小学数学建模试题及答案
小学数学建模试题及答案
一、问题描述
某小学举行了一场数学建模比赛，共有100个参赛小组。
每个小组有3名成员，他们需要在规定的时间内解决一系列数学问题。
本文将给出其中的两道试题，并提供详细的解答。
二、试题一
题目：某超市打折促销，其中甲品牌的商品原价为10元/件，乙品牌的商品原价为15元/件。
超市制定了以下几个商品组合的促销折扣方式:
- 甲品牌购买3件，总价格打8折
- 乙品牌购买2件，总价格打9折
- 同时购买甲品牌和乙品牌的商品，总价格打7.5折
现在小明带着100元去购买这两个品牌的商品，请问他能够购买到几件商品？
解答：
设小明购买的甲品牌商品件数为x，乙品牌商品件数为y。
根据题目所给的折扣方式，可以列出以下方程组：
1. 10x + 15y = 100 （总价格不超过100元）
2. 0.8 * 10x + 15y >= 100 （甲品牌打折）
3. 10x + 0.9 * 15y >= 100 （乙品牌打折）
4. 0.75 * (10x + 15y) >= 100 （甲品牌和乙品牌同时打折）
通过解这个方程组，可以求得x和y的值。
计算结果为x = 4，y = 4。
因此，小明能够购买到4件甲品牌商品和4件乙品牌商品。
三、试题二
题目：小明和小红在校外进行了一次跑步比赛。
比赛开始后，小红
以每分钟200米的速度匀速前进，小明则分段加速前进。
具体规则如下：
- 第1分钟小明跑出50米
- 从第2分钟开始，小明每分钟的速度都比前一分钟提高10米/分钟问：在多少分钟之后，小明能够超过小红？
解答：
设小明在第n分钟时超过小红，则可以列出以下方程：
50 + 10 + 20 + ... + 10(n-1) > 200n
通过对1到n的整数求和，可以化简为：
50 + 10 * (1 + 2 + ... + (n-1)) > 200n
50 + 10 * ((n-1) * n / 2) > 200n
25n^2 - 225n + 100 > 0
根据一元二次方程的求解方法，可以得到n > 9 或 n < 4，因此小明在第10分钟之后或第3分钟之前就能够超过小红。
综上所述，通过数学建模的方法，我们分别解答了上述两道试题，并提供了详细的解答过程。
这些试题既考察了学生的数学思维能力，又提高了他们的解决实际问题的能力。
希望本文能对读者有所帮助。
数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
小学数学建模试卷
小学数学建模试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的周长是多少厘米？A. 20厘米B. 32厘米C. 40厘米D. 48厘米2. 一个数的3倍是45，这个数是多少？A. 15B. 45C. 5D. 103. 一个班级有45名学生，如果每5名学生组成一个小组，可以分成多少个小组？A. 8B. 9C. 10D. 114. 一个数加上10等于50，这个数是多少？A. 40B. 50C. 60D. 705. 一个数的一半是25，这个数是多少？A. 50B. 25C. 10D. 12二、填空题（每题2分，共20分）6. 一个数的平方是36，这个数是______。
7. 一个数的5倍是125，这个数是______。
8. 一个班级有50名学生，如果每4名学生组成一个小组，可以分成______个小组。
9. 一个数减去20等于30，这个数是______。
10. 一个数的1/4是15，这个数是______。
三、计算题（每题5分，共30分）11. 计算下列各题，并写出计算过程。
(1) 56 + 48 =(2) 81 - 54 =(3) 42 × 9 =(4) 360 ÷ 45 =12. 解下列方程，并写出解题步骤。
(1) 2x + 6 = 18(2) 3x - 9 = 27四、应用题（每题10分，共30分）13. 小明有36个苹果，他决定将它们平均分给6个朋友，每个朋友可以得到多少个苹果？14. 一个长方形的长是20厘米，宽是15厘米，如果将这个长方形的长和宽都增加5厘米，新的长方形的面积是多少？15. 学校图书馆有120本书，如果每个班级可以借10本书，那么最多可以借给多少个班级？五、建模题（每题10分，共30分）16. 假设你是一个农场主，你有一块长方形的土地，长是100米，宽是50米。
如果每平方米可以种植2棵番茄，那么这块土地上可以种植多少棵番茄？17. 一个班级有40名学生，老师决定给每个学生发5本练习册。
小学数学 几何模型训练 完整版例题带答案
几何模型例1、长方形的长是8厘米，宽是6厘米，三角形AOB的面积为16平方厘米，求三角形DOC 的面积DA=10-2=8BD=610×6÷2=30练习1、如图，正方形边长为10厘米，AB和正方形底边垂直，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？10×10÷2=50（cm²）例题2、如图所示，正方形ABCD的边长为10厘米，BO长8厘米，BO垂直于AE，求AE的长。
连接BE正方形面积：10×10=100（cm²）三角形ABE面积：100÷2=50（cm²）AE：50×2÷8=12.5（cm）练习2、如图所示，正方形ABCD的边长为12厘米，DE＝16厘米，AF垂直于DE，则AF的长度是多少？连接AE三角形AED的面积12×12÷2=72（cm²）AF：72×2÷16=9（cm）例题3、如图，四边形ABCD、ACEF都是平行四边形，已知AD＝12厘米，AD上的高为8厘米，求阴影部分面积。
△ABC面积：12×8÷2=48（cm²）阴影部分面积=△ABC面积=48（cm²）例题4、如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？连接AG正方形面积：4×4=16（cm²）△AGD面积=正方形面积一半=长方形面积一半长方形面积=16（cm²）DE：16×2÷5=3.2（cm）练习4、如图，正方形ABCD的边长是6厘米，求长方形EDGF的面积是多少平方厘米？连接AG正方形面积：6×6=36（cm²）△AGD面积=正方形面积一半=长方形面积一半长方形面积=36（cm²）例题5、如图，ABCD是一个长方形，DEFG是一个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知三角形AKF与三角形ADG面积只和等于5平方厘米。
小学数学建模试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个是数学模型？（）A. 一篇童话故事B. 一幅山水画C. 一道数学应用题D. 一首儿歌2. 小明家养了5只鸡，每天可以下10个鸡蛋，那么10天后小明家可以有多少个鸡蛋？（）A. 50个B. 100个C. 200个D. 500个3. 小华买了一本书，原价是30元，打八折后需要支付多少元？（）A. 20元B. 24元C. 28元D. 30元4. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，它的周长是多少厘米？（）A. 18厘米B. 20厘米C. 23厘米D. 25厘米5. 下列哪个不是比例关系？（）A. 速度和时间成正比B. 面积和边长成正比C. 速度和路程成反比D. 速度和路程成正比6. 一个班级有男生30人，女生20人，男生和女生的比例是多少？（）A. 3:2B. 2:3C. 5:4D. 4:57. 小红有5个苹果，小明有8个苹果，他们一共有多少个苹果？（）A. 13个B. 14个C. 15个D. 16个8. 一个正方形的面积是25平方厘米，它的边长是多少厘米？（）A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米9. 下列哪个是等式？（）A. 3+4=7B. 5×6=30C. 8-2=6D. 2÷3=0.666...10. 一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，它的面积是多少平方厘米？（）A. 20平方厘米B. 24平方厘米C. 28平方厘米D. 32平方厘米二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个圆形的半径是r，那么它的周长是__________。
2. 一个长方形的面积是24平方厘米，长是6厘米，那么它的宽是__________。
3. 下列哪个数是质数？（__________）4. 下列哪个数是合数？（__________）5. 下列哪个数是奇数？（__________）6. 下列哪个数是偶数？（__________）7. 下列哪个数是整数？（__________）8. 下列哪个数是小数？（__________）9. 下列哪个数是正数？（__________）10. 下列哪个数是负数？（__________）三、解答题（每题10分，共30分）1. 小明和小华一起买了一袋苹果，小明买了6个，小华买了4个，他们一共买了多少个苹果？2. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求它的周长和面积。
数学建模期末试题及答案
数学建模期末试题及答案1. 题目描述这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。
以下是试题的具体描述及答案解析。
2. 问题一某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示：\[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\]其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。
请回答以下问题：a) 请解释一下该函数的含义。
b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？【解析】a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。
通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。
函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。
基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。
b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。
c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时间段。
3. 问题二某学校的图书馆借书规则如下：- 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。
- 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期限30天。
请回答以下问题：a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本，请写出该学生在每次借书后的总借书数。
b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？【解析】a) 总的借书数为每次借书的累加和。
学生第一次借2本，总共借书数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。
b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可以延长借阅期限30天。
因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。
小学四年级数学建模试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个不是数学模型的一种？A. 算式B. 图表C. 方程D. 诗歌2. 小明家距离学校800米，他每分钟走80米，那么他走到学校需要多少分钟？A. 10分钟B. 20分钟C. 30分钟D. 40分钟3. 小红有5个苹果，小刚有3个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 8个B. 10个C. 12个D. 15个4. 小华买了一个篮球，比足球贵20元，如果足球的价格是100元，那么篮球的价格是多少？A. 80元B. 100元C. 120元D. 140元5. 小明有3块巧克力，吃了1块后还剩多少块？A. 2块C. 4块D. 5块二、填空题（每题5分，共25分）6. 如果一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。
7. 一个班级有男生15人，女生12人，这个班级共有________人。
8. 小明从家走到公园需要20分钟，如果他每小时走4千米，那么他家距离公园________千米。
9. 小华有5元，她要用这些钱买一本书，书的价格是________元，她还剩下________元。
10. 小刚有一盒铅笔，原来有30支，他每天用掉3支，那么________天后，他就没有铅笔了。
三、应用题（每题10分，共30分）11. 小明家养了5只鸡和3只鸭，鸡比鸭多几只？12. 小华的自行车每分钟可以走200米，她从家到学校需要15分钟，那么她家距离学校多少米？13. 小刚有10个苹果，他每天吃掉2个，几天后他就没有苹果了？四、拓展题（10分）14. 小明和小红一起收集邮票，小明有8枚邮票，小红有12枚邮票，他们一共收集了多少枚邮票？如果他们平均每人分得多少枚邮票？答案：一、选择题1. D2. B4. C5. A二、填空题6. 507. 278. 29. 15，510. 10三、应用题11. 鸡比鸭多2只。
12. 小华家距离学校3000米。
13. 5天后，小刚就没有苹果了。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。