相似三角形的判定1.3 两个三角形相似的判定(1)及答案
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
【湘教版】九年级数学上册：3.4.1 相似三角形的判定定理1(含答案)
第2课时 相似三角形的判定定理101 基础题知识点 两角分别相等的两个三角形相似1.如图,D 是BC 上的点,∠ADB ＝∠BAC,则下列结论正确的是(B) A.△ABC ∽△DAC B.△ABC ∽△DBA C.△ABD ∽△ACD D.以上都不对2.如图,在矩形ABCD 中,E 在AD 上,EF ⊥BE,交CD 于F,连接BF,则图中与△ABE 一定相似的三角形是(B)A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB 和△DEF3.∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件,则四个图中不一定有相似三角形的是(D)4.(长春中考)如图,∠ABD ＝∠BDC ＝90°,∠A ＝∠CBD,AB ＝3,BD ＝2,则CD 的长为(B)A.34B.43C.2D.35.如图,锐角△ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的一对相似三角形：答案不唯一,如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等.6.如图,∠C＝∠E＝90°,AD＝10,DE＝8,AB＝5,则AC＝3.7.(怀化中考)如图,已知在△ABC与△DEF中,∠C＝54°,∠A＝47°,∠F＝54°,∠E＝79°,求证：△ABC∽△DEF.证明：在△ABC中,∠B＝180°－∠A－∠C＝79°,∴∠B＝∠E.又∵∠C＝∠F,∴△ABC∽△DEF.8.如图,点B.D.C.F在一条直线上,且AB∥EF,AC∥DE,求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF,AC∥DE,∴∠B＝∠F,∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.02 中档题9.(江阴模拟)下列条件中,能判定两个等腰三角形相似的是(C)A.都含有一个30°的内角B.都含有一个45°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个80°的内角10.(安徽中考)如图,△ABC中,AD是中线,BC＝8,∠B＝∠DAC,则线段AC的长为(B)A.4B.4 2C.6D.4 311.如图,∠1＝∠2,请补充一个条件：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一),使△ABC∽△ADE.12.如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP＝1,点D为AC边上一点,若∠APD＝60°,则CD的长为23 .13.如图,AD.BE 是钝角△ABC 的边BC.AC 上的高,求证：AD BE ＝ACBC.证明：∵AD.BE 是钝角△ABC 的高,∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠DCA ＝∠ECB, ∴△DAC ∽△EBC. ∴AD BE ＝AC BC. 14.如图,在矩形ABCD 中,E 为BC 上一点,DF ⊥AE 于点F. (1)△ABE 与△DFA 相似吗？请说明理由；(2)若AB ＝6,AD ＝12,AE ＝10,求DF 的长. 解：(1)△ABE ∽△DFA. 理由：∵四边形ABCD 是矩形, DF ⊥AE,∴∠B ＝∠DFA ＝90°.∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°,∠BAE ＋∠FAD ＝90°. ∴∠BAE ＝∠FDA. ∴△ABE ∽△DFA. (2)∵△ABE ∽△DFA,∴AB DF ＝AE AD. ∴DF ＝AB·AD AE ＝6×1210＝7.2.03 综合题15.在△ABC 中,P 为边AB 上一点.(1)如图1,若∠ACP ＝∠B,求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点,AC ＝2.①如图2,若∠PBM ＝∠ACP,AB ＝3,求BP 的长；②如图3,若∠ABC ＝45°,∠A ＝∠BMP ＝60°,直接写出BP 的长. 解：(1)证明：∵∠ACP ＝∠B,∠BAC ＝∠CAP, ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝APAC . ∴AC 2＝AP·AB .(2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q. ∴∠PBM＝∠AQC . ∵∠PBM＝∠ACP , ∴∠AQC＝∠ACP . 又∵∠PAC＝∠CAQ , ∴△APC∽△ACQ .∴AC AP ＝AQAC .∴AC 2＝AP·AQ .∵M为PC的中点,BM∥CQ,∴PBPQ＝PMPC＝12.设BP＝x,则PQ＝2x,BQ＝x,∴22＝(3－x)(3＋x),解得x1＝5,x2＝－5(不合题意,舍去). ∴BP＝ 5.②BP＝7－1.。
相似三角形的判定及习题精讲(含答案)
-x, ∴ =
, ∴ x= . （2）如图（2），∵ DE//AC， ∴ ΔBDE∽ΔBAC， ∴ = ， 设CF=x, 则BE=6-x, DE=x, ∴ = , ∴ x= . 答：ΔABC内接正。 （四）矩形DGFE内接于ΔABC， DG∶DE=3∶5， S矩形DGFE=60cm2, 高AH=10cm，求：SΔABC。 （五）如图，在ΔABC中，AD是BC边上中线，E是AD中点，求证：AF= FC，EF=
BE。
（六）已知：如图，在ΔABC中，D为AB边上一点，Q为BC延长线上一 点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB·QD=AC·QB。 （七）已知：ΔABC中，∠C=90°，AC=8cm, BC=6cm 求：在ΔABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点 上，求这个正方形的边长。 练习参考答案： （一）填空： 1．3∶7； （合比性质） 2． （注意顺序为b, a,c的第四比例项）
BC=9，则DE=________。 8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则 CD=________，AC=_________。 9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______， AD=_________，BD=_________。 10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则 CD=_________。 11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。 12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形 BCED∶SΔADE=________。 13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。 14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45， 则另一个多边形的周长为_________。 15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差 为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。 （二）选择题： 1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为 ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（ ） A、1∶3 B、1∶9 C、3∶1 D、1∶2 2．如图，在ΔABC中 = ， = ，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（ ）。 A、5∶1 B、4∶1 C、3∶1 D、5∶2 3．一个直角三角形两条直角边之比是1∶2，则它们在斜边上射影的比
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意． 故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（ ）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（ ）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝ ． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ， 故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（ ）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题． 【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（ ）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ． 【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ， 在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似． 故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似， 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽， 即824816t t -=， 解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=， 解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°， 在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8， 故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可． 【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''． 求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD ∽△CBE ； （2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证； （2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证； （3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求． 【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ， 如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
相似三角形的判定(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．在证明两个三角形相似时，首先考虑角度信息，其次考虑对应边成比例．问题2：想一想相似三角形的判定与性质的区别是什么？问题3：如果两个图形___________，而且____________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________；位似图形上__________________________________________________．相似三角形的判定一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：位似变换7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到△．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.（2，4）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。
相似三角形的判定(含答案)
一、基础知识相似三角形的判定（三）：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
如图在△ABC与△DEF中，∠B=∠E,AB BCDE EF，可判定△ABC∽△DEF。
二、重难点分析本节课的重难点是三角形相似的判定判定方法：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似。
例：如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC,Q是CD的中点。
求证：△ADQ∽△QCP.∴DQ=QC=1 2 a三、中考感悟1、（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个∴满足条件的点P的个数是3个，【答案】C【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．2、（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．∴t=，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．四、专项训练（一）基础练习1、如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是（）.A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似2、能判定△ABC相似与△A|B|C|的条件是（）A.AB ACA B A C=''''B.AB A BAC A C''='', 且A C'∠=∠C.AB BCA B B C='''',且B B'∠=∠D.AB ACA B A C='''',且B B'∠=∠3、如图，若AC2= ,则△ADC∽△ACB。
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4.3两个三角形相似的判定(1)【要点预习】相似三角形的判定三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 . 有 角对应相等的两个三角形相似.【课前热身】1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则下列比例式不成立的是……………………………（ ）A.AD AE AB AC = B.AD DE AB BC = C.AD DE DB BC = D.AD AEDB EC=答案：C2. 如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，若∠1= ，则△APC ∽△ACB .答案：∠ACB 3. 图中x = .答案：24. 如图，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知35AO CO =，BO ＝6，则DO =_________. 答案：10【讲练互动】【例1】 如图， D 为△ABC 的AB 边上一点，过点D 作DE //AC 交 BC 于点E ．已知BE ∶CE =2∶1，AC =6cm ，求DE 的长．【分析】先证明△BDE ∽△BAC ，再根据比例线段求出DE 的长. 【解】∵DE ∥AC ，∴ΔBDE ∽ΔBAC ，∴BE DEBC AC=. ∵21BE CE =，∴23BE BC =，∴236DE=，∴DE =4cm. 【绿色通道】利用相似三角形可得到多组比例线段，在运用时要注意结合已知条件及所求的线段来选择相应的比例线段.【变式训练】第1题第2题第3题第4题1. 如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形…………………………………………（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对【解析】由已知易得△BFH∽△BAG∽△CEG∽△CDH.【答案】C【例2】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AC·BC=AE·CD．【分析】先将结论化为比例式AC AECD AB=，因此只须证△ACE∽△CDB.【证明】连结CE. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°. ∵CD是AB边长的高，∴∠CDB=90°.∴∠ACE=∠CDB. 又∵∠E=∠B，∴△ACE∽△CDB，∴AC AECD AB=，即AC·BC=AE·CD.【绿色通道】已知或求证中出现线段的等积形式时，通常转化为比例式，再考虑比例式所在的三角形相似.【变式训练】2. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内. 请找出图中的相似(不包括全等)三角形，并证明其中的一对．【解】△ABE∽△DAE∽△DCA.∵∠DAE=∠B=45°，∠AEB=∠DEA，∴△ABE∽△DAE.【例3】如图所示，一圆桌正上方3米处有一灯泡（视为一点），圆桌高1米，圆桌面直径为1米，请你求出圆桌面在水平地面上的投影面积.（图中阴影部分）（圆桌面与地面平行）（π取3.14，答案精确到0.1平方米）【解】建立平面图如图. OA=3，AC=1，AB=1 2 .∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCB∴OA ABOC CD=，∴CD=142233AB OCOA⨯⋅==.∴S=π·CD2=3.14×49≈1.4 (m2). 答：圆桌面在地面上的投影面积为1.4 m2.【变式训练】3. 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3mCD=，标杆与旗杆的水平距离15mBD=，人的眼睛与OBDCABHGFEDCAABCDOE图7ECAHBG地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．【解】∵CD ∥AB ，∴△ECG ∽△EAH ，∴EG CGEH AH=. ∵EG =DF =2m ，EH=FB=17m ，CG =CD-EF =1.4m ， ∴2 1.417AH=，∴AH =11.9m ，∴AB =11.9+1.6=13.5m.【同步测控】基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．122. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 2455. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC = ．7. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.8. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6，AB=8，BD=7，求DC的长．9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 6对B. 4对C. 5对D. 3对13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上 15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项．第11题AB OE F CD第12题 第13题第14题17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.C /B /A /CBA同步测控参考答案基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB ，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 答案：D2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 答案：C3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对 答案：D4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 245答案：C5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC =．答案：37. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D 处，在D 处转90°，沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A （目标物）C （标杆）与E 在同一直线上（如图），那么可测得A ，B 的距离是____________米. 答案：858. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD =∠B ，若AD ＝6， AB =8，BD =7，求DC 的长．解：∵∠CAD =∠B , ∠C =∠C , ∴△ACD ∽△BCA . ∴AD AC CD AB BC AC ==, ∴687AC CDCD AC==+, ∴()37434CD AC AC CD⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 解得912CD AC =⎧⎨=⎩.9．如图，DE ∥BC ，且DB ＝AE ，若AB ＝5，AC ＝10，求AE 的长.解：设DB=AE=x . ∵DE ∥BC , ∴AD AEAB AC=. ∴5510x x -=, 解得x =103, 即AE =103. 10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连结BD ．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．解：相似三角形有：△ACE ∽△ADB ∽△BDE . 证明如下： ∵AD 平分∠BAC , ∴∠1=∠2. 又∠CBD =∠2, ∴∠2=∠1=∠CBD . 又∠C =∠D =∠D , ∴△ACE ∽△ADB ∽△BDE .能力提升11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B12. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有…………………………………………………………（ ） A. 6对 B. 4对 C. 5对 D. 3对解析：由题设可得以下相似三角形：△ADF ∽△GCF ∽△GBA , △ABE ∽△FDE , △ADE ∽△GBE ,△第11题ABOE F CD第12题第13题第14题ABD ∽△CDB . 答案：A13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有…………………………………………………………（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个解析：由题设可得以下相似三角形：△BDE ∽△DCE ∽△BCD ∽△CAD ∽△BAC . 答案：B14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上解析：设AP 的延长线交BC 于D . 因此, 只要将刻度尺一端与A 点重合, 置于AD 上, 直接度量一次读出AP 和AD 的长度, 易证ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的倍数关系即为AD 与PD 的比值.答案：C15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ．解析：连结CD . ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°. 又∠ACB = 90°, ∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC ,∴AD ACAC AB=, 结合已知可求得AD 的长. 答案：9516. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项． 证明：(1) ∵AB=AC , ∠A =36°，∴∠ABC =∠ACB =72°. ∵BD 是角平分线, ∴∠ABD =∠CBD =36°. ∴∠BCD=∠A . 又∠C =∠C , ∴△ABC ∽△BCD . (2) ∵△ABC ∽△BCD , ∴BC ACCD BD=. ∵∠C =∠BDC =72°, ∴BD=BC . ∴BC ACCD BC=, 即BC 是CD 与CA 的比例中项. 创新应用17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.解：如按上图分割.C /B /A /CBA45︒45︒30︒60︒45︒45︒60︒30︒D /D C /B /A /C BA。