C ）125/22 （D ）123/22或2
答案：（B ）.
点拨：当b a =时，b ,a 就成了一元二次方程0m x 13x 2
=+-的同一个根，那么代数式211b /a a /b =+=+，所以题设中没有b a ≠这个条件时，要分两种情况讨论.
奥数链接2：（1999年全国）设实数t ,s 分别满足019t 99t ,01s 99s 1922=++=++，
并且1st ≠，求t /)1s 4st (++的值.
点拨：因为0t ≠，所以第二个等式可以变形为：01t /99t /192=++.又因为1st ≠，
所以t /1,s 是一元二次方程01x 99x 192=++的两个不同的实根.所以t /s 4t /1s t /)1s 4st (++=++.
拓展二 若能根据已知条件构造q mn ,p n m ==+的式子，那么可以把n m 、看作是一元二次方程0q pz z 2
=+-的两个根，再利用判别式进行有关的运算或证明.
例6 （2004年全国竞赛题）实数z y x 、、满足3zx yz xy ,5z y x =++=++，则z 的最大值是（ ）
解：因为z 5y x -=+， ,
3z 5z )z 5(z 3)
y x (z 3xy 2+-=--=+-=
所以y x 、是关于t 的一元二次方程03z 5z t )z 5(t 22=+-+--的两实根.
因为3z 5z (4)z 5(22+---=∆
,0≥
即 ,013z 10z 32≤--
,0)1z )(13z 3(≤+-
所以3/13z ≤，故z 的最大值为13/3.
奥数链接：（2007年全国）已知c ,b ,a 满足c b a ≤≤且1abc ,0ca bc ab ==++，求最大的实数k 使得不等式|c |k |b a |≥+恒成立.
提示：由已知条件得到0c /1b a 2<-=+，0c /1ab >=，构造一元二次方程求c 的范围（k 最大值为4）.
根与系数的关系在各地的中考和全国初中数学竞赛中几乎历年都能考查到，类型比较多，方法也比较灵活，在这里做一些简单的阐述，希望能对同学们有些帮助.。