整式的乘法与因式分解教师版讲义
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教师讲义
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
2.分解因式：3(x+y)2-27
课后作业
1、设p n m n m +-=+22)23()23(，则P 的值是（ ）
A 、mn 12
B 、mn 24
C 、mn 6
D 、mn 48
2、若k x x +6-2是完全平方式，则k=
3、若a+b=5，ab=3，则22b a +=.
4、若2)1(2=-x ，则代数式522+-x x 的值为。
5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：2222)(b ab a b a ++=+,你根据图乙能得到的数学公式是。
6、已知：________1,5122=+=+
a
a a a ． 7、计算：
（1）（3a+b ）2 （2）(－3x 2＋5y)2 （3）(5x-3y)2
（4）(－4x 3－7y 2)2 （5）（3mn －5ab ）2 （6）(a ＋b ＋c )2
4、如图，阴影部分的面积是( )
A ．xy 27
B ．xy 29
C ．xy 4
D ．xy 2
5、()()22x a x ax a -++的计算结果是( )
A. 3232x ax a +-
B. 33x a -
C.3232x a x a +-
D.222322x ax a a ++- 6、28a 4b 2÷7a 3b 的结果是( )
(A)4ab 2 (B)4a 4b (C)4a 2b 2 (D)4ab
7、下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A 、))((b a b a +--
B 、))((4444y x y x +-
C 、))((y x y x ---
D 、))((3333b a b a +-
8、下列计算正确的是（ ）
A 、2222)(y xy x y x ++=--
B 、943
2)332(22++=+x x x C 、4116)214(22-=-x x D 、222
141)21(a a a +-=- 二、填空题
1、如果4=m a ，12=n a ，那么n m a +=。
2、已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a=。
3、若1522=-b a ，且5=+b a ，则b a -的值是____________．
4、若a+b=m ，ab=-4 化简(a-2)(b-2)=。
5、已知：________1,5122=+=+
a
a a a 则。
三、解答题。
整式的乘法与因式分解(全章讲义)(偏难)
整式的乘法与因式分解第22课 幂的运算课程标准1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01 同底数幂的乘法性质=•n a a m (其中,m n 都是正整数).即 .要点诠释：（1）同底数幂是指 的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即=••pnma a a （,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即nm a += （,m n 都是正整数）.知识点02 幂的乘方法则()=nma (其中,m n 都是正整数).即 .要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a 0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm na a a == ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 ，从而解决问题.目标导航知识精讲知识点03 积的乘方法则()=n ab (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的 .要点诠释：（1）公式的推广：()=nabc (n 为正整数).（2）逆用公式：nn b a = 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知识点04 注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2） 的乘法时，只有当 时,指数才可以相加. ，计算时不要遗漏. （3） 运算时， ，而同底数幂的乘法中是 .（4） 运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要 . （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.考法01 同底数幂的乘法性质【典例1】计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；能力拓展（2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【典例2】已知2220x +=，求2x 的值．考法02 幂的乘方法则【典例3】计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【典例4】已知a x =3，a y =2，求a x+2y 的值【即学即练2】已知2ax =，3bx =．求32a bx +的值．【即学即练3】已知84=m，85=n，求328+m n的值．考法03 积的乘方法则【典例5】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练4】（﹣8）57×0.12555．题组A 基础过关练1.计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6xC ． x 5D ．5x2．2nn a a+⋅的值是( )． A. 3n a+B. ()2n n a+C. 22n a+D. 8a3．下列运算正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 44．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310 B. 1000×1010＝3010 C. 100×310＝510 D. 100×1000＝410 5．下列计算正确的是( )． A.()33xy xy =B.()222455xyx y -=- C.()22439xx -=-D.()323628xyx y -=-6．若()391528m n a ba b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5题组B 能力提升练1.若a m =2，a n =8，则a m+n = ．分层提分2. 若()319xaa a ⋅=，则x ＝_______． 3. 已知35na=，那么6n a =______．4．若38ma a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．5. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______． 6.若n 是正整数，且210na=，则3222()8()n n a a --＝__________.题组C 培优拔尖练1、计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2．2、（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（4）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；3、（1）若3335nn x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n ma b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．第23课整式的乘法目标导航课程标准1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.知识精讲知识点01 单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的作为积的一个.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点02 单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积相加.即m(a +b +c) =.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个，项数与原多项式的项数.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点03 多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的乘另一个多项式的，再把所得的积相加.即(a +b)(m +n)=.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： ( x + a )(x + b ) = .考法01 单项式与单项式相乘【典例1】计算：（1）121(2)(3)()2n n x y xy x z +---（2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----考法02 单项式与多项式相乘【典例2】计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【即学即练1】化简：(1)2(1)3(25)x x x x x x -++--；【典例3】先化简，再求值：223(243)2(34)a a a a a -+-+，其中2a =-；能力拓展【即学即练2】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++考法03 多项式与多项式相乘【典例4】若22(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含23,x x 项，求m ，n 的值。
整式的乘法与因式分解（教师版）
整式的乘法与因式分解（教师版）整式的乘法与因式分解（学⽣加强版）⼀．整式的乘法【学习⽬标】1. 会进⾏单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律简化运算. 【要点梳理】要点⼀、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它们的指数作为积的⼀个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应⽤.（2）单项式的乘法⽅法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到⼀起进⾏有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进⾏计算；只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数写在积⾥作为积的⼀个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤以上法则. 要点⼆、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算⽅法，实质是利⽤乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是⼀个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每⼀项包括它前⾯的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从⽽得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的⼆项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【加强版练习题】1类型⼀、单项式与单项式相乘1、计算：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-（2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．【答案与解析】解：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-()()()()121232n nx x x y y z +=-?-?- ???413n n x y z ++=-（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-．【总结升华】凡是在单项式⾥出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型⼆、单项式与多项式相乘2、计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进⾏化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从⽽得到最简结果．（2）单项式与多项式的每⼀项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每⼀项的符号时，⼀定要⼩⼼．举⼀反三：【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x=﹣3x 2+16x ．3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】⾸先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代⼊已知的数值计算即可．【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举⼀反三：【变式】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．【答案】解：332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，当20x y +=时，原式＝220020x y +=．类型三、多项式与多项式相乘4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3 x 和x 项的系数为0，由此得⽅程组求解．【答案与解析】解：22(1)(231)ax bx x x ++-+4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+∵乘积中不含3x 和x 项．∴ 32030a b b -+=??-=?，解得23a b =??=?．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解⽅程（组）求解．举⼀反三：【变式】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，求a 、b ．【答案】解：()()22231x ax b x x ++--因为3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.⼆．因式分解（加强学习）1.提公因式法【学习⽬标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会⽤提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点⼀、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，⽽不是针对单项式，是对这个多项式的整体，⽽不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把⼀个多项式分解到每⼀个因式不能再分解为⽌.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，⼆者不能混淆.因式分解是⼀种恒等变形，⽽整式乘法是⼀种运算.要点⼆、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每⼀项中都含有的因式.（2）公因式可以是⼀个数，也可以是⼀个字母，还可以是⼀个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最⼤公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式m ，另⼀个因式是，即，⽽正好是除以m 所得的商，这种因式分解的⽅法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆⽤乘法分配律，即.（2）⽤提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第⼀项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第⼀项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）⽤提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0⽽出现错误.【加强版练习题】2类型⼀、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ??++=+．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成⼏个整式的积的形式，从对象和结果两⽅⾯去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式⽽是⼀个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成⼏个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举⼀反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++ B.2244(2)x x x ++=+ C. 11(1)x x x+=+ D.2(1)(1)1x x x +-=- 【答案】B ；类型⼆、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++ C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+ D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最⼤公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举⼀反三：【变式】下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ） B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应⽤3、若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，应是什么三⾓形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成⽴，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ?是等腰三⾓形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从⽽判定三⾓形的类型. 4、对任意⾃然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定⼀下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=?-=-=?∵n 为⼤于0的⾃然数，∴2n为偶数，15×2n为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举⼀反三：【变式】说明200199198343103-?+?能被7整除.【答案】解：200199198343103-?+?()198219833431073=-?+=?所以200199198343103-?+?能被7整除.5、已知xy=﹣3，满⾜x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进⽽将已知代⼊求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2.完全平⽅公式【学习⽬标】1. 能运⽤完全平⽅公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——完全平⽅公式两个数的平⽅和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平⽅．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式⼦叫做完全平⽅式.要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平⽅公式的特点：左边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平⽅.（3）完全平⽅公式有两个，⼆者不能互相代替，注意⼆者的使⽤条件. （4）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】3类型⼀、公式法——完全平⽅公式 1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-；（2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+；（4）4224816a a b b -+．【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．（3）2222216(4)x y x y -+22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++-- 22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的⾸选法．多项式中各项若有公因式，⼀定要先提公因式，常⽤思路是：①提公因式法；②运⽤公式法．（2）因式分解要分解到每⼀个因式不能再分解为⽌．举⼀反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++?+?+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-?+?-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的⽅法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为⼀个整体，展开后再进⾏分解就容易了．【答案与解析】解：22(33)(35)1x x x x +++++ 22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++222(3)8(3)16x x x x =++++ 22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应⽤，对于式⼦较复杂的题⽬不要轻易去括号．举⼀反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是⼀个完全平⽅数. 【答案】解：()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++ 类型⼆、配⽅法分解因式3、⽤配⽅法来解决⼀部分⼆次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平⽅公式呢？我们先考虑⼆次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平⽅式？2222()2222b b b x bx x x x++=+??+=+ ? ?????因此添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅.那么⼆次项系数不是1的呢？当然是转化为⼆次项系数为1了.分解因式：2352x x +-. 【思路点拨】提出⼆次项的系数3，转化为⼆次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如2252352333x x x x ??+-=+- ??222555233663x x ??=++--?? ? ?25493636x =+-?? ???2257366x =+-?? ? ???575736666x x ?=+++- ?()1323x x ?=+-【总结升华】配⽅法，⼆次项系数为1的时候，添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅. ⼆次项系数不是1的时候，转化为⼆次项系数为1来解决. 类型三、完全平⽅公式的应⽤4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平⽅公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为⾮负数的特点在数学学习中有着⼴泛的应⽤，⽐如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最⼤（⼩）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为⽆论x 取什么数，都有（x+3）2的值为⾮负数所以（x+3）2的最⼩值为0，此时x=﹣3进⽽2（x+3）2﹣22的最⼩值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最⼩值是﹣22. 解决问题：请根据上⾯的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最⼩值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵⽆论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为⾮负数，∴（x ﹣1）2的最⼩值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最⼩值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最⼩值是9．【总结升华】此题考查了完全平⽅公式，⾮负数的性质，以及配⽅法的应⽤，熟练掌握完全平⽅公式是解本题的关键．举⼀反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满⾜222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=. 【答案】解：22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--所以()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以3(5)a b b c +=±-所以28a c b b c a +==-或因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，所以8b c a b =-<，⽭盾，舍去.所以2a c b +=.4.平⽅差公式【学习⽬标】1. 能运⽤平⽅差公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和平⽅差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——平⽅差公式两个数的平⽅差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平⽅差公式的特点：左边是两个数（整式）的平⽅，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】4类型⼀、公式法——平⽅差公式 1、分解因式：（1）2()4x y +-；（2）2216()25()a b a b --+；（3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式⾥的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作⼀个整体进⾏分解．【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套⽤公式时要注意字母的⼴泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举⼀反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--；（2）()22234x y x --（3）33x y xy -+；（4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+- 2、分解因式：（1）2128x -+；（2）33a b ab -；（3）516x x -；（4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-．（2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运⽤平⽅差公式分解．（2）因式分解必须进⾏到每⼀个多项式的因式都不能分解为⽌．举⼀反三：【变式】先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）=4a×6b=24ab，当a=，即ab=时，原式=24ab=4．类型⼆、平⽅差公式的应⽤3、阅读下⾯的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算⽅法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣【总结升华】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．5.⼗字相乘法及分组分解法【学习⽬标】1. 熟练掌握⾸项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的⼆次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进⼀步掌握⾸项系数⾮1的简单的整系数⼆次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余⼒的学⽣可进⼀步掌握分数系数；实数系数；字母系数的⼆次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点⼀、⼗字相乘法利⽤⼗字交叉线来分解系数，把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做⼗字相乘法.对于⼆次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=??+=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负⼊⼿，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据⼀次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为⽌.要点⼆、⾸项系数不为1的⼗字相乘法在⼆次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果⼆次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于⼆次三项式2ax bx c ++的⼀次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么⼆次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）⼆次项系数a ⼀般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号⾥⾯的⼆次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于⼀个多项式的整体，若不能直接运⽤提公因式法和公式法进⾏因式分解时，可考虑分步处理的⽅法，即把这个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题⽬进⾏分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常⽤的思路有：⽅法分组⽅法特点分组分解法四项⼆项、⼆项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、⼀项先完全平⽅公式后平⽅差公式五项三项、⼆项各组之间有公因式六项三项、三项⼆项、⼆项、⼆项各组之间有公因式三项、⼆项、⼀项可化为⼆次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某⼀项拆开或填补上互为相反数的两项（或⼏项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进⾏分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进⾏变形.添、拆项法分解因式需要⼀定的技巧性，在仔细观察题⽬后可先尝试进⾏添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和⽅法.【加强版练习题】5类型⼀、⼗字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+ 【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元⼗字相乘可解决.举⼀反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++-- 【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作⼀个整体进⾏⼗字相乘法分解，接着再套⽤⼀次⼗字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】⼗字相乘法对于⼆次三项式的分解因式⼗分⽅便，⼤家⼀定要熟练掌握. 举⼀反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+-- 3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道⼩题结构都⾮常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式⼦中都存在⼤量相同的因式→整体性想法.整体性思路⼜称换元法，这与我们⽣活中搬家有些类似，要先将⼀些碎东西找包，会省许多事. 类型⼆、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平⽅公式熟悉的同学，⼀看见该式，⾸先想到的肯定是式⼦中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前⾯练习中⽆论公式、配⽅、⼗字相乘⼀般都只涉及单⼀字母，其实代数式学习是⼀个结构的学习，其中任⼀个字母均可被⼀个复杂代数式来替代，故有时要有⼀些整体性认识的想法. 举⼀反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、阅读理解：对于⼆次三项式x 2+2ax+a 2可以直接⽤公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接⽤公式法了．我们可以在⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上⼀项a 2，使其成为完全平⽅式，再减去a 2这项，使整个式⼦的值不变，于是⼜： x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并⽤上述⽅法将⼆次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请⽤上述的添项法将⽅程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满⾜xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利⽤（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。
整式的乘法与因式分解讲义课
整式乘除与因式分解一．知识点1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )34．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）2 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。
整式乘法与因式分解辅导讲义(word完整版)
整式乘法与因式分解【知识框架】【知识点&例题】知识点一：“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简例如：[](3)3(3)3-+-=.---=-；[]⑴有理数乘法例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36⑴有理数乘方例如：2-=-.(3)27(3)9-=，3特别地：当n为奇数时，()n na aa a-=.-=-；而当n为偶数时，()n n负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.知识点二：幂运算同底数的幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：,m n 都是正整数）．例1：()()()854x y y x x y -⋅-⋅-【变式一】已知：240x y +-=，求：1233x y-的值【变式二】计算：()()2008200922-+-幂的乘方：幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：,m n 都是正整数）．:例2：()()23211n n a a -+⋅【变式一】若5na =，2nb =，则()32na b =【变式二】已知105a =，106b=，求2310a b +的值积的乘方：积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，n 是正整数）．例3：()322ab -【变式一】()()35232xy y ---【变式二】已知25n x =，求6155n x -的值幂的综合运算（1）()42234122x yxyz ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（2）已知155a b ==-，n 为正整数，你能求出2222n n a b b +的值吗？零指数、负指数：规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 例4:()()2302559131-÷-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--知识点三：乘法公式完全平方差公式：(a+b)(a －b )= a 2－b 2多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 【探究】： 请用剪刀从边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，依据⑴公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课教学课件复习(单项式与单项式、多项式相乘)
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米
的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方
形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
知识讲解
你能用不同的形式表示长方形
绿地的面积吗？
此时绿地面积：
方法1 =( + ) ( + )①
化为单项式乘单项式）
单项式与多项式的乘法法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例3
计算:
(1)
3a(5a b)
(2) - 7x y 2 x 3 y
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
a
2a 3b 0,
∴
∴
2b 3 0,
b
9
,
4
3
.
2
拓展练习
计算：
x2+5x+6
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。
2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。
3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。
2. 整式乘法的运算规则。
3. 因式分解的基本原理和方法。
4. 因式分解的运算规则。
5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。
2. 因式分解的方法和技巧。
3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。
2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。
2. 练习题、测试题等教学资料。
3. 教学黑板、粉笔等教学工具。
4. 投影仪、电脑等教学设备。
六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。
3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。
4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。
七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。
2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。
八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。
2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。
九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。
2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。
整式乘法与因式分解讲义剖析精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第十四章 整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法知识点1 同底数幂的乘法运算同底数幂相乘，底数 ，指数 。
即=•n m a a 1.计算： 52x x ⋅ = ；________； x ·x 2= ；a • a 3•a 5 = ； =⨯555m _______； =⋅+13m m x x ________； x 3n ·x 2n-2＝ ； (－a)·(－a)3＝ ；(－a)4·a 3＝．）（23x x x -⋅= ________； －=⋅23a a ________； =-⋅)(52x x ________；=⨯⨯-34222________； 389)2()2()2(-⨯-⨯- ＝ ； －x 2·(－x)4·(－x)3＝２.若2n ＋2n ＋2n ＋2n＝8，则n ＝ . 3.已知a 2·ax －3＝a 6，那么x 的值为 .若27＝24·2x，则x ＝ .4.计算： (m －n)·(n－m)3·(n －m)4＝ 知识点2 同底数幂的乘法的逆运算例.若3x =5, 3y =7.求3x+y值。
举一反三：1、42=m ，162=n ，求nm +2．2. 若，，，求的值．3.已知,32=x 求32+x 的值。
4．n x =5，用含有n m 、的代数式表示14x ．５．已知4x ＝8，4y ＝32，求x ＋y 的值.14.1.2 幂的乘方幂的乘方底数 ，指数 。
即：()=nma[（32）3]4＝ ；(102)8； ________；[（x 2）3]7 ＝ ；(1) (x m )2＝ ； (a m ＋1)2＝ . (负号的处理)________；________； 52)(x x ⋅-=________；－（a 2）7＝ ；（－a s ）3＝ ； [（－6）3]4＝ ； [(－a)3]5＝ ； [(－x)3]2＝ .23)(m a - ＝ ； ________ 2313-m m x x +⋅=（）（）________．(综合运用)（x 3）4·x 2＝ ； •________；________．()()3224a a ⋅- =________；5342])[()(p p p -⋅-⋅-＝________；________．(－a 2)3·a 3＋(－a)2·a 7－5(a 3)3＝ ； [(x ＋y)3]6＋[(x ＋y)9]2＝ .知识点2 幂的乘方的逆运算例3.已知x n =5，y n =3，求（xy ）3n 的值。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(教师版)
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。
整式的乘除与因式分解单元精编讲义
第十四章 整式乘除与因式分解第一节 整式乘法及应用一、课标导航二、核心纲要1．幂的运算性质 （1）同底数幂的乘法同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．即：m n a a ⋅＝m n a +（m ，n 都是正整数）． 注：①此性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如：m n x a a a ⋅⋅＝m n x a ++； ②此性质可以逆用，即m n a +＝m n a a ⋅；③当幂的指数为1时，可省略不写，但是不能认为没有，如5a a ⋅＝6a ． （2）幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：()m n a ＝mn a （m ，n 都是正整数）． 注：此性质可以逆用，即mn a ＝()n m a ＝()m n a ． （3）积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：()n ab ＝n n a b （n 是正整数）．注：①此性质可推广到多个因数的积的乘方，即：()n abc ＝n n n a b c ． ②此性质可以逆用n n n a b c ＝()n abc ． 2．整式乘法法则 （1）单项式与单项式相乘系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如223abc ab ⋅＝236a b c ．注：①此法则适合多个单项式相乘； ②用法则解题时，可分三步计算：第一步：将系数相乘；第二步：将相同字母相乘；笫三步：将单独的单项式写在积中． （2）单项式与多项式相乘单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，即： ()m a b c ++＝ma mb mc ++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，即：()()m n a b ++＝ma mb na nb +++． 注：①不要漏乘；②注意符号． 3．乘法公式①平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即： ()()a b a b +-＝22a b -；②完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，即：2()a b +＝222a ab b ++，2()a b -＝222a ab b -+（首平方，尾平方，2倍首尾放中央）；③三项完全平方公式：2()a b c ++＝222222a b c ab ac bc +++++； ④二次三项式：()()x a x b ++＝2()x a b x ab +++；⑤222a b c ab ac bc ++---＝2221()()()2a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦； ⑥立方和公式：22()()a b a ab b +-+＝33a b +； ⑦立方差公式：22()()a b a ab b -++＝33a b -． 本节重点讲解：三个性质，三个法则，七个公式． 三、全能突破基础演练1． 下列各式中，计算正确的是（ ）A ．2334a a ⋅＝612aB ．23(4)a a -⋅-＝312a -C ．3223x x ⋅＝56xD ．23()()x x -⋅-＝5x2．（1）计算3()()x y y x -⋅-＝（ ）A ．4()x y -B ．4()y x -C ．4()x y --D ．4()x y +（2）m 为整数，则2()()m n a b b a -⋅-与2()m n b a +-的结果是（ ） A ．相等 B ．互为相反数 C ．不相等D ．以上说法都不对3． 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图14－1－1（a ），我们可以得到两数和的平方公式：2()a b +＝222a ab b ++．你根据图14－1－1（b ）能得到的数学公式是（ ）A ．()()a b a b +-＝22a b -B ．2()a b -＝222a ab b -+C ．()a a b +＝2a ab +D ．()a a b -＝2a ab -4． 计算：①3a a ⋅3＝________．②34()b ＝________． ③3(2)ab ＝________． ④2323(2)x y x y ⋅-＝________． ⑤233()a a a ⋅⋅＝________．5． 计算：（1）4223()()a a -⋅；（2）2233()()(5)ab a b ab ⋅-⋅-． 6． （1）已知4816n n n ⋅⋅＝182，求n 的值．（2）已知a ＝12，mn ＝2，求2()m n a a ⋅的值．（a ）（b ）图14－1－1能者提升7． 若2x ＝14y -，27y ＝13x +，则x y -等于（ ）A ．－5B ．－3C ．－1D ．18． —个正方形的边长增加了2cm ，面积相应增加了32cm 2，则这个正方形的边长为（ ）A ．6cmB ．5cmC ．8cmD ．7cm9． 若M ，N 分别是关于x 的二次多项式与三次多项式，则MN （ ）A ．一定是五次多项式B ．一定是六次多项式C ．一定是二次或三次多项式D ．无法确定次数10．两个连续奇数的平方差是（ ）A ．6的倍数B ．8的倍数C ．12的倍数D ．16的倍数11．已知a ＝12020x +，b ＝11920x +，c ＝12120x +，那么代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．（1）若(3)(4)x x -+＝2x px q ++，那么p ，q 的值分别是________、________． （2）若()(2)ax b x ++＝24x -+，则()b ab +＝________．（3）如()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为________． 13．（1）已知x y -＝4，xy ＝12，则22x y +的值为________．（2）已知实数a ，b 满足2()a b +＝1，2()a b -＝25，则22a b ab ++＝________． （3）已知(2012)(2013)x x --＝2013，求22(2012)(2013)x x -+-＝________． 14．（1）已知25a a -+＝0，则(3)(2)a a -+＝________． （2）若2254x y ++＝2x y +，那么y x -＝________． 15．已知()()a b a b +-＝22a b -，22()()a b a ab b -++＝33a b -，3223()()a b a a b ab b -+++＝44a b -．（1）猜想，当n 为正整数时，()()a b -＝n n a b -；（2）判断1514162141533232322+⨯+⨯++⨯+的个位数字．16．计算：（1）5132212332()()()n n m n m m a a b a b b -+---++-；（2）22()()33m n m n -+--；（3）223()32x y --；（4）(23)(23)x y x y +--+；（5）3321(6)(54)3a a a a -⋅-+-；（6）22(2)(23)x y x xy y -+-； （7）224690123461234512347-⨯； （8）7069(8)0.125-⨯．17．（1）若2n x ＝2，求3222(3)4()n n x x ---的值．（2）已知2235x x ++⋅ ＝3415x - ，求2(1)3(2)4x x x ----的值．18．多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式是什么？19．若a ＝5552，b ＝4443，c ＝3334，d ＝2225，试比较a ，b ，c ，d 的大小．20．（1）先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中x ＝13-．（2）先化简，再求值：2(1)(2)x x x ++-，其中24x ＝3．21．如图14－1－2所示，某市有一块长为(3)a b +米，宽为(2)a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．22．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九竞算法》中提出杨辉三角（如图14-1-3所示），此图揭示了(a ＋b )n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：(a ＋b )0＝1，它只有一项，系数为1；(a ＋b )1＝a ＋b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）(a ＋b )4展开式共有________项，系数分别为________； （2）(a ＋b )n 展开式共有________项，系数和为________． （3）(a ＋b )5展开结果为________．b图14－1－21 1 1 12 13 3 11图14-1-3（4）利用上面的规律计算：25—5×24＋10×23—10×22＋5×2—1．中考链接23．（2012．苏州）若3×9m×27m＝311A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2012．汕头）下列运算正确的是（）A．a＋a＝a2B．(－a3)2＝a5C．3a·a2＝a3D．22)2a25．（2010．佛山）新的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识．（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的？（用（a＋6）（c＋d）来说明）巅峰突破26．已知x是无理数，（x＋1）（x＋3）是有理数，则①x2是有理数；②（x－1）（x－3）是无理数；③（x＋1）2是有理数；④（x＋2）2是无理数，这4个结论中正确的有（）．A．0个B．1个C．2个D．327．计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1的值，并求出其个位数字．28．设a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，a3＋b3＋c3＝36，求：（1）abc的值．（2）a4＋b4＋c4的值．第二节整式除法及应用一、课标导航二、核心纲要1．同底数幂相除同底数幂相除，底数不变，指数相减．即m n m n÷=(a≠0，m，n都是正整数且m＞na a a--=÷．注：此性质可以逆用，即: m n m na a a（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．注：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可，但是单独的单项式不到漏掉．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，即：（a＋b＋c）÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m，其中m为单项式，a＋b＋c为多项式．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，宥括号吋，先算括号里的，去括号时一般由小括号到大括号．本节重点讲解：一个运算性质，两个运界法则，一个运算顺序．三、全能突破基础演练1．若43254()(3)2m n a x y x y x y ÷=，则（ ）． A ．a ＝6，m ＝5，n ＝0 B ．a ＝6，m ＝5，n ＝0 C ．a ＝18，m ＝3，n ＝1 D ．a ＝18，m ＝3，n ＝4 2．下列计算中，正确的是（ ）．A ．(—x )8÷(—x )3＝x 5B ．(a ＋b )5÷(a ＋b )＝a 4＋b 4C ．(x －1)6÷(x －1) 2＝(x －1) 3D ．－a 5÷(—a )3＝a 2 3．a 5÷a 2÷a ＝________，(2x )4÷(3x ) 3＝________． 4．计算：（1）21a 3b 2÷27()2a -（2）6a 5b 6c 4÷（－3a 2b 3c ）÷（2a 3b 3c 3） （3）（6x 3－12x 2＋x ）÷（－3x ）（4）655443333693()45105x y x y x y x y +-÷（5）5xy 2－{2x 2y —[3xy 2—（xy 2—2x 2y ）]÷（－12xy ）}5．计算：（1）8(x －y )4(x ＋y )3÷27[(x ＋y ) (x －y )]3 （2）45121()()[()]n n n a a a a ++--÷⋅-（n 为正整数）能力提升6．如果3a＝5，3b＝10，那么9a b-的值为（）．A．12B．14C．18D．不确定7．已知被除式是x3＋2x2—1，商式是x，余式是－1，则除式是（）．A．x2＋3x—1 B．x2＋2x C．x2－1 D．x2－3x＋1 8．若812x÷92x÷3x＝81，则x＝______．9．已知，x2013－x2012＋x20＋x12＋1被x＋1除后余数为a，则a＝______．10．已知一个单项式乘以12a2b5c所得的积是－23a4b5c2，求这个单项式．11．已知多项式x3－2x2＋ax—1的除式为bx－1，商式为x2－x＋2，余式为1，求a、b的值．12．已知x＝223m+，y＝5＋9m，请你用含x的代数式表示y．13．已知8m＝12，4n＝6，求6212m m-+的值．14．化简求值：[4(xy－1)2－(xy＋2)(2－xy)]÷14xy，其中x＝—2，y＝15．15．先化简，再求值：[4(xy－1)2－(xy＋2)(2－xy)÷14xy，其中y x值．16．已知：长方体的体积为3a3b5cm3，它的长为abcm，宽为23ab2cm．求：（1）它的高；（2）它的表面积．17．求一个关于x的二次三项式y，它被x－1除余2；被x—2除余8，并且被x＋1整除．2323222110010110x x x x x x x x x xx xx x ++-++--++--中考链接18．（2011．荆川）已知A ＝2x ，B 是多项式，在计算B ＋A 时，小马虎同学把B ＋A 看成了B ÷A ，结果得x 2＋12x ，则B ＋A ＝______． 19．（2011•台湾）计算x 2（3x ＋8）除以x 3后，得商式和余式分别为何（ ）． A ．商式为3，余式为8x 2 B ．商式为3，余式为8 C ．商式为3x ＋8，余式为8x 2 D ．商式为3x ＋8，余式为0 20．（2012•东营）若3x ＝4，9y ＝7，则23x y -的值为（ ）． A ．47 B ．74 C ．－3 D ．27巅峰突破21．小秋与小球同学遇到一道题目：求（x 3－1）÷（x －1）的值，小球同学说：“这道题目我会做，我们可以逆用立方差公式就可以了”，小秋说：“其实除了公式，我们还可以使用竖式除法来解决此题”．小秋的计算过程如右图所示： 请你利用小秋的方法解决下列问题：已知：x 2＋2x ＝1，求代数式x 5＋4x 4＋6x 3＋9x 2＋7x －5的值．22．多项式2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋6能被x 2＋x －2整除，求ab 的值．23．已知3n ＋11m 能被10整除，求证：42311n m +++也能被10整除．第三节 因式分解一、课标导航二、核心纲要1.因式分解（1）定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.（2）因式分解与整式乘法互为逆变形()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式的乘法因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式.（3）注意事项①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能分解为止； ②结果一定是乘积的形式；③每个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.（4）在分解因式时，结果的形式要求①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.2.因式分解的常用方法（1）提取公因式法如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂.（2）公式法①平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（a ）公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；（b ）每一项都可以化成某个数或式的平方形式；（c ）右边是这两个数或式的和与它们的差的积，相当于两个一次二项式的积.②完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=-（a ）左边相当于一个二次三项式；（b ）左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；（c ）左边中间一项是这两个数或的积的2倍，符号可正可负；（d ）右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.③立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++欧拉公式：3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++--- 2221()[()()()]2a b c a b b c c a =++-+-+- 特别的：①当0a b c ++=时，有3333a b c abc ++=；②当0c =时，欧拉公式变为两数立方和公式.（3）十字相乘法一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12aa 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a 、b 、c ，使得：12a a a =，12c c c =，1222a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++.若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.（4）分组分解法将一个多项式分成二组或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.（5）分解因式的一般步骤一看有无公因式，二看能否涛公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.3.因式分解的高端方法（1）拆项、添项法将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.注：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.（2）配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况，也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（3）换元法对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.（4）主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解.（5）双十字相乘法双十字相乘法用于对22Ax Axy Cy Dx Ey F +++++型多项式的分解因式.条件：①22A a a =，22C c c =，22F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D +=即：1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D +=则22111222()()Ax Axy Cy Dx Ey F a x b y c a x b y c +++++=++++本节重点讲解：一个定义，九个方法，一个步骤三、全能突破基础演练1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A .()x a b ax bx -=-B .2221(1)(1)x y x x y -+=-++C .21(1)(1)x x x -=+-D .()ax bx c x a b c ++=++2.（1）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A .21x +B .221x x +-C .21x x ++D .244x x ++（2）下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A .22()a b +-B .2520m mn -C .22x y --D .29x -+ 3.若2294x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A .6B .±6C .12D .±124.用适当的方法分解下列因式：（1）4325286x y z x y -（2）2223224612x y x y x y -+-（3）21215()10()(n n a a b ab b a n +---为正整数)（4）34m m -（5）222292416x y x y x ++5.用十字相乘法分解下列因式：（1）276x x -+（2）2215y y --（3）231110x x -+（4）226a ab b --（5）22121115x xy y --（6）2()3()10x y x y +-+-能力提升6.把2222a a b b +--分解因式的结果是（ ）A .()(2)(2)a b a b -++B .()(2)a b a b -++C .()()2a b a b -++D .22(2)(2)a b b a -- 7.已知x 为有理数，则多项式2114x x -+-的值为（ ） A .一定是负数B .不可能为正数C .一定为正数D .可能为零、正、负数8.在实数范围内分解因式26a -= .9.请你写一个能先提公因式,再运用公式来分解因式的三项式,并写出分解因式的结果 .10.用简便方法计算:(1)227.29 2.71- (2)4413423.7 1.35555-⨯+⨯-⨯11.请分解下列因式:(1)2a ab ac bc -+-(2)3223x x y xy y +--(3)222222a b c bc ab ca ++--+(4)54321x x x x x -+-+-(5)2(32)3mx m x m +-+-(6)2(2)2k x x k --+(7)222(1)41m n mn n -+-+(8)4322928x x x x +--+12.已知a 、b 、c 满足8a b -=，2160ab c ++=，求2a b c ++的值.13.设x 为正整数，试判断105(2)x x x +++是质数还是合数，请说明理由.14.化简：220121(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++，且当2x =-时求原式的值.15.已知多项式322x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值.16.已知：221a b +=，221c d +=，且0ac bd +=，求ab cd +的值.17.观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-23(1)(1)1x x x x -++=-324(1)(1)1x x x x x -+++=-……（1）分解因式：51x -= .（2）根据规律可得1(1)(1)n x xx --+++= （其中n 为正整数）. （3）计算：5049482(31)(333331)-++++++18.（1）若a 、b 、c 是三角形的三条边，求证：22220a b c bc ---<.（2）在△ABC 中，三遍分别为a 、b 、c ，且满足a b c ++=22232a b c ++=，试探究△ABC 的形状.（3）在△ABC 中，三边分别是a 、b 、c ，且满足222()()()0a b c b c a c a b -+-+-=，试探究△ABC 的形状.19.（1）分解因式：2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++（2）求证：多项式22(4)(1021)100x x x --++的值一定是非负数.20. 分解因式：3234x x -+中考链接21.（2012·潍坊）分解因式：32412x x x --= .22.（2011·天津）若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ）A .0x y z ++=B .20x y z +-=C .20y z x +-=D .20z x y +-= 23.（2012·宜宾）已知381P xy x =-+，22Q x xy =--，当0x ≠时，327P Q -=恒成立，则y 的值为 .巅峰突破24.已知等腰三角形ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，且满足24a bc b ca +++=，则这样的三角形共有 个.25.（1）分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+.（2）分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-.26.分解因式：2231092x xy y x y --++-.第十四章综合测试题(满分100分，时间90分钟）―、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．化简(－x)3·(－x)2的结果正确的是( )A．－x6 B．x6 C．x5 D．－x52．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①3a + 2b=5ab；②4m3n－5mn3 =－m3n；③4x3·(－2x)=－6x5；④4a3b÷(－2a2b)=－2a；⑤(a3)2=a5；⑥（－a）3÷(－a)=－a2其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．(x2－mx＋6)(3x－2)的积中不含x的二次项，则m的值是( )A．0B．23C．23-D．32-4．若x2+2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值等于( )A．3B．－5C．7D．7或－1 5．计算(x n+1)2·(x2)n－1的值为( )A．x4n B．x4n＋3 C．x4n＋1 D．x4n－1 6．下列因式分解正确的是( )A．4－x2+3x=(2－x)(2＋x)+3x B．－x2＋3x+4=－(x+4)(x－1)C．1－4x＋4x2=(1－2x)2D．x2y－xy＋x3y=x(xy－y＋x2y)7．从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如下图所示，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是( )A．a2-b2=(a+b)(a-b)B．(a-b)2=a2-2ab+b2C．(a+b)2= a2+2ab+b2D．a2+ab=a(a+b)8．当(－b n)m=－b mn成立，则( )A．m，n必须同时为正奇数B．m，n必须同时为正偶数C．m为奇数D．m为偶数9．如果a=255，b=344，c=433，那么( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c ＞a＞b D．c＞b＞a10．对于任何整数m，多项式(4m+5)2－9都能( )A．被8整除B．被m整除C．被m－1整除D．被(2m －1)整除二．填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11．若4a=2a+5，求(a－4)2013= ．12．计算(x+5)(x2+25)(x－5)= ．13．如果(2a+2b+1 )(2a+2b－1 )=63，那么a+b的值为．14．若正方形的面积是9x2+6xy+y2(x＞0，y＞0)，则它的边长是．15．如果x+y=0，xy=－7，则x2y+xy2= ，x2+y2= ．16．已知: x+y=0．5，x+3y=1．2，则3x2+12xy+9y2= ．17．(a+b)(a－b)(a4+a2b2+b4)÷(b6－a6)= ．18．把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的结果是．19．若10m-，将mx2－ny2因式分解得．20．计算:2－22－23―…―218－219＋220= ．三．解答题(21，24每题12分，22，23，25，26题每题5分，27题每题6分)21．计算与化简:(1)3x2·(－2xy3) (2)2a2(3a2－5b)(3)(－2a2)(3ab2－5ab3) (4)(5x+2y)(3x－2y)(5)(3y ＋2)(y －4)－3(y －2)(y －3) (6) 20201312133()⎛⎫ ⎪⎭∙⎝－22．若2x ＋5y －3=0，求4x ·32y 的值．23．已知:x 2+xy =12，xy +y 2=15，求(x +y )2－(x +y )(x －y )的值．24．将下列各式分解因式:(1)4x－16x3(2)2a(x+1)2－2ax(3)4a(b－a)－b2(4)(a－b)(3a+b)2+(a+3b)2(b－a)25．已知:112a m=+，122b m=+，132c m=+，求a2+2ab+b2－2ac+c2－2bc的值．26．△ABC的三边a，b，c有如下关系式:－c2+a2+2ab－2bc=0，求证这个三角形是等腰三角形．27．已知:长方形的长，宽为x，y，周长为16cm，且满足x－y－x2+2xy－y2+2=0，求长方形的面积．。