第6章 贝叶斯学习分析
统计学中的贝叶斯分析
统计学中的贝叶斯分析统计学中的贝叶斯分析是一种基于贝叶斯理论的统计推断方法。
它的基本思想就是在已知部分信息的条件下，通过新的信息更新已有的知识。
贝叶斯分析主要用于概率推断的问题，如参数估计、假设检验和预测等。
一、贝叶斯理论的基本原理贝叶斯理论是由英国数学家托马斯·贝叶斯于18世纪提出的。
其核心思想是先验概率与后验概率的关系。
在统计学中，先验概率指在得到新数据之前已经存在的概率分布，后验概率指在得到新数据之后，加入新信息后的概率分布。
贝叶斯规则的核心是后验概率与先验概率的比例。
贝叶斯规则可以表示为下式：P(θ|D) = P(D|θ) * P(θ) / P(D)其中，P(D|θ)为给定参数假设下的数据概率分布，P(θ)为先验概率分布，P(D)为数据在所有参数假设下的边缘概率分布。
P(θ|D)即为后验概率分布，它表示在得到新数据之后，参数假设的先验概率发生了变化，根据新的数据更新出来的概率分布。
二、贝叶斯分析的应用1. 参数估计在统计学中，参数估计是指在已知一些随机变量的取值的条件下，对这些变量的参数进行估计。
贝叶斯分析通过先验概率分布和后验概率分布的比较，可以对未知参数进行估计，得到更加精确的估计结果。
2. 假设检验假设检验是指对一个统计假设进行检验，从而评估是否拒绝或接受该假设。
贝叶斯分析可以提供更加灵活和个性化的假设检验方法，可以将假设检验的结果看做是判断假设是否成立的一种概率值，更加符合实际情况。
3. 预测在贝叶斯分析中，可以将先验概率分布作为一个“预测模型”，利用该模型对新数据进行预测。
预测结果是一个后验概率分布，表示给定已知数据下，未知变量的概率分布。
这种预测方法可以用于各种领域的研究，如气象预报、金融市场预测和医学诊断等。
三、贝叶斯分析的优点和局限贝叶斯分析相对于传统的统计方法，有许多优点。
首先，在小规模数据下，贝叶斯方法得到更加准确和精细的结果。
其次，贝叶斯方法更加灵活，可以更好地处理缺失或不完整的数据。
贝叶斯定理解析
贝叶斯定理解析贝叶斯定理是概率论中一项重要的理论，它可以用来计算在已知一些先验信息的情况下，某个事件的后验概率。
这个定理的应用范围非常广泛，从数据分析到机器学习，都可以看到贝叶斯定理的影子。
本文将对贝叶斯定理进行详细解析，并介绍一些其相关的应用。
一、贝叶斯定理的基本公式贝叶斯定理是基于条件概率推导而来的，它的基本公式如下所示：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)在这个公式中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
二、贝叶斯定理的应用举例为了更好地理解贝叶斯定理的应用，我们将通过一个简单的问题来说明。
假设有一家医院，该医院的1000名病人中，100人感染了某种罕见疾病。
而这种疾病的检测准确率为99％。
现在，如果一个病人的检测结果呈阳性，那么他实际上感染这种疾病的概率是多少？根据贝叶斯定理的公式，我们可以将这个问题表示为：P(感染疾病|阳性) = (P(阳性|感染疾病) * P(感染疾病)) / P(阳性)其中，P(感染疾病|阳性)表示在检测结果为阳性的条件下，病人实际上感染疾病的概率。
P(阳性|感染疾病)表示在感染疾病的条件下，检测结果为阳性的概率。
P(感染疾病)表示病人感染疾病的概率。
P(阳性)表示检测结果为阳性的概率。
根据题目中提供的信息，P(阳性|感染疾病)为0.99，P(感染疾病)为100/1000=0.1，即10%。
而P(阳性)的计算稍微复杂一些，需要考虑两种情况：检测结果为真阳性（病人实际上感染了疾病并被正确检测出来）和检测结果为假阳性（病人实际上未感染疾病但被错误地检测出来）的概率。
根据提供的信息，病人实际上感染疾病的概率为100/1000=0.1，即10%。
而检测结果为真阳性的概率为 P(真阳性) = P(感染疾病) * P(阳性|感染疾病) = 0.1 * 0.99 = 0.099。
第6章 贝叶斯学习
P125 新实例的最可能分类应该通过合并所有假设的 预测得到
– 即 用后验概率来加权
贝叶斯最优分类器(Bayes
v j V hi H
Classifier)： arg max P(v | h ) P(h | D) i i i P126
Optimal
分类结果可以对应于H中不存在的假设
– 对有病的病人，检验的阳性率为95% – 对没病者，检验的阳性率为5% – 该病的发病率为0.5%
现在随便从街上拉一个人做检测，结果阳
性，问此人患此病的概率是多少？
贝叶斯学习
利用贝叶斯法则进行概念学习
– 给定训练数据下求后验概率 – 从先验概率到后验概率的概率改变体现学习效 果
BRUTE-FORCE贝叶斯概念学习
单个的概率分布时：P137
6.12.1 估计k个高斯分布的均值
K个不同正态分布的混合
– 每个实例完整描述为三元组<xi，zi1，zi2> – 因为zi1和zi2未知，所以使用EM算法
EM算法的目的：搜索一个极大似然假设
EM算法的步骤：
– 根据当前假设< μ 1… μ k >不断地估计隐藏变 量zij的期望值 – 然后再用隐藏变量的期望值重新计算极大似然 假设
EM算法实例
基本步骤1 基本步骤2
EM两公式
E[ zij ] p( x xi | j )
2 n 1 i n
p( x x | ) e
n 1
e
2
1 2
2 x j 2 i
1 2
2 x i n 2
j
E[ z
贝叶斯算法分析范文
贝叶斯算法分析范文贝叶斯算法是一种统计学习方法，以贝叶斯定理为基础，根据已知条件与样本数据的关系，通过学习样本数据，计算出样本数据与未知条件的关系，并进行预测、分类等操作。
在机器学习领域，贝叶斯算法有着广泛的应用，尤其在文本分类、垃圾邮件过滤、推荐系统等任务中，取得了良好的效果。
P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
在文本分类任务中，贝叶斯算法可以基于已知条件和样本数据，计算出文本属于一些类别的概率。
通常，使用朴素贝叶斯算法进行文本分类。
朴素贝叶斯算法假设文本的特征在给定类别的条件下是相互独立的。
朴素贝叶斯算法将文本的特征当作条件，类别当作事件，根据已知条件和样本数据，计算特征对应的类别的后验概率，并选择概率最大的类别作为最终分类结果。
具体而言，在朴素贝叶斯算法中，首先需要从训练数据中提取文本的特征。
特征可以是词汇、句法结构等。
然后，将文本的特征转换为条件概率，并计算每个特征对应每个类别的概率。
最后，根据已知条件和样本数据，计算特征对应的类别的后验概率，选择概率最大的类别作为最终分类结果。
贝叶斯算法的优点之一是符合直觉，可以利用已知条件和样本数据进行推理和预测。
此外，贝叶斯算法不需要大量的训练数据就能取得较好的效果，对于小规模数据集也能获得较高的准确率。
此外，贝叶斯算法具有较好的可解释性，可以用于解释预测结果的合理性。
然而，贝叶斯算法也存在一些限制。
首先，朴素贝叶斯算法假设文本特征之间是相互独立的，这在现实情况下并不成立。
其次，朴素贝叶斯算法对于文本中出现的新特征不能进行有效的处理。
最后，朴素贝叶斯算法对于特征之间的相关性较为敏感，在特征之间存在强相关性的情况下，会对预测结果产生影响。
综上所述，贝叶斯算法是一种强大的统计学习方法，特别适用于文本分类、垃圾邮件过滤、推荐系统等任务。
贝叶斯概率
P(B)=P(A1B+A2B) =P(A1B)+P(A2B) =P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2) =0.4×0.01+0.6×0.02 2018/12/21 =0.016 史忠植 高级人工智能
∵A1A2=φ
P(A1)=0.4, P(A2)=0.6 P(B/A1)=0.01, P(B/A2)=0.02
从上述三个公理，可推导出概率的所有的其他性质 。频率学派和贝叶斯学派都满足该公理
2018/12/21 史忠植 高级人工智能 4
分布函数
令X为一随机变量， x为X的一具体值（数据） 则随机变量X的累积分布函数 (cumulative distribution function, CDF) 定义为
史忠植 高级人工智能 25
2018/12/21
贝叶斯网络是什么
贝叶斯（Reverend Thomas Bayes 1702-1761）学 派奠基性的工作是贝叶斯的论文“关于几率性问题求 解的评论”。或许是他自己感觉到它的学说还有不完 善的地方，这一论文在他生前并没有发表，而是在他 死后，由他的朋友发表的。著名的数学家拉普拉斯 （ Laplace P. S.）用贝叶斯的方法导出了重要的 “相继律”，贝叶斯的方法和理论逐渐被人理解和重 视起来。但由于当时贝叶斯方法在理论和实际应用中 还存在很多不完善的地方，因而在十九世纪并未被普 遍接受。
9
泊松分布
2018/12/21
史忠植 高级人工智能
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均匀分布
2018/12/21
史忠植 高级人工智能
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高斯分布
2018/12/21
史忠植 高级人工智能
12
贝叶斯网络的参数学习方法(六)
贝叶斯网络是一种概率图模型，它以有向无环图的形式表示随机变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络的参数学习是指在已知数据集的情况下，通过对数据进行学习，来估计贝叶斯网络中的概率分布参数。
本文将从贝叶斯网络的参数学习方法入手，介绍常见的参数学习算法及其应用。
1. 极大似然估计法极大似然估计法是最简单的参数学习方法之一。
对于贝叶斯网络中的每个节点，我们可以根据观测到的数据来估计其条件概率分布。
以一个简单的例子来说明，假设有两个随机变量X和Y，它们之间存在依赖关系。
对于X和Y的联合分布P(X,Y)，我们可以通过观测到的数据样本来估计条件概率P(X|Y)。
假设我们观测到了n组(Xi,Yi)的数据样本，那么P(X|Y)的估计值可以通过计算在给定Y的条件下X的分布来得到。
具体地，P(X|Y)的估计值可以通过统计每个Y取值对应的X的分布来得到。
极大似然估计法简单直观，但是在数据较少或者存在稀疏数据时容易出现过拟合问题。
2. 贝叶斯估计法贝叶斯估计法是对极大似然估计法的改进。
在贝叶斯估计法中，我们引入了先验概率分布来对参数进行估计。
通过引入先验概率分布，我们可以在一定程度上减小对观测数据的过拟合。
对于贝叶斯网络中的每个节点，我们可以通过最大后验估计来估计其条件概率分布参数。
具体地，我们可以通过观测到的数据样本来更新先验概率分布，得到后验概率分布，然后再根据后验概率分布得到条件概率分布参数的估计值。
贝叶斯估计法在参数学习中更加稳健，尤其在数据较少的情况下表现更好。
3. EM算法EM算法是一种常见的参数学习算法，它在贝叶斯网络中也有广泛的应用。
EM 算法通过迭代的方式来估计模型参数。
在每一次迭代中，EM算法分两步进行：E步(Expectation step)和M步(Maximization step)。
在E步中，我们计算隐变量的期望值，然后在M步中，基于这些期望值来更新模型参数。
EM算法在处理存在隐变量的情况下具有很好的效果，所以在贝叶斯网络中也有着广泛的应用。
第六章 bayes判别分析+ 举例
学 习 目 的
本章只介绍判别分析的几种最基本的方法： 贝 叶斯判别、距离判别及费歇判别．学习本章，要密 切联系实际， 着重理解判别分析的基本思想方法及 具体实现步骤，了解几种不同判别分析方法的优、 缺点及应用背景．
第六章
判 别 分 析
贝 贝 叶 叶 斯 斯 判 判 别 别
距 离 判 别 费 歇 判 别 费 歇 判 别
i =1
给定 R 的一个划分 R = ( R1 , R2 ,
Ri ∩ R j = φ (i ≠ j , i, j = 1,2,
, Rk ) ， 即 ∪ Ri =R m ，
i =1
k
, k) ， 由 R 规 定 的 判 别 准
空间 R m 的一个分划（有时也称为判别） 。即
R m = {R1 , R2 | R1 ∪ R2 = R m , R1 ∩ R2 = φ }
由 R 规定的判别准则如下： 如果 x 落在 R1 内，则判其来自总体 π 1 ； 如果 x 落在 R2 内，则判其来自总体 π 2 。 给定分划的损失函数及平均损失 设 C (1 | 2) 为样品 x 来自总体 π 2 而误判为总体 这 其 π 1 的损失， 一 误 判 的 概 率 记 为 P (1 | 2 , R ) ， 中 R = ( R1 , R2 ) ； (2 | 1) 为样品 x 来自总体 π 1 而误判 C 于是有 为总体 π 2 的损失，误判的概率记为 P(2 | 1, R) 。
R m 的任一划分，即
（6-4）
* * 证明：设 R = ( R1 , R2 ) 由（6-4）给出， R * = ( R1 , R2 ) 为
* * * * R1 ∪ R2 = R m ， R1 ∩ R2 = φ 。
g(R1 , R2 ) = q1C(2 | 1) P(2 | 1, R) + q2 C(1 | 2) P(1 | 2, R)
贝叶斯学习
贝叶斯学习目录介绍贝叶斯定理编辑本段介绍贝叶斯学习是利用参数的先验分布和由样本信息求来的后验分布，直接求出总体分布。
贝叶斯学习理论使用概率去表示所有形式的不确定性,通过概率规则来实现学习和推理过程。
贝叶斯学习的结果表示为随机变量的概率分布,它可以理解为我们对不同可能性的信任程度。
据介绍，这种技术在分析故障信号模式时，应用了被称为“贝叶斯学习”的自动学习机制，积累的故障事例越多，检测故障的准确率就越高。
根据邮件信号判断垃圾邮件的垃圾邮件过滤器也采用了这种机制！编辑本段贝叶斯定理贝叶斯定理用数学的方法来解释生活中大家都知道的常识形式最简单的定理往往是最好的定理，比如说中心极限定理，这样的定理往往会成为某一个领域的理论基础。
机器学习的各种算法中使用的方法，最常见的就是贝叶斯定理。
贝叶斯定理的发现过程我没有找到相应的资料，不过要相信托马斯.贝叶斯(1702-1761)是通过生活中的一些小问题去发现这个对后世影响深远的定理的，而且我相信贝叶斯发现这个定理的时候，还不知道它居然有这么大的威力呢。
下面用一个小例子来推出贝叶斯定理：已知：有N个苹果，和M个梨子，苹果为黄色的概率为20%，梨子为黄色的概率为80%，问，假如在这堆水果中观察到了一个黄色的水果，问这个水果是梨子的概率是多少。
用数学的语言来表达，就是已知P(apple) = N / (N + M), P(pear) = M/ (N + M), P(yellow|apple) = 20%, P(yellow|pear) = 80%, 求P(pear|yellow).要想得到这个答案，我们需要1. 要求出全部水果中为黄色的水果数目。
2. 求出黄色的梨子数目对于1) 我们可以得到P(yellow) * (N + M), P(yellow) = p(apple) * P(yellow|apple) + P(pear) * p(yellow|pear)对于2) 我们可以得到 P(yellow|pear) * M2) / 1) 可得：P(pear|yellow) = P(yellow|pear) * p(pear) / [P(apple) * P(yellow|apple) + P(pear) * P(yellow|pear)]化简可得：P(pear|yellow) = P(yellow,pear) / P(yellow), 用简单的话来表示就是在已知是黄色的，能推出是梨子的概率P(pear|yellow)是黄色的梨子占全部水果的概率P(yellow,pear)除上水果颜色是黄色的概率P(yellow). 这个公式很简单吧。
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P125 新实例的最可能分类应该通过合并所有假设的 预测得到
– 即 用后验概率来加权
贝叶斯最优分类器(Bayes
v j V hi H
Classifier)： arg max P(v | h ) P(h | D) i i i P126
Optimal
分类结果可以对应于H中不存在的假设
– 每个实例x由属性的合取表示 – 目标函数f(x)从有限集会V中取值 – 学习器根据提供的一系列关于目标函数的训练 样例以及新实例（属性值的元组），给出新实 例的分类
6.9 朴素贝叶斯分类器
vMAP arg max P(v j | a1 , a2 ,, an )
v j V
arg max P(a1 , a2 ,, an | v j ) P(v j )
or no
举例： 学习分类文本
朴素贝叶斯分类器
问题框架
目标：要求计算机学习从大量的在线文本
文档中自动过滤出最相关文档给读者 目标值：like 和 dislike 每个位置上的每个单词定义为一个属性值 简化：
– 每个属性的条件概率相互独立 – 特定单词出现的概率独立于单词所在的位置
全概率法则： 若事件互斥且
P( A ) 1
i 1 i
n
则 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
i 1
n
6.1 简介
贝叶斯学习提供了一种推理的概率手段：
– 即待考查的量遵循某种概率分布 – 且可根据这些概率及已观察到的数据进行推理 – 以作出最优决策
贝叶斯学习为直接操作概率的学习算法提
6.11 贝叶斯信念网
最优贝叶斯分类器要求考虑每个属性与其
他属性的关系，太繁琐，而且不现实 朴素贝叶斯分类器要求每个属性的条件概 率相互独立，限制太严格 折中：贝叶斯信念网
– 比朴素贝叶斯分类器限制少 – 比最优贝叶斯分类器切实可行
基本概率公式
两事件A和B交的概率：
P( A B) P( A | B) P( B) P( B | A) P( A)
两事件A和B并的概率： P( A B) P( A) P( B) P( A B)
给定D时h的后验概率：
P ( D | h) P ( h ) P(h | D) P ( D)
v j V
vNB arg max P(v j ) P(ai | v j )
v j V i
举例： 根据天气情况判 断某人是否会打网球
朴素贝叶斯分类器
是否将要打网球？
4个天气属性
– – – –
Outlook Temperature Humidity Wind
对新实例进行预测：yes
– 对有病的病人，检验的阳性率为95% – 对没病者，检验的阳性率为5% – 该病的发病率为0.5%
现在随便从街上拉一个人做检测，结果阳
性，问此人患此病的概率是多少？
贝叶斯学习
利用贝叶斯法则进行概念学习
– 给定训练数据下求后验概率 – 从先验概率到后验概率的概率改变体现学习效 果
BRUTE-FORCE贝叶斯概念学习
供了基础 贝叶斯学习也为其他算法的分析提供了理 论框架
贝叶斯学习与机器学习的关系
贝叶斯学习算法能够显式计算假设的概率
– 朴素贝叶斯分类器 – 利用朴素贝叶斯分类器分类进行文本文档分类
为理解许多算法提供了有效手段，这些算
法不一定直接操纵概率数据
– 在使用神经网络训练收敛判据时，可以选择比 误差平方和最小原则更合适的交叉熵原则
举例
医疗诊断问题
– 做决定：（1）得癌症；（2）无癌症
诊断依据：某化验测试，测试结果为+或 先验知识：
– 所有人口中此癌症的发生概率为0.008 – 测试有病的准确率为0.98 – 测试无病的准确率为0.97
现在，某病人测试结果为+，问是否可以确
诊此病人有病？
举例
假设在某种病症的化学检测中：
6.8 GIBBS算法
基于给定训练数据，贝叶斯最优分类器可以给
出最好性能 但计算开销很大 GIBBS算法：
– 按照H上的后验概率分布，从H中随机选取假设h – 使用h来处理待分类实例 – 误分类率：最多为贝叶斯最优分类器的两倍
6.9 朴素贝叶斯分类器
实用性很高的算法 学习任务：
贝叶斯学习方法的特性
观察到的每个训练样例可以增量地降低或
增高某假设的估计概率 先验知识可以与观察数据一起决定假设的 最终概率
– 两类先验知识：候选假设的先验概率；每个可 能假设在可观察数据中的概率分布
允许假设做出不确定性的预测
新实例可以由多个假设的概率加权和确定
重要的算法评价理论依据
1. 对于H中每个假设h，计算后验概率 2. 输出有最高后验概率的假设hMAP
贝叶斯最优分类器
前面讨论问题：给定训练数据，最可能的
假设是什么 需讨论的问题：给定训练数据，对新的实 例的最可能分类是什么
– 可以直接利用MAP假设来分类新实例 – 也有更好的算法
6.7 贝叶斯最优分类器
MAP假设分类的问题
P ( D | h) P ( h ) P(h | D) P ( D)
公式分析
P(h|D)称为后验概率，相对于先验概率
hMAP arg max P(h | D) arg max P( D | h) P(h)
hH hH
如果D独立于h时被观察到的可能性越大，
那么D对h的支持度也越小 如果h的先验概率越大，则在数据D的条件 下出现h的可能性也越大 求每一假设h的P(h|D)，取其中最大者， 为MAP假设（maximum a posteriori数据集D，确定假设空间H中的最
佳假设 什么是最佳假设？
– 在给定数据集D的基础上，H中不同假设里发生 概率最大（最可能发生）的一个
贝叶斯法则可以通过直接计算找到这种最
可能性
贝叶斯公式
P(h)：h的先验概率(prior
probability)， 反映了事先拥有的关于h的背景知识 P(D)：得到的训练数据D的先验概率 P(D|h)：若h成立，则观察到D的概率 P(h|D)：给定训练数据D时，h成立的概率