2015年高考数学全国卷2(超完美)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)一、选择题1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则AB=（ ） A ．{-1,0} B ．{0,1} C ．{-1,0,1} D ．{0,1,2}2.若a 为实数，且（2+ai ）（a-2i ）= - 4i ，则a=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845.设函数f （x ）=f (x )={1+log 2,(2−x ),x <12x−1,x ≥1则f （-2）+f （log 212）=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157.过三点A （1,3），B （4,2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=（ ）A ．2√6B ．8C ．4√6D ．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a , b 分别为14 ，18，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o ，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 12.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f ’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（−∞，-1）∪（0,1）B ．（−1，0）∪（1,+∞）C ．（−∞，-1）∪（-1,0）D ．（0，1）∪（1,+∞）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍（I ）求Csin B sin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
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14．若x,y满足约束条件
2xy10
x2y10
,则z=2x+y的最大值为．
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（Ⅱ）若
C与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求
1
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最大值.
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请
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24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明：
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2015年全国统一高考(理科)数学试卷2
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
• （1）根据两组数据完成两地区用户满意 度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地 区满意度评分的平均值及分散程度（不要 求计算出具体值，给出结论即可）；
• 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直 于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O的半径为R，此时 VO﹣ABC＝ VC﹣AOB=1/3×1/2×R^2×R=1/6 R^3=36， 故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，
• 故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（a2﹣4）i＝﹣4i， • 4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4， • 所以a＝0； • 故选：B．
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年 排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 （）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
• 【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及 有关茎叶图的知识，比较即可；
• 【解答】解：（1）两地区用户满意度评 分的茎叶图如下
• 通过茎叶图可以看出，A地区用户 满意评分的平均值高于B地区用户 满意评分的平均值；A地区用户满 意度评分比较集中，B地区用户满 意度评分比较分散；
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1， D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此 长方体的面相交，交线围成一个正方形．
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。
$(-1,3)$ B。
$(-1,0)$ C。
$(0,2)$ D。
$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。
$-4$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。
$-1$ B。
$0$ C。
$1$ D。
$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。
若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。
$5$ B。
$7$ C。
$9$ D。
$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。
$\frac{1}{1111}$ B。
$\frac{1}{8576}$ C。
$\frac{2}{1254}$ D。
$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。
$\sqrt{5}$ B。
$3$ C。
$2\sqrt{5}$ D。
$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。
2015年高考文科数学全国2卷(含详细解析)
绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合,,则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为实数,且,则( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得 ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,3a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 考点：柱形图4. 已知,,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.考点：向量数量积.5. 设是等差数列的前项和,若,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题解析：,.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）()1,1=-a ()1,2=-b (2)+⋅=a b a 1-01222=a 3,⋅=-a b ()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b n S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（ ）【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（ ）1A.81B.71C.61D.51615(1,0),A B C ABC 5A.33 C.34D.3,a b a A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列满足,,则（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,所以,故 ,选C.考点：等比数列.10. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O π36π64π144π256,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.BOP x ∠=()f x 21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由可得 .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】考点：双曲线几何性质16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则()32f x ax x =-()32f x ax x =-()1242f a a -=-+=⇒=-50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩(12y x =±2214x y -=ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 11y x'=+ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=∠sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠所以 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图tan 30.B B ∠=∠=（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在 上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）或1111ABCD A B C D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==αα9779考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为,点在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）（II ）见试题解析()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知.（I ）讨论的单调性；（II ）当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.【答案】（I ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II ）. 【解析】()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明；（II ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 （t 为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I ）求与交点的直角坐标；（II ）若与 相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.EF BC AE MN ==xOy 1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩0t ≠0απ≤<23:2sin ,:.C C ρθρθ==2C 3C 1C 2C 1C 3C AB【答案】（I ）；（II ）4. 【解析】 试题分析：（I ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：（I ）若 ,（II ）的充要条件.【答案】【解析】 ()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭2C 3C 2220x y y +-=22230x y x +-=,,,a b c d a b c d +=+ab cd >>>a b c d -<-试题分析：（I ）由及,可证明,开方即得（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I ）因为考点：不等式证明.a b c d+=+abcd>22>>22a b c d =++=++。
2015年高考全国卷2文科数学试题和答案解析
2015年高考全国卷2文科数学试题及答案（word精校版）含详细解析一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则A B=A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）【答案】A【解析】试题分析：因为彳={x|-l<x<2},3={x|0<x<3},所以火汕={*|一1<*<3}.故选人.考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。
2.若为a实数，且?+=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得2+tri=（l+i）（3+i）=2+4ina=4,故选D.考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图可知2006年以来，我国二氧化碳排放童基本成i走诚趋势，所以二氧化碳援放童与年份负相关，故选D.考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。
4,己知«=(0,-1),*=(-1,2),贝i](2a+6)-a=A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】试题分析：由题意可得«2=1,a b=-2,所以(2a+b)a=2a1+a b=2-2=0.考点：向量数量积。
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。
5.设&是等差数列｛%｝的前"项和，若tZ]+O,+a5=3,则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】试题解析：％+%+%= 3% = 3 => % = 1，S)=---------= 5角=5.考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前〃项和公式，具有小、巧、活的特点。
2015年度全国2卷(理数)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴{4a=0,解之得a=0.a2−4=−4,3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案:D解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10答案:C解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案:C解析:由△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=13×12R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()答案:B解析:①当点P在线段BC上时,如图,x∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4, 所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增,故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx.所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx)2, PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx )2. 所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx)2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5. ④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π].由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称.综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5B.2C.√3D.√2答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a ,∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b2=1,整理,得a 2b2=1,即b2a 2=1.∴e2=1+b2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x,则F'(x )=xf ′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0. 在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R ,使λa +b =t (a +2b ),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12.14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. 解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5, ① 令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n−1S n+1=1,即1Sn+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2). 由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kbk 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9kx. 设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3√k +9=2×k(k−3)m 3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形. 21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx. (1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e−1,f(−1)−f(0)≤e−1,①即{e m−m≤e−1,e−m+m≤e−1.设函数g(t)=e t-t-e+1,则g'(t)=e t-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE, 所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3, 所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33.23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:{x=tcosα,y=tsinα,(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2√3cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2√3x=0.联立{x 2+y2−2y=0,x2+y2−2√3x=0,解得{x=0,y=0,或{x=√32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,3 2 ).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin(α−π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d;(2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a+√b)2=a+b+2√ab,(√c+√d)2=c+d+2√cd, 由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a+√b>√c+√d.②若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝2.若a为实数且（2+ai ）（a-2i ）=－4i，则a =
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列｛a n｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7=
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
5.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1
,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）5
1
7.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =
（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，
则输出的a=
（A ）0 （B ）2
（C ）4 （D ）14
9.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP=x 。
将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为
11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，
且顶角为
120°，则E 的离心率为
(A)5 (B)2 (C)3 (D)2
12.设函数f ’(x)是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f （-1）=0，当x>0时，x f ’(x )－f
(x )＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)
(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二.填空题
13.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ=________.(用数字填写答案)
14.若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ，则z= x ＋y 的最大值为____________..
15.(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.
16.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=－1，a n +1=S n S n +1，则S n=________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
（17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ) 求C
B ∠∠sin sin ； (Ⅱ) 若AD=1，DC=2
2，求BD 和AC 的长.
18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶
图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
地区用户的评价结果相互独立。
根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率
19. 如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F 。
过带你E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线
围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值
20. 已知椭圆C ：9x 2+ y 2 = m 2 (m >0)错误！未找到引用源。
，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有
两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.
（I ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（II ）若l 过点(3
m ，m ),延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由.
21. 设函数f(x)=e mx＋x2－mx.
(Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
(22).（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC
交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相
切于E、F两点.
（I）证明：EF平行于BC
（II）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:)0(,sin ,cos ≠⎩
⎨⎧==t t t y t x 为参数，αα，其中0≤α＜π ，在以O
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，曲线C 3：ρ=32cos θ .
（I ）.求C 2与C 3交点的直角坐标
（II ）.若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a+b=c+d,证明： （I ）若ab ＞cd ，则d c b a ++＞；
（II ）d c b a ++＞是d c b a --＜的充要条件.。