第13届中国北方数学奥林匹克
而３一（ｃｏｓ ｐ一√§ｓｉｎ ｐ）‘
＝３一（ｃｏｓ２臼＋３ｓｉｎ２口一２√芋ｓｉｎ臼・ｃｏｓ ｐ）
４．首先，假设ＩＱＩ≥１０１． 若在某个排列中戈、ｙ连续出现，则称 （菇，ｙ）为一个“片段”． 由于每个排列恰有９９个片段，于是，集 合Ｑ中共有９９×１０１＝９ ９９９个片段． 而不同的片段只有１００×９９＝９ ９００个， 由抽屉原理，知存在一个片段在集合Ｑ中出 现至少两次，矛盾． 从而，Ｉ Ｑ Ｉ≤１００． 其次，令
，，
，
／ Ｐ
２． ３． ４．
同基础班第３题 同基础班第４题 （１）当 ｎ≥４时．
Ｑ
Ｃ 图６
由正六边形的性质易知
（ｉ）若６。 ，６２，…，６。 中有两个偶数，则当
么甜Ｅ：６０。：么埘Ⅳ
万方数据
２０１７年第１０期
ｊ么ｃＡＱ＝么尉Ⅳ，
么ＡＣＱ＝么ＡＥⅣ＝９００，
取卜．１任一素因子ｐ，于是， ｒ三１（ｍｏｄ ｐ）． 任取ｎ＝（ｏ。ｏ一…口，），，在模ｐ意义下有 ｎ＝（口，ｏ，一１…口１），
［ＭＤＥ＝［ＮＤＦ． 由正弦定理知
ＥＭ
口１＋０２＋…＋ｏｎ＜万；
当您≥４时，
口ｎ
２歹ｊ＜歹曩Ｆ百２了×Ｆ
１
】
１
】
ｓｉｎ么删ｓｉｎ么ＺⅥ纪
ＤＦ ＦＮ
ＤＥ
：亭口１＋ｎ，＋…＋８。
ｓｉｎ么ＤⅣＦ
万方数据
ｓｉｎ么ⅣＤＦ
２０１７年第１０期 ＝々ＥＭ＝ｂ？Ｎ＝令ＡＥ＋Ａ壬？＝ＢＥ＋Ｃ｝１．
么ＦＤＧ＝１２００． 从而，Ｄ、Ｆ、Ｍ、Ｇ四点共圆． 又０Ｆ＝ＤＧ，则
得对任意正整数后，６１＋玩１，６２＋尼０２，…，６。＋ 玩。两两互素？ （张利民供题） ５．已知正六边形Ａ曰优）ＥＦ边长为ｏ，两 个动点Ｍ、Ⅳ分别在边ＢＣ、ＤＥ上运动，且满
任意点，Ｆ、Ｇ、日分
足么ＭⅣ＝６００．证明：埘・ＡⅣ一删・删恒
为定值． 数码和．例如， （黄全福供题） ６．定义Ｓ，（ｎ）为ｎ在ｒ（ｒ＞１）进制下的
仃ｆ＝（１＋ｉ，１００＋ｉ，２＋ｉ，９９＋ｉ，…， ５０＋ｉ，５１＋ｉ）（Ｏ≤ｉ≤９９），
么伽Ｄ＝么凹Ｄ＝３０。
＝［ＢＮＭ＝［ＧＭＮ．
因此，点Ｄ在删上．
６．首先，易证ｎ＝１，２不成立． 下面证明ｎ≥３均可以． 考虑是否存在ｎ个全等的三角形可以拼 成一个凸五边形． 若ｎ为奇数，注意到，两个全等的直角三 角形可以拼成一个平行四边形，则偶数个全 等的直角三角形可以拼成一个平行四边形， 再加一个直角三角形可以拼成凸五边形（如 图４）；若乃为偶数，则奇数个全等的直角三 角形可以拼成一个梯形，再加一个直角三角 形可以拼成一个凸五边形（如图５）．
求儿口。．
ｉ＝１
（郝红宾供题）
２．同基础班第３题． ３．同基础班第４题． ４．已知ｎ≥３（ｎ∈Ｚ＋），ｎ个两两互素的 正整数口，，ｏ：，…，口。满足：可以适当添加 “＋”或“一”使它们的代数和为Ｏ．问：是否
么脚＝３００，Ｄ、Ｅ
分别为边ＡＢ、ＡＣ上
８丛ｃ
（金磊供题）
存在一组正整数６。，６：，…，６。（允许相同），使
＜・＋号＋寺＋寺阻争．．＋嘉）
．
１
】
１
３４
＜ｌ＋了＋了＋了２万。
２．取珏＝２ ０１７殆（南为奇数）． 易知，这样的ｎ有无穷多个． 此时，对任意的１≤口≤２ ０１６，由二项式 定理得 口“＋（２ ０１７一口）“
三口”＋ｃ：２ ０１７（一口）“一１＋ｃ：：（一口）“
＝２
０１７黼“～三Ｏ（ｍｏｄ
０１７２
２ ０１７２）．
枷
再口
２（口＾口＾一１…口１），．
ｎ—ｌ
３０。一ｓｉｎ（３０。＋ｐ）
令几＝ｐ∑ｒ航．则
Ｉ＝Ｕ
Ｓ，（ｎ）＝ｐ（口Ｉ＋口Ｉ—ｌ＋…＋口１）． 于是，ｐＩ凡且ｐＩＪｓ（ｎ）． 因此，存在无穷多个正整数ｎ满足 ．ｓ，（ｎ）三ｎ（ｍｏｄ ｐ）．
ｐ
万口ｓｉｎ臼
ｓｉｎ（３０。＋ｐ）‘
故肼＝口一ＣＭ
２—‘五琢声而厂口
Ｉ（１“＋２“＋…＋２ ０１６“）．
＝今２ ０１７２
３．如图２，取Ａ８、ＡＣ的中点Ｍ、Ⅳ，延长
ＤＭ至点Ｐ使得ＭＰ＝ＭＡ，联结ＥＰ、ＭＮ、ＤＮ．
尸ｋ
参考答案
基础班
：；巾＝ｌ—１ ｊ等・等＝（等）２．
１岫等尝笋
ｏｎ 口ｎ＋２ — ２ 口ｎ＋１
Ｂ
Ｄ 图２Ｃຫໍສະໝຸດ ｏｎｏｎ＋２一方面，若ＡＥ＋ＡＦ＝船＋凹，则
ＥＭ＝ＦＮ．
口。＝・心＝÷，
坐掣掣：半（ｎ∈ｚ＋）．
口：＋ｌ 证明：对于任意的正整数ｎ，均有
（１＋ｏ。＋１）２
、
。
＋７
。。＋口：＋…＋口。＜碧．（刘宏明
２ ０１７２
２．证明：存在无穷多个正整数ｎ，使得 ｆ（１“＋２“＋…＋２ ０１６４）． （张雷供题） ３．在△ＡＢＣ中，Ｄ为边Ｂｃ的中点，Ｅ、Ｆ 分别为边Ａ曰、ＡＣ上的点，且ＤＥ＝ＤＦ证明：
２０１７年第１０期
２１
第１ ３届中国北方数学奥林匹克
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１７）１０一００２１—０５
基础班
１．设数列｛口。｝满足
形可以分割成ｎ个全等的三角形． （缠祥瑞供题） ７．定义Ｊｓ（ｎ）为ｎ在十进制表示下的数 码和，例如，Ｓ（２ ０１７）＝２＋０＋１＋７＝１０．证 明：对于任意素数ｐ，存在无穷多个正整数ｎ 满足Ｊｓ（ｎ）三ｎ（ｍｏｄ ｐ）． （李无为供题） ８．给定正整数ｎ（ｎ＞１），ｎ个实数戈，，菇：， …，石。满足石１，戈２，…，石。∈［Ｏ，凡］，且 供题） 戈１戈２…戈。＝（ｎ一戈１）（ｎ一戈２）…（ｎ一戈ｎ）． 试确定ｙ＝ｚ１＋戈２＋…＋戈。的最大值． （张利民供题）
ｓｉｎ（３００＋ｐ）一√３ ｓｉｎ
７．同基础班第８题． ８．首先，考虑有１只羊和ｎ匹狼且所有 狼均可以吃这只羊的情形． 当ｎ＝１时，这匹狼当然会把羊吃掉，不 用担心自己变成羊之后会被吃． 当ｎ＝２时，这两匹狼均不敢吃羊，否则， 会在变成羊之后被另外一匹狼吃掉． 当ｎ＝３时，这三匹狼均想吃这只羊，因 为即使自己变成羊，由ｎ＝２情形时的推论， 另外两匹狼不敢吃自己． 设当ｎ＝２蠡时所有的狼均不敢吃羊， ｎ＝２后＋１时所有的狼均想吃羊．
幽３
５（ｎ）三托（ｍｏｄ ｐ）． ８．最大值为ｎ２一乃． 令ｙＩ＝生（七＝ｌ，２，…，ｎ）．
由中点及中位线定理知
ＦＭ
ｆ｝托．ＨＧ ｆ｛托。ｍ？｝媪。ＧＭ？｝媪
ｊ ＦＭ／ｆ ＨＧ，ＧＭ？／ＨＦ
ｊ四边形剧砸Ｇ为平行四边形，且
于是，ｙ。∈［ｏ，１］，Ⅱｙ。＝Ⅱ（１一ｙ。）．
詹＝ｌ 七＝ｌ
么删Ｇ＝么朋Ｇ＝６００．
当Ｐ（ｉ）号（ｍｏｄ ７）时，编号为ｉ的狼可以吃
掉编号为歹的羊（也可以不吃）； （２）若编号为ｉ的狼吃了编号为＿『的羊， 则它会立刻变成编号为歹的羊； （３）每匹狼在确保不会被吃的前提下都 非常想体验作为一只羊的生活． 假设每匹狼都很聪明，求最后草原上会 剩下多少匹狼？ （李无为 供题）
贝０２
２（１“＋２“＋…＋２ ０１６“）
别为边船、凹、胞的中点，Ｄ为△Ｆ伽的外
心．证明：点０在删上．
６．求所有的正整数ｎ，使得存在凸五边
万方数据
２２
中等数学
３８＝（１ １０２）３，．ｓ，（３８）＝１＋１＋Ｏ＋２＝４．
证明：（１）对于任意ｒ＞２，存在素数ｐ，使 得对任意正整数ｎ，有Ｓ，（ｎ）三ｎ（ｍｏｄ ｐ）； （２）对于任意ｒ＞１及素数ｐ，存在无穷 多个正整数儿满足ｓ，（ｎ）三ｎ（ｍｏｄ ｐ）． （李无为供题） ７．同基础班第８题． ８．青青草原上生活着编号为１，２，…，７ 的７只羊和编号为１，２，…，２ ０１７的２ ０１７匹 狼．在该草原上有如下奇怪的规则： （１）定义Ｐ（ｎ）为小于ｎ的素数个数，仅
＼
口ｎ＋１
／
则数列ｆ坐１是以２为首项、２为公比
【
ｏ。
又由［ＰＭＥ＝［ＭＡＮ＝Ｚ ＤＮＦ及
ＭＰ＝ＭＡ＝ＤＮ．
Ｊ
的等比数列．
知
△ＰＭＥ丝△ＤＮＦ．
黜ＰＥ＝ＤＦ＝ＤＥ，且 ［ＮＤＦ＝［ＭＰＥ＝［ＰＤＥ．
于是，等彰～。＝击．
口。
Ｚ”一ｌ
当ｎ＝１，２，３时，易证
３４
投［ＥＤＦ＝［ＭＤＮ＝［ＢＡＣ．
另一方面，若么肋Ｆ＝么烈Ｃ，则
。
＝瓦面丽‘万仉
在△ＡＣＱ中，注意到，
ｃｏｓ口一√歹ｓｉｎ秽
ＡＱ＝豢，
ｃＱ＝胁粕口＝等，
鼬ＡＭ・ＡＱ—ＢＭ・ＰＱ
一
ＰＱ＝口＿ｃＱ＝型挚．
口２（３一（ｃｏｓ伊一万ｓｉｎ ｐ）２）
２ｓｉｎ（３００＋ｐ）・ｃｏｓ
ｐ
当ｎ＝２Ｉｊ｝＋２时，若某匹狼吃了羊，由 ｎ＝２｜ｊ｝＋１的推论，它会立刻被某匹其他狼吃 掉．故ｎ＝２七＋２时所有的狼均不敢吃羊． 当ｎ＝２七＋３时，若某匹狼吃了羊，由 ｎ＝２后＋２的推论，其他的狼均不敢吃自己．故 ｎ＝２Ｉ｜｝＋３时所有的狼均想吃羊． 由数学归纳法，知几为奇数时所有的狼均
ＡＥ＋ＡＦ＝ＢＥ＋ＣＦ
提高班
１．已知数列｛ｏ。｝满足
ｎ１＝ｅ，口２
ｅ ８ｎ ２ ｅ３，
铮么肋Ｆ＝么烈Ｃ．
ｅ１－‘８：“＝％＋】８翼ｌ（恐≥２，忍∈ｚ＋，ｊ｝∈Ｒ＋）． Ｌ恐；ｚ，忍∈厶＋，拧℃Ｋ＋，・
＝８ｎ＋１８ｎ—Ｉ
（缠祥瑞供题）
缈卫
４．记Ｑ为ｌ，２，…，１００的若干个排列组 成的集合，且满足对于任意的１≤口、６≤１００， 口≠６，至多存在一个盯∈Ｑ，使得在盯中ｎ 的下一个数恰为６．求集合Ｑ的元素个数的 最大值． ５．如图１，在 △Ａ８Ｃ中，么Ａ＝ ６００，Ｍ为曰Ｃ的中 点，Ⅳ在Ａ曰上，且 （孙公春供题）
５．如图６，延长ＤＣ，分别与Ａ曰、胧的延
长线交于点Ｐ、Ｑ，联结ＡＣ、ＡＥ
Ａ Ｆ。
６２＝１＋ｌｎ口２＝１＋ｌｎ ｅ３＝４，
中学优秀班干部事迹材料范文
中学优秀班干部事迹材料范文(一）晃眼，两年便过去了，在这两年中，我在老师的帮助下，带领着一个和谐、团结的大家庭，共同奔赴在希望的路道上.首先,作为一班之长，我知道，除了老师以外，自己就是班级的核心，班级的支撑,是老师的左膀右臂,因此，在生活上，就关心同学、帮助同学,留心班里的每一件事，当同学之间发生矛盾时，及时问明原因，再加以调解，从而使其认识到他自己的错误。
在这一过程中,最重要的就是公正、公平的对待每一个人,只有这样，才能赢得同学们的信任，才会在同学们的心中树立榜样.其次,在学习方面,具有足够的耐心是必不可少的，作为班长,当同学们遇到困难时，我自觉地去为他们讲解.如果他一次不明白，那自己就多讲一次，要知道，给同学们讲解时,自己也就温习了一次，思路梳理了一次，记忆就会更牢固。
再次，在各方面协助老师，做好老师的助手，身为班长,身处于这个大家庭，我就应与同学互帮互助，积极合作，做到以身作则，在讨论交流中，积极展示，涌跃发言，起到一个好的带头作用，并且,还要关心班里的大小事务,根据自己的能力，去处理一些问题,如果遇到大的事情,就要向老师汇报，给予解决。
在两年任职班长的锻炼中,我明白了,要想成为一个优秀的班长,就必须做到帮助他人、关心他人,，与老师一起努力，管理好班级，而如今，我已是初三学生,我想，在这初中的最后一年里，我会更加努力带领自己的班级，走上辉煌的一刻。
是太原五中高三年级278班学生邓诗蓓,女，共青团员,2006年9月至今任本班班长.我自认为是一个在各方面表现都较出色的学生，聪明、活泼、乐观、自信、诚实、向上。
进入高中以来,努力学习，认真工作，在学习中不断增长知识，在工作中不断锻炼才能,在生活中不断陶冶情操，将本班的各项工作搞得有声有色，尽到了一个优秀班干部的职责。
以下我从几方面介绍自己：才率以德，方能树正气学生干部应该是学生的表率，是老师的助手,是老师与学生之间的纽带与桥梁。
要有良好的道德品质,有乐于奉献、吃苦在先和全心全意为同学服务的精神；要具备处理问题，解决琐碎的矛盾的能力.两年多来，在老师的精心培养和同学们的热情帮助下，我成长为一名热爱祖国、爱党爱校的学生，一个不计个人得失,公正公平，全心全意为同学服务的班干部.视国家与集体荣誉为至高，积极向党组织靠拢，2008年5月，第一批递交了入党申请书。
初三到高二数学竞赛规划
中考后我该如何规划数学竞赛之路？很多家长担心，高中学习竞赛会不会耽误孩子课内学习，最后鸡飞蛋打。
的确，高中数学竞赛内容多、难度大，要想取得好成绩，且平衡课内学习，就必须要有一整套合理的学习规划，而且，越早开始规划，时间越充裕。
目前不少中学已经推行2+4学制，初一、初二学习初中课内知识，初三就可以提前学习高中基础知识，并开始竞赛学习、训练，如果你囿于学制和中考的压力也没关系，中考后就是你开始竞赛学习的最佳时机，本文将针对竞赛各个模块的特点，按照时间顺序给大家梳理一条可操作的学习路径，望各位摘取有用信息，对号入座。
一、高中数学竞赛简介在讲学习规划之前，先跟还不太了解竞赛的家长、同学简单介绍一下高中数学竞赛的体系。
我们常说的高中数学竞赛一般指的是全国高中数学联赛，简称高联，每年9月第二个周日举行，分别设置一二三等奖，即省一二三等奖，也是高校自招认可的奖项。
各个省市会从高联一等奖中选拔出省队选手参加中国奥林匹克数学竞赛（CMO），每年十一月举行，设立一二三等奖，也叫金牌银牌铜牌，也是我们说的国奖，清北自招一般要求五大学科竞赛获得国奖。
CMO一等奖中前60名同学入选国家集训队，并通过两次选拔，选拔出6名国家队队员参加国际奥林匹克数学竞赛（IMO）。
60名国家集训队队员具有保送清北等名校的资格。
除了上面说的高联、CMO和IMO外，还有一些比较重要的数学竞赛，如中国女子数学奥林匹克、中国西部数学奥林匹克、中国东南地区数学奥林匹克、北方希望之星数学邀请赛等，这些赛事，一方面可以练手，一方面获得的奖项可作为清北竞赛营及高校自招的参考。
二、学习路径规划初三暑假这个暑假，你最重要的目标是学习高中数学竞赛中的平面几何模块，以及快速学习高中数学必修课本。
1、平面几何很多基础知识在初中就学过，高中课内涉及很少，而高联只是额外补充了一些定理、概念和方法，尤其明显加强了圆这部分内容的考核。
所以这个暑假最适合先从中考压轴的平几题入手，然后补充竞赛知识。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
砥砺奋进谋发展激情超越赋新篇
砥砺奋进谋发展激情超越赋新篇衡水市第二中学岁末十大亮点回眸神猴辞岁，已见繁花结硕果；金凤迎春，更立壮志谱新篇。
回首2016，衡水二中全体教职工内强筋骨、苦练硬功，凭借夙兴夜寐、激情创业的埋头实干和改革发展，完成了学校巅峰之上再跨越的新里程，教学育人共丰收。
让我们一起回顾过去，总结盘点；展望未来，再谋发展！■全国首个在高中学校建立的综合研究平台在衡水二中成立2016年2月26日，全国首个在高中建立的综合研究平台——高中教育发展研究中心在衡水二中正式揭牌。
中心由北京大学中国教育与人力资源研究中心和衡水二中共同成立，联合北京大学、北京师范大学、首都师范大学、中国教育学会以及我省多家研究机构共同组建，旨在对衡水二中进行专项课题研究，深入挖掘二中办学特色与经验，给全国高中发展提供参考与借鉴。
教育部高校学生司原司长王炽昌教授和中国教育学会原常务副会长、教育部原副总督学郭振有教授莅临座谈会指导工作，充分肯定了二中的办学特色和发展成就。
《中国教育报》、《德育报》、《衡水日报》等20余家媒体予以报道。
■作为全省唯一高中当选中国教育发展战略学会高中专业委员会副理事长单位2016年6月18日至19日，中国教育发展战略学会“高中教育专业委员会”成立大会和“高中教育的现状、挑战与未来”高层论坛在北京大学隆重举行。
中国教育发展战略学会是由民政部登记管理、教育部为业务主管的从事教育发展全局性、战略性研究的国家一级学会。
高中教育专业委员会是为满足高中教育改革发展的需求，推进高等教育研究向下延伸，促进高等教育和中等教育有效衔接而设立的二级学会，是中国教育发展战略学会的分支机构，其秘书处设在北京大学教育学院。
衡水二中作为河北省优质高中代表受邀参会，该校“原生态教育”理念、“低进优出”办学品牌、“励志教育”和“养成教育”双优德育模式受到众多专家学者的充分肯定，当选高中专业委员会副理事长单位，成为我省唯一获此殊荣的高中学校，衡水二中校长秦海地当选为专业委员会第一届理事会副理事长。
优秀班干主要事迹材料5篇
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优秀班干部主要事迹材料5篇
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第八届北方数学奥林匹克邀请赛
第八届北方数学奥林匹克邀请赛
佚名
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2012(000)011
【摘要】第一天一、如图1,在△ABC中,∠C=90°,I是内心,直线BI与AC交于点D,过D作DE//AI与BC交于点E,直线EI与AB交于点F.证明:DF⊥AI.（毕耜琨供题）二、正整数x1,x2,…,xn（n∈N+）满足x12+x22…+xn2=111.求S=
（x1+x2+…xn）/n的最大可能值.（张雷供题）三、设S={x|x=a2+ab+b2,a、
b∈Z}.证明:
【总页数】4页(P21-24)
【正文语种】中文
【中图分类】G424.79
【相关文献】
1.第六届北方数学奥林匹克邀请赛 [J], 张同君
2.第九届北方数学奥林匹克邀请赛 [J],
3.第七届北方数学奥林匹克邀请赛 [J],
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历届北方数学奥林匹克试题
目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a 2+(b+c )2+b 2+92b 2+(c+a )2+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+132�⋯�1+13n�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。