2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题答案(pdf)

２００５年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题解答

Linchang

一.AB 是圆O 的一条弦，它的中点为M ，过M 作一条非直径的弦CD ，过C 和D 作圆O 的两条切线，分别与直线AB 相交于,P Q 两点．求证：.PA QB =

证:由于CD 过M,C 与D 在直径OM 的两侧,故P 与Q 在直线AB 上位于线段AB 外的不同侧.OM ⊥AB,OC ⊥PC,故O,M,C,P 四点共圆,∠OPM=∠OCM,同理∠OQM=∠ODM.但OC=OD,∠OCM=∠ODM.因此∠OPM=∠OQM, OP=OQ,从而 PM=QM, PA=QB.

二.定义在R 上的函数()f x 满足：

１.()00f =；

２.对任意()(),,11,x y ∈?∞?∪+∞，都有111x y f f f x y xy ????+??+=??????+??????

； ３.当()1,0x ∈?时，都有()0.f x >

求证；21111...19297112f f f f n n ????????+++>????????++????????

，其中*n N ∈． 解: x>1时(x+1)/(x-1)>1.对任意的x,y>1,根据条件2,有

1111111()()()()11111111

x y x y xy x y f f f f x y x y xy x y +++?????+==++++++??.由此对n 归纳可证:当x 1,x 2,...,x n >1时成立等式 121121...1()(1 (1)

n k n k k n x x x x f f x x x x =??=++∑ 现在令x k =(k 2+7k+12)/(k 2+7k+10), 则 (x k -1)/(x k +1)=1/(k 2+7k+11).故题中不等式的左边就等于f((x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)).由于x k =(k+3)(k+4)/(k+2)(k+5),连乘约分得

x 1x 2…x n =5(n+3)/(3(n+5)),

(x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)=n/(4n+15)=(2-u)/(1-2u),其中u=(7n+30)/(2n+15)>1. 最后根据条件3,f(-1/u)>0,所以,左边等于f(n/(4n+15))=f(1/2)+f(-1/u)> f(1/2).

顺便指出:题目中的条件1是多余的.又容易证明f(x)在(-1,0),(0,1)中递减,可以得到更强的结果:2111(

)().711

4n k f f k k =>++∑ 三.在公差为d ()0d >的正数等差数列()123,,...2n a a a n ≥中，任取2n +个数，证明其中必存在两个数,i j a a ()i j ≠，满足不等式1 2.i j

a a nd ?<<

证: (a i -a j )/nd=(i-j)/n.因此只要证明:从集合{1,2,3,…,3n-1,3n}中任取n+2个元素u 1

1).如u n+2≤2n,则n+1≤u n+2-u 1≤2n-1,1与n+2为所求.

2).如u n+2≥2n+2,所有小于u n+2的数可分为n+1个抽屉: (1, u n+2-n),(2, u n+2-n+1),…, (n, u n+2-1),{n+1,n+2,…, u n+2-n-1}.若有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则

u n+2-u i ≥u n+2-( u n+2-n-1)=n+1, u n+2-u i ≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与n+2为所求.

若没有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则n+1个数u 1,u 2,…,u n+1全在前n 个抽屉中,必有两数u i

u n+2-n-1≥2n+2-(n+1)=n+1 , u n+2-n-1≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与j 为所求.

3).最后,若u n+2=2n+1,分n 个抽屉(1,n+2),(2,n+3),…,(n-1,2n),(n,n+1).同上必有两数u i

四.已知n 位数的各位数字只能取集合{}1,2,3,4,5中的元素，设含有数字５且在５的前面不含３的n 位数个数为()f n ,求()f n ．

解:一位数只有一个(即5),故f(1)=1.n ≥2时n 位数的末位数字有两种可能:

1).末位不是5,有4种取法,前n-1位是题目要求的n-1位数,这种n 位数的个数是4f(n-1).

2).末位是5,前n-1位可在{1,2,4,5}中任取,这种n 位数的个数是4n-1. 于是得到递推关系f(n)=4f(n-1)+4n-1 (n ≥2). 令f(n)=4n-1g(n), 代入得g(1)=1, g(n)=g(n-1)+1 (n ≥2).故g(n)=n,f(n)=n ·4n-1.

五.如果三个正实数,,x y z 满足：2225,4x xy y ++=

2236y yz z ++=，221694

z zx x ++=．求xy yz zx ++的值． 解:从一点O 作三条线段OA=x,OB=y,OC=z 并使两两的夹角为120°.由已知条件用余弦定理得AB=5/2,BC=6,CA=13/2.因为(5/2)2+62=(13/2)2,ABC 是直角三角形.由面

积关系列式:1/2·5/2·6=1/2·(xy+yz+zx)·sin120°,故.

六．设0,2

π

≤α,β,γ≤222cos cos cos α+β+γ=1，求证： ()22421cos sin ≤+αα()2241cos sin ++ββ+()2241cos sin +γγ()()()2221cos 1cos 1cos .≤+α+β+γ 证:记x=2cos α,y=2cos β,z=2cos γ,注意到422sin (1cos )αα=?,本题等价于x+y+z=1, x,y,z ≥0时证明不等式2≤(1-x 2)2+(1-y 2)2+(1-z 2)2≤(1+x)(1+y)(1+z).

以下∑表示对x,y,z 循环求和,并记u=xy ∑,v=xyz.我们有∑x 2=1-2u, ∑x 4=(∑x 2)2-2∑x 2y 2=(1-2u)2-2(u 2-2v)=1-4u+2u 2+4v, (1+x)(1+y)(1+z)=2+u+v. 故∑(1-x 2)2=3-2∑x 2+∑x 4=2+2u 2+4v ≥2.(等号仅当x,y,z 中一个为1,两个为0时成立). 而(1+x)(1+y)(1+z)-∑(1-x 2)2=u(1-2u)-3v=u ∑x 2-3v,

∑x 2≥(x+y+z)2/3=(x+y+z)/3≥v 1/3 ,u ≥3v 2/3. 所以u ∑x 2≥3v ,此即右边的不等式.等号仅当x=y=z=1/3时成立.