微积分基本公式
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。
本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。
1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。
极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。
- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。
- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。
-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。
- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。
- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。
2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。
导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。
- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。
(完整版)微积分基本公式
f ( x) sinx et2 dt , f ( x) esin2 x cos x ; 1
d x2 f (t )dt f ( x2 ) 2x .
dx a
d
x3
f (t)dt
f (x3)3x2
f (x2)2x .
dx x2
9
例2
设 f (x) 为连续函数, F(x)
ln x 1
11
例3 求下列极限.
x2 cos t 2 dt
(2) lim 0 x0 x sin x
分析：这是 0 型未定式， 0
等价无穷
x2 cos t 2 dt
解 原式 lim 0 x0
x2
小替换
2x cos lim
x4
limcos x4
1.
x0 2x
x0
12
例3 求下列极限.
1 et2 dt
(3) lim x0
cos x
x2
分析：这是 0 型未定式， 0
解 原式 lim ecos2 x ( sin x)
x0
2x
e cos2 x lim
1
.
x0 2
2e
13
例4 设 F( x) x2
x
f (t)dt ，其中 f ( x) 是连续函数,
xa a
则 lim F(x)
.
x a
x 2
x
f (t)dt
证 limF( x) lim a
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
微积分基本公式
微积分公式D x sinh -1(ax)=221x a + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x)= 22a a x -coth -1(a x)=22a a x -- sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(a x )=22xa x a+-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C ⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C ⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos βc 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi ΖζzetaΞξxiΧχkhi a bcαβγ R倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0、1 10-1 deci d 分,十分之一0、01 10-2 centi c 厘(或写作「厘」),百分之一0、001 10-3 milli m 毫,千分之一0、000 001 10-6 micro ? 微,百万分之一0、000 000 001 10-9 nano n 奈,十亿分之一0、000 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一0、000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞(或作「费」),千兆分之一0、000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0、000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0、000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分（Calculus）是数学中的一个分支，研究函数的变化率以及与函数相关的一些重要概念，如极限、导数、积分等。
本文将为你介绍微积分中的一些重要公式。
在开始之前，我们先定义一些符号：-f(x)表示一个函数-a表示一个常数- dx 表示自变量的微增量，通常取极小值- dy 表示函数的微增量，即f(x+dx)-f(x)下面是一些微积分中常用的公式：1.极限- 极限定义：lim(x->a) f(x) = L，表示当自变量 x 接近 a 时，函数 f(x) 的值接近 L。
-基本极限：a. lim(x->a) = a，表示当 x 接近 a 时，常数 a 的值保持不变b. lim(x->a) x^n = a^n，表示当 x 接近 a 时，幂函数的值保持不变c. lim(x->a) sinx = sin a，表示当 x 接近 a 时，正弦函数的值保持不变d. lim(x->a) cosx = cos a，表示当 x 接近 a 时，余弦函数的值保持不变e. lim(x->a) ex = e^a，表示当 x 接近 a 时，指数函数的值保持不变2.导数- 导数定义：f'(x) = lim(dx->0) dy/dx = lim(dx->0) [f(x+dx)-f(x)]/dx，表示函数 f(x) 在 x 处的变化率。
-基本导数：a.(c)'=0，表示一个常数c的导数为0b. (x^n)' = nx^(n-1)，表示一个幂函数 x^n 的导数c. (sinx)' = cosx，表示正弦函数的导数d. (cosx)' = -sinx，表示余弦函数的导数e.(e^x)'=e^x，表示指数函数的导数f. (lnx)' = 1/x，表示自然对数函数的导数g. (a^x)' = ln(a) * a^x，表示以 a 为底的指数函数的导数3.积分- 积分定义：∫[a, b] f(x) dx = lim(n->∞) Σ f(xi)Δx，表示在区间 [a, b] 上函数 f(x) 的累积增量。
微积分的基本公式
微积分的基本公式共有四大公式: 1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式 2.格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分 3.高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干，可以说起到提纲挈领的作用，其实如果你学习了外代数，又称为格拉斯曼grassmann代数,用外微分的形式来表达，四个公式就是一个公式，具有统一的形式，其余的导数公式，积分公式，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒级数、麦克劳林展开式，当然也是基石了。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是一门研究函数的变化率与积分的数学学科。
在学习微积分时，我们会使用一些重要的公式来计算和推导出函数的性质。
下面是16个常用的微积分公式：1.导数的定义：设函数f(x)在x点有定义，则f(x)在x点可导，当且仅当下式极限存在：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示f(x)的导数。
2.基本导数公式：a.(k)'=0，其中k是常数。
b. (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
c. (sin x)' = cos x。
d. (cos x)' = -sin x。
e.(e^x)'=e^x。
f. (ln x)' = 1/x。
3.导数的四则运算法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则有：a.(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
b.(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
c.(k*f(x))'=k*f'(x)，其中k是常数。
d.(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
e.(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
4.链式法则：如果有复合函数F(g(x))，其中F(u)和g(x)都是可导函数，则有：(F(g(x)))'=F'(g(x))*g'(x)。
5.反函数的导数：如果函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x，并且g(x)在一些点可导且不为0，则有：(f^-1(x))'=1/g'(f^-1(x))。
6.高阶导数：函数f(x)的n阶导数，记作f^(n)(x)，可通过对其一阶导数进行n次求导得到。
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0 f (t)dt
练习 设函数y y( x)由方程
y etdt
x2 1
cos tdt
0
所 确 定 ， 求dy
.
0
0
dx
dy dx
2 x cos( x2 ey
1)
例 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x x f (t )dt 1在[0,1]上只有一个解. 0
证：设x, x x [a,b]。因为f ( x)在[a,b]上连续，
由积分中值定理得,在x与x x之间，
使
(x) x
1
x
xx
x
f
(t )dt
1
x
f ( )x
f ()，
当x 0时， x及f ( x)的连续性知
( x) lim ( x) lim f ( ) f ( x)。
x0 x
x
则I( x)
2x 1 x4
1 1 x2
sinx
( f (t)dt)
f (sin x)cos x 2xf ( x2 )
x2
d ( b f (t)dt) f (a)
da a
db
dc (a f (t)dt) 0
例 计算 d x3 dt . dx x2 1 t 4
解：d x3 dt 1 (x3) 1 (x2 )
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
为定义在[a, b]上的积分上限函数。
相应地可以定义积分下限函数：
xb f (t)dt。
注：易见 (a) aa f (t)dt 0； （b) ab f (t)dt。
积分上限函数的性质
定理1 若f ( x)是[a,b]上有界的可积函数，则
(x)
x
a
f
(t )dt在[a, b]上连续。
证： 设有m, M使m f (t) M，以及x, x x [a,b],
证：
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
则
F (0) 1 0,
F
(1)
1
1
0
f (t)dt
1
0 [1
f (t)]dt
0,
且f (x)在[a,b]上连续， F ( x) 0在[0,1]上有解，
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为严格单调增加函数，
x0 1, 切线方程 y x；
lim nf ( 2) lim 2
n
n n
f (2) n 2
f (0)
2 f (0)
2。
n
二、微积分基本公式
定理3（Newton-Leibniz）设f ( x)在区间[a,b]上连续， F ( x)是f ( x)的一个原函数，则
ab f ( x)dx F (b) F (a)
[F ( x)]ba。
( A)
定理3说明：
1、 一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于它的任
意一个原函数在区间 [a,b]上的增量；
2、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给
出了计算定积分的方法：
(1) 求f ( x)的原函数F ( x)；
(2) 计算 增量 [F ( x)]ba；
所以F( x) 0只有一个解，
即原方程在 [0,1] 上只有一个解。
例
已知两曲线y
y( x)与y
f
(
x)
arctan
x
e t 2 dt
0
在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，
并求极限 lim nf (2)。 n n
解：由已知条件得，f (0) 0,
f
(0)
e(arctan x)2 1 x2
dx x2 1 t 4 1 x12
1 x8
3x2 2x 。 1 x12 1 x8
例 求 lim 0x cos t 2dt 。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim cos x2 1。 x0 1
1 et2 dt
练习 求 lim cosx
.
x0
x2
解： 用洛必达法则
原极限 1 . 2e
例
x
d(a f (t )dt) f ( x)dx
dx
dx (a f ( x)dx) f ( x)
db
dx (x f (t)dt) f ( x)
x
( cos tdt) cos x
( x tet2 dt ) xe x2
0
0
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
dx a
注：
(1) 证明了原函数存在定理
(x) x f (t)dt 就是f (x)的一个原函数 a
(2)沟通了定积分和不定积分之间的联系， 可以利用原函数求定积分(N L公式)
(3) 揭示了微分与定积分之间的内在联
系，此定理又叫微积分基本定理 .
(4) 求导可去积分号：
dx
dx (a f (t)dt) f ( x)
则 (x) (x x) (x)
axx f (t)dt ax f (t)dt
xxx f (t)dt
于是
mx ( x) Mx，
lim mx lim Mx 0，
x0
x0
lim ( x) 0,即 ( x)在x处连续。
x0
定理2 若函数f (t)在区间[a,b]上连续，则
(x) x f (t)dt 在[a,b]上可导，且(x) f (x). a
d b
(
f (t )dt) f (v( x))v( x)
dx v( x)Байду номын сангаас
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
f (v( x))v( x)
dx v( x)
例
( x)
x2 1 0 1 t 2 dt,
则
(
x
)
1
2
x x
4
I( x)
x2 1 x 1 t 2 dt,
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设f (t) 0，且在[a,b]上可积。ab f (t)dt表示一曲 边梯形的面积 取。 x (a, b)，则ax f (t)dt
表示区间[a, x]上方部分曲边梯形的面积。
当x变化时，面积也随之变化。
设 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b)内可导，且f ( x) 0,
函数F ( x) 1
x
f (t)dt x (a, b)
xa a
证: F ( x) 0 .
例
设 f ( x) 在( , )内连续，且f ( x) 0, 证明函数
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0, )内为单调增加函数.