第1篇 专题2 第3讲

课时作业1．(2016·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【解析】 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D ．【答案】 D2．“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，等价于0≤a ＜1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分不必要条件．【答案】 A3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】 因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ，所以2x ＋y ≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y 时取等号，故选D ．【答案】 D4．(2017·合肥第二次质量检测)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0x －5y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．1C ．3D ．6【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当z 取得最小值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最大，则当目标函数直线经过点(0，－1)时，z 取得最小值1，选项B 正确．【答案】 B5．(2017·河北“五校联盟”质检)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．12D ．22【解析】 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号，所以a ≥12，故选C ．【答案】 C6．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2【解析】 由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，所以2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a ＋b －1)＝2＋2(b －1)a ＋a b －1＋1≥3＋22，当且仅当2(b －1)a ＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A ． 【答案】 A7．(2017·郑州质量检测(二))平面内满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤8的点(x ，y )形成的区域为M ，区域M 关于直线2x ＋y ＝0的对称区域为M ′，则区域M 和区域M ′内最近的两点的距离为( )A ．355 B ．455 C ． 5D ．655【解析】 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意得，问题等价于在可行域内找一点，到直线2x ＋y ＝0的距离最小，显然A (1,1)是符合题意的点，点A 到直线2x ＋y ＝0的距离为d ＝2＋15＝355，故所求最小距离为2×355＝655.【答案】 D8．(2017·湖北七市州联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】 2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2ab ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B ．【答案】 B9．(2017·湖南东部六部联考)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．13C ．3＋223D ．34【解析】 由已知可得AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →＝13x AM →＋13y AN →，又M 、G 、N 三点共线，故13x ＋13y ＝1，所以1x ＋1y ＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)，故选C ．【答案】 C10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．[3,5]B ．[－1,1]C ．[－1,3]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.【答案】 D11．(2017·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2 C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎪⎫43，2【解析】 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >32，∴32<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >43，∴43<x ≤23，综上，43<x <2，故选D ．【答案】 D12．若关于x 的不等式m e xx ≥6－4x 在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2e －12) B ．(－∞，2e －12] C ．(2e －12，＋∞)D ．[2e －12，＋∞]【解析】 因为x ∈(0，＋∞)，故m e xx ≥6－4x ⇔m e x ≥6x －4x 2⇔m ≥6x －4x 2e x .令f (x )＝6x －4x 2e x . 则f ′(x )＝(6－8x )e x －e x (6x －4x 2)(e x )2＝4x 2－14x ＋66x＝2(2x －1)(x －3)e x， 故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(3，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，且当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1e 12＝2e －12，故m ≥2e －12，故选D ．【答案】 D13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1，x ＋y ≤m 如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.【解析】 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2,3)时符合题意，又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5.【答案】 514．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．【解析】 总费用4x ＋600x ×6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．【答案】 3015．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为________． 【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即2a ＋3b ＝6，则3a ＋2b ＝2a ＋3b 2a＋2a ＋3b 3b ＝2＋3b 2a ＋2a 3b ≥4，当且仅当3b 2a ＝2a3b ，即⎩⎨⎧a ＝32，b ＝1时取等号．【答案】 416．定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <y y ，x ≥y，则不等式min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4≥8min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x 的解集是________． 【解析】 因为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4＝⎩⎨⎧4，x >0x ＋4x ，x <0，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－11x ，－1<x <0x ，0<x ≤11x ，x >1所以当x >1时，由4≥8x 得x ≥2；当0<x ≤1时，由4≥8x 得0<x ≤12；当x ≤－1时，由x ＋4x ≥8x ，得x ≤－1；当－1<x <0时，由x ＋4x ≥8x 得－1<x <0.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．【答案】 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)。