9年级培优：韦达定理在求极值方面的应用
9年级培优：韦达定理在求极值方面的应用【韦达定理】（一元二次方程根与系数的关系）：
【例1】设a，b是方程：
的两个实数根，当m为何值时，
有最小值？最小值为多少？
【解析】根据韦达定理：
【例2】关于x的一元二次方程：
的两根分别是：
【提示】通过韦达定理将代数式用k来表示，再配方求得最小值。
【例3】已知实数a，b满足：
求t的取值范围。
【解析】由已知，可解得：
【例4】已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求max﹛a，b，c﹜的最小值；
（2）求｜a｜+｜b｜+｜c｜的最小值。
【解析】(1)不妨设a≥b≥c，即a= max﹛a，b，c﹜，则a＞0，b＜0，c＜0；
由已知，得：
根据韦达定理，a，b为方程：
故a≥4，∴max﹛a，b，c﹜的最小值为4，此时，a=4，b=c= -1；
（2）｜a｜+｜b｜+｜c｜=a-b-c=2a-2，由（1）可知，a的最小值为4，故｜a｜+｜b｜+｜c｜的最小值为6.
【练习2】已知a，b，c均为实数，且：a+b+c=0，abc=2，求｜a｜+｜b｜+｜c｜
的最小值。
【提示】最小值为4.。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围1. 引言韦达定理是一种在微积分中常用的定理，它是数学家韦达在17世纪提出的。
韦达定理的核心思想是将函数的导数与原函数的关系进行转换，从而简化计算过程。
在数学和物理学等领域，韦达定理被广泛应用于求解函数的极值、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。
本文将介绍韦达定理的基本概念、公式推导以及适用范围，以帮助读者更好地理解和应用韦达定理。
2. 韦达定理的基本概念韦达定理是微积分中的一条基本定理，它建立了函数的导数与原函数的关系。
在微积分中，函数的导数表示了函数在某一点上的斜率或变化率，而原函数则表示了函数在某一区间上的积分。
韦达定理的基本概念可以用以下公式表示：∫fba′(x)dx=f(b)−f(a)其中，f′(x)表示函数f(x)的导数，∫ba 表示对x从a到b的积分，f(b)和f(a)分别表示函数f(x)在点b和点a上的取值。
3. 韦达定理的公式推导要理解韦达定理的公式推导，我们首先需要了解定积分和不定积分的概念。
定积分表示区间上函数的积分，可以用以下公式表示：∫fba(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)表示函数f(x)在区间[a,b]上的取值，F(x)表示函数f(x)的原函数。
不定积分表示函数的原函数，可以用以下公式表示：∫f′(x)dx=f(x)+C其中，f′(x)表示函数f(x)的导数，C表示常数。
韦达定理的公式推导基于这两个基本概念。
我们可以将定积分的上限b看作是一个变量x，并将定积分的下限a看作是一个常数。
这样，我们可以将定积分表示为不定积分的形式：x(t)dt=F(x)−F(a)∫fa接下来，我们对上式两边求导数，根据链式法则和基本求导法则，可以得到：f(x)=F′(x)这就是韦达定理的公式推导过程。
它表明，函数的导数等于函数的原函数的导数。
4. 韦达定理的适用范围韦达定理的适用范围非常广泛，它可以用于求解函数的极值、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。
4.1 函数的极值在求解函数的极值时，韦达定理可以帮助我们简化计算过程。
韦达定理的原理应用是什么
韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。
这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。
2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。
韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。
3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。
我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。
例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。
3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。
通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。
即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。
即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。
3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。
例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。
我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错
韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错韦达定理是一种基本的数学定理，它在解决三角形问题中有着广泛的应用。
在学习韦达定理时，学生往往会遇到一些困难，容易搞错。
本文将介绍韦达定理的数学运用，并提供一些解决问题的技巧和方法。
一、韦达定理的定义韦达定理是指在三角形ABC中，如果从顶点A向边BC引一条平分线AD，则有：\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}其中，AB、AC、BD、DC分别表示三角形ABC中的边长和平分线AD所分割的边长。
二、韦达定理的数学运用1. 求三角形的内心内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心。
利用韦达定理可以求出三角形的内心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形内心的坐标为：x=\frac{ax1+bx2+cx3}{a+b+c}y=\frac{ay1+by2+cy3}{a+b+c}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。
2. 求三角形的外心外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
利用韦达定理可以求出三角形的外心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形外心的坐标为：x=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}y=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长，S表示三角形的面积。
3. 求三角形的垂心垂心是三角形三条高线的交点。
利用韦达定理可以求出三角形的垂心坐标。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形垂心的坐标为：x=\frac{(x1+x2+x3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(x1^2+x2^2+x3 ^2)}y=\frac{(y1+y2+y3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(y1^2+y2^2+y3 ^2)}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。
九年级数学竞赛资料专题(四)——韦达定理的应用下
韦达定理的应用例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p ＋q＞1．(四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2) 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理在实际问题中的应用
韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。
本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。
一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。
图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。
首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。
例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。
接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。
在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。
根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。
三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子。
1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p －q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。