(3份试卷汇总)2019-2020学年河南省驻马店市高二数学下学期期末质量检测试题
驻马店市名校2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析
驻马店市名校2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，根据题意得到0x >时，函数()g x 单调递增，求得()()11()g e g g e>>，再由函数的奇偶性得到()()b ef e g e =--=，即可作出比较，得到答案．【详解】由题意，令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+， 因为当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，所以当0x >时，()()0f x xf x '+>，即当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 因为11e e >>，所以()()11()g e g g e>>， 又由函数()f x 为奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 所以()()b ef e g e =--=，所以b c a >>，故选D ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数()()g x xf x =，利用导数求得函数()g x 的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．3．已知函数2()2f x x mx =++，R x ∈，若方程2()|1|2f x x +-=在(0,2)上有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5(,1)2-- B ．7(,1]2-- C ．7(,1)2--D ．5(,1]2-- 【答案】C 【解析】 【分析】对x 的范围分类，即可将“方程2()|1|2f x x +-=在(0,2)上有两个不等实根”转化为“1mx =-在(]0,1x ∈内有实数解，且方程2210x mx +-=的正根落在()1,2内”，记()221g x x mx =+-，结合函数零点存在性定理即可列不等式组()()1020101g g m ⎧⎪<⎪>⎨⎪-⎪<≤⎩，解得：712m -<<-，问题得解．【详解】当(]0,1x ∈时，2()|1|2f x x +-=可化为：()22212x mx x ++--=整理得：1mx =-当()1,2x ∈时，2()|1|2f x x +-=可化为：()22212x mx x +++-=整理得：2210x mx +-=，此方程必有一正、一负根. 要使得方程2()|1|2f x x +-=在(0,2)上有两个不等实根，则1mx =-在(]0,1x ∈内有实数解，且方程2210x mx +-=的正根落在()1,2内. 记()221g x x mx =+-，则()()1020101g g m ⎧⎪<⎪>⎨⎪-⎪<≤⎩，即：2108210101m m m ⎧⎪+-<⎪+->⎨⎪-⎪<≤⎩，解得：712m -<<-.故选C 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题．4．已知命题p ：函数()20.5log 2y x x a =++的值域为R ；命题q ：函数()52xy a =--是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．2a <C ．12a <<D ．1a ≤或2a ≥【答案】C 【解析】 【分析】分别求命题p 为真命题时a 的范围，命题q 为真命题时a 的范围；根据p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，得到命题p ，q 中有一个真命题，一个假命题，分命题p 为真命题且命题q 为假命题和命题q 为真命题且命题p 为假命题两类求出a 的范围． 【详解】解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数， 故二次函数22x x a ++的判别式440a ∆=-， 从而1a ；命题q 为真时，521a ->解得2a <．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题． 若p 为真，q 为假时，21a a ≥⎧⎨≤⎩，无解； 若p 为假，q 为真时，12a a >⎧⎨<⎩，解得12a <<；综上可得12a <<， 故选：C ． 【点睛】本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题． 5．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ． 考点：集合的运算6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程20x ax b -+=至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A ．方程20x ax b -+=没有实根B ．方程20x ax b -+=至多有一个实根C ．方程20x ax b -+=恰好有两个实数根D ．方程20x ax b -+=至多有两个实根【答案】C 【解析】 【分析】由二次方程实根的分布，可设方程20x ax b -+=恰好有两个实根． 【详解】证明“设a ，b 为实数，则方程20x ax b -+=至多有一个实根”， 由反证法的步骤可得第一步假设方程20x ax b -+=恰好有两个实根， 故选：C ． 【点睛】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．7．若122n n n n n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为 （ ）A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．x="5,n=4"D ．6,5x n ==【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】122(1)1n nn n n n C x C x C x x +=+++-所以当5,4x n ==时，1224(15)11857n nn n n C x C x C x +++=+-=⨯能被7整除，选C.8．下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．1y x =- B ．1ln y x=C ．22x xy -=-D ．222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩【答案】B 【解析】 【分析】通过对每一个选项进行判断得出答案. 【详解】对于A 选项：函数1y x =-在()0,∞+既不是偶函数也不是减函数，故排除； 对于B 选项：函数1lny x=既是偶函数，又在()0,∞+是减函数； 对于C 选项：函数22xxy -=-在()0,∞+是奇函数且增函数，故排除；对于D 选项：函数222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩在()0,∞+是偶函数且增函数，故排除；故选：B 【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.9．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】A 【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．10．在用反证法证明“已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++>，则,,a b c 中至少有一个大于1”时，假设应为（ ） A ．,,a b c 中至多有一个大于1 B ．,,a b c 全都小于1 C ．,,a b c 中至少有两个大于1 D ．,,a b c 均不大于1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反证法的定义得到答案. 【详解】,,a b c 中至少有一个大于1的反面为,,a b c 均不大于1，故假设应为：,,a b c 均不大于1.故选：D . 【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.11．离散型随机变量X 的分布列为()P X n na ==，1n =，2，3，则()E X =（ ） A ．14a B ．6aC ．73D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由离散型随机变量X 的分布列得a+2a+3a ＝1，从而16a =，由此能求出E （X ）． 【详解】解：∵离散型随机变量X 的分布列为()P X n na ==，123n ＝，，，∴231a a a ++＝，解得16a =，∴()12371236663E X =⨯+⨯+⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A ．34B ．54C ．74D ．34【答案】D 【解析】试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，则11312,,222AD A D A B ===，由余弦定理，得11132cos 24θ+-==，故选D. 考点：异面直线所成的角. 二、填空题：本题共4小题 13．已知随机变量()20,N ξσ～，若()100.3P ξ-<<=，则()1P ξ<=__________．【答案】0.8 【解析】 【分析】直接根据正态分布的对称性得到答案. 【详解】随机变量()20,N ξσ～，故()()()()()10101080.0P P P P P ξξξξξ<=<<≤=+<≤=-<+. 故答案为：0.8. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的灵活运用.14．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________. 【答案】3nn S = 【解析】试题分析：由12n n a S +=可得：12n n n S S S +-=，所以13n nS S +=,则数列{}n S 是等比数列，首项为3，公比为3，所以3nn S =。
河南省驻马店市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
河南省驻马店市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥ D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥3．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．2eC ．2e D ．1e4．若22(0,),(22)8ln x x x x e x a x ∃∈+∞--+-<，则a 的取值范围为 （ ） A ．(13,)e -+∞ B ．3(98ln 3,)e +-+∞ C ．(24,)e -+∞D ．2(248ln 2,)e -+-+∞5．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A．23ff >B ．()21f f<C．()432f f <D ．()()412f f >6．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．967．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有 6个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭8．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥9．若函数32()2f x x ax ax =+++没有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0, 3]B ．(0, 3)C ．(, 0)(3, )-∞+∞D ．(, 0][3, )-∞+∞10．设函数133,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,3]D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD12．函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．0y =B ．20x y -=C ．0x y +=D ．0x y -=二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则ab=________. 14．某地球仪上北纬60︒纬线长度为6cm π，则该地球仪的体积为_______3cm . 15．已知向量(3,2,0),a =(2,1,2)b =，若(+)(),ka b a b ⊥-则实数k 的值为_______．16．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C:2260x y x +-=，直线1l：0x -=，直线2l0y -=以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积. 18．如图所示，在△ABC 中，a ＝b·cos C ＋c·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，在四面体P-ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2 322 52x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为25sinρθ=.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3,5)，圆C与直线l交于,A B两点，求||||PA PB+的值．20．（6分）随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？21．（6分）已知函数()22ln.f x a x x=-()1讨论函数()f x的单调性；()2当0a>时，求函数()f x在区间()21,e上的零点个数.22．（8分）已知2:,21p x R m x x∃∈≤--+；:q方程221x my+=表示焦点在x轴上的椭圆.若p q∧为真，求m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x =，再由导函数的符号判断出函数()g x 的单调性，不等式(1)f x +>2(1)(1)x f x --，构造为()21(1)g x g x +>-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设()()g x xf x =，则()()()()()0g x x f x xf x f x f x ''''=+=+<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，因为(1)f x +>2(1)(1),(0,)x f x x --∈+∞，所以22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，所以()21(1)g x g x +>-，所以211x x +<-，解得2x >．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 2．D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，0f x，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时0f x在(]0,e 上恒成立，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，0f x ，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当1x e a<<时，0f x，所以()f x 在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A 【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于4．D 【解析】 【分析】 【详解】由()22228ln x x x e x a x --+-<，得()22228ln x x x e x x a --+-<，设()()()22228ln 0x g x x x e x x x =--+->，()()()()2282'4240x xg x x e x x e x xx ⎛⎫=-+-=-+> ⎪⎝⎭，当02x <<时，()()'0,g x g x <递减；当2x >时，()()'0,g x g x >递增，()()2min 2248ln 2g x g e ∴==-+-，2248ln 2a e ∴>-+-，故选D.【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的范围. 5．D 【解析】分析：由题意构造函数()()()20f x g x x x=>，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令()()()20f x g x x x =>，则：()()()()()243'2'2'f x x f x xxf x f x g x xx⨯-⨯-==，由()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，可得()'0g x <在区间()0,∞+内恒成立， 即函数()g x 是区间()0,∞+内单调递减， 据此可得：()()12g g >，即()()221212f f >，则()()412f f >.本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 6．D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围． 【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 令F （x ）=f （x ）﹣m=0， 即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14， 当x=12时有最大值，即为f （12）=14， 且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2， 故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2xxe -＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -， 令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣31e ， 故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e，0），∵﹣31e ＞﹣2， ∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法. 8．D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D. 9．A 【解析】 【分析】由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对a 讨论，可得答案． 【详解】∵32()2f x x ax ax =+++，∴()232f x x ax a '++= ，①当0a =时，则()230f x x '≥=，()f x 在R 上为增函数，满足条件；②当0a ≠时，则()2412430a a a a ∆-≤-==，即当03a <≤ 时，()0f x '≥ 恒成立，()f x 在R 上为增函数，满足条件 综上，函数32()2f x x ax ax =+++不存在极值点的充要条件是：03a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题． 10．A【解析】 【分析】讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】当1x ≤时，1()33xf x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得19≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 11．D 【解析】设P 为双曲线右支上一点,1PF =m,2 PF =n,|F 1F 2|=2c ， 由双曲线的定义可得m−n=2a ， 点P 满足12PF PF ⊥,可得m 2+n 2=4c 2， 即有(m−n)2+2mn=4c 2， 又mn=2a 2， 可得4a 2+4a 2=4c 2，即有a ，则离心率 故选：D . 12．D 【解析】分析：由题意，求得()f x '，得到()()0,0f f '，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程； 详解：由题意，函数()cos f x x x =，则()cos sin f x x x x =-'， 所以(0)1f '=，即切线的斜率为1k =，又()00f =，所以切线过点(0,0)，所以切线的方程为y x =，即0x y -=，故选D ．点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．1 【解析】 【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得ab的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==， 而各项的二项式系数和为5232b ==，∴1ab=， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 14．288π 【解析】 【分析】地球仪上北纬60︒纬线的周长为6cm π，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积． 【详解】作地球仪的轴截面，如图所示：因为地球仪上北纬60︒纬线的周长为6cm π， 所以263r r ππ=⇒=，因为60AOB ∠=，所以AOC 30∠=， 所以地球仪的半径26R r ==， 所以地球仪的体积33462883V cm π=⨯=， 故答案为：288π． 【点睛】本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题． 15．15【解析】【分析】由两向量垂直得数量积为0，再代入坐标运算可求得k. 【详解】由题意可得22()()(1)0ka b a b ka k a b b +⋅-=+-⋅-=，代入坐标可得510k -=，解得15。
河南省驻马店市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析
河南省驻马店市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生人，女生人 B ．男生人，女生人 C ．男生人，女生人 D ．男生人，女生人2．在复平面内，复数(),z a bi a R b R =+∈∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnnz r i rn i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦，则()1013i-+=（ ）A ．102410243i -B ．102410243i -+C ．5125123i -D ．5125123i -+3．已知点()1,0M -和()1,0N ，若某直线上存在点P ，使得4PM PN +=，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①260x y -+=； ②0x y -=； ③210x y -+=； ④30x y +-=． 其中是“椭型直线”的是（ ） A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④4．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，设函数()1x g x e--=，13x，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值756．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈<D ．2,0x R x ∀∈>8．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．9．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==-10．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个B ．30个C ．36个D ．42个11．已知函数()(,0)x f x e ax b a R b =--∈>，且对任意的x ∈R ，都有()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为（） A ．eB ．2eC ．2eD ．22e12．若圆()()221:3425O x y -+-=和圆()()()2222:28510O x y r r +++=<<相切，则r 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某大学宿舍三名同学A ，B ，C ，他们来自北京、天津、上海三个不同的城市，已知C 同学身高比来自上海的同学高；A 同学和来自天津的同学身高不同；B 同学比来自天津的同学高，则来自上海的是________同学. 14．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．15．已知函数()cos()5f x x π=-的对称轴方程为__________．16．若幂函数()y f x =的图像经过点49,316⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本. （i ）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：0k2.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.18．某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在[)50,60内的植物有8株,在[]90,100内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ,y 的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在[]80,100内的植物中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在[)80,90内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在[]80,100内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在[]80,100内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜? 19．（6分）阅读： 已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.20．（6分）已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值． 21．（6分）已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.22．（8分）如图，已知三点A ，P ，Q 在抛物线2:8C x y =上，点A ，Q 关于y 轴对称（点A 在第一象限）， 直线PQ 过抛物线的焦点F .（Ⅰ）若APQ ∆的重心为8,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，求直线AP 的方程；（Ⅱ）设OAP ∆，OFQ ∆的面积分别为2212,S S ，求2212S S +的最小值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】试题分析：设男学生有人，则女学生有人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案,，，∴,故选B ．考点：排列、组合的实际应用． 2．D 【解析】 【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】()1010101022202013132(cos sin )2(cos sin )2()512512333332i i i i ππππ⎛⎫-=+=+=-=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力. 3．C 【解析】 【分析】先确定动点P 的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项. 【详解】由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为22143x y +=．对于①，把 2 60x y -+=代入22143x y +=，整理得229120y y -+=，由2(9)4212150∆=--⨯⨯=-<，知 2 60x y -+=不是“椭型直线”；对于②，把y x =代入22143x y +=，整理得2127x =，所以0x y -=是“椭型直线”； 对于③，把210x y -+=代入22143x y +=，整理得2191680x x +-=，由216419(8)0∆=-⨯⨯->，知210x y -+=是“椭型直线”；对于④，把30x y +-=代入22143x y +=，整理得2724240x x -+=，由2(24)47240∆=--⨯⨯<，知30x y +-=不是“椭型直线”． 故②③是“椭型直线”． 故：C ． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 与()g x 的图象都关于直线1x =对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称， 由函数()1x g x e--=可知，函数()g x 的图象关于直线1x =对称，画出函数()f x 与()g x 的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为1234,,,x x x x ， 由图可知，14322,2x x x x +=+=，所以函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 5．A 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】 因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题. 6．B 【解析】 【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数. 【详解】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，，故，，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题. 7．B 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.考点：1.全称命题；2.特称命题. 8．C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为，所以所求概率为，故选C ．考点：1、条件概率；2、独立事件． 9．A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】 因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．B 【解析】 【分析】利用分类计数原理，个位数字为0时有24A ；个位数字为2或4时均为1133C C ⋅，求和即可. 【详解】 由已知得：个位数字为0的偶数有24A ，个位数字为2的偶数为1133C C ⋅， 个位数字为4的偶数有1133C C ⋅，所以符合条件的偶数共有211114333330A C C C C +⋅+⋅=.故选：B 【点睛】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题. 11．B 【解析】【分析】先求出导函数，再分别讨论0a =，0a <，0a >的情况，从而得出ab 的最大值 【详解】由题可得：()xf x e a '=-；（1）当0a =时，则()xf x e b =-，由于0b >，所以()f x 不可能恒大于等于零；（2）当0a <时，则()0xf x e a '=->在x ∈R 恒成立，则函数在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故不可能恒有()0f x ≥；（3）当0a >时，令()0x f x e a '=->，解得：ln x a >，令()0xf x e a '=-=，解得：ln x a =，令()0xf x e a '=-<，解得：ln x a <，故()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，则min ()(ln )ln f x f a a a a b ==--，对任意的x ∈R ，都有()0f x ≥恒成立，即ln 0a a a b --≥，得ln b a a a ≤-，所以2(1ln )()ab a a g a ≤-=；先求()g a 的最大值：由()2(1ln )(12ln )g a a a a a a =--'=-，令()0g a '>，解得：0a <<()0g a '=，解得：a =()0g a '<，解得a >则()g a 在(上所以单调递增，在)+∞上单调递减，所以max ()2eg a g ==；所以ab 的最大值为2e ； 综述所述，ab 的最大值为2e ； 故答案选B 【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。
2019-2020学年河南省驻马店市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年河南驻马店市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）2．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣3x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣3B．0C．﹣1D．14．在下列结论中，正确的是（）A．“x＜2”是“x2﹣5x+6＞0”的必要不充分条件B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的否命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x≠1”D．已知命题p：∀x∈（0，+∞），都有2x2+x﹣1＞0，则￢p：∃x0∈（0，+∞），使x02+x0﹣1≤05．朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人．其大意为“官府陆续派遣1624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则在该问题中的1624人全部派遣到位需要的天数为（）A．12B．14C．16D．186．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．77．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y 2.5t4 4.5 A．产品的生产能耗与产量呈正相关B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点（4.5，3.5）D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨8．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知数列{}为“梦想数列”，且b1+b2+b3＝2，则b3+b4+b5＝（）A．18B．16C．32D．369．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝2：：3，则△ABC的最大内角与最小内角的和为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的导函数为f'（x），对∀x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，且f（1）＝e，则不等式f（x）＞e x的解集是（）A．（e，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，e）11．若函数f（x）＝x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2] 12．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足＝0，＝0，则|MN|的最大值为（）A．8B．7C．10D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值为．14．已知曲线y＝2lnx的某条切线过原点，则此切线的斜率为．15．有下列一组不等式：+＞，++＞，+++＞，++++＞，根据这一规律，若第2020个不等式为，则m+n ＝．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝2，a＝2c，则当角C取最大值时，△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分17．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2＝，（n＝a+b+c+d）独立性检验临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.63518．已知{a n}是单调递减的等比数列，，且a1，，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前50项和T50．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围．20．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，3），B（3，3），直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：k AM﹣k BM＝﹣2．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于﹣3，证明：直线l过定点．21．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣ax2+x+1（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞5﹣2ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线C2上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线C3．（1）求曲线C2、C3的直角坐标方程；（2）直线C1与曲线C3相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若两函数y＝x2+2x+2与y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．1．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．解：复数（1﹣i）（a+i）＝a﹣ai+i﹣i2＝（a+1）+（1﹣a）i，对应点（a+1，1﹣a）在第四象限，则，解得：a＞1．∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故选：C．2．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b＝a，再由近线方程y＝±x，即可得到所求方程．解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e＝＝2，即有c＝2a，由c2＝a2+b2，可得b2＝3a2，即b＝a，则渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣3x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣3B．0C．﹣1D．1【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全负相关，其相关系数为﹣1．解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在一条直线y＝﹣3x+1上，那么这组样本数据完全负相关，且相关系数为﹣1．故选：C．4．在下列结论中，正确的是（）A．“x＜2”是“x2﹣5x+6＞0”的必要不充分条件B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的否命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x≠1”D．已知命题p：∀x∈（0，+∞），都有2x2+x﹣1＞0，则￢p：∃x0∈（0，+∞），使x02+x0﹣1≤0【分析】利用充要条件判断A，复合命题的真假判断B，四种命题的逆否关系判断C，命题的否定判断D．解：“x＜2”能够推出“x2﹣5x+6＞0”，反之不成立，所以“x＜2”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，所以A不正确；若p∨q为真命题，则p，q至少一个为真命题，所以B不正确；命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1”，所以C不正确；已知命题p：∀x∈（0，+∞），都有2x2+x﹣1＞0，则￢p：∃x0∈（0，+∞），使x02+x0﹣1≤0，满足命题的否定形式，正确；故选：D．5．朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人．其大意为“官府陆续派遣1624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则在该问题中的1624人全部派遣到位需要的天数为（）A．12B．14C．16D．18【分析】根据题意设每天派出的人数组成数列{a n}，分析可得数列{a n}是首项a1＝64，公差d＝8的等差数列，设1624人全部派遣到位需要的天数为n，利用等差数列前n项和公式能求出结果．解：根据题意设每天派出的人数组成数列{a n}，分析可得数列{a n}是首项a1＝64，公差d＝8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要的天数为n，则64n+×8＝1624，由n为正整数，解得n＝14．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i＝1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解：当i＝1时，S＝1+1﹣1＝1；当i＝2时，S＝1+2﹣1＝2；当i＝3时，S＝2+3﹣1＝4；当i＝4时，退出循环，输出S＝4；故选：C．7．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y 2.5t4 4.5 A．产品的生产能耗与产量呈正相关B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点（4.5，3.5）D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【分析】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果．解：由题意，＝＝4.5，∵＝0.7x+0.35，∴＝0.7×4.5+0.35＝3.5，∴t＝4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5＝3，故选：B．8．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知数列{}为“梦想数列”，且b1+b2+b3＝2，则b3+b4+b5＝（）A．18B．16C．32D．36【分析】根据题意，由“梦想数列”的定义可得“梦想数列”为公比为的等比数列，进而可得若数列{}为“梦想数列”，则{b n}为公比为3的等比数列，进而由等比数列的性质分析可得答案．解：根据题意，梦想数列{a n}满足，即a n＝3a n+1，数列{a n}为公比为的等比数列，若数列{}为“梦想数列”，则＝3×，变形可得b n+1＝3b n，即数列{b n}为公比为3的等比数列，若b1+b2+b3＝2，则b3+b4+b5＝9（b1+b2+b3）＝18；故选：A．9．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝2：：3，则△ABC的最大内角与最小内角的和为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理可得a，b，c三边的关系，由大边对大角可得A最小，C最大；由余弦定理可得B的值，进而由三角形内角和为π可得A+C的值．解：因为sin A：sin B：sin C＝2：：3，由正弦定理可得a：b：c＝2：：3，设a＝2k，b＝k，c＝3k，k＞0三角形中由大边对大角可得C角最大，A角最小，由余弦定理可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），所以B＝，所以A+C＝π﹣B＝π，故选：D．10．若函数f（x）的导函数为f'（x），对∀x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，且f（1）＝e，则不等式f（x）＞e x的解集是（）A．（e，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，e）【分析】构造函数g（x）＝，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（1）＝e，求得g（1）＝1，继而求出答案．解：∵∀x∈R，都有f′（x）＜f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＜0，于是有（）′＜0，令g（x）＝，则有g（x）在R上单调递减，∵不等式f（x）＞e x，即＞1，即g（x）＞1，∵f（1）＝e，∴g（1）＝1，∴x＜1，故选：B．11．若函数f（x）＝x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6﹣a2）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．解：由题意f（x）＝x3﹣3x，所以f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）＝﹣1+3＝2，x3﹣3x＝2，解得x＝2，所以由题意应有：，解得﹣＜a≤﹣2．故选：D．12．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足＝0，＝0，则|MN|的最大值为（）A．8B．7C．10D．9【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义和向量垂直的条件，结合圆的性质和三角形的中位线定理，以及四点共线的性质，可得所求最大值．解：椭圆C：＝1中的a＝5，b＝4，c＝＝3，可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝6，由＝0，＝0，可得MP⊥MF1，NP⊥NF2，即有M，N分别在以PF1，PF2为直径的圆上，由右图可得CD为△PF1F2的中位线，可得|CD|＝|F1F2|＝c＝3，当M，C，D，N四点共线时，可得|MN|取得最大值，且为3+5＝8．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值为1．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3×1﹣2＝1．故答案为：1．14．已知曲线y＝2lnx的某条切线过原点，则此切线的斜率为．【分析】先对函数y＝2lnx求导，然后设切点为（t，2lnt），根据切线过原点求出t，再求出斜率．解：由y＝2lnx，得，设切点为（t，2lnt），则切线斜率为，∵切线过原点，∴切线方程为，代入点（t，2lnt），得，∴t＝e，∴切线斜率．故答案为：．15．有下列一组不等式：+＞，++＞，+++＞，++++＞，根据这一规律，若第2020个不等式为，则m+n＝6064．【分析】由题可知，第k个式子的首项的分母为m＝k+2，末项的分母为n＝（k+2）+k ＝2k+2，故m+n＝3k+4，代入k的值即可得解．解：m＝2020+2＝2022，n＝m+2020＝4042，∴m+n＝2022+4042＝6064．故答案为：6064．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝2，a＝2c，则当角C取最大值时，△ABC的面积为．【分析】由余弦定理可得cos C，再利用基本不等式的性质可得C的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：b＝2，a＝2c，∴在△ABC中，由余弦定理可得：cos C＝＝＝（+）≥2＝，C∈（0，π），c＝时取等号．此时，a＝，∴0＜C≤，∴当C取最大值时，△ABC的面积S＝×2×＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分17．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2＝，（n＝a+b+c+d）独立性检验临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；（2）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为；…乙班样本化学成绩前十的平均分为．…甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．…（2）甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优良101625成绩不优良10414总计202040…根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，…∴能在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．…18．已知{a n}是单调递减的等比数列，，且a1，，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前50项和T50．【分析】（1）直接利用数列的通项公式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）设{a n}是公比为q的等比数列，因为，且a1，，a3成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，q＝2，又因为{a n}是单调递减的等比数列，所以，则；（2）＝，∴．故．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合sin A≠0，，可求，进而可求B的值．（Ⅱ）由题设及正弦定理，可求a＝+1，结合30°＜C＜90°，可求，可求范围1＜a＜4，进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以．由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°．（Ⅱ）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°，由（1）知A+C＝120°，所以30°＜C＜90°，故，所以1＜a＜4，从而．因此，△ABC面积的取值范围是．20．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，3），B（3，3），直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：k AM﹣k BM＝﹣2．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于﹣3，证明：直线l过定点．【分析】（1）设M（x，y），结合A，B坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设，，m，n≠﹣3，通过k AP•k AQ＝﹣3，得到mn＝3（m+n）﹣36，求出直线l的方程：，说明直线l恒过定点．解：（1）设M（x，y），又A（﹣3，3），B（3，3），则，可得x2＝3y，因为x≠±3，所以M的轨迹C的方程为x2＝3y（x≠±3）；（2）证明：设，，m，n≠﹣3，又A（﹣3，3），可得，又因为k AP•k AQ＝﹣3即有mn﹣3（m+n）＝﹣36，即mn＝3（m+n）﹣36，由直线l的斜率为，可得直线l的方程为，化为，又因为mn＝3（m+n）﹣36，可得，可得直线l恒过定点（3，12）．21．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣ax2+x+1（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞5﹣2ln2．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性，确定a的范围即可；（Ⅱ）求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．解：（Ⅰ）∵f（x）＝﹣lnx﹣ax2+x+1，∴令g（x）＝2ax2﹣x+1（x＞0）则△＝1﹣8a∵a＞0，∴对称轴①当时，△≤0，g（x）≥0，∴f'（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）单调递减．②当时，△＞0，方程2ax2﹣x+1＝0有两个不相等的正根x1，x2不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）∪（x2+∞）时，f'（x）＜0，当x∈（x1，x2））时，f'（x）＞0，这时f（x）不是单调函数．综上，a的取值范围是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，f（x）有极小值点x1和极大值x2，且，，＝＝，令，则当时，，∴g（a）在单调递减，所以，故f（x1）+f（x2）＞5﹣2ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线C2上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线C3．（1）求曲线C2、C3的直角坐标方程；（2）直线C1与曲线C3相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【分析】（1）把曲线C2的极坐标方程变形，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的直角坐标方程，然后利用平移变换得到C3的直角坐标方程；（2）求出P点的直角坐标，把代入x2+（y﹣2）2＝4，得关于t的一元二次方程，由判别式大于0求解α的范围．再由根与系数的关系结合2|EF|＝|PE|+|PF|列式求得α值，得到直线C1的斜率，结合C1过点P（﹣2，0），由直线方程的点斜式得答案．解：（1）由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，又ρ2＝x2+y2，∴x2+y2+3y2＝4，即C2的直角坐标方程为：．设P（x'，y'）是曲线C2上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为Q（x，y），则，又，∴，则C3的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4；（2）点P的直角坐标为（﹣2，0），将代入x2+（y﹣2）2＝4，得，∵相交于不同两点，∴△＝＝＞0，∴＞．∵α∈[0，π），∴α∈（0，）．设方程的两个实数根为t1，t2，则＞0，t1t2＝12＞0．由参数t的几何意义知：|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝，|EF|＝|t1﹣t2|＝＝，∴2|EF|＝|PE|+|PF|，∴＝，∴，又α∈（0，），∴，则直线C1的斜率k＝tan＝，又直线C1过点P（﹣2，0），∴直线C1的普通方程为x﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若两函数y＝x2+2x+2与y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m＝5代入f（x）中，然后根据f（x）＞1，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出函数y＝x2+2x+2的最小值和f（x）的最大值，然后根据两函数恒有公共点可知m﹣2≥1，再求出m的取值范围．解：（1）当m＝5时，，由f（x）＞1，得或或，∴或﹣1≤x＜1或x∈∅，∴不等式解集为；（2）由函数y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1知，该函数在x＝﹣1处取得最小值1，∵，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，在[﹣1，1]上递减，在（1，+∞）上递减，故f（x）在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，∴要使二次函数y＝x2+2x+2与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥1，即m≥3，∴m的取值范围为[3，+∞）．。
2020年河南省驻马店市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2020年河南省驻马店市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量X 的概率分布如下表，则()10P X =（ ）A ．93 B ．103 C ．93 D ．103 【答案】C 【解析】由分布列的性质可得：9239921(1)2222133(10)1()113333313P ξ-=-++++=-=-L ＝ ，故选C. 2．函数()()21x f x x e =-（e 为自然对数的底数）的递增区间为（ ）A ．(),-∞+∞B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()21x f x x e +'=,由于0x e >恒成立,所以当()0f x ¢>时,12x >-,则增区间为. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,故选择D. 3．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．16D ．16【答案】A 【解析】试题分析：该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ===h =，111922B D FE S =⨯=梯形，所以该几何体的表面积为91122(4)242120222S =+⨯⨯+-+⨯+⨯=，故选A ．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积．4．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案. 【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分， 故选：A. 【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.5．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．r 2<r 1<0 B ．r 2<0<r 1C ．0<r 2<r 1D ．r 2＝r 1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较.详解：Q 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，可得：变量Y 与X 之间成正相关，因此10r >；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)， 可得：变量V 与U 之间成负相关，因此20r <∴第一组数据的系数大于0，第二组数据的相关系数小于0.故选B.点睛：本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力. 6．曲线3 2y x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--【答案】C 【解析】 【分析】求导，把0x =分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程. 【详解】32 2'31y x x y x =-+⇒=-将0x =代入导函数方程，得到1k =- 将0x =代入曲线方程，得到切点为：(0,2) 切线方程为：2y x =-+ 故答案选C 【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.7．设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，那么甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：若x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，则2(2)440a -⨯<，解得22a -<<；42log a y x -=（）在(0,)+∞上递减，则0421a <-<，解得322a <<，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.8． “1m >”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解得方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线的m 的范围即可解答.【详解】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线⇔1050m m ->⎧⎨-<⎩,解得1<m<5, 故选B. 【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意2.5x m -前是加号9．将曲线sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换'31'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩后得到的曲线方程为A ．'2sin '4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．1'sin '24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1'sin 9'24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．'2sin 9'4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由'31'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩可得：1,32x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化简即可求出答案. 【详解】由伸缩变换，得1,32x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'代入πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，即1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭．选B.【点睛】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题. 10．已知()215P AB =，()25P A =，那么()|P B A 等于（ ） A ．475 B ．13C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式得出()()()|P AB P B A P A =可计算出结果.【详解】由条件概率公式得()()()251|1523P AB P B A P A ==⨯=，故选B.【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点分别为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且⊥OM MF ，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ( ) ABCD【答案】A 【解析】由于焦点到渐近线的距离为b ,故,8,OF c OM a FM b ====,依题意有1416,4,2OM MF b b c ⋅====所以离心率为c a ==【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为(),0c -,双曲线的渐近线为0bx ay -=,故双曲线焦点到渐近线bcb c==,故焦点到渐近线的距离为b . 12．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（） A ．5400海里 B ．2700海里C ．4800海里D ．3600海里【答案】D 【解析】 【分析】求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。
河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末2份数学质量检测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）．A ．()219πcm +B ．()2224πcm +C ．()210624πcm ++D ．()213624πcm ++2．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250B ．250C ．-500D ．5003．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．12B 2C ．14D ．244．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．16162+B ．32162+C ．48D ．6435．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)6．已知点P 在椭圆221123x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF 等于（ ） A ．7B ．5C ．4D ．37．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为511，则输入n 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．48．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D 、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）A ．496种B ．480种C ．460种D ．400种10．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
河南省驻马店市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
河南省驻马店市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A 、B 、C 、D 、E 、F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且C 、D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A ．72B ．84C ．96D ．1202．将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ ） A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种3．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．192种 B ．216种 C ．240种D ．288种5．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）．A ．B ．C ．D ．6．32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（） A ．319B ．316C ．313D ．3107．若X 是离散型随机变量，12()3P X x ==，21()3P X x ==，又已知3(4)E X =，2()9D X =，则12x x -的值为（ ） A ．53B ．23C ．3D ．18．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”9．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示： 根据表中数据得()2277520450530015.96825750320455K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由210.828K ≥断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表：A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.00110．曲线1y x =74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）．A ．51680x y ++=B ．51680x y -+=C ．51680x y +-=D ．51680x y --=11．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)61B ．)61C ．125D ．24512．过点(4,5)且与2230x y -+=平行的直线l 与圆C ：2242110x y x y +-+-=交于M ，N 两点，则||MN 的长为（ ）AB ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设复数z 满足32=-+zi i ，则z ＝__________. 14．已知函数2(),||2x f x x R x +=∈+，则()22(34)f x x f x -<-的解集是______.15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足NF =,则NMF ∠ =_____. 16．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线m 和圆C 的极坐标方程；（2）设直线m 和圆C 相交于点A 、B 两点，求ABC ∆的周长． 18．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．19．（6分）已知在等比数列{}n a 中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（6分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求函数()(1)2g x f x x =--+的最大值； （Ⅱ）已知0a b <<，求证()()222()a b a f b f a a b -->+．21．（6分）现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： （Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（Ⅱ）利用（I ）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（Ⅲ）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y b x a ∧∧∧=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑22．（8分）已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：先排第一个节目，同时把C 、D 捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A 还是排B 分类，如果第一个是B ，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A ，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有242132423384A A A C A +=．故选B ．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列． 2．D 【解析】试题分析：当甲一人住一个寝室时有：种，当甲和另一人住一起时有：，所以有124860+=种.考点：排列组合. 3．C 【解析】 【分析】由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。
2019-2020学年驻马店市名校数学高二下期末检测试题含解析
2019-2020学年驻马店市名校数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ． B ． C ． D ．2．命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A ．00x ∃≤，使得20010x x ++≤B ．0x ∀≤，使得210x x ++>.C ．0x >，使得210x x ++>D ．00x ∃>，使得20010x x ++≤ 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞4．设有下面四个命题1:p 若1x >，则0.30.3x >；2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =；3:p 若ln 1x x +>，则1x >；4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．用数学归纳法证明“533*1232n n n n N +++++=∈L ，”，则当1n k =+时，应当在n k =时对应的等式的左边加上（ ）A ．3k 1+B ．()31k +C ．()()()333k 1k 21k ++++++LD ．546．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A ．882100.80.2C ⨯⨯B ．820.80.2⨯C ．282100.20.8C ⨯⨯D ．820.20.8⨯7．在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(3,0)f ＋(2,1)f ＋(1,2)f ＋(0,3)f ＝( )A ．45B ．60C ．120D ．2108．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ= B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴9．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”时，要做的假设是 A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6 11．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 12．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60o ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．143π B ．163π C ．409π D ．529π 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．二项式3n x x ⎛ ⎝的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答). 14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．15．已知直线:360l x -+=与圆2212x y +=相交于A 、B 两点，则∠AOB 大小为________． 16．若92()a x x+的二项展开式中的6x 的系数为9，则a =__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数ln()()x a f x x-=， (1)若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；(2)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线不直线0x y -=平行，求a 的值；(3)若0x >，证明：ln(1)1x x x x e +>-(其中 2.71828e =…是自然对数的底数)． 18．2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（I ）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[)0,5，[)5,10，…，[)30,35，]35,40⎡⎣，完成频率分布直方图；（II ）以（I ）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（III ）以（I ）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.男生 女生 总计 累计观看时间小于20小时累计观看时间小于20小时总计300 附：（）.19．（6分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（Ⅱ）求的分布列及期望20．（6分）已知函数()()()2122f x x x =--． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．21．（6分）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为313812800080y x x =-+(0120)x <<． （1）当64x =千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？（2）若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？22．（8分）如图，P 是圆锥的顶点，AB 是底面圆O 的一条直径，OC 是一条半径.且60AOC ∠=︒，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线PB 与AC 所成角的大小.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】 根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。
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一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
【分析】
求得区域 的面积，x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积 ，由几何概型的计算公式，可得答案．
【详解】
根据题意，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
（2）求 的范围.
20．（6分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：
月份
5
6
7
8
9
10
11
12
研发费用x（百万元）
（1）求 关于 的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时 的值.
22．（8分）已知直线 是抛物线 的准线，直线 ，且 与抛物线 没有公共点，动点 在抛物线 上，点 到直线 和 的距离之和的最小值等于2.
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）点 在直线 上运动，过点 做抛物线 的两条切线，切点分别为 ，在平面内是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，请求出定点 的坐标，若不存在，请说明理由．
A． B．
C． D．
8．抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系 中，质点 间隔3分钟先后从点 ，绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 与 的纵坐标之差第4次达到最大值时， 运动的时间为（ ）
A．37.5分钟B．40.5分钟C．49.5分钟D．52.5分钟
A． B． C． D．
4． （ 为虚数单位），则复数 对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
AБайду номын сангаас B． C． D．
6．己知函数 ，则
A． B． C．7D．
7．函数 在其定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 的图象为（ ）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是 ，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是 ，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X.
2
3
6
10
21
13
15
18
产品销量与（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5
（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系
(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);
(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；
（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量, ,则每位员工每日奖励200元； ,则每位员工每日奖励300元； ,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布 ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.
（1）求X的所有可能取的值；
（2）求X的分布列和数学期望．
18．已知在 中， ， ， .
（1）求边 的长；
（2）设 为 边上一点，且 的面积为 ，求 .
19．（6分）在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求此常数项是第几项；
表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为 ，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是 ；
故选C．
【点睛】
本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题
13．曲线 在P（1，1）处的切线方程为_____．
14．正四棱柱 中， ，则 与平面 所成角的正弦值为__________．
15．已知 ，则实数 _______.
16．已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 的坐标为 ，则 取最大值时，点 的坐标为．
参考数据: ， .
参考公式:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ， .若随机变量X服从正态分布 ,则 ， .
21．（6分）如图，已知 、 两个城镇相距20公里，设 是 中点，在 的中垂线上有一高铁站 ， 的距离为10公里.为方便居民出行，在线段 上任取一点 （点 与 、 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到 处，再铺设快速路分别到 、 两处.因地质条件等各种因素，其中快速路 造价为1.5百万元/公里，快速路 造价为1百万元/公里，快速路 造价为2百万元/公里，设 ，总造价为 (单位：百万元).
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区域 内任意取一点 ，则 的概率是（ ）
A．0B． C． D．
2．记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （ ）
A．2B．-4C．2或-4D．4
3．定义在 上的函数 满足下列两个条件：（1）对任意的 恒有 成立；（2）当 时， ；记函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（）
10．设离散型随机变量 的概率分布列如表：
1
2
3
4
则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．利用数学归纳法证明不等式 的过程，由 到 时，左边增加了（ ）
A．1项B． 项C． 项D． 项
12．湖北省2019年新高考方案公布，实行“ ”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ）