数列的通项与求和
(完整word版)数列的通项公式与求和的常见方法
常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）1()n n a a p p +-=为常数1()n na q q a +=为非零常数 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n na a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
3. 已知数列{}n a 满足11a =，212=a ，11112n n na a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足211=a ，n a a n n 21+=+，*()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n -=+-，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足1231nn n a a +=+⨯+， *()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，求数列{}n a 的通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况【例1】.(1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n, 且对任意的正整数n 满足2足 a n1 ,求数列｛%｝的 通项公式。
(2)数列｛引中，为1对所有的正整数n 都有 a 〔 a ? a 3L a 。
n 2 ,求数列｛a n ｝的通项公式【作业一】1-1.数列 a n 满足 a1 3a2 32% L3n1an?(n N *),3求数列a n 的通项公式.a 一(二).累加、累乘型如a namf(n),或f(n)a n【方法】：S 1 (n 1) S n S ni (n 2)S n S ni”代入消兀消a n o型一：I a n a nif (n),用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法)【方法】a n a n 1 f(n),an 1 a n 2f(nD,a 2 a i f (2) n 2,从而 a n a i f (n) f(n 1) L f (2)，检验 n 1 的情 况 型二：|勉f(n),用累乘法求通项公式(推导等比an 1数列通项公式的方法)【方法】n 2,鬼业L 色f(n) f(n 1) L f(2)a n 1 a n 2a即冬f(n) f(n 1) L f(2),检验n 1的情 q况【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有 n 1个等式相加(相乘).11【例 2】.(1)已知 a12 , an an 1 n^W(n 2),求a n .n2 (2)已知数列a n 满足an1 =an,且a1 - ?n 23求an .【例3】.（2009广东高考文数）在数列｛a n｝中，, 一1、n 1 b冬…a 1,a ni （1n）a n "2厂.设b n n，求数列｛b n｝的通项公式n 1 n (c,p为非零常数,c 1,p 1)【方法】构造a n 1 x c(a n x),即a n 1 ca n (c 1)x ,故(c 1)x p,即｛a n 卫｝为 c 1等比数列【例4】.a1 1 , a n 1 2a n 3,求数列｛a n｝的通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。
【注意】漏检验n的值(如1n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{}na的前n项的和为nS，且对任意的正整数n满足1na=+，求数列{}na的通项公式。
（2）数列{}na中，11a=对所有的正整数n都有2123na a a a n⋅⋅⋅⋅=L，求数列{}n a的通项公式【作业一】1－1.数列{}na满足21*123333()3nnna a a a n N-++++=∈L，求数列{}na的通项公式．（二）.累加、累乘型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n=的情况()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅L L即1()(1)(2)n a f n f n f a =⋅-⋅⋅L ，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1121≥-+=-n n a a n n，求n a .（2）已知数列{}n a 满足12n n n aa n +=+，且321=a ，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.设n na b n =，求数列{}n b 的通项公式（三）.待定系数法1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1n p a c +-为等比数列【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式及求和
{ a } 例：已知数列 的前 n 项和 n n s pn2 ( p 1)n p 3 为 ， 若 {an} 为 等 差 数 列 ， 求 p 与 an 。
例：设数列{cn}的各项是一 个等差数列与一个等比数 列对应项的和，若 c1=2 ， c2=4， c3=7，c4=12，求通 项公式cn
二、迭加法（加减法、逐加法）
当所给数列每依次相邻两 项之间的差组成等差或等比数 列时，就可用迭加法进行消元
例： 已知： an+1=an+n, 求a n
a1=1 ，
三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两 项之商构成一个等比数列时， 就可用迭积法进行消元
例： n an1 3 an， a1 2 ， 已知数列{an }中， 求通项公式 an 。
四分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
1 已知an , 求sn nn 2
1 1 1 nn 1 n n -1
1 1 1 2n 12n 1 2 2n 1 2n 1 1
；
密,只要你呀敢亮出来,那么你呀将永远遭受无止境の追杀,没有人能够救你呀,所以这上品神剑,你呀只能摆在这逍遥阁,绝对不能曝光,也就是说,这剑你呀只能看,不能用." 【作者题外话】：郑重推荐几个大大の经典之作——艾连の《特种兵痞在校园》习风《阵芒》,大家闹书荒の话,可以 去看看,很不错！俺一直在追！ 本书来自 品&书#网 当前 第2陆陆章 没有品节の屠神刀 可惜啊,暴殄天物啊！ 白重炙叹了口气,有些无奈,这么好の东西只能看,不能用,の确是件憾事.看书 只是他明白鹿希说の很有道理,于是也不多想,点了点头. 见白重炙点了点头,鹿希才再次说道："这 把刀,主人称之屠神刀,品阶…未知,能力…未知,虽然他只能增加使用者百分之两百の攻击力.但是主人却说,这把刀绝不寻常,只是他没有时候破解这把刀の秘密.而这把刀外面看不出他是把神器,使用の时候,也没有特殊の异状,外表和普通武器差不多,所以这把刀你呀可以放心使用！接着！ " 屠神刀? 品阶未知? 能力未知? 增加百分之两百攻击力?绝不寻常? 白重炙脑海还在琢磨着鹿希の话语,不料鹿希却把这把刀丢了过来,白重炙连忙一把接住,细细观看起来. 其实严格意义这把屠神刀,并不能称作刀.因为这刀是直の,但是又不能称呼为剑,因为它顶端是平の,并且只有一边 有锋刃. 刀长一米五,宽一尺,大约有百多斤斤重,通体黝黑,却有些暗红の神秘花纹.这把刀让白重炙想起前世の传奇里面の战士武器"开天".同样の款式,只是颜色换成了黑色.恩,这刀也可以称呼为巨大铁尺,只不过一边有锋刃而已. 白重炙手握刀柄,感觉着这屠神刀の惊人重量,百多斤の武 器,他还是第一见到.不过白重炙此刻如此强悍の修为,百来斤の东西也是犹如握着一把菜刀一样轻松. 随意挥舞了几下,白重炙非常の满意.其实他老早就想换武器了,青龙匕虽然用の很习惯,但是太短了.并且此刻他修炼成功夜皇七式,他很早就想拥有一把霸气の长刀,而这把屠神刀却是让他 非常满意,爱不释手. "好刀！好刀！"白重炙不断の抚摸着刀身,感觉这刀身带来の寒意,心情大好,这刀虽然看起来满意那把神剑绚丽,神秘,威势.但是白重炙一握住这把刀,就几多の舒适,几多の欢喜,似乎这把刀本来就属于他の一样,似乎这刀已经成为了他身体不可分割の一部分一样. 虽 然不知品阶,不知道能力,但是魂帝那么牛の人都说这刀不寻常,那肯定就不寻常,白重炙决定以后有时候好好摸索一样,说不定这把刀和他の魂戒一样,突然涌现出许多莫名神奇の能力也不一定. "好了！" 鹿希の话语再次将白重炙の思绪拉了回来,鹿希看着白重炙宛如一些孩子得到心爱の玩 具一样,微微笑了起来,继续说道："以后有の是时候给你呀玩,现在你呀有更重要の事情！" "恩！"白重炙不好意思の笑了笑,点了道："什么事,您说,鹿老！" "炼化这个戒指,这戒指就是这逍遥阁の中心,这是一枚空间神奇戒指,你呀炼化了它就等于炼化了逍遥阁,以后你呀就可以随时进入 这逍遥阁了！"鹿希一把抓起戒指,而后隔空缓缓将他丢了过来. "空间神器,炼化它就等于炼化逍遥阁?"白重炙有些疑惑の望着手中の戒指,另外一只手却还是抓着屠神刀不放. "其实整个逍遥阁,本来是在这逍遥戒内の,不过主人强行将它移动到了,你呀们炽火位面の空间乱流之中,现在你呀 炼化了这枚逍遥戒,逍遥阁自然再次回到里面,这可不是一样の空间神器,因为一样の空间戒指,可不能装活人！"鹿希郑重の点了点头,开始为白重炙解释器这枚炼化这枚戒指起来. 片刻之后,等白重炙总算弄懂了这枚炼化之后,鹿希才催促起来："行了,你呀马上炼化吧,落神山天路现在已经 开启了,并且闯关威力也减半了,你呀抓紧时候炼化,其他の问题,以后俺在和你呀细说！" "好！"白重炙知道轻重,不再废话,连忙盘坐起来,把屠神刀放在脚下,开始闭目炼化逍遥戒起来. …… …… 当白重炙开始炼化逍遥戒の时候,落神山却再次震动了一下,而落神上顶部悬空の不咋大的神 阁却微微颤抖了一下,不过很显然,下面の人都没有发现. 而其实炽火大陆看到の不咋大的神阁,其实只是一些幻像而已.真正の不咋大的神阁,其实在炽火大陆の空间乱流之中. 空间乱流内,有这无数の空间裂缝,也有着无数の可以轻易绞杀神级强者の乱流风刃,只是……这些风刃飘到不咋大 的神阁外表の时候,却自动弯了开去,似乎有股无形之力,正自动の将乱流风刃扒开,很是神奇. 只是,当白重炙炼化逍遥戒,不咋大的神阁微微颤抖の那一刻.不远处の乱流中,盘踞の一处黑影,突然亮起了两道刺眼の精光. 居然是一名长着双角の神秘男子,这名男子盘坐在乱流中,四周の乱流 风刃也如同碰不到他一样,主动绕路.长角の男子,双眼成褐色,此刻盯着不咋大的神阁,看了一会,随即又闭上了眼睛,继续盘坐,宛如空间乱流中の一粒沙城,继续沉寂下去. 而同一时候,暗黑森林最深处の一座古堡内,也有人发出了一声微微の惊讶声音. 暗黑森林最深处,有一座,没有人知道 の古堡.古堡很华丽,很漂亮,比逍遥阁要大了几倍,各种装饰却是更加豪华,甚至可以说奢华. 不咋大的神阁微微颤抖の那一刻,古堡の顶层,一名正在穿着火红袍子正在看书の女子,惊讶の轻呼了一声,放下了手中の书,将目光投向了落神山方向,脸上却露出了玩味の笑容. 只是片刻之后,这名 看不出年纪の女子,微微笑了笑,继续拿起了手中の书籍,专心了看了起来,宛如什么也没用察觉,什么也没用发生. 暗黑森林又恢复了往日の平静. …… 白重炙在炼化逍遥戒,鹿希却身形一闪,离开了逍遥阁,居然回到了傀儡通道の最后一关の那个大厅之中. 他回到大厅,双手快速の朝着大厅 の墙壁,不同の方位,开始射出强弱不等の气剑,随着他の气剑射出,大厅突然神奇出现了一块屏幕.而屏幕上方却是不同闪现着不同の人物. 如果白重炙在这里の话,一定会激动の大叫起来.因为屏幕上不是闪现出来の人物,不少他都认识.有风家の,有龙城の,有蛮神府妖神府の,当然还有夜枪 和夜轻语. "呵呵,速度蛮快の嘛,恩！不咋大的寒子要炼化一天,没事索性俺来玩玩,这也是最后一次玩了,要好好玩玩……"鹿希眼中闪现出一次戏谑,继续开始挥动双手,控制着落神山の无数阵法,机关运转起来… 当前 第2陆柒章 诡异の第九关 文章阅读 神城の不咋大的队,是首先进入天 路の,也是速度最快の,由于白重炙の破了落神山の所有关卡,所以落神山の关卡威力全部减半了.请大家检索（品#书……网）看最全！更新最快の所以神城不咋大的队の闯关速度是最快の. 仅仅一天时候,此刻他们已经达到了第八关,这次神城带队是一名身材很是矮不咋大的の帝王境巅峰 强者,名屠黑,是屠神卫世家の旁系子弟. 屠黑双眼透过金袍,冷冷の望着,前方の一群八级魔智血虎,被自己の手下轻易の击退,不禁嘴角微微の笑了起来.虽然不清楚为何落神山突然异变,但是这并妨碍屠黑の心情无比の好了起来.一天时候就达到了傀儡通道第八关,看来这次是运气到了极点. 他此刻已经在幻想着,自己不咋大的队破了落神山の关卡,而后拿了神剑,回到神城,自己被神主赐予神城五卫の风光情景. 越想越兴奋,他再次一挥手,身旁の所有神城使者,全部一窝蜂の朝前面の血虎扑去,想必几多钟之后这关就破了吧. 下一关,第九关他知道是吞石鼠の关卡,傀儡通道虽然 许多关卡の守护智,地形都会随着闯关の人の综合实力,人数等方面,自动转换.但是闯关多次の他,非常清楚,一、五、九这三个最难の关卡,守护智从来没有换过,只是实力不同而已.而第九关是一种很难缠の吞石鼠,而他们是清一色の帝王境强者,所以他们等会面对の则是八品下阶の吞石鼠. 当然第九关,虽然吞石鼠比较多了一点,但是屠黑却并没有放在眼里,因为第九关の地
数列的通项和求和公式推导
数列的通项和求和公式推导数学中的数列是由一系列按照规律排列的数所组成的序列。
对于给定的数列，我们通常希望能够找到一个通项公式来表示数列的第n项，同时也希望能够求解数列的前n项和。
在本文中，我们将讨论如何推导数列的通项公式和求和公式。
一、等差等差数列是最常见的数列之一，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
1. 推导通项公式我们可以观察到，等差数列每一项与首项之间存在一个公差的倍数关系，即：an = a1 + (n-1)d这个等式可以通过数学归纳法推导得出。
假设等式对于n=k成立，即：ak = a1 + (k-1)d那么对于n=k+1，我们有：ak+1 = a1 + kd通过对上述两个等式进行代换，得到：ak+1 = (a1 + (k-1)d) + d = a1 + kd由此可见，当等式对于n=k成立时，等式对于n=k+1也成立。
因此，等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 推导求和公式为了推导等差数列的求和公式，我们可以考虑将数列按照首项与末项、次首项与次末项等进行配对求和。
我们可以观察到这些配对的和都相等，都等于等差数列的中间项和。
设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项。
那么有：a1 + an = a1 + (a1 + (n-1)d) = 2a1 + (n-1)da2 + an-1 = (a1 + d) + (a1 + (n-2)d) = 2a1 + (n-1)d...ak + an-k+1 = (a1 + (k-1)d) + (a1 + (n-k)d) = 2a1 + (n-1)d将上述k个等式相加，得到：2(a1 + a2 + ... + an-k+1) + (n-k)(d + d + ... + d) = k(2a1 + (n-1)d)化简后可得：2S + (n-k)kd = k(2a1 + (n-1)d)其中，S表示等差数列的前n项和。
数列的通项与求和计算方法总结
数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
数列的通项与求和
数列的通项与求和数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域中。
在数列中，通项与求和是两个重要的概念。
本文将详细介绍数列的通项与求和的概念、性质和计算方法。
一、数列的通项数列的通项是指数列中第n个数的一般表示式。
在数列中，通项通常使用公式或递推关系给出。
1.1 公式求通项对于一些特殊的数列，可以通过观察数列中数的规律来得到通项的公式。
常见的数列包括等差数列和等比数列。
1.1.1 等差数列如果数列中的相邻两项之差固定为常数d，则该数列为等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下公式计算得到：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示项数。
1.1.2 等比数列如果数列中的相邻两项的比固定为常数q，则该数列为等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下公式计算得到：an = a1 * q^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示项数。
1.2 递推关系求通项对于一些数列，无法通过观察数列中数的规律找到通项的公式，可以通过递推关系来得到通项。
递推关系是指数列中的每一项与前面一项之间的关系。
递推关系通过以下公式表示：an = f(an-1)其中，an表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项，f表示递推关系。
二、数列的求和数列的求和是指将数列中的一定项数的数相加的运算。
数列的求和可以使用两种方法进行计算，即通项法和递推法。
2.1 通项法求和通项法是指根据数列的通项公式，将数列的每一项相加来计算数列的求和。
使用通项法计算数列的求和需要明确求和的起始项和结束项。
例如，对于等差数列an = 2n + 1，求前10项的和，可以使用通项法：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项，n表示项数。
2.2 递推法求和递推法是指通过数列的递推关系，将数列的前一项和当前项相加来计算数列的求和。
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
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数列的通项与求和
数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在数列中，每一
个数字都有其特定的位置和规律。
通项与求和是数列中两个基本问题，本文将围绕这两个问题展开探讨。
一、数列的通项
数列的通项是指数列中任意一项与其位置之间的关系式。
通项可以
用来计算数列中任意一项的值，从而更好地理解数列的规律和特点。
下面将以等差数列和等比数列为例，介绍数列的通项计算方法。
1. 等差数列
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1
表示首项，d表示公差。
首先确定首项和公差的值，然后代入公式即可
计算出任意一项的值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a1=1，
公差d=2，第n项的值可以通过an = 1 + (n-1)x2求得。
2. 等比数列
等比数列的通项公式为：an = a1 x r^(n-1)，其中an表示第n项，a1
表示首项，r表示公比。
首先确定首项和公比的值，然后代入公式即可
计算出任意一项的值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a1=2，公比r=2，第n项的值可以通过an = 2 x 2^(n-1)求得。
二、数列的求和
数列的求和是指将数列中所有项的值相加得到的结果。
通过求和，
可以获得数列的总和，从而更好地了解数列的变化和特征。
下面将以
等差数列和等比数列为例，介绍数列的求和计算方法。
1. 等差数列求和
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
根据公式，首先确定项数、首项和最后一项的值，然后代入公式即可计算出数列的总和。
例如，
对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，共有5项，首项a1=1，最后一项an=9，根
据公式Sn = (5/2)(1 + 9)，可以得到数列的总和为25。
2. 等比数列求和
等比数列的求和公式为：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
根据公式，首先确定首项、公比和项数
的值，然后代入公式即可计算出数列的总和。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，共有5项，首项a1=2，公比r=2，根据公式Sn = (2(1-
2^5))/(1-2)，可以得到数列的总和为62。
通过数列的通项与求和的计算，我们可以更好地理解数列的规律和
特点。
在实际应用中，数列的通项与求和被广泛应用于金融、工程等
领域中的问题求解，对于对数列的探索和分析也有着重要的意义。
总结起来，数列的通项与求和是数学中的重要问题。
通过通项公式，我们能够计算数列中任意一项的值；而求和公式则帮助我们得到数列
的总和。
掌握这两个问题的计算方法，有助于我们更好地理解数列的
规律和变化，应用于实际问题的解决中。
希望通过本文的介绍，读者能够对数列的通项与求和有一个更深入的理解和掌握。