高中数学专题——二项分布

二项分布

【知识网络】

1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；

2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；

3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率

)

(B A P 等于 （ ）

A 、9160

B 、21

C 、185

D 、21691

答案：A 。

解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91

P AB P B P AB P A B P B =

+?+??==???=∴==。

（2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )

A.12584

B. 12581

C. 12536

D. 12527

答案：B 。解析：

12581)53(52)53(333225=

+?C C 。 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71

，现在甲、乙两人从

袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）

A 、73

B 、356

C 、351

D 、3522

答案：D 。解析：设白球有n 个，227

1

,3,7

n

C n C

=

=∴P 甲=

34334321227765765435+??+???=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确

到0.01) 。

答案：0.74。解析：

74.08.02.08.0)(5

55445≈?+??=C C A P 。 （5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第

一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。

答案：95

。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则

665(),()10109P A P AB ?=

=?，∴(|)()/()5/9P A B P AB P A ==。

例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为

()

1212,P P P P >，已知该题被甲或

乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求: （1）

12, P P ;

（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .

答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A 和B ，则

12(),()P A P P B P ==，

所以()()

()()0.80.3P A B P A B P A B P A B ??+?+?=???=??，即()()12211212110.80.3P P P P P P P P ?-?+-?+?=???=??

解之得120.6,0.5P P ==

（

2

）

(0)0.40.50.2

P X ==?=，

(1)0.60.50.40.50.5

P X ==?+?=，

(2)0.60.50.3P X ==?=

所以00.20.510.32 1.1EX =?+?+?=。

例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下

发芽成功的概率为31

，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实 验至少有3次发芽成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多 不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望． 答案：解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则

P （X=3）=33

251240()()33243C ?= 4451210(4)()33243P X C ==?=

555121(5)()33243P X C ==?=

所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P

4010151243243243243=

++=

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5

1(1)3P ξ==

212(2)339P ξ==?= 2214

(3)()3327P ξ==?=

3218(4)()3381P ξ==?= 4216

(5)()1381P ξ==?=

所以ξ的分布列为

ξ的数字期望81211

8116581842743922311=

?+?+?+?+?=ξE

例4：设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，

飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数1t p e λ-=-，其中t 为发

动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。

答案：解：设飞机A 能安全飞行的概率为1P

，飞机B 能安全飞行的概率为2P ，则 2

2221211)1()1(p p C p p C P -=-+-=

43434443342341)1(41)1(1p p p p p p C p p C P +-=---=---=

)

1)(31

(3)1)(13()143(43223223412--=--=+-=+-=-p p p p p p p p p p p p P P

又 t

e

p λ--=1 所以

)

32

()1(3212-??-=----t t t e e e P P λλλ 当

23ln

1

λ

>

t 时，32

0<<-t e λ，012<-P P ，12P P <； 当

23ln

1

λ

=

t 时，32

=-t e λ，012=-P P ，12P P =； 当

23ln

1

λ

<

t 时，32

>-t e λ，012>-P P ，12P P >；