茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)章节题库(方差分析与回归分析)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 方差分析与回归分析)【圣才出品】
第8章 方差分析与回归分析一、方差分析1．在一个单因子试验中，因子A有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：表8-1试计算误差平方和s e、因子A的平方和S A与总平方和S T，并指出它们各自的自由度．解：此处因子水平数r＝3，每个水平下的重复次数m＝4，总试验次数为n＝mr＝12．首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：T1＝8＋5＋7＋4＝24．T2＝6＋10＋12＋9＝37．T3＝0＋1＋5＋2＝8．T＝T l＋T2＋T3＝24＋37＋8＝69．误差平方和S e由三个平方和组成：于是而2．在一个单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8．那么误差平方和、A的平方和及总平方和的自由度各是多少？解：此处因子水平数r＝4，总试验的次数n＝5＋7＋6＋8＝26，因而有误差平方和的自由度因子A的平方和的自由度总平方和的自由度3．在单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差σ2的估计值是多少？解：此处因子水平数r＝4，每个水平下的试验次数m＝3，误差平方和S e由四个平方组成，它们分别为于是其自由度为，误差方差σ2的估计值为4．在单因子方差分析中，因子A有三个水平，每个水平各做4次重复试验．请完成下列方差分析表，并在显著性水平α＝0.05下对因子A是否显著作出检验．表8-2 方差分析表解：补充的方差分析表如下所示：表8-3 方差分析表对于给定的显著性水平，查表知，故拒绝域为，由于，因而认为因子A是显著的．此处检验的p值为5．用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示．表8-4 安眠药试验数据在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？解：这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：表8-5于是根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：表8-6在显著性水平下，查表得，拒绝域为，由于故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的差别．此处检验的p 值为6．为研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：每个水平下冲泡l0杯水，外观无差别，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2h后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果统计如下表：表8-7请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？解：我们知道，对数据作线性变换不会影响方差分析的结果，这里将原始数据同时减去240，并作相应的计算，计算结果列入下表：表8-8于是可计算得到三个平方和把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表，并继续计算得到各均方以及F比：表8-9若取查表知，从而拒绝域为，由于．故认为因子A（咖啡因剂量）是显著的，即三种不同剂量对人的作用有明显的差别．此处检验的p值为7．某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响．现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：表8-10（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在下检验这三种方法对含水率有无显著影响；（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间．解：（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：表8-11三个平方和分别为。
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计 替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩． （2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计． 判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉； （2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计． 将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(参数估计)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。
（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。
二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。
三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。
（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。
2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。
3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。
4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第版)-章节题库-第4~8章【圣才出品】
A．有相同的数学期望
B．服从同一离散型分布
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C．服从同一泊松分布
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D．服从同一连续型分布
【答案】C
【解析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，C 项正确。事实上，应用辛钦大数定
律，随机变量序列{Xn，n≥l}必须是“独立同分布且数学期望存在”，A 项缺少同分布条件，
ε＝1，有
lim
P
n
n i 1
Xi
＜n
＝1，又
n i 1
Xi
＜n
n i1
X
i＜n
，
所以
lim
n
P
n i 1
X
i＜n
＝1。
3．设 Xn 表示将一硬币随意投掷 n 次“正面”出现的次数，则（ ）。
A． lim P{ Xn n x} (x)
n
n
B． lim P{ Xn 2n x} (x)
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解：设同时使用紫外线的分机数为 ， 设此单定安装的外线共有 条，则应用中心极限定理 又查表知
【答案】
【解析】题目要求我们计算
为此我们需要应用大数定律或依概率收
敛的定义与性质来计算。由题设知 X1，…，Xn 独立同分布：
且
，根据辛钦大数定律
4．设随机变量列 X1，X2，…，Xn…相互独立且同分布，则 X1，X2，…，Xn，…服从辛 钦大数定律，只要随机变量 X1______。
【答案】期望存在 【解析】辛钦大数定律的条件是 Xi 独立同分布，且期望存在，而切比雪夫大数定律的 条件是 不相关且方差有界。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
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（4）各平方和的计算
Ti
=
mi j =1
yij，yi =
Ti mi
r
， T=
i =1
mi j =1
yij
=
r i =1
Ti，y
=
T n
r mi
则 ST
i1 j1
yij－y
2
r i 1
mi j 1
yij2－
T2 n
，fT＝n－1；
r
SA mi
i 1
yi－y
2
r
Ti
2
－
T
2
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n＝mr＝12。每个水平下的数据和以及总数据和为：
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 方差分析与回归分析
8.1 复习笔记
一、方差分析
1．单因子方差分析的统计模型
yij
=
+ai
+
ij
,i
=1,2,,r
r
ai =0,
i =1
之，无明显差别，这一方法称为 T 法。
3．重复数不等场合的 S 法
cij
r－1 F1- (r－1,
fe
)
1 mi
1 mj
ˆ 2
三、方差齐性检验（见表 8-1-2）
表 8-1-2 方差齐性检验
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四、一元线性回归
0 t1/2 n 2ˆ
1 x0 x 2
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机变量及其分布)【圣才出品】
xk p xk 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
k =1
（2）连续型随机变量
定义：设连续随机变量 x 癿密度凼数为 p（x）．如果
x p xdx
则称
E
X
xp
x
dx
为 X 癿数学期望，或称作该分布 p（x）癿数学期望，简称期望或均值．若
x p x dx 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
2．数学期望癿性质 按照数学期望 E（X）癿定义，E（X）由其分布唯一确定．若要求随机变量 X 癿一个凼
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数 g（X）癿数学期望，当然要先求出 Y＝g（X）癿分布，再用此分布来求 E（Y）．
lim
xx0
F
x
F
x0
即 F（x0＋0）＝F（x0）
返三个基本性质为判别某个凼数是否能成为分布凼数癿充要条件．
当 F（x）在 a 不 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）．
3．离散随机变量癿概率分布列
（1）定义：设 X 是一个离散随机变量，如果 X 癿所有可能叏值是 x1，x2，…，xn，…，
则称 X 叏 xi 癿概率 pi＝p（xi）＝P（X＝xi），i＝1，2，…n，…为 X 癿概率分布列或简称为
分布列，记为 X～{pi}．
分布列也可用下表来表示：
X
x1
x2
…
P P（x1） P（x2） …
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第3章 多维随机变量及其分布【圣才
第 3 章 多维随机变量及其分布 3.1 复习笔记
一、多维随机变量联合分布的性质（见表 3-1-1） 表 3-1-1 联合分布的性质
二、边际分布与随机变量的独立性 1．边际分布（见表 3-1-2）
表 3-1-2 边际分布
j
5i
j
100
5
用表格形式表示如下表 3-2-1：
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表 3-2-1
行和就是 X 的分布 h（5，100，50）（超几何分布）。
列和就是 Y 的分布 h（5，100，30）（超几何分布）。
P（X≥2，Y≥1）＝0.66158。
i 1
X2，…，Xn 相互独立。
n
连续随机变量：若 p(x1, x2 ,L , xn ) pi (xi ) ，则 X1，X2，…，Xn 相互独立。 i 1
三、多维随机变量函数的分布 1．最大值与最小值的分布 （1）最大值分布：
FY ( y) P( maxX1,X 2,L ,X n y)
n
=P(X1 y, X 2 y,L , X n y)= Fi (y)
1Ex4p(4 )*4E4x4p(2)4*L4 *4Ex4p(43) =Ga(m,)
m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )*L * 2 (nm )= 2(n1+n2 +L +nm)
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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（1）全概率公式：密度函数形式：
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第 8 章 方差分析与回归分析 一、解答题 以下约定各个习题均符合涉及的方差分析模型或回归分析模型所要求的条件。 1．今有某种型号的电池三批，它们分别是 A、B、C 三个工厂所生产的，为评比其质 量，各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命（h）如下：
25，从而得方差分析表如下：
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表 8-4
因 F 比＝11.3＞3.39＝F0.05（2，14），故在显著性水平 α＝0.05 下拒绝 H0，认为差异
是显著的。
以下来求置信水平为 1－α＝0.95 的置信区间，今 n1＝n3＝8，n2＝12，t0.025＝2.0595，
表 8-1
试在显著性水平 0.05 下检验电池的平均寿命有无显著的差异，若差异是显著的，试求均值 差 μA－μB，μA－μC 和 μB－μC 的置信水平为 95%的置信区间。
解：以 μA、μB、μC 依次表示工厂 A、B、C 生产的电池的平均寿命。 提出假设：
H0：μA＝μB＝μC；H1：μA、μB、μC 不全相等 由已知得 n1＝n2＝n3＝5，n＝n1＋n2＋n3＝15，
由已知得 s＝4，n1＝n2＝n3＝n4＝5，n＝20，T.1＝932，T.2＝974，T.3＝935，T.4＝
912，T＝3735，则
45
ST
xi2j T 2. / n 705225 37532 / 20 974.55
j1 i1
SA
T 4 2 .j
j1 5
T 2. / n 704653.8 704250.45 403.35
表 8-3
试在显著性水平 0.05 下检验各个方案的反应时间有无显著差异，若有差异，试求 μ1 －μ2，μ1－μ3，μ2－μ3 的置信水平为 0.95 的置信区间。
解：提出假设 H0：μ1＝μ2＝μ3；H1：μ1，μ2，μ3 不全相等
已知得
n1 8, n2 12, n3 8, n 28, s 3,T1 100,T2 120,T3 64,T 284
SE＝ST－SA＝571.2。
ST，SA，SE 的自由度分别为 n－1＝19，S－1＝3，n－s＝20－4＝16，从而得方差分
析表如下：
表 8-6
因 F 比＝3.776＞3.24＝F0.05（3，16），故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0。认为差异是 显著的。
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3 ni
ST
xi2j T 2.. / n 3052 2842 / 28 171.43
j1 i1
3
SA T 2.j / nj T 2.. / n 2962 2880.57 81.43 j 1
SE ST SA 90
又 ST，SA，SE 的自由度分别为 n－1＝28－1＝27，s－1＝3－1＝2，n－s＝28－3＝
22815=832
j=1 i=1
3
SA =
T
2 .
j
T
2
..
/
n=23430.6
22815=615.6
j=1
SE ST SA 216.4
ST，SA，SE 的自由度分别为 n－1＝15－1＝14，s－1＝2，n－s＝15－3＝12，从而
得方差分析表如下：
表 8-2
因 F 比＝17.07＞3.89＝F0.05（2，14），故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0，认为平均寿
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5
5
T.1= xi1=213，T.2 = xi2 =150
i=1
i=1
5
35
T.3 = xi3 =222，T..=
xij =585
i=1
j=1 i=1
3 nj
ST =
x
2 ij
T
2
..
/
n=23647
—
—
（X1－X2±1.78）＝（0.72，4.28）
—
—
（X1－X3±1.95）＝（2）＝（0.22，3.78）
由此可见，若仅从得到的样本作出决策，则以方案Ⅲ为佳。
3．某防治站对 4 个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查 5 块地得资料如下表： 表 8-5
命的差异是显著的。
_
_
_
由已知得xA＝42.6，xb＝30，xc＝44.4，t0.05（12）＝2.1788 ，极限误差 E 为
t0.05 (12)
1 SE ( ni
1 nk
)
5.8（5 i, k
1, 2,3）
从而分别得 μA－μB，μA－μC 和 μB－μC 的一个置信水平为 95%的置信区间为
—
—
（XA－XB±5.85）＝（6.75，18.45）
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—
—
（XA－XC±5.85）＝（－7.65，4.05）
—
—
（XB－XC±5.85）＝（－20.25，－8.55）
2．为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置，试验了三个方案，观察领航员在紧急情 况的反应时间（以 1/10 秒计），随机地选择 28 名领航员，得到他们对于不同的布置方案 的反应时间如下：
则
t /2 (25)
SE( 1 n1
1 n2
)
t /2 (25)
SE( 1 1 ) n2 n3
2.0595 3.6 (1 1 ) 1.78 8 12
11
11
t /2 (25)
S E ( ) 2.0595 n1 n3
3.6 ( ) 1.95 88
从而分别得 μ1－μ2，μ1－μ3，μ2－μ3 的一个置信水平为 0.95 的置信区间为
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判断 4 个林场松毛虫密度有无显著差异，取显著性水平 α＝0.05。
解：记四个林场松毛虫的平均密度为 μi，i＝1，2，3，4，则所述问题为在显著件水平
α＝0.05 下检验假设：
H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4；H1：μ1，μ2，μ3，μ4 不全相等
4．一试验用来比较 4 种不同药品解除外科手术后疼痛的延续时间（h），结果如下表： 表 8-7