《3.1.2复数的引入(1)》导学案(新部编)1
高中数学 3.1.2 复数的几何意义教案 选修1-2
3.1.2 复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．(教师用书独具)●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)复平面【问题导思】1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的几何意义【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z与向量OZ→有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】一一对应．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应平面向量OZ→.为方便起见，我们常把复数z＝a＋b i说成点Z或说成向量OZ→，并且规定，相等的向量表示同一个复数．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，且r＝a2＋b2(r≥0，且r ∈R).复平面内的点同复数的对应关系(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2.∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )．2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部． 在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m . (1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2. (2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1± 5.复数的模的求法已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ，(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2. (2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2.|z 2|＝－122＋－322＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数． (2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解． 【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限． 【答案】 C2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3【解析】 由复数的几何意义可知OZ →对应的复数为－3i. 【答案】 C3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．【解】 由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，OZ 4→.一、选择题1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( ) A.π6B ．－π6 C.2π3D ．5π6【解析】 ∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π.【答案】 D2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2【解析】 ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.【答案】 A3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．±1或0【解析】 由题意得，a 2＋4＝4＋1⇒a 2＝1⇒a ＝±1. 【答案】 C4．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数【解析】 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2，又z ＝|z |，即a 2＋b 2＝a . ∴b ＝0，a ≥0，即z 是非负实数． 【答案】 D5．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数【解析】 ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0， ∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确， ∴C 正确． 【答案】 C 二、填空题6．复数z ＝log 123＋ilog 312对应的点位于复平面内的第________象限．【解析】 ∵log 123<0，log 312<0，∴z 对应的点在第三象限． 【答案】 三7．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.【解析】 设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5.【答案】 58．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 【解析】 由题意得x －12＋2x －12<10，∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－45<x <2.【答案】 (－45，2)三、解答题9．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点， (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．试分别求实数m 的取值范围．【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意，得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1.∴－1＜m ＜1， 即m ∈(－1,1)．(3)由已知，得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.10．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．【解】 ∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立，等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＝0，1－a 2>0，解得a ＝12，∴a ＝12时，0·x 2＋(1－14)＞0恒成立．或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－41－2a 1－a 2＜0.解得－1＜a ＜12.∴a ∈(－1，12)．综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}．11．如图3－1－1，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图3－1－1(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数； (2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．【解】 (1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ， ∴AO →表示的复数为－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋－22＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x 2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.(教师用书独具)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z . 【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组． 【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝1，a 2＋b 2＝1，a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a 2＋b 2＝1，a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝－22.∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. 解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ →与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．【解】 (1)∵点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB →＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)，∴AB →对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.。
《3.1.2复数的几何意义》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.2复数的几何意义》导学案【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识【学习目标】：1、理解复数与复平面的点之间的一一对应关系；2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法.【学习重点】：理解复数与复平面的点之间的一一对应关系.【学习难点】：理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法.【教学过程】：一：回顾预习案●1、若R d c b a ∈,,,，我们规定⇔+=+di c bi a .●2、复数的分类：对于复数bi a +，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数；●3、复数的几何意义：(1)复数=z bi a +，可以由一个有序实数对 唯一确定，有序实数对),b a （与 一一对应，所以复数集与 一一对应.(2)点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数=z bi a +可用 表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ，实轴上的点都表示 ，出来原点外，虚轴上的点都表示 .(3)复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数←−−−→一一对应复平面内的点←−−−→一一对应平面向量.规定：相等的向量表示同一个复数.(4)复数=z bi a +的模等于 .练习：口答.105页1，2，106页，4二 讨论展示案 合作探究，展示点评例1、(1)()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限(2)当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(3)若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．(4)复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i (a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.(5) 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．例2、已知复数i z 431-=，i z 23212+=，试比较它们模的大小.例3、已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .例4、若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i (k ∈R )所对应的点在第三象限，求k 的取值范围.例5、课本55页A 组第5题.例6，106页A 组第6题。
《3.1.2复数的引入(1)》教学案1
《3.1.2复数的引入(1)》教学案教学要求:理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系.教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？(让学生感受数系的发展与生活是密切相关的)2．判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与∆的关系)：(1)2340x x --= (2)2450x x ++= (3)2210x x ++= (4)210x += 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案. 讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？ 实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+(复数的代数形式)，其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集. 练习：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部.23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等. ②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数.④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z b a b b a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(虚数 (纯虚数( 上述练习中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例1(引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论)例1:当x 为何实数时，复数(2)(3)i :z x x =-++是 (1)实数？ (2)虚数 (3)纯虚数解:(1)当x +3 =0 ，即x =-3 时，复数z 是实数．(2)当 x +3≠0 ，即m ≠-3 时，复数z 是虚数．(3)当2030x x -=⎧⎨+≠⎩即x =2 时，复数z 是纯虚数． 3.复数相等的概念①定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等. ②复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋bi ＝c ＋di ⇔a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 4.出示例2例2 求适合下列方程的x 和y (x ，y 为实数)的值：(1)(x +2y )-i =6x +(x -y )i ；(2)(x +y +1)-(x -y +2)i =0.解：(1)根据复数相等的定义，得 261x y x x y +=⎧⎨-=-⎩解这个方程组，得25,;33x y == (2)由复数等于零的充要条件，得10(2)0x y x y ++=⎧⎨--+=⎩解这个方程组，得31,.22x y =-=练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.(讨论3(4)k i +-中，k 取何值时是实数？)三、课堂小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.四、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部.())4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯ 2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大.② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数. 3若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？4．．已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)Z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：(1)实数 (2) 虚数 (3)纯虚数 (4)零。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案(含解析)新人教A版选修2-
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.2 复数的几何意义［学习目标]1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．[知识链接]1．下列命题中不正确的有________．(1)实数可以判定相等或不相等；（2）不相等的实数可以比较大小；（3)实数可以用数轴上的点表示;(4)实数可以进行四则运算；(5）负实数能进行开偶次方根运算；答案（5）2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a＋b i(a，b∈R），都和一个有序实数对(a，b）一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答案由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．［预习导引]1．复数的几何意义（1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．（2）复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋b i(a,b∈R）错误!复平面内的点Z(a，b）；②复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!平面向量错误!＝（a，b)．2．复数的模复数z＝a＋b i（a，b∈R）对应的向量为错误!,则错误!的模叫做复数z的模，记作｜z|,且|z｜＝错误!。
课件6：3.1.1 实数系~3.1.2 复数的引入(一)
2.复数的分类
（a＋b复i，数a，b∈R）虚实数数（（b≠b＝0）0）纯非虚纯数虚（数（a＝a0≠）0）
3.复数相等的充要条件 设 a、b、c、d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且__b_＝__d___；
a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝__0__．
想一想 2.两个复数能不能比较大小？ 【答案】当两个复数不全是实数时，不能比较大小， 只可判定相等或不相等；当两个复数都是实数时，可 以比较大小．
解：∵x，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，
可得23xx－＋yy＝＝37，x－5y，解得yx＝＝3294.，
名师点评 根据复数相等的充要条件，可以得到两 个仅含有实数的等式，从而确定两个独立的参数， 这是复数问题实数化的思想方法的具体体现．
变式训练
3.关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根， 求实数 a 的值． 解：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为
m2－2m≠0
即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
名师点评 复数的代数形式z＝a＋bi(a,b∈R)中注意以下 两点： (1)a，b∈R，否则不是代数形式； (2)z＝a＋bi是实数、虚数还是纯虚数，要从代数形式上 进行判断．如z＝bi不一定是纯虚数，只有b≠0时，才是 纯虚数．
互动探究 2.本例中，复数 z＝(m2－2m)＋m2＋mm－6i，m 为何值时， z 是(1)实数？(2)纯虚数？
做一做
1.有下列五个数：2＋3i，－4i，5－ 3，73，－2，其中实数
有( B )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【解析】由复数的定义可知：5－ 3，73，－2 是实数，
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一)学案 新人教B版选修12
3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一) 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念(1)复数①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).(2)复数集①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3.复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题.探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数.思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立.(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数. 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数.解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数. (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数.(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1 答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案 C3.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4.下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数.其中正确命题的个数为( )A.3B.4C.5D.6 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.[呈重点、现规律]1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.。
高中数学《3.1.2复数的几何意义》导学案 新人教A版选
3.1.2复数的几何意义 【使用说明】 1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
1． 【重点难点】理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
【学习目标】 1、 知识与技能：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 （1）通过实例分析，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 2、过程与方法：小组合作探究； 3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
一，自主学习 ① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两
实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ） 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论
三总结 四检测 1． 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2．
(
))4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯ 3． 若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数a 的取值。
变式：若z 表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a 的取值。
学案2：3.1.2复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义导学案【学习目标】1. 用复平面内的点表示复数；2. 用平面向量表示复数.3. 灵活运用复数的几何意义解决一些简单问题.【自主学习】（认真自学课本）任务1：阅读教材,理解下列问题：1. 复数与点的一一对应：复数 z ＝a ＋b i 可用点Z (a , b )来表示，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．每一个复数，在复平面内有唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．2. 复数集C 和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即3. 共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．4. 思考：若z 1，z 2是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？4. 设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连结OZ ，显然向量OZ 由点Z 唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ 唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即5. 复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z |或|a ＋bi |.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝22b a (r ≥0，r ∈R).如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.任务2：完成下列问题：说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格子边长为1）：【合作探究】例1：实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：①对应点在实轴上方；②对应点在直线x＋y＋5＝0上.【目标检测】1. 下列命题，其中正确的个数是( )(1)互为共轭复数的两个复数的模相等(2)模相等的两个复数互为共轭复数(3)若与复数z＝a＋bi对应的非零向量与虚轴平行，则a＝0，b≠0A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z的共轭复数w＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( ) A．－2i B．2i C．－4i D．4i4. 设z＝(2t2＋5t－3)－(t2＋2t＋2)i(t∈R)则( )A. z 对应的点在第一象限B. z 一定不为纯虚数C. z 对应的点在实轴下方D. z 一定为实数5．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，则复数z =_________________.6．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限； (2)位于实轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．【答案】1 B2 A.3 C ．4 C.5 −1±√3i6 (1) −7<m <3 (2)m=4 (3)m ≥4 或m ≤−7。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《3.1.2复数的引入(1)》导学案
【学习目标】
1、理解复数的概念.
2、掌握复数的分类，明白各数系间的关系.
3、知道复数相等的充要条件，并会应用它求参数.
【学习过程】
一．自我阅读：(课本第51页至第52页)完成知识点的提炼
1.复数的概念：
(1)虚数单位：数__________叫做虚数单位，满足i 2=__________.
(2)复数：形如__________叫做复数，常用字母__________表示，全体复数构成的集合叫做__________，常用字母__________表示，记作__________.
(3)复数的代数形式：__________，其中__________叫做复数的实部，__________叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是__________数.
(4)对于复数a +bi (a ，b ∈R )，
当且仅当__________时，它是实数；
当且仅当__________时，它是实数0；
当且仅当__________时， 叫做虚数；
当且仅当__________时， 叫做纯虚数；
(5)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则
a ＋bi ＝c ＋di ⇔__________；a ＋bi ＝0⇔_____________.
注意:两复数__________比较大小.
试试：下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+2i ，0.618，，0，5i +8，3-9i
二．研究课本例题：(是对基本知识的体验)
例1:当x 为何实数时，复数(2)(3)i :z x x =-++是 (1)实数？ (2)虚数 (3)纯虚数
变式：已知复数22276(56)()1
a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分
别为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩
实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 例2 求适合下列方程的x 和y (x ，y 为实数)的值：
(1)(x +2y )-i =6x +(x -y )i ；
(2)(x +y +1)-(x -y +2)i =0.
【课堂小结与反思】(体会本节课所学知识、题型、方法)用自已的语言来概述本节课题的内容如下：
1. 复数的有关概念；
2. 两复数相等的充要条件；
3. 数集的扩充
.
【课堂自我检测】
1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数( )
A ．0
B ．1-
C ． 2-
D ．3-
2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有( )
A ．0b d +=且0a c +≠
B ．0b d +≠且0a c +=
C ．0a d +=且0b d +≠
D ．0b c +=且0b d +≠
3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数，那么实数a 的值为( )
A ．1或2-
B ．1-或2
C ．1或2
D ．1-或2-
4.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是__________.
5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数
x =__________ ；y =__________.
6.实数m 取什么值时，复数 z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i .
(1)实数__________ (2) 虚数__________ (3)纯虚数__________ (4)零__________.
【课后作业】
1.设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的是 ( ) A . A ∪B ＝C B . ∁U A ＝B C . A ∩∁U B ＝∅ D . B ∪∁U B ＝C
2．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．下列命题中，正确的是( )
A ．若z 2
1＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0
B ．任何数的偶次幂都不小于0
C ．若复数z ≠0，则z >0或z <0
D ．虚部为0的数一定是实数
4．复数z 1＝(2m ＋7)＋ (m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i (m ∈R )．当z 1＝z 2时，则m ＝________.
5求适合下列方程的实数与的值:
(1)(32)(5)172x y x y i i ++-=-
(2)(3)(4)0x y x i +-+-=
6. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.
(1)实部为
(2)虚部为
(3)虚部为
7.已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：
(1)实数；(2) 虚数；(3)纯虚数；(4)零.
8.实数x 分别取什么值时，复数xi x z ++=12对应的点Z .
(1)在第四象限？(2)直线上03=--y x ？。