(优辅资源)江苏省盐城中学高三数学模拟考试(四)Word版含答案

2018届高三模拟考试试卷(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2. 圆锥的侧面积公式：S ＝12cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{ |x x 2－x ＝0}，B ＝{－1，0}，则A∪B＝________．2. 已知复数z ＝2＋i2－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 函数y ＝log 12x 的定义域为________．4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为________．a ←0b ←1I ←2 While I ≤6 a←a＋b b←a＋b I←I＋2 End WhilePrint b(第4题)第5题)5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有________人．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．8. 已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积是________cm 3.9. 若函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：xy ＝3上任意一点P 到直线l ：x ＋3y ＝0的距离的最小值为________．11. 已知等差数列{}a n 满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 22＝36，则a 11的值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r>0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x ≤1，（x －1）2，x>1，函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．14. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝3 , AC ＝2 , ∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE⊥AD，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan(B －A)＝13.(1) 求tan B 的值；(2 )若c ＝13，求△ABC 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点． 求证：(1) MN∥平面ABB1A1；(2) AN⊥A1B.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2.已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且过点(1，32)，F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点．(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若AF ＝FC ，求BFFD的值；(3) 设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，g(x)＝ln x－a(a∈R)．(1) 当a＝1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；(2) 若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．已知数列{}a n ，其前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1，其中n≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .(1) 若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n∈N *)，求证：数列{}b n 是等比数列；(2) 若数列{}a n 是等比数列，求λ，μ的值；(3) 若a 2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{}a n 是等差数列.2018届高三模拟考试试卷(四) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证：AB 2＝BE·BD－AE·AC.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123，若矩阵M ＝BA ，求矩阵M 的逆矩阵M －1.C. (选修44：坐标系与参数方程)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证： a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在正三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是AA 1，AC 和A 1C 1的中点．以{FA →，FB →，FG →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F ­ xyz.(1) 求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； (2) 求二面角F ­ BC 1 ­ C 的余弦值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y2＝4x于点P，点F 为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E的方程；(2) 若直线l1与曲线E相切于点Q(s，t)，过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B. 当线段AB的长度最小时，求s的值．2018届高三模拟考试试卷(四) 数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. 13. (0，1]4. 135. 7506. 527. 598. 54 9. 4 10. 3 11. 1112. [2－1，2＋1] 13. [－2，2] 14. －27715. 解：(1) 在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，(2分)所以tan B ＝tan[(B －A)＋A]＝tan （B －A ）＋tan A1－tan （B －A ）·tan A (4分)＝13＋431－13×43＝3.(6分)(2) 在△ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010，(8分)sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝131050，(10分)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin Bsin C ＝13×31010131050＝15，(12分)所以△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝12×15×13×45＝78. (14分)16. 证明：(1) 取AB 的中点P ，连结PM ，PB 1.因为M ，P 分别是AB ，AC 的中点，所以PM∥BC，且PM ＝12BC.在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 因为N 是B 1C 1 的中点， 所以PM∥B 1N ，且PM ＝B 1N.(2分) 所以四边形PMNB 1是平行四边形， 所以MN∥PB 1，(4分)而MN ⊄平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN∥平面ABB 1A 1.(6分) (2) 因为三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为∠ABC＝90°，所以B 1C 1⊥B 1A 1.因为平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1A 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(10分)因为A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B ，即NB 1⊥A 1B.连结AB 1，因为在平行四边形ABB 1A 1中，AB ＝AA 1，所以AB 1⊥A 1B. 又NB 1∩AB 1＝B 1，且AB 1，NB 1⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥平面AB 1N.(12分) 而AN ⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥AN.(14分)17. 解：(1) 设AO 交BC 于点D ，过O 作OE⊥AB，垂足为E,在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ，(2分) 在△ABD 中，BD ＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ，(4分) 所以S ＝12·2π·20sin θcos θ·20cos θ＝400πsin θcos 2θ(0<θ<π2)．(6分)(2) 要使侧面积最大，由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．(8分) 设f(x)＝x －x 3(0<x<1)，则f′(x)＝1－3x 2.由f′(x)＝1－3x 2＝0，得x ＝33. 当x∈(0，33)时，f ′(x)>0，当x∈(33，1)时，f ′(x)<0， 所以f(x)在区间(0，33)上单调递增，在区间(33，1)上单调递减， 所以f(x)在x ＝33时取得极大值，也是最大值； 所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值，(11分)此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－（33）2＝2063. 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063 cm.(14分)18. 解：(1) 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，(2分)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 若AF ＝FC ，由椭圆对称性知A(1, 32)，所以B(－1, －32),此时直线BF 的方程为3x －4y －3＝0，(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －3＝0，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝137(x ＝－1舍去)，(8分)故BF FD ＝1－（－1）137－1＝73.(10分) (3) 设A(x 0，y 0)，则B(－x 0，－y 0)，直线AF 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，代入椭圆方程x 24＋y23＝1，得(15－6x 0)x 2－8y 20－15x 20＋24x 0＝0.因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C ＝8－5x 05－2x 0.(12分) 又C(x C ，y C )在直线y ＝y 0x 0－1(x －1)上，所以y C ＝y 0x 0－1(x C －1)＝－3y 05－2x 0，同理，D 点坐标为(8＋5x 05＋2x 0，3y 05＋2x 0)，(14分)所以k 2＝3y 05＋2x 0－－3y 05－2x 08＋5x 05＋2x 0－8－5x 05－2x 0＝5y 03x 0＝53k 1，即存在m ＝53，使得k 2＝53k 1. (16分)19. 解：(1) 函数h(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2＋x －ln x ＋2， 所以h′(x)＝2x ＋1－1x ＝（2x －1）（x ＋1）x ，(2分)所以当0<x<12时，h ′(x)<0，当x>12时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在区间(0，12)上单调递减，在区间(12，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数h(x)取得极小值为114＋ln 2，无极大值．(4分)(2) 设函数f(x)上点(x 1，f(x 1))与函数g(x)上点(x 2，g(x 2))处切线相同， 则f′(x 1)＝g′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，所以2x 1＋a ＝1x 2＝x 21＋ax 1＋1－（ln x 2－a ）x 1－x 2，(6分)所以x 1＝12x 2－a 2，代入x 1－x 2x 2＝x 21＋ax 1＋1－(ln x 2－a)，得14x 22－a 2x 2＋ln x 2＋a24－a －2＝0 (*). (8分) 设F(x)＝14x 2－a 2x ＋ln x ＋a 24－a －2，则F′(x)＝－12x 3＋a 2x 2＋1x ＝2x 2＋ax －12x 3. 不妨设2x 20＋ax 0－1＝0(x 0>0)，则当0<x<x 0时，F ′(x)<0，当x>x 0时，F ′(x)>0， 所以F(x)在区间(0，x 0)上单调递减，在区间(x 0，＋∞)上单调递增，(10分) 代入a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0可得F min (x)＝F(x 0)＝x 20＋2x 0－1x 0＋ln x 0－2.设G(x)＝x 2＋2x －1x ＋ln x －2，则G′(x)＝2x ＋2＋1x 2＋1x>0对x>0恒成立，所以G(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．又G(1)＝0，所以当0<x≤1时G(x)≤0，即当0<x 0≤1时F(x 0)≤0.(12分)又当x ＝ea ＋2时F(x)＝14e 2a ＋4－a 2e a ＋2＋ln e a ＋2＋a 24－a －2＝14(1ea ＋2－a)2≥0，(14分)因此当0<x 0≤1时，函数F(x)必有零点；即当0<x 0≤1时，必存在x 2使得(*)成立； 即存在x 1，x 2使得函数f(x)上点(x 1，f(x 1))与函数g(x)上点(x 2，g(x 2))处切线相同． 又由y ＝1x －2x ，得y′＝－1x2－2<0，所以y ＝1x －2x 在(0，1)上单调递减，因此a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0∈[－1，＋∞)，所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(16分)20. (1) 证明：若λ＝0, μ＝4，则当S n ＝4a n －1(n≥2)， 所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4(a n －a n －1)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n ＝2b n －1.(2分)又由a 1＝2，a 1＋a 2＝4a 1，得a 2＝3a 1＝6，a 2－2a 1＝2≠0，即b n ≠0，所以b nb n －1＝2， 故数列{}b n 是等比数列．(4分)(2) 解：若{}a n 是等比数列，设其公比为q(q≠0 )，当n ＝2时，S 2＝2λa 2＋μa 1，即a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得1＋q ＝2λq ＋μ ①， 当n ＝3时，S 3＝3λa 3＋μa 2，即a 1＋a 2＋a 3＝3λa 3＋μa 2，得1＋q ＋q 2＝3λq 2＋μq ②， 当n ＝4时，S 4＝4λa 4＋μa 3，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4λa 4＋μa 3，得1＋q ＋q 2＋q 3＝4λq 3＋μq 2③，②－①×q，得1＝λq 2, ③－②×q，得1＝λq 3 ,解得q ＝1, λ＝1. 代入①式，得μ＝0.(8分)此时S n ＝na n (n≥2)，所以a n ＝a 1＝2，{}a n 是公比为1的等比数列， 故λ＝1, μ＝0. (10分)(3) 证明：若a 2＝3，由a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得5＝6λ＋2μ， 又λ＋μ＝32，解得λ＝12， μ＝1.(12分)由a 1＝2，a 2＝3, λ＝12 ，μ＝1，代入S n ＝λna n ＋μa n －1得a 3＝4，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，由S n ＝n 2a n ＋a n －1，得S n ＋1＝n ＋12a n ＋1＋a n ，两式相减得a n ＋1＝n ＋12a n ＋1－n2a n ＋a n －a n －1，即(n －1)a n ＋1－(n －2)a n －2a n －1＝0， 所以na n ＋2－(n －1)a n ＋1－2a n ＝0，相减得na n ＋2－2(n －1)a n ＋1＋(n －2)a n －2a n ＋2a n －1＝0， 所以n(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＋2(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＝－2n (a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝22n （n －1）(a n －2a n －1＋a n －2)＝…＝（－2）n －1n （n －1） (2)(a 3－2a 2＋a 1)．(14分)因为a 1－2a 2＋a 3＝0，所以a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，即数列{}a n 是等差数列．(16分)2018届高三模拟考试试卷(四) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD⊥BD. 又EF⊥AB，则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以BD·BE ＝BA·BF.(5分) 又△ABC∽△AEF，所以AB AE ＝ACAF，即AB·AF＝AE·AC，所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB 2.(10分)B. 解：因为M ＝BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－12－3，(5分)所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－310110－1525.(10分) C. 解：把直线方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝2.(3分)将圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝22＝2，所以直线l 与圆C 相切．(10分)D. 证明：因为[(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)](a 21＋a ＋b 21＋b ＋c21＋c ＋d 21＋d )≥(1＋a ·a 1＋a ＋1＋b ·b 1＋b ＋1＋c ·c 1＋c ＋1＋d ·d 1＋d)2＝(a ＋b ＋c ＋d)2＝1，(5分)又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝5，所以a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.(10分) 22. 解：(1) 因为AB ＝1，AA 1＝2，则F(0，0，0)，A(12，0，0)，C(－12，0，0)，B(0，32，0)，E(12，0，1)， 所以AC →＝(－1，0，0)，BE →＝(12，－32，1)，(2分) 记直线AC 和BE 所成角为α， 则cos α＝|cos 〈AC →，BE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1）×12（12）2＋（－32）2＋1＝24， 所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为24.(4分) (2) 设平面BFC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1) ,因为FB →＝(0，32，0)，FC 1→＝(－12，0，2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FB →＝32y 1＝0，m ·FC 1→＝－12x 1＋2z 1＝0，取x 1＝4得m ＝(4，0，1). (6分) 设平面BCC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为CB →＝(12，32，0)，CC 1→＝(0，0，2)， 则⎩⎨⎧n ·CB →＝12x 2＋32y 2＝0，n ·CC 1→＝2z 2＝0，取x 2＝3得n ＝(3，－1，0)．(8分)所以cos 〈m ，n 〉＝4×3＋（－1）×0＋1×0（3）2＋（－1）2＋02×42＋02＋12＝25117. 根据图形可知二面角FBC 1C 为锐二面角，所以二面角FBC 1C 的余弦值为25117.(10分) 23. 解：(1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)． 设M(m ，n)，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2，2n)，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2n(x －1)－y(n 2－1)＝0，(2分) 所以|2n （m －1）－n （n 2－1）|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n|. 又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0，所以E 的方程为y 2＝x －1(y≠0)．(4分)(2) 设Q(t 2＋1，t), A(0，y 1)，B(0，y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t>0，由y′＝12x －1，所以k AQ ＝t －y 1t 2＋1＝12t 2＋1－1，k BQ ＝t －y 2t 2＋1＝－2t 2＋1－1， 所以y 1＝t 2－12t，y 2＝2t 3＋3t, (6分) 所以AB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 3＋3t －t 2＋12t ＝2t 3＋52t ＋12t (t>0)．(8分) 令f(t)＝2t 3＋52t ＋12t ，t>0，则f′(t)＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2. 由f′(t)>0得t>－5＋7324，由f′(t)<0得0<t<－5＋7324， 所以f(t)在区间(0，－5＋7324)上单调递减，在(－5＋7324，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝－5＋7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值．19＋7324.(10分)此时s＝t2＋1＝。