沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记
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沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记二次根式1.二次根式：形如a的式子（a≥0）叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的运算：①二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．②二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．1、二次根式的概念与识别二次根式2、二次根式的化简与运算3、分母含有二次根式的分数进行分母有理化例题1：形如a （）的式子叫做二次根式。
1153a 21b -22a b +220m +144-的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12、下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x练习：下列各式是二次根式吗?为什么？例2 、二次根式中字母的取值范围a 有意义，被开方数a ≥0，被开方数a 可以是数，也可以是式子x 取何值时,下列根式有意义?4223(8)1(9)42(10)3x -≤++--322(1) 32 (2) 12 (3) 8(4) a (5) -m (m 0) (6)2a -1 (7)a a 21(1)21(2)2(3)(4)1x x x x练习：①、若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=3②、二次根式31-x 有意义的条件是。
③、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x1-当x +11x +在实数范围内有意义？例3、最简二次根式被开方数同时符合两个条件：1、被开方数中各因式的指数都为12、被开方数不含分母像这样的二次根式叫做最简二次根式下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 将下面的两个式子化为最简二次根式 (1).315)2(;72.0练习：将下列二次根式化为最简二次根式将下列二次根式化为最简二次根式0)b >)x y >将下列二次根式化成最简二次二次根式0)a > 0)a > 0)x >例题4：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
沪教版(上海)八年级第一学期同步第1讲：16.1二次根式的概念与性质 教师版
1 / 17二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用．1、二次根式的概念（1）代数式a （0a ）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． （2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析2 / 17【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，1x ，x 0x >（），0，42，2-，1x y +，x y +（0,0x y ≥≥）． 【难度】★【答案】2、x 0x >（）、0、2-、x y +（0,0x y ≥≥）是二次根式，33、1x、42、1x y +不是二次根式．【解析】根据二次根式的概念，可知上述几个为二次根式，其中33、42的根指数分别为3、4，不是二次根式；1x、1x y +是分式，不是二次根式． 【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）21x -；（2）2x - ．【难度】★ 【答案】（1）12x ≥；（2）2x ≤． 【解析】（1）由12102x x -≥≥，得：；（2）由202x x -≥≤，得：． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【例3】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）21x +； （2）2(1)x -+．【难度】★【答案】（1）任意实数；（2）1x =-．【解析】（1）210x +≥恒成立，可知为任意实数；（2）()210x -+≥，当且仅当10x +=，即1x =-时该式可以成立．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，是被开方数为非负数注意其中一些特殊情形．例题解析（1； （2．【难度】★【答案】（1）0x >；（2）2x <． 【解析】（1）由1000x x x ⎧≥⎪>⎨⎪≠⎩，得：； （2）由102220x x x ⎧-≥⎪<-⎨⎪-≠⎩，得：． 【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义．【例5】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1； （2．【难度】★★【答案】（1）2x ≤且3x ≠-；（2）23x -≤≤且2x ≠． 【解析】（1）由2030x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，得：2x ≤且3x ≠-；（2）由203020x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≠⎩，得：23x -≤≤且2x ≠． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．（1； （2（3【难度】★★【答案】（1）4x >-或5x ≤-；（2）11x -<<；（3）532x -≤≤且94x ≠． 【解析】（1）504x x +≥+，即1104x +≥+，故40x +>或41x +≤-，解得4x >-或5x ≤-；（2）101x ≥-且10x -≠，即得10x ->，解得11x -<<；（3）由260104010x x ⎧+≥⎪-≥⎨-≠，得：532x -≤≤且94x ≠． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【例7】若,x y是实数，且2y <，化简22y y --．【难度】★★ 【答案】1-．【解析】根据二次根式有意义的条件，可得：210120x x -≥⎧⎨-≥⎩，即得：210x -=，由此可知2y <，所以22y y --=()212y y --=--．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查式子的去绝对值，判断绝对值中式子与零的大小关系即可．师生总结1、二次根式有意义的条件是什么？5/ 176 / 171、二次根式的性质（1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥； 性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：a ab b=（0a ≥，0b >）． （2）2a与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例8】计算下列各式的值： （1）2(18)； （2）22()3；（3）29()4； （4）2(0)；（5）27(4)8；（6）22(35)(53)-； （7）2(1)(0)x x +≥；（8）22()a ；（9）22(21)a a ++．【难度】★【答案】（1）18；（2）23；（3）916；（4）0；（5）14；（6）30-；（7）1x +；（8）2a ；（9）221a a ++．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方． 【总结】考查二次根式的性质2．例题解析知识精讲模块二：二次根式的性质【例9】化简：（1（20)m ≥； （3） （4【难度】★【答案】（1）32）；（3）232y x；（4）2-【解析】（1）由二次根式非负性3270x ≥，可得0x ≥，原式33x（2）由二次根式非负性3120mn ≥，结合0m ≥，可得0n ≥，原式122n（3）原式=223642y y x x =；（4）由二次根式非负性33240x y -≥，即有()30xy ≤，可得0xy ≤，原式22xy ==-【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例10】 求下列二次根式的值：（1（2（3（4．【难度】★【答案】（1）4；（2）5；（3）4）3π-． 【解析】（14=；（25=；（3=（433ππ-=-．【总结】考查二次根式的性质1，确保开方出来的结果非负．【例11】的值，其中x =【难度】★1．【解析】原式=1x -，x =()11-=． 【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．【例12】化简：2【难度】★ 【答案】0．【解析】由二次根式被开方数非负性30a -≥，原式=()()()33330a a a a ---=---=．【总结】考查二次根式的性质1和性质2，注意题目隐含条件的利用．【例13】成立，求x 的取值范围．【难度】★★ 【答案】23x ≤≤．【解析】根据二次根式性质2，可得：202330x x x -≥⎧≤≤⎨-≥⎩，得：． 【总结】考查二次根式性质3，注意性质成立的条件是被开方数必须非负．【例14】已知21<【难度】★★ 【答案】2a a -．【解析】根据二次根式的性质，由21<，可得01a ≤<，原式()()211a a a a a a -=-=-．【总结】考查二次根式的化简求值，注意题目中的隐含条件．9 / 17【例15】已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：()()222a a b c a b c -++-++．【难度】★★ 【答案】a -．【解析】根据三点在数轴上的位置，可知0b a c <<<，且b 距离原点位置较远，由此 0a b +<，0c a ->，0b c +<，原式=()()()a a b c a b c a a b c a b c -++-++=-+++--+a abc a b c a =-+++---=-．【总结】根据数轴确定点的相对位置，可判定所求被开方出来的式子与零的大小关系即可，在计算过程中注意符号，可直接改变绝对值前面的符号再去括号会更简单一些．【例16】在△ABC 中，a b c 、、是三角形的三边，化简2()2a b c a b c -+---．【难度】★★ 【答案】33c a b --．【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知0a b c -+>，0c a b --<， 原式=()()22a b c c a b a b c c a b -+---=-++--22233a b c c a b c a b =-++--=--．【总结】三角形三边关系往往是题目中的隐含条件，该应用的地方一定要注意好．【例17】在△ABC 中，a b c 、、为三边，且满足2123680a a b -++-=，求最大边c的取值范围． 【难度】★★ 【答案】814c ≤<．【解析】根据题意，即为680a b -+-=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b ≤<+，即814c ≤<．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．10 / 17【例18】已知：22816123610x x x x +++-+=，化简：()228212x x ++-．【难度】★★ 【答案】20．【解析】依题意有4610x x ++-=，去绝对值可知该式在46x -≤≤时成立，即x 取值范围是46x -≤≤，此时280x +≥，2120x -≤， 原式=()282122821220x x x x ++-=+--=．【总结】考虑取值范围时要根据题意来确定，()x a x b a b -+-<的最值在a x b ≤≤时确定，即为b a -，由此可确定相关未知数取值范围．师生总结1、 二次根式具有哪些性质？11 / 17【习题1】 判断下列各题的正误． （1）2(2)2ab ab -=-．…………………………………………………（ ） （2）32-的倒数是32+．………………………………………………（ ）（3）22(1)(1)x x -=-．…………………………………………………（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）× 【解析】（1）开方出来的结果一定非负，()222ab ab -=；（2）()()()22323232341-+=-=-=-，不是互为倒数；（3）不能确定1x -这个式子与0的大小关系，可能导致后面的式子无意义．【总结】考查二次根式性质成立的条件，注意开方出来的结果一定非负，即二次根式的双重非负性．【习题2】 求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）34x -； （2）183a -； （3）24m +；（4）1x-；（5）x x +-；（6）32x-． 【难度】★ 【答案】（1）43x ≥；（2）124a ≤；（3）任意实数；（4）0x <；（5）0x =；（6）32x ≤且1x ≠-． 【解析】（1）由340x -≥，得43x ≥；（2）由1803a -≥，得124a ≤；（3）因为240m +≥ 恒成立，可知m 为任意实数；（4）由10xx ⎧-≥⎪⎨⎪≠⎩，得0x <； （4）由00x x ≥⎧⎨-≥⎩，得0x =；（6）由32010x x -≥⎧⎨+≠⎩，得32x ≤且1x ≠-． 随堂检测12 / 17【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零． 【习题3】 计算：（1）49；（2）2(1.5)-；（32(3)a -3a <（）（42(23)x -32x <（）．【难度】★ 【答案】（1）23；（2）32；（3）3a -；（4）32x -． 【解析】（14922233⎛⎫== ⎪⎝⎭；（22(1.5)-23322⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3） 由3a <，可知30a -<2(3)a -()233a a --；（4）由32x <，可知230x -<2(23)x -()23232x x =-=-．【总结】考查二次根式性质1，将底数变作非负数即可直接开方出来．【习题4】 计算：求下列二次根式的值： （1(144)(169)-⨯-（2221a a ++2a =；（3()2223(23)-+（42243ππ--（）（）（5224323553⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（6）2144x x x --+()12x <<．【难度】★【答案】（1）156；（221；（3）23；（4）1；（5）115；（6）1． 【解析】（1）原式1441691213156=⨯=； （2）原式=11221a +=；(3)原式322323 （4）原式=431ππ-+-=； (5)原式=422374153355315⎛⎫⎛⎫---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）原式=12x x -+-，由12x <<，可得10x -<，20x -<，即该式可计算得121x x -+-=．【总结】考查二次根式的性质1和性质3，要注意式子成立的前提条件，根据条件进行化简计算．【习题5】 解下列各式： （1）已知0a a +=（2）a b c 、、【难度】★★【答案】（1）12a -；（2）3a b c +-．【解析】（1）由0a a +=，即a a =-，可得0a ≤，原式=1112a a a a a -+=--=-；（2）根据三角形三边关系，可知0a b c --<，0b c a -+>，0c b a --<， 原式=a b c b c a c b a --+-++--3b c a b c a a b c a b c =+-+-+++-=+-．【总结】考查三角形三边关系，根据题目条件分析出隐藏结论，判断出绝对值中式子与零的大小关系即可去绝对值解决问题．【习题6】已知3y =，求22x xy y -+的值． 【难度】★★ 【答案】7．【解析】根据二次根式的非负性，可知2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，由此20x -=，即2x =，此时3y =，原式=2222337-⨯+=．【总结】考查两个互为相反数的数同时作为被开方数时，则该式为0．【习题7】0=，求xy 的值．【难度】★★【答案】92．【解析】依题意可得290x -=0，可解得3x =，32y =， 39322xy =⨯=． 【总结】考查几个非负数相加为零的模型，则这几个式子都为零，另外注意题目隐含条件删去一些取值．15 / 17c b 0 a【作业1】 要使式子2131aa a -++有意义，则a 应满足（）A 、1a ≤且13a ≠-B 、1a ≤C 、13a ≠-D 、1a ≤且13a ≠【难度】★ 【答案】A【解析】由10310a a -≥⎧⎨+≠⎩，得：1a ≤且13a ≠-． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【作业2】 已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示：则化简222()()()b a a c b c --+-+的结果是__________． 【难度】★ 【答案】2c -．【解析】根据点在数轴上的位置，可得0c b a <<<，由此0a c ->，0b a -<，0b c +<，原式=()()()2a c b a b c a c b a b c a c b a b c c ---++=-+--+=-+---=-．【总结】根据数轴确定点的相对位置，可判定所求被开方出来的式子与零的大小关系即可，在计算过程中注意符号，可直接改变绝对值前面的符号再去括号会更简单一些．【作业3】 若2296a x x -+=-，求x 的值． 【难度】★★ 【答案】3x =．【解析】整理即得()2230a x -+-=，可得20a -=，()230x -=，解得3x =． 【总结】考查几个非负数相加为零的模型，则这几个式子都为零．课后作业【作业4】 若a 、b是实数，且13b31b -【难度】★★ 【答案】46b -+．【解析】根据二次根式的非负性，可知3030a a -≥⎧⎨-≥⎩，由此30a -=，即3a =，此时13b <，原式=()()231213346b b a b b b -+-+=-+-+=-+．【总结】考查两个互为相反数的数同时作为被开方数时，则该式为0．【作业5】2成立，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】24a ≤≤．24a a =-+-，由此进行分类讨论：①当2a <时，原式=()()2462a a a -+-=-； ②当24a ≤≤时，原式=()()242a a -+-=； ③当4a >时，原式=()()2426a a a -+-=-； 综上所述，可知a 的取值范围是24a ≤≤．【总结】考查两个绝对值式子的去绝对值，依据题目绝对值中式子进行简单的分类讨论．。
沪教版八上教材知识点
角的平分线 →定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 →逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在 这个角的平分线上 19.6 轨迹（点的轨迹） →和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 →在一个角的内部 （包括顶点） 且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角 的平分线 →到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心， 定长为半径的 圆 第 3 节 直角三角形 19.7 直角三角形全等的判定 →定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两 个直角三角形全等（简记为 H.L） 19.8 直角三角形的性质 定理 1：直角三角形的两个锐角互余 定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边 等于斜边的一半 推论 2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对应的角等于 300 19.9 勾股定理 →定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 →勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 <→勾股定理的逆定理：>如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的 平方和，那么这个三角形是直角三角形 19.10 两点的距离公式 19.5 →公式： AB ( X 1 X 2 ) 2 (Y1 Y2 ) 2 本章小结 阅读材料一 《几何原本》古今谈 阅读材料二 勾股定理万花筒
a a (a 0, b 0) b b
→把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外， 或者化去被开 方数的分母的过程，称为“化简二次根式” →通常把形如 m a (a 0) 的式子也叫做二次根式
a a b ab ab (a 0, b 0) b bb b b2
沪教版数学八年级上册16.2《二次根式的运算》(第1课时)教学设计
沪教版数学八年级上册16.2《二次根式的运算》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级上册16.2《二次根式的运算》主要介绍了二次根式的性质和运算方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数的概念和性质的基础上进行学习的，是进一步学习函数、方程等数学知识的基础。
教材通过具体的例题和练习题，使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，并能灵活运用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数的概念和性质有所了解。
但学生在学习二次根式的运算时，可能会对二次根式的化简、合并同类项等运算方法产生困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过具体例题，总结出二次根式的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.能够运用二次根式的运算方法解决实际问题。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质和运算方法。
2.如何引导学生通过具体例题，总结出二次根式的运算规律。
五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过具体的例题，引导学生总结出二次根式的运算规律，培养学生的运算能力。
同时，学生进行小组讨论，提高学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教材、教案、PPT。
2.练习题。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习实数、有理数、无理数的概念和性质，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的加减乘除运算实例，引导学生观察、分析，总结出二次根式的运算规律。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生运用刚刚学到的知识，解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式运算方法的掌握程度。
5.拓展（5分钟）教师出示一些综合性的题目，让学生进行思考和讨论，提高学生的数学思维能力。
沪教版八年级上册-二次根式的复习与练习题1
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质:1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质: ；5.商的算术平方根的性质: .6.若 , 则 .知识点二、二次根式的运算1. 二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求: ①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广:2. 二次根式的加减运算 先化简, 再运算,3. 二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序, 即先乘方、开方, 再乘除, 最后算加减, 有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.二、分类练习与讲解:1. 二次根式的概念我们把形如 的式子叫做二次根式,如 等, 都是二次根式注意: ① 二次根式都含有二次根号 ； ② 在二次根式中, 被开方数 必须满足 , 当 时, 根式无意义；③ 在二次根式中, 可以是数也可以是一个代数式；④ 二次根式 是 的算术平方根, 所以 。
例1.当 为任意实数时, 下列各式有意义的是（ ）A. B. C. D.例2、当 为何值时, 下列各式有意义？⑴ 12+x ； ⑵ xx --1132. 二次根式的性质性质:注意：性质 表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值, 需注意的是 不是等于 , 而是等于 , 再根据 的正、负确定最后的结果。
例3 已知 , 则 的结果是______________例4 已知 满足 , 那么 的值为（ ）A. 2004B. 2005C. 2006D. 2007练习: 二次根式的意义及性质题组1: （二次根式的识别: 式子 （ ）, 叫做二次根式）1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.2．下列各式中, 是二次根式的有_____________________________。
（填序号）；； ；； ； 4. 若 , 则下列各式中, 是二次根式的是（ ）A. B. C. D.题组2: （二次根式有意义的条件）1．当 是怎样的实数时, 下列各式在实数范围内有意义？（1___________；（2__________；（3；（4______。
_沪教版(上海)八年级数学 知识点梳理(最新最全)
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论19.2 证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
沪教版数学初二上——二次根式概念及性质
【习题7】化简：
（1） ；（2） ．
【习题8】计算 的值
【例11】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） （ ）．
【例12】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【例13】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例14】化简：
（1） ；（2） ．
【例15】化简：
（1） ；（2） ．．
【例16】已知 ，求x的取值范围．
2、二次根式的性质
性质1： 推广性质1可得到：
性质：
性质3：
性质4：
二、例题讲解
【例1】下列各式中，二次根式的个数有（）
； ； ； ； ； ．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例3】等式 成立的条件是（）
A． B． C． D．
二次根式的概念与性质
一、知识精讲
知识一、二次根式、无理数、实数的概念
当被开方数部分是整数时，该二次根式可以看作一个无理数（开方开不尽的时候），表示对一个整数求算术平方根，联想之前七年级的中点逼近法求范围
知识二、二次根式的概念和性质
1、形如 （a ）的代数式，叫做二次根式，a是被开方数．
举例说明： 、 、 、 等都是二次根式．在实数范围内，负数没有平方根，所以像 ， 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【例17】
已知 ，求代数式 的值．
【例18】已知 的个位数字．
【例19】已知：m= ，求 的值．
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上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
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有意义，被开方数a≥0，被开方数a可以是数，也可以是式子
x取何值时,下列根式有意义?
练习：
、若 有意义，则m能取的最小整数值是（）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
、二次根式 有意义的条件是。
、求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1） （2） （3） （4）
例3、下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A、 B、 C、 D、
练习:
下列二次根式中，哪些与 是同类二次根式？
．
如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么a、b的值是多少？
例题5：
二次根式运算
二次根式的基本性质：
性质1： ＝a（a≥0）性质2:（ ）2=a（a≥0）
性质3： = · （a≥0，b≥0）
1、二次根式的概念与识别二次根式2、二次根式的化简与运算
3、分母含有二次根式的分数进行分母有理化
例题1：形如 （ ）的式子叫做二次根式。
1、下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式
的个数是（）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2、下列式子一定是二次根式的是（）
A． B． C． D．
练习：下列各式是二次根式吗?为什么？
当x是多少时， + 在实数范围内有意义？
例3、最简二次根式
被开方数同时符合两个条件：
1、被开方数中各因式的指数都为1 2、被开方数不含分母
像这样的二次根式叫做最简二次根式
下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
将下面的两个式子化为最简二次根式
(1)
练习：
将下列二次根式化为最简二次根式
是________．
8．当x＝________，y＝________时，最简二次根式 和 是同类二次根式．
二、计算
化简：（1） （2）a
选择题
1．下列说法正确的是（）
A．若 ，则a<0 B． C． D．5的平方根是
2．二次根式 的值是（）
A． B． C． D．0
3．化简 的结果是（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
3．已知 ，则x等于（）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
三、解答题
1、化简 ，甲，乙两同学的解法如下：
甲： ＝
乙： ＝ ．
对于甲、乙两同学的解法，请给出正确的判断．
2、若x＝ ，y＝ ，求3x2－5xy＋3y2的值．
学习顾问签字： 学科负责人签字：
2．已知a<2，
3．当x=时，二次根式 取最小值，其最小值为
4．计算： ；
5．若一个正方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
6．若 ，则
7．若 的整数部分是a，小数部分是b，则
8．若 ，则m的取值范围是
9．若
二、选择题
1．若x+y=0，则下列各式不成立的是（）
A． B． C． D．
2．当 时，二次根 式的值为 ，则m等于（）
性质4： = （a≥0，b>0）
计算
1.（ ）2（x≥0）2．（ ）23．（ ）24．（ ）2
练习：
1．计算
（1）（ ）2（2）-（ ）2（3）（ ）2（4）（-3 ）2
(5)
2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）
A．5 B． C． D．以上均不对
3.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．
例题6：有理化因式
分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式
例题2.
练习：
的关系是什么？
一、填空题
1．根式 ， ， ， ， ， 中，最简二次根式有________；
2．化简：（1） ＝________（2）2 ＝________．
二次根式
1.二次根式：形如 的式子（a≥0）叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
3．若 是最简二次根式，则m＝___，n＝_____，p＝____（其中m，n，p不为0）
4．已知a，b，c为三角形的三边，化简 ＝
________．
5．（ ）2·（ ）2＝________．
6．若（ － ）2＝m，则 ＝________．
7．当x＝______时， 有最小值是_______，当x＝________时， 有最大值
⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的运算：
二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作
积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
4．若 是二次根式，则a，b应满足的条件是（）
A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b>0 D．
5．已知a<b，化简二次根式 的正确结果是（）
A． B． C． D．
7．下列各式中，一定能成立的是（）
A． B．
C． D．
1、填空题
1．若 不是二次根式，则x的取值范围是
将下列二次根式化为最简二次根式
将下列二次根式化成最简二次二次根式
例题4：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
例1、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和
C．
例2、最简二次根式 是同类二次根式，则a=______，b=_______