07.12.06高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定(一)》
2.3.1直线与平面垂直的判定]
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解：取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM. 因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EM ∥AD. 又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1，所以 EM⊥平面 ABB1A1， 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，∠EBM 即为 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2， 则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. EM 2 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝ BE ＝ ， 3 2 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3
而 AO＝ AD －OD ＝ 6 ∴EF＝ a. 6
2
2
6 3 a－ a 2＝ 3 a. 3
2
3 ∴在 Rt△EFC 中，CE＝ a， 2 6 a EF 6 2 sin∠ECF＝CE＝ ＝ . 3 3 a 2 ∴CE 与底面 BCD 所成的角是一个锐角， 2 且它的正弦值为 . 3
2．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，求直 线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值．
D1
A1 D
B1
C1
C B
A
2.判断正误
(1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直，则这条直线垂直于三角形所在的 平面。(√ ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直，则这条直线垂直于平行四边 形所在的平面。(×) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 (√ )
A A B
D
C C
A D B
D
C
B ABC D 实验： 过 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将 C B 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）
高一数学教案第一课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定.doc
第一课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定教学要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.教学重点：直线与平面垂直的判定定理.教学难点：判定定理的应用.教学过程：一、复习准备：1. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.2. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉？（竖直站立的人与地面、旗杆与地面、生日蛋糕与蜡烛┅）二、讲授新课：1.教学直线与平面垂直的定义：①引入：一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停的走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直. ②定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）③举例：生活中直线与平面垂直的现象有哪些？→提问：你觉得垂直的依据是什么？→思考：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？2.教学直线与平面垂直的判定：①实验：一本书水平放在桌面上，翻动其中的一页，在翻动的过程中，水平书边所在的直线与桌面的关系不断变化，当满足什么条件时，它与桌面所在的平面垂直呢？ →折三角形纸片②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形语言→符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α→辨析（讨论正确性）：A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.③练习：如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，与平面''B C CB 垂直的直线有 ；与直线'AA 垂直的平面有 .④出示例1：如图，已知//,a b a α⊥，求证：b α⊥（分析：线面垂直→线线垂直→线面垂直）⑤练习：P73探究； P74 练习1（线线垂直→线面垂直→线线垂直）⑥定义：直线与平面所成角；→ 讨论范围（00090α≤≤）；→ 辨析（P74 练习3）. ⑦出示例2：在正方体''''ABCD A B C D -中，求直线'A B 和平面''''A B C D 所成的角.（讨论→老师引导→学生版书）3. 小结： 直线与平面垂直的定义与判定.三、巩固练习： 1. 平行四边形ABCD 所在平面α外有一点P ，且PA =PB =PC =PD ，求证：点P 与平行四边形对角线交点O 的连线PO 垂直于AB 、AD2. 如图，已知AP O ⊥所在平面，AB 为O 的直径，C 是圆周上的任意，过点A 作AE PC ⊥于点E. 求证：AE ⊥平面PBC.3. 作业： 教材P74 2、3第二课时 2.3.2平面与平面垂直的判定教学要求：掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角.教学重点：平面与平面垂直的判定定理.教学难点：判定定理的应用及二面角的求法.教学过程：一、复习准备：1.复习直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）.2.探究：已知三棱锥P-ABC ，作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ，当给定什么已知条件时，O 分别是三角形ABC 的外心、垂心？（参考教材P74 练习2）3.实际需要引出二面角的定义：修筑水坝、发射人造地球卫星.二、讲授新课：1.教学二面角的定义：①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）②二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.2.教学平面与平面垂直的判定：①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （能用定义来判定两个平面是否垂直？）②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直） ③出示例1：如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .（讨论→师生共析→学生试写证明步骤→归纳：线线垂直→线面垂直→面面垂直）④练习：教材P77页探究题⑤出示例2：已知空间四边形ABCD 的四条边和对角线都相等，求平面ACD 和平面BCD 所在二面角的大小. (分析→学生自练)⑥练习：如图，已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ==，求以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小？3. 小结：二面角的定义、二面角的平面角、二面角平面角的求法、平面与平面垂直的判定.三、巩固练习：1、 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ABCD ⊥底面，E PC 是的中点，求证：（1）//PC BDE 平面；（2）.PAC BDE ⊥平面平面2、在正方体''''ABCD A B C D -中，二面角'A 'D －C －B 的余弦值.3、作业：教材P81－82页第4、7题.第三课时 2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质教学要求：掌握两个定理及定理的应用.教学重点：两个定理的应用.教学难点：两个定理的应用.教学过程：一、复习准备：1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.2.练习：对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）①,//m n m α⊥,//n β②,,m n m n αβα⊥⋂=⊂③//,,m n n m βα⊥⊂④//,,m n m n αβ⊥⊥. 3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系？二、讲授新课：1. 教学直线与平面垂直的性质定理：①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）②练习：,,a b c 表示直线，M 表示平面，则//a b 的充分条件是（ ）A 、a cbc ⊥⊥且B 、////a M b M 且C 、a M b M ⊥⊥且D 、,a b c 与所在的角相等③出示例1：设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足什么条件？（分组讨论→师生共析→总结归纳）（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）2.教学平面与平面垂直的性质定理：①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直→线面垂直）探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条.②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.③出示例2、如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.④练习：如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，a αβ⋂=，求证：.a γ⊥3. 小结：直线、平面垂直的性质定理及其应用.三、巩固练习：1、下列命题中，正确的是（ ）A 、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B 、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C 、若,a b 异面，过a 一定可作一个平面与b 垂直D 、,a b 异面，过不在,a b 上的点M ，一定可以作一个平面和,a b 都垂直.2、如图，P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB CB PAB M PC =⊥平面是的中点，N 是AB 上的点，3.AN NB =求证：.MN AB ⊥3、教材P81页2、3、5题。
数学：2.3.1《直线与平面垂直的判定》课件
斜射角 （线面成角）
巩固练习 1.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 一定是相交直线 （×） （×） （2）两条相交直线在同一平面内的射影 （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （×） （4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （×）
《直线与平面垂直的判定》
旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
肥城一中高一数学组
教学目的
• 1.理解直线与平面垂直的定义； • 2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其 应用； • 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问 题. • 教学重点：直线与平面垂直的判定定理内 容及其应用. • 教学难点：直线与平面垂直的判定定理内 容及论证过程
直线与平面垂直的判定定理： 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
线线垂直，则线面垂直
n m n P l l m l n m
l
α
m
P
n
线不在多，相交就行
例题示范,巩固新知 例1、如图，已知a∥b，a⊥α 。 求证：b⊥α 。 分析：在平面内作两条相交直线， 由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
a
b
线面垂直→线线垂直→线面垂直 阅读P66页的证明过程.
巩固练习
判断题 (1) l l与
(2) (3)
m , m l (× ) l ,n , n l
l
∥
, n l m, m ∥ n (
相交(√源自))巩固练习 2.过 ABC 所在平面 外一点,作 ,垂足 P PO
2.3.1直线与平面垂直的判定
A αa b lABCD1A1B 1C1DEFH αPl BA CD1A 1D1C1B2.3.1 直线与平面垂直的判定一、课程标准要求1．理解直线与平面垂直的定义；2．理解并掌握直线与平面垂直的判定； 3．能运用定理和已获得的结论解决直线和平面垂直的问题.二、自主课前预习1．异面直线垂直的定义：若a 、b 是异面直线，过a 上任意一点作b c //，如果 ，则称异面直线a 、b 互相垂直，记作 .2．直线与平面垂直： （1）定义：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，那么直线l 与平面α互相垂直，记作 .直线l 叫做平面α的 ，平面α叫做直线l 的 .它们惟一的公共点叫做 ； （2）画法：画直线与平面 垂直时，通常把直线画成与表 示平面的平行四边形的一边垂 直，如图所示.3．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条 直线，那么这条直线就与这个平面 ； 用符号语言描述（如图）：⇒ ；可简述为： ⇒ .4．在三棱锥ABC P -中，PA 、BA 、CA 两两互相垂直，则图中的线面垂直关系有 ；5．在正方体1111D C B A ABCD -中， （1）与直线CD 垂直的平面是 ； （2）与平面11A ABB 垂直的直线是 .三、例题精选例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：⊥AC 平面11B BDD .例2．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上的一点，PC AE ⊥于E .求证：⊥AE 平面PBC .例3．如图，已知长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 为正方形，E 为线段1AD 的中点，F 为1BD 的中点.（1）求证：⊥EF 平面11B BCC ；（2）设H 为线段1CC 的中点，当ADDD 1为多少时，⊥DF 平面HB D 1?并说明理由.SABCDPABCDOA B C D EM 四、知识与方法：1．掌握直线与平面垂直的定义和画法；2．能对直线与平面垂直的判定熟练进行文字、图形、符号的相互转化；2．能熟练运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直问题.五、分层练习 A 、基础性练习：1．直线⊥l 平面α，直线α⊂m ，则l 与m 的位置关系是 .2．直线⊥l 平面，平面//α平面β，则直线l 与平面β的位置关系是 .3．在正方体1111D C B A ABCD -中，1AC 与BD 的位置关系是 .4．在下列说法中：（1）过一点和已知平面垂直的直线只有一条；（2）过一点和已知直线垂直的平面只有一个；（3）一条直线垂直于平面内两条直线，则这条直线就垂直于这个平面；（4）一条直线与平面平行，则这条直线上任意两点到平面的距离相等，其中错误的有（ ）个.（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．已知直线b a ⊥，直线⊥b 平面α，则a 与α的位置关系是( ).（A ）α⊥a (B)α//a(C) α⊂a (D) α//a 或α⊂a6．四棱锥ABCD P -的底面是边长为1的正方形，BC PD ⊥，2=PC ，则=PB .B 、综合性练习：7．如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线的交点，PC PA =，PD PB =，求证：⊥PO 平面ABCD .8．在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：⊥1AC 平面11D CB .9．如图，S 是直角ABC ∆所在平面外一点，且SC SB SA ==，点D 为斜边AC 的中点. 求证：⊥SD 平面ABC .10．如图，已知ABC ∆为正三角形，⊥EC 平面ABC ，CE BD //，BD CA CE 2==，M 是EA 的中点.求证：（1）DA DE =；（2）//DM 平面ABC ；（3）⊥DM 平面ECA .C 、拓展训练：11．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC A A =1，⊥AD 平面BC A 1，其垂足D 在直线B A 1上，P 为AC 中点.（1）求证：B A BC 1⊥；（2）求证：D C C A 11⊥；（3）若3=AD ，2==BC AB ，求三棱锥BC A P 1-的体积.反思与总结：.自主课前预习答案：1．c a ⊥；b a ⊥；2．（1）任意一条；α⊥l ；垂线；垂面；垂足；3．相交；垂直；⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊂=⊥⊥ααb a A b a b l a l ,, ；α⊥l ；线线垂直；线面垂直； 4．⊥PA 平面ABC ,⊥BA 平面PAC ,⊥CA 平面PAB ；5．（1）平面11A ADD ，平面11B BCC ；（2）BC ，11C B ，11D A ，AD ． 例题精选：例1．分析：要证明直线和平面垂直，首先要分析看能否证明直线与平面内的两条相交直线垂直．证明：∵AB BB ⊥1，BC BB ⊥1，∴⊥1BB 平面AC ，又⊂AC 平面AC ，∴AC BB ⊥1，又四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，又⊂BD 平面11B B D D ，⊂1BB 平面11B B D D ，B BD BB = 1∴⊥AC 平面11B BDD ．点评：要熟练运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直问题．例2．分析：只需要证明AE 垂直于平面PBC 内两条相交直线即可．已知PC AE ⊥，只需证明BC AE ⊥，即只需要证明BC 垂直于平面PAC ．证明：∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，又∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，而A AC PA = ，∴⊥BC 平面PAC ，∴AE BC ⊥，又∵PC AE ⊥，C BC PC = ，∴⊥AE 平面PBC .点评：线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理可以实现线面垂直和线线垂直的相互转化．例3．分析：（1）证明直线与平面垂直的方法有两个：<1>证明直线与平面内的两条相交直线垂直；<2>利用平行直线或平行平面转移，此题用方法<2>较好；（2）连结HF ，由于B C H H C D ∆≅∆11，可得HB HD =1，又F 是1BD 的中点，因此B D HF 1⊥；而要证明⊥DF 平面HB D 1，只需证明：1BD DF ⊥且FH DF ⊥，若DB D D =1，则恰好得证．解：（1）证明：∵E 、F 分别是A D 1、B D 1的中点，∴AB EF //，∵1111D C B A ABC D -是矩形，∴⊥AB 平面11B B C C ，∴⊥EF 平面11B B C C ；（2）当DB D D =1即21=ADDD 时，⊥DF 平面HB D 1；证明：连结FH 、DB ，由DB D D =1，DB D D ⊥1可得：DB D 1∆是等腰直角三角形，∵BAC1A 1B 1C P DABCD1A1B 1C1D EFHF 为B D 1的中点，∴F D DF 1=，B D DF 1⊥，在矩形11C C D D 中，H 是1CC 的中点，∴DHC HC D ∆≅∆11，∴DH H D =1，∴DHF HF D ∆≅∆1，∴DFH FH D ∠=∠1，又易证BCH H C D ∆≅∆11，∴BH H D =1，∴B D FH 1⊥，∴︒=∠90DFH ，∴FH DF ⊥，∵F FH B D = 1，∴⊥DF 平面HB D 1． 点评：在立体几何问题中，注意把它分解为各个平面内的平面几何问题来解决．A 、基础性练习：1．垂直；2．垂直；3．垂直；4．A ；5．D ；6．3．B 、综合性练习：7．证明：∵ ABCD 是平行四边形，∴OC AO =，OD BO =，∵PC PA =，PD PB =，∴AC PO ⊥，BD PO ⊥，∴⊥PO 平面ABCD ．8．证明：连结11C A ，∵⊥1AA 平面1111D C B A ，⊂11D B 平面1111D C B A ，∴111D B AA ⊥，∵1111D B C A ⊥，∴⊥11D B 平面11C AA ，∴111AC D B ⊥，同理，C B AC 11⊥，∴⊥1AC 平面11D CB .9．证明：∵SC SA =，D 为AC 的中点，∴AC SD ⊥，∵︒=∠90ABC ，∴DA DB =，又，∵SB SA =，SD SD =，∴SBD SAD ∆≅∆，∴︒=∠=∠90SDB SDA ，∴DB SD ⊥，∴⊥SD 平面ABC .10．证明：（1）过D 作EC DN ⊥于N ，∵⊥EC 平面ABC ，CE BD //，∴CB EC ⊥，CB DB ⊥，∴四边形BCND 是矩形，∴BC DN =，NE CN DB ==，∵BC AB =，︒=∠=∠90DNE DBA ，∴DNE ABD ∆≅∆，∴DA DE =；（2）取AC 中点F ，连结MF 、BF ，∵M 为EA 的中点，∴EC MF //且EC MF 21=，∵CE BD //且CE BD 21=，∴BD MF //且BD MF =，∴四边形BDMF 是平行四边形，∴BF DM //，∴//DM 平面ABC ；（3）∵⊥CE 平面ABC ，∴BF CE ⊥，∵BF DM //，∴DM CE ⊥，∵DA DE =，M 为AE 的中点，∴AE DM ⊥，∴⊥DM 平面ECA ． C 、拓展训练：11．解（1）证明：∵111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ，∴BC A A ⊥1，∵⊥AD 平面BC A 1，∴AD BC ⊥，∴⊥BC 平面AB A 1，∴BC B A ⊥1；（2）连结1AC ，∵11A ACC 为矩形，AC A A =1，∴四边形11A A CC 为正方形，∴C A AC 11⊥，∵⊥AD 平面BC A 1，∴AD C A ⊥1，∴⊥C A 1平面D AC 1，∴D C C A 11⊥；（3）∵⊥BC 平面AB A 1，∴AB BC ⊥，∵P 为AC 的中点，∴22121=⋅==∆∆AB BC S S ABC PBC ，在直角三角形AB A 1中，B A AD 1⊥，∴22AD AB BD -=ABCD 1A1C1D1BA BC D E MN F=1，由ABD ∆与1ABA ∆相似得：321=A A ，3343111=⋅=∆-A A S V BCP BC A P .。
高一数学 直线与平面垂直的判定及性质【经典整理含答案】
直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面. ②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.线面垂直的判定1. 如图，直角ABC △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边AC 的中点．（１） 求证：SD ⊥平面ABC ；（２） 若AB BC =，求证：BD ⊥面SAC ．答案：证明：（１）SA SC =∵，D 为AC 的中点，SD AC ⊥∴．连结BD ．在ABC Rt △中，则AD DC BD ==．ADS BDS ∴△≌△，SD BD ⊥∴． 又AC BD D = ，SD ⊥∴面ABC ． （２）BA BC =∵，D 为AC 的中点，BD AC ⊥∴．又由（１）知SD ⊥面ABC ， SD BD ⊥∴．于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥面SAC ． 2. 如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC 的垂心，可知BC ⊥AH ，又PA 、PB 、PC 两两垂直，得PA ⊥面PBC ，于是PA ⊥BC ，由此可知BC 垂直于平面PAH 内的相交直线PA 和AH ，结论得证. 证明：∵H 是△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC. ① ∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC. 又∵BC ⊂平面PBC ，PA ⊥BC ， ② 由①②知，BC ⊥PH ， 同理，AB ⊥PH ，∴PH ⊥平面ABC. 二面角的求解3. 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小. 解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点， ∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE. ∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点， ∴AC ⊥BE ，并且BE=3. ∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直. ∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角. 在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°. 【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”. 4. 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.A【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值. 解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN. ∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC. ∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质). ∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23.∴tan ∠MNB=64223==a aMN BM .∴二面角的正切值为6【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.5. 如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，求以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小。
直线与平面垂直的判定
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③
B.①②
C.②④
D.①④
解析:三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边
答案:B
(
)
3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1,则 BD1 与平面 A1B1C1D1
所成的角的大小为
.
解析:如图所示,连接 B1D1,
则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,
则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角.
直线与平面不一定垂直.
做一做 1
若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于
A.平面 OAB B.平面 OAC
C.平面 OBC D.平面 ABC
解析:由线面垂直的判定定理知 OA 垂直于平面 OBC.
答案:C
(
)
3.直线和平面所成的角
(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫
求证:AF⊥SC.
思路分析:要证 AF⊥SC,可证 SC⊥平面 AEF,又 EF⊥SC,只需证 AE⊥
SC.只需证 AE⊥平面 SBC,又 AE⊥SB,只需证 AE⊥BC,最后只需证 BC⊥平
面 SAB.又 BC⊥AB,BC⊥SA,结论得证.
证明:∵SA⊥平面 AC,BC⊂平面 AC,∴SA⊥BC.
交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
正解:证明:∵AA1⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC,
2.3.1直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定知识点1．直线与平面垂直的有关概念(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图：(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.其中“任意直线”等同于“所有直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．线面垂直的判定定理的应用已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．(1)若P A＝PB＝P C，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；(2)若P A＝PB＝P C，则点O是△ABC的________心．直线与平面所成的角如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)A1C1与平面ABCD所成的角为________；(2)A1C1与平面BB1D1D所成的角为________．如图，已知P是△ABC所在平面外一点，P A，P B，P C两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．已知P为△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，P A＝PB＝PC＝a，求点P 到平面ABC的距离．A组训练1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45°C．60°D．120°3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直异面D．相交但不垂直4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A.223B.23C.24D.135．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④6．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．8．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.10．如图所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．B组训练1. 如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是()A．AB＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC 的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明P A∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．4. 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？2.3.1直线与平面垂直的判定参考答案知识点1．直线与平面垂直的有关概念(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图：(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.其中“任意直线”等同于“所有直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．线面垂直的判定定理的应用已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.[证明]如图，在平面α内作两条相交直线m，n.因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α.1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．(1)若P A＝PB＝P C，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；(2)若P A＝PB＝P C，则点O是△ABC的________心．解析：(1)∵PA＝P B＝P C，∴O A＝OB＝O C．又∵∠C＝90°，∴O点是AB边的中点．(2)∵PA＝PB＝PC，则OA＝OB＝OC，∴O 是△ABC 的外心． 答案：(1)中 (2)外 直线与平面所成的角如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角．(链接教材P 66例2) [解]如图，连接BC 1交B 1C 于点O ，连接A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ．所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在R t △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°. 2．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)A 1C 1与平面ABCD 所成的角为________； (2)A 1C 1与平面BB 1D 1D 所成的角为________．解析：(1)因为A 1C 1∥平面ABCD ， 所以A 1C 1与平面ABCD 所成的角为0°. (2)因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1. 又因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以BB 1⊥A 1C 1.又四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，BB 1∩B 1D 1＝B 1， 所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1C 1与平面BB 1D 1D 所成的角为90°. 答案：(1)0° (2)90°如图，已知P是△ABC所在平面外一点，P A，P B，P C两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．[证明]如图所示，∵P C⊥AP，P C⊥BP，AP∩BP＝P，A P⊂平面APB，BP⊂平面APB，∴PC⊥平面APB．3分∵AB⊂平面APB，∴P C⊥AB．5分连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB．7分∵PC∩CH＝C，PC⊂平面PHC，C H⊂平面PHC，∴AB⊥平面PHC．∵PH⊂平面PHC，∴AB⊥PH.9分同理可证PH⊥BC．10分∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC且AB∩BC＝B，∴PH⊥平面ABC．12分已知P为△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，P A＝PB＝PC＝a，求点P 到平面ABC的距离．[解]法一：过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，则PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC．因为PA＝PB＝PC＝a，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心．因为PA，PB，PC两两垂直，所以AB＝BC＝CA＝2a，所以△ABC为正三角形，所以OA＝33AB＝63a，所以PO＝PA2－OA2＝33 A．故点P到平面ABC的距离为33 A．法二：因为PC⊥PA，PC⊥PB，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，CP是点C到平面P AB的距离．又PA⊥PB，P A＝PB＝PC，所以AB＝2a，△ABC为正三角形，所以V P -ABC ＝13h P S △ABC ．又V C-P AB ＝13C P ·S △P AB ，由V P -ABC ＝V C-P AB 得，13h P 34(2a )2＝13a ·12a 2，所以h P ＝33A ．A 组训练1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直解析：选A.因为l ⊥平面α，m ⊂α，所以l ⊥m ，l 与m 的位置关系是相交或异面，不可能出现平行． 2．线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选C.如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角．3．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直异面D ．相交但不垂直 解析：选C.因为MC ⊥菱形ABCD 所在平面，BD ⊂平面ABCD ， 所以MC ⊥BD . 又BD ⊥AC ，AC ∩MC ＝C 且AC ，MC 在平面ACM 内， 所以BD ⊥平面ACM . 又AM ⊂平面ACM ，所以BD ⊥MA ，但BD 与MA 不相交． 4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( )A.223 B.23 C.24 D.13 解析：选D.连接A 1C 1(图略)．又AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以∠AC 1A 1就是AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角，所以sin∠AC1A1＝AA1 A1C1＝122＋22＋1＝13.5．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解析：选A.如图，∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.故①②③正确．6．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．解析：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BC.又AB⊥BC，且AB∩BB1＝B，AB，BB1在平面ABB1A1内，∴BC⊥平面ABB1A1.又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.答案：垂直7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角，所以∠B1AB＝45°.答案：45°8．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．解析：①∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SD⊥AC.又AC⊥BD，且SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SDB∴AC⊥平面SBD.又SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB.②∵AB∥DC，DC⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD.③∵SD⊥平面ABCD，∴∠SAD就是SA与平面ABCD所成的角，④∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角为∠SCD，综上，4个都正确．答案：49．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC.在Rt△P AE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.10．如图所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC ＝2a ，CD ＝SD ＝22a . 在Rt △ADC 中，AD ＝AC 2－CD 2＝22a . 则AD 2＋SD 2＝SA 2，所以AD ⊥SD . 又BC ∩SD ＝D ，所以AD ⊥平面SBC .因此∠ASD 即为直线AS 与平面SBC 所成的角．在Rt △ASD 中，SD ＝AD ＝22a ，所以∠ASD ＝45°，即直线AS 与平面SBC 所成的角为45°.B 组训练1. 如图，三棱锥V -ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．AB ＝BC B ．VC ⊥VD C ．AB ⊥VC D ．S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO解析：选B.因为VA ＝VB ，AD ＝BD ，所以VD ⊥AB . 因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VO ⊥AB .又VO ∩VD ＝V ，VO ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥平面VCD .又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ，所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD . 又AD ＝BD ，所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质)．因为VO ⊥平面ABC ，所以V V -ABC ＝13S △ABC ·VO . 因为AB ⊥平面VCD ，所以V V -ABC ＝V B -VCD ＋V A -VCD ＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD )＝13S △VCD ·AB ，所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO . 综上知，A ，C ，D 正确．2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．解析：因为PA ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，PA ∩PQ ＝P ， 所以QD ⊥平面PAQ ，所以AQ ⊥QD .①当0<a <2时，由四边形ABCD 是矩形且AB ＝1知，以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对BC 上任一点Q ，都有∠AQD <90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ； ②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；③当a >2时，以AD 为直径的圆与BC 相交于点Q 1，Q 2，此时∠AQ 1D ＝∠AQ 2D ＝90°，故BC 边上存在两点Q (即Q 1与Q 2)，使PQ ⊥QD . 答案：[2，＋∞)3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，E 为PC的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2.(1)证明P A ∥平面BDE ； (2)证明AC ⊥平面PBD ；(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值． 解：(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连接EH . 在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点，故EH ∥PA . 又HE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为PD ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC . 由(1)知，BD ⊥AC ，PD ∩BD ＝D ， 故AC ⊥平面PBD .(3)由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角． 由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝22，可得DH ＝CH ＝22，BH ＝322.在Rt △BHC 中，tan ∠CBH ＝CH BH ＝13，所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.4. 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD -A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ 解：(1)证明：因为四棱柱ABCD -A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD .连接BD (图略)，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 根据棱台的定义知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面ABCD ∩平面BB 1D 1D ＝BD ，平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以BD ∥B 1D 1，于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，BD ∥B 1D 1，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1. 又AA 2∩AC ＝A ，所以直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2. (2)由于四棱柱ABCD -A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱ABCD -A 2B 2C 2D 2上底面＋S 四棱柱ABCD -A 2B 2C 2D 2的侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)． 又四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD 的下底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形，设四棱台侧面的高为h ，所以S 2＝S 四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD 的下底面＋S 四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD 的侧面＝(A 1B 1)2＋4(AB ＋A 1B 1)h ÷2＝202＋2(10＋20) 132－[12×（20－10）]2＝1 120(cm 2)．所以S ＝S 1＋S 2＝2 420(cm 2)． 故需加工处理费2 420×0.2＝484(元)．。
高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定(一)》课件
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
l P
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，
l P
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥.
l P
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
练习2 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
；
与直线AA'垂直的平面有
.
D'
A' D
A
C' B'
C B
例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
ab
例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
ab
n
m
例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
ab
n
m
线面垂直→线线垂直→线面垂直
2.3.1直线与平面 垂直的判定
复习引入
1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性 质定理？
复习引入
1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性 质定理？
2. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直 线与平面垂直的感觉？
复习引入
一个人走在灯火通明的大街上，会 在地面上形成影子，随着人不停的走动， 这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无 论怎样，人始终与影子相交于一点，并 始终保持垂直.
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
→思考：给定一条直线和一个平面，如 何判定它们是否垂直？
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2. 直线和平面垂直的判定
l m B
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n
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
l m
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B
n
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥.
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线， 叫直线l的垂面，
a b
n
m
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
a b
n
m
线面垂直→线线垂直→线面垂直
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练习 1. P.66探究； 2. P.67练习第1、2题.
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课堂小结
直线与平面平行的判定方法： 1.定义；
2.定理；
3.两条平行线中的一条与平面垂直， 则另一条也与这个平面垂直.
2.3.1直线与平面 垂直的判定
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复习引入
1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性 质定理？
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复习引入
1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性 质定理？ 2. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直 线与平面垂直的感觉？
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线面垂直→线线垂直
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课后作业
1. 直线与平面平行的判定方法;
2. 《习案》第十四课时.
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(线线垂直→线面垂直)
l P
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举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
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举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
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举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？ →思考：给定一条直线和一个平面，如 何判定它们是否垂直？
复习引入
一个人走在灯火通明的大街上，会 在地面上形成影子，随着人不停的走动，
这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无
论怎样，人始终与影子相交于一点，并
始终保持垂直.
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，
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练习2 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有 与直线AA'垂直的平面有 . C' ；
D'
A' D
B'
B
C
A
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
a b
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线， 叫直线l的垂面， 它们的唯一公共点P叫做垂足.
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线， 叫直线l的垂面， 它们的唯一公共点P叫做垂足.
符号语言: m
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l B
n
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
符号语言: 若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B， m，n，则l⊥.
ห้องสมุดไป่ตู้
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l m B
n
练习1.判断下列命题是否正确 A.若一条直线垂直于平面内的两条直线， 则这条直线垂直于这个平面； B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，则这条直线垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于 这个平面的直线必定垂直于这条直线； D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于 这条直线的另一直线必垂直于这个平面.