高数第四章课件

n
过
点 的直线 规定为 内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、有界集 区域、闭区域的概念均可推广到n维空间二、多元 Nhomakorabea数的概念
圆柱体的体积
r
h
定量理想气体的压强
如果对于每一个点 定义1. 设非空点集 ，变量z按照一定的法则总有确定得值和它 对应，则称 变量z是变量x,y的二元函数(或称点P的函数） (或称点P的函数），记为 D 称为函数的定义域 ; x,y称为自变量，z为因变量，数集
(圆邻域)
(球邻域)
U ( P0 ) .
在空间中,
U ( P0 , ) ( x , y , z )
注：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为
0 PP 0 δ
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点； 注： E 的内点必属于 E , 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ; 注：E 的外点必不属于 E , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既有属于E的点也有不 属于E的点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 注：E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
f x
z
x x0 y y

d dx
f ( x, y0 )
0
x x0
M
0
Tx
Ty
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0
M 0T x
y0
对 x 轴的斜率.
y
x x0 y y
o
x0
y
f

d dy
f ( x0 , y)
0
y y0
x
是曲线
E
(2) 聚点
若对任意给定的 点P 的邻域 , 内总有无穷多个点属于E, 则 称 P 是 E 的聚点.
E
注：聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
dg
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
f ( x0 x , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x
x 0
g ( x ) f ( x , y0 )
d x x x0
lim
x 0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x 0 , y 0 ) lim
注: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
o
1
x
y
的图形一般为空间曲面 . 多值函数：有两个或两个以上的z值与 P(x,y)对应的的函数 类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ， n元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
n元函数记作 当 n = 3 时, 有三元函数
连续, 否则称为不连续, 此时
lim [ f ( P ) f ( P0 )] 0
P P0
称为间断点 .
0
lim 令 z f ( P ) f ( P0 ) 因为 P P f ( P ) f ( P0 )
P P0 P P0
lim z 0 所以连续还可定义如下
2
2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
x 0 y kx
lim f ( x , y ) lim
kx
2
x 0
x k x

k 1 k
2
故 f ( x , y ) 在 (0,0) 点极限不存在 . 例3. 讨论函数 f ( x , y ) y x sin 1 在点 (0, 0) 的极限. y
P 注： D 且 0 ( P , P0 ) δ , 刻画了P点与P0点的接近程度 刻画了f(P) 与A点的接近程度
当 n =2 时,

( x x0 ) ( y y0 )
2
2
二元函数的极限可写作：
0
lim f ( x , y ) A
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
1 3y y
2
z y ( 1, 2 )
y ） 求证 例2. 设 z x ( x 0 , 且 x 1 ，
x z y x
有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(有界性定理)
( 2 ) f ( P ) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
二、 偏导数定义及其计算法
定义1. 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内 有定义，若极限
第四章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一讲 多元函数的基本概念
一、区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
一、 区域
1. 邻域 点集
PP 0 δ 称为点 P0 的邻域.
例如,在平面上,
U ( P0 , δ ) ( x , y )
在点M0 处的切线 M 0 T y 对 y 轴的
斜率.
注：
函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
例如,
xy , 2 2 z f ( x, y ) x y 0 ,
x y x y
0 0
2
2
2
0 0
2
显然
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
x0 x x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 对 x 的偏导数，记为
z x
( x0 , y 0 )
f x ( x0 , y0 )
f x ( x 0 , y 0 ) .
; zx
( x0 , y0 )
;
;
即:
f x ( x 0 , y 0 ) lim
x y x y
2
2
2
0 0
2
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
基本初等函数:各变量的幂函数,指数函数,对数函数, 三 角函数,反三角函数
初等函数:由常数和基本初等函数经有限次四则运算
和复合运算得到的可用一个式子表示的函数 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
例1 . 求 z x 2 3 x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
z x (1, 2 )
y2
z x
2x 3y ,
z y
3x 2 y
z y (1, 2 )
解法2: z
x 6x 4
2
z x ( 1, 2 )
z
x 1
n
三元函数 3. 多元函数的极限
作业:练习册P1－4
第二讲
第八章
连续性、偏 导 数
一、 函数的连续性 二、 偏导数概念及其计算 三 、高阶偏导数
一、 多元函数的连续性
定义 . 设 n 元函数 z f ( P )定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
如果存在 lim f ( P ) f ( P0 ) 则称 n 元函数 f ( P ) 在点 P0
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y
y 0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z y , f y , z y , f y ( x , y ) , f 2 ( x , y )
x x
x
y
x y y
f y ( x, y, z )
f z ( x, y, z )
y z z
x
z
偏导数的计算方法：对某个变量求偏导数时，其他 变量均为常数，对该变量求导数。求偏导数的方法就是 求导数的方法。当把多元函数当某个变量的一元函数 处理时，一元函数的所有结论都成立。
二元函数偏导数的几何意义:
x f ( x x, y ) f ( x, y )
x 0
即
( x, y ) D ( x, y ) D
lim
f ( x x, y ) f ( x, y )
f x ( x , y ) lim
x 0
x

df ( x, y ) dx
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
y
y
x
( x , y ) 1 x 2 y 2 4 开区域 ( x , y ) x y 0
( x, y ) 1 x 2 y 2 4 闭区域
o
o
1 2x
y
y
o
x
y
o
1 2x
点集 ( x , y ) x 1 是开集， 但非区域 .
定义 . 设 n 元函数 f ( P ) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,