(普通班)高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第5节抛物线基础对点练理
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)，故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解 当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp4＋p2AB －p ＋p4＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2014·浙江)如图，已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若PF ＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点F (0,1)， 准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知PF ＝y 0＋1， 得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )， 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为AB ＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>59＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43， 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点. (1)求p 的值；(2)当AM ＋4BM 最小时，求直线l 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2. ∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4.∵p >0，∴p ＝2. (2)由抛物线定义，得AM ＝x 1＋p2＝x 1＋1，BM ＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴AM ＋4BM ＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号. 将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去).将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分] (2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0).[10分] ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.[16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于____________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝______. 答案 1∶2解析 由题意得，直线l ：y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，∴FM ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ， ∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值. 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·OF ·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×AF ×AM ×sin∠MAF 12×OF ×AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).13.对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足PQ ≥|a |，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2] 解析 设Q (t 24，t )，由PQ ≥|a |，得(t 24－a )2＋t 2≥a 2，t 2(t 2＋16－8a )≥0，t 2＋16－8a ≥0，t 2≥8a －16恒成立，则8a －16≤0，a ≤2.14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明 依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解 依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)， 代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0. 由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)，则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8，即MN 22－MN 21为定值8.15.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x21 得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 98 抛物线课件
(2)一个转化：抛物线上某点到焦点的距离与该点到准线的距
离相互转化．如：已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是
C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝ 1
.
提示：由 y2＝x 得 p＝12，则 F14，0，准线 l 方程为 x＝－14， 设 A 点到准线的距离为 d.则 d＝|AF|，从而 x0＋14＝54x0，解得 x0 ＝1.
2．抛物线的标准方程与几何性质
[温馨提示] (1)关于标准方程的 3 点说明 ①只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线有标准方 程；②p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p>0；③标准方程 的左边为 y(或 x)的平方，而右边则为 x(或 y)的一次项；对称轴看 一次项，符号决定开口方向．即一次项变量为 x(y)则焦点在 x 轴 (y 轴)上；系数为正(负)，则焦点在正(负)半轴上．
的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛 物线的 准线．
其数学表达式： |MF|＝d(其中 d 为点 M 到准线的距离)．
[温馨提示 ] (1)抛物线的定义实质上可归结为 “一动三
定”，一个动点设为 M；一定点 F(焦点)；一条定直线 l(准线)；
一个定值(点 M 到点 F 的距离和它到定直线 l 的距离比等于 1)
点，点 P 的坐标为(3,2)．若点 M 为该抛物线上的动点，则|MP|
＋|MF|的最小值为__________．
[思路引导]
(1)
设动圆圆心为 P，半径为r
→
根据两圆外切列关 系式，与x＝1相切
写出抛物线 (2) 根据椭圆的右焦点求出p → 的焦点、准线 →
根据抛物线定义将|MF| 转化为到准线的距离
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第9章 平面解析几何 课时作业51
课时作业51 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10 答案：D2．(2019年内蒙古集宁一中高三上学期期末)设某曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等，经过点P (2，1)的直线l 与该曲线相交于A ，B 两点，且点P 恰为等线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝( )A ．6B ．10C ．12D ．14解析：由曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为y 2＝12x ，分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，垂足分别为A 1，B 1，P 1，由梯形的中位线定理知|P 1P |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|F A |＋|FB |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选B. 答案：B3．(2019年新疆乌鲁木齐高三考试)AB 是过抛物线y 2＝2px 焦点F 的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设|AB |＝λ|FG |，则λ的值是( )A.32 B ．2C ．4D ．与p 的值有关解析：如图1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，图1则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p ＝2py 2＋y 1， 故线段AB 的垂直平分线的方程为 y －y 2＋y 12＝－y 2＋y 12p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋x 12， 令y ＝0，得x ＝p ＋x 2＋x 12，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12，0. ∴|FG |＝⎝⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12－p 2＝x 2＋x 1＋p2， 又|AB |＝x 2＋x 1＋p ，∴|AB |＝2|FG |.选B. 答案：B4．(2019年湖北省武汉市高中毕业生调研)已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若直线OA ，AB 的斜率分别为2和6，则直线OB 的斜率为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2A 2p ，y A ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2B 2p ，y B ， 那么k AB ＝y A －y B y 2A －y 2B 2p ＝2py A ＋y B ＝6，所以y A ＋y B ＝p 3，而k OA ＝y A y 2A2p＝2py A＝2，故y A ＝p ，y B ＝－23p ，所以x B ＝29p ，k OB ＝－3，选D. 答案：D5．(2019年重庆市高二上学期期末)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点，与y 轴交于A 点，若AF→＝FQ →，O 为坐标原点，则△OPQ 的面积为( ) A. 2 B.32 2 C ．2 2 D ．4解析：AF →＝FQ →⇒x Q ＝2⇒y Q ＝22， 从而可设直线FQ 为y ＝22(x －1)，联立方程有： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x⇒y 2－2y －4＝0，由韦达定理： y p ×22＝－4⇒y P ＝－2， 所以S ＝12|OF ||y Q －y P |＝12×1×(22＋2) ＝322，答案：B6．(2019年河南省郑州市高三毕业年级第二次质量预测)如图2，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )图2A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意抛物线过定点(2，4)，得抛物线方程y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心为(2，0)，半径r ＝1.由于直线过焦点，所以有1|PF |＋1|QF |＝2P ＝12，又|PN |＋4|QM |＝(|PF |＋1)＋(4|QF |＋4)＝|PF |＋4|QF |＋5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝ ⎛⎭⎪⎫1|PF |＋1|QF |＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4|QF ||PF |＋|PF ||QF |＋5≥23, 当且仅当PF ＝2QF 时等号成立．选A.7．(2019年浙江省宁波市高三模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.56B.2033 C.1531 D.2029解析：抛物线的准线方程为l ：x ＝－1， 分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ， 则|BN |＝|BF |＝5，图3∴B 点横坐标为4，不妨设B (4，－4)， 则直线AB 的方程为y ＝4x －20，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －20，y 2＝4x ，得4x 2－41x ＋100＝0，设A 横坐标为x 0，则x0＋4＝414，故而x 0＝254. ∴|AM |＝x 0＋1＝294，∴S △BCFS △ACF＝2029.答案：D8．(2019年湖南省邵阳市高三上学期期末)过圆P ：(x ＋1)2＋y 2＝14的圆心P 的直线与抛物线C ：y 2＝3x 相交于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为( )A.116 B ．2 C.136 D.73解析：由题意可知：P (－1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 不妨设点A 位于第一象限，如图4所示，图4则：PB →＝(x 2＋1，y 2)，P A →＝(x 1＋1，y 1)，据此可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3y 1，x 2＋1＝3（x 1＋1），y 21＝3x 1，y 22＝3x2解方程可得：x 1＝13，y 1＝1， 则|AP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＋12＝53，故点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为53＋12＝136. 本题选择C 选项. 答案：C9．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A, B 两点，设O 为坐标原点，则OA→·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3 D ．±13解析：由x 22＋y 2＝1 ，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1 ，焦点为(±1，0)．设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)·(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.故选B. 答案：B10．(2019年河南省平顶山高二第一学期期末)过点M (1，1) 的直线与椭圆x 24＋y 23＝1 交于A, B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为( )A ．4x ＋3y －7＝0B ．3x ＋4y －7＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．4x －3y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－34，所以直线的斜率为－34，由点斜式得到直线方程为3x ＋4y －7＝0.答案：B11．(2019年湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时， △AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A.433 B. 3 C.233 D.33图5解析：如图5所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，则AE ＝3＋p2，EH ＝p, ∴2p ＝3＋p2，解得p ＝2, ∴y 2＝4x ，A (3，23)，F (1，0)，∴k AF ＝3，直线AF 为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程为3(x －1)2＝4x ，解得x ＝3或x ＝13，∴y ＝23或y ＝－233，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫13，－233∴S △OAB ＝S △OFB ＋S △OF A＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫23＋233 ＝433，故选A. 答案：A12．(2019年普通高校全国卷一(A))已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点A ，B ，过点A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，两切线l 1，l 2交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆x 2＋y 2＝1的一条切线，则p 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：由题可知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，且过焦点F 的直线斜率存在，所以可设直线l ：y ＝kx ＋p2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ∴x 2－2kpx －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2kp .又由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，∴y ′＝xp ，所以过A 点的切线方程为l 1：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，∴y ＝y 1＋x 1p x －x 21p ＝x 1p x －x 212p .同理可知过点B 的切线方程为l 2：y ＝x 2p x －x 222p ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22p ＝－p 2，因此点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－p 2，过点M 与y 轴垂直的直线为y ＝－p 2(p >0)，而圆x 2＋y 2＝1与y 轴负半轴交于点(0，－1)，所以－p2＝－1，∴p ＝2.故选C.答案：C 二、填空题13．(2019年高三数学训练题)F 是双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF→＝FB →，则C 的离心率是________． 解析：双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，由题意，得|AF |＝b ，|BF |＝2b ，在Rt △AOF 中， |OF |＝c ，则|OA |＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF ＝θ，则∠AOB ＝2θ，tan θ＝b a ，tan2θ＝3b a ，即3ba ＝2b a 1－b 2a 2，即a 2＝3b 2，则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝233.答案：23314．(2019年高三数学训练题)设F 1，F 2为椭圆C 1: x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________．解析：设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知|MF 1|＝2，|F 1F 2|＝|MF 2|＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21，又根据椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a 1，|MF 1|－|MF 2|＝2a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2即a 1－a 2＝2c ，其中2a 1，2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率38≤e ≤49，所以38≤c a 1≤49，所以9c 4≤a 1≤8c 3，而a 2＝a 1－2c ，所以c4≤a 2≤2c 3，所以32≤ca 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，415．(2019年新疆兵团农二师华山中学期末)P 为抛物线y 2＝4x 上任意一点，点P 在y 轴上的射影为Q ，点M (4，5)，则PQ 与PM 长度之和的最小值为________．解析：抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点F (1，0)， 由抛物线的几何性质得|PQ |＝|PF |－1， |PQ |＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1 ≥|MF |－1＝34－1，当P ，M ，F 三点共线时等号成立． 答案：34－116．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，作AC ，BD 垂直抛物线的准线l 于C ，D 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是________(填写序号)．①AC→＋CD →＝BD →－BA →；②存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立；③FC→·FD →＝0；④准线l 上任意点M ，都使得AM →·BM →>0.图6解析：如图6，可见AC→＋CD →＝BD →－BA →＝AD →，所以①正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，“存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立”等价于“D ，O ，A 三点共线”，等价于“y 2－p 2＝y 1x 1”，等价于“y 1y 2＝－p 2(*)”．又因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 可设为x ＝my ＋p 2，与y 2＝2px 联立，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，于是，y 1y 2＝－p 2，(*)成立，所以②正确；“FC →·FD →＝0”等价于“p 2＋y 1y 2＝0”，据y 1y 2＝－p 2，(*)成立，知③正确；据抛物线定义知|AB |＝|AC |＋|BD |，所以以AB 为直径的圆半径长与梯形ACDB 中位线长相等，所以该圆与CD 相切，设切点为M ，则AM ⊥BM ，所以AM→·BM →＝0，④不正确． 答案：①②③ 三、解答题17．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA→·OB →的值； (2)如果OA→·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2，0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2，0)．图718．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2·x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22.19．(2019年百校联盟TOP20高三三月联考(全国Ⅱ卷))在平面直角坐标系xOy 中，与点M (－2，3)关于直线2x －y ＋2＝0对称的点N 位于抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点(非N 点)，若AB 过焦点F ，求|AF ||BF |的值．解：(1)设N (m ，n )，则⎩⎨⎧n －3m ＋2＝－12，m －22×2－n ＋32＋2＝0，解之得N (2，1)，代入x 2＝2py (p >0)得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)显然直线NA 的斜率是存在的， 设直线NA 的方程y －1＝k (x －2)， 设直线NB 的方程y －1＝－k (x －2)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k （x －2）消元，得x 2－4kx ＋8k －4＝0， 所以2＋x 1＝4k ，∴x 1＝4k －2，∴y 1＝4k (k －1)＋1， 故A (4k －2，4k (k －1)＋1)， 同理，B (－4k －2，4k (k ＋1)＋1)，所以k AB ＝4k （k ＋1）＋1－4k （k －1）－1－4k －2－4k ＋2＝－1，若|AF ||BF |<1，因为cos45°＝|BF |－|AF ||BF |＋|AF |，∴|AF ||BF |＝2－22＋2＝3－22，若|AF ||BF |>1，同理可求|AF ||BF |＝2＋22－2＝3＋2 2.20．(2019年辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上．(1)求椭圆的离心率；(2)若过焦点F 2垂直x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3，斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得P A ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0x 0－c＝－1且x 0＋c 2－y 02＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ，y 0＝a ＋c ，即M (－a ，a ＋c )∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12. (2)由(1)及题设得：c a ＝12且2b 2a ＝3， ∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2－3＝0.依题Δ>0，即t 2<4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－3如果存在P (m ，n )使得k P A ＋k PB 为定值，那么k P A ＋k PB 的取值将与t 无关k P A ＋k PB＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m＝⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3，令⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3＝M则Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2M －3M －2mn ＋3＝0为关于t (t 2<4)的恒等式∴⎩⎨⎧M ＝0，n ＝32m ，2mn ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝32或⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－32综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32及⎝⎛⎭⎪⎫1，32.。
2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.7《抛物线》附答案解析
【训练 2】 (1)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C， 若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)已知点 A(3，0)，过抛物线 y2＝4x 上一点 P 的直线与直线 x＝－1 垂直相交于点 B，若|PB|＝|PA|，则 P 的横坐标为( )
y＝ax2(a≠0)可化为
x2＝1y，是焦点在 a
y
轴上的抛物线，且其焦点坐标是
0， 1 4a
，准线方程是
y
＝－41a.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(选修 2－1P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 ＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程
A.1
B.32
C.2
D.52
解析 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为 3，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故 p ＝|CF|＝1，即 p＝3，从而抛物线的方程为 y2＝3x.
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 理1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)， 故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解 当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).(2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF ＝54PQ .(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以PQ ＝8p ，QF ＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0). 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，MN ＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于AE ＝BE ＝12MN ，从而14AB 2＋DE 2＝14MN 2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . [4分](2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 0－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0).[10分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是________(填序号).①BF －1AF －1； ②BF 2－1AF 2－1； ③BF ＋1AF ＋1； ④BF 2＋1AF 2＋1. 答案 ① 解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于BCAC.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1. ∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得BM ＝BF －1，AN ＝AF －1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴BC AC ＝BM AN＝BF －1AF －1. 5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 方法一 直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin θ＝3sin 30°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x 解析如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线y 2＝x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________. 答案 3 解析如图，设A (m 2，m )，B (n 2，n )，点C 为直线AB 与x 轴的交点.其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB→＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2. ∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )·(x －n 2)， 即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13.抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ →＝________. 答案 20解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，Q (x 3,2)，R (x 4,2).将y ＝2x －2代入x 2＝8y 得x2－16x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝x 1x 2＝16.直线PA 的方程为y －x 208＝x 208－x 218x 0－x 1(x －x 0)，即y －x 208＝x 0＋x 18·(x －x 0).令y ＝2，解得x 3＝x 1x 0＋16x 1＋x 0；同理可得x 4＝x 2x 0＋16x 2＋x 0.所以x 3x 4＝x 1x 0＋16x 1＋x 0×x 2x 0＋16x 2＋x 0＝x 2x 1x 20＋16x 0x 1＋x 2＋162x 2x 1＋16x 0＋x 2＝x 2x 1＋16x 0＋x 20x 2x 1＋16x 0＋x 2＝16， 所以OR →·OQ →＝x3x 4＋4＝20. 14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明 依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ； BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解 依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)， 则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8， 即MN 22－MN 21为定值8. 15.如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1).(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点.若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值.解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以MN ＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－x 1＋x 2＋16＝82k 2＋1|4k －3|， 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，MN ＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是85 2.。
教育最新K122019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线及其性质练习 理
§9.6抛物线及其性质考纲解读分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案 B2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.C. D.1答案 C3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M 为FN的中点,则|FN|= .答案 64.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9教师用书专用(5—8)5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .答案 26.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则= .答案1+7.(2013广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.8.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解析(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为,=(pk1,p).同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),于是·=p2(k1k2+).由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.答案 A2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.答案 B3.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.答案教师用书专用(4—5)4.(2013北京,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.答案 C5.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .答案 6考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D2.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.教师用书专用(4—5)4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.5.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4答案 D2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 D3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C 的方程为( )A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案 C4.(2017河南百校联盟质检,4)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为( )A.3B.4C.4D.4答案 B5.(2017河南新乡二模,14)已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为.答案10考点二抛物线的几何性质6.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案 C7.(2018贵州贵阳一模,8)过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为( )A. B.3C. D.4答案 D8.(2017江西红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(2,4)C. D.答案 D9.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= .答案 2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018河南安阳模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为( )A.4B.2C.2D.1答案 A11.(2018四川南充模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( )A.1B.2C.D.3答案 B12.(2017广东汕头一模,11)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A13.(人教A选2—1,二,2-4A,5,变式)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018河南开封一模,10)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)()A. B. C. D.答案 D2.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C 与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( )A.2-B.2-1C.1-D.-1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017河北唐山调研,15)已知抛物线x2=4y与圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r= .答案4.(2017河南商丘模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为.答案-15.(2017湖北孝感模拟,16)已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+(+)·=-1-5p2,则p的值为.答案三、解答题(共15分)6.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2.(1)求证:l1∥l2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=y D-1,∴y D=y1+2.∴直线l1的斜率k1==,∵x1x2=-4,∴k1==x2,又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,∴l1∥l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,∴x1+x B=2x2,x1x B=-(+8).∴|AB|=·=2·,点C到直线l1的距离d=====,三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4,∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,S min=×43=16.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018广西钦州模拟,6)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( )A.1B.2C.2D.4答案 B2.(2017江西赣州二模,4)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 B3.(2017福建福州模拟,14)函数y=a x-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是.答案y2=x方法2 抛物线定义的应用策略4.(2018湖南长沙模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( )A.1B.C.2D.答案 C5.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案 D6.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案7.(2017福建四地六校4月模拟,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为.答案(4,0)8.(2016陕西西安模拟,13)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是.答案(8,12)方法3 解决直线与抛物线位置关系问题的方法9.(2018广东汕头一模,9)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.解析(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=,所以所截弦长为2=2==.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.。
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第5节抛物线知识点、方法题号抛物线的定义与应用3,4,8抛物线的标准方程及应用1,2,7,12直线与抛物线的位置关系5,9,13抛物线的综合应用6,10,11,141.(2015沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )(A)(0,a) (B)(a,0)(C)(0,) (D)(,0)解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),所以焦点坐标为(0,).2.(2016唐山模拟)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( B )(A)y2=2ax (B)y2=4ax(C)y2=-2ax (D)y2=-4ax解析:以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y2=4ax.3.(2015兰州双基过关考试)抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为( B )(A)4 (B)8 (C)16 (D)32解析:设抛物线的准线方程为x=-(p>0),则根据抛物线的性质有+6=10,解得p=8,所以抛物线的焦点到准线的距离为8.4.(2016郑州第一次质量预测)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,|PF|=25,则|ab|等于( D )(A) 100 (B)200 (C)360 (D)400解析:根据抛物线的定义可知,准线方程为y=-5,|PF|=b+5=25,所以b=20.又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,所以a2=20×20,所以a=±20,所以|ab|=400.5.已知直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,l与C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为( B )(A) (B) (C)1 (D)2解析:因为直线l过抛物线的焦点,所以m=.联立得,x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,故|AB|=x1+x2+p=4p=6,p=.6.(2016云南统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A,B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为( C )(A)x2=8y (B)x2=4y(C)y2=8x (D)y2=4x解析:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,联立消去x得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B (x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.7.(2015高考陕西卷)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .解析:y2=2px的准线方程为x=-,又p>0,所以x=-必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),所以-=-,p=2.答案:28.(2015丹东市高三质检)抛物线x2=-8y上的一点M(x0,-3)到其焦点的距离是. 解析:x2=-8y的准线方程为y=2,则点M(x0,-3)到焦点的距离,利用抛物线定义知,就是点M到准线的距离为3+2=5.答案:59.(2015洛阳统考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|= .解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1=5⇒x1=4,=4x1=16,根据对称性,不妨取y1=4,所以直线AB:y=x-,代入抛物线方程可得,4x2-17x+4=0,所以x2=,所以|BF|=x2+1=.答案:【教师备用】 (2015唐山统考)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.(1)求抛物线的方程;(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.解:(1)设l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2==4.因为·=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12.得p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)(1)中(*)式可化为y2-4my+8=0,y1+y2=4m,y1y2=8.设AB的中点为M,则|AB|=2x M=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①又|AB|=|y1-y2|=,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,m=±.所以直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.能力提升练(时间:15分钟)10.(2015高考浙江卷) 如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( A )(A)(B)(C)(D)解析: 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y 轴于点B2,则====.11.(2015高考四川卷)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( D ) (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)解析:当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),k AB===.设圆心为C(5,0),则k CM=.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x0=3,于是=r2-4,r>2,又<4x0,即r2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4.故选D.12.(2015云南检测)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆M的方程为x2+y2+8x+12=0,如果抛物线C的准线与圆M相切,那么p的值为.解析:将圆M的方程化为标准方程:(x+4)2+y2=4,圆心坐标为(-4,0),半径r=2,又抛物线的准线方程为x=-,所以|4-|=2,解得p=12或4.答案:12或413.(2016山西大学附中高三上模块诊断)已知点A(-,)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,点M,N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若·=3,则点A到动直线MN的最大距离为.解析:因为点A(-,)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,所以准线方程为x=-=-,所以p=1,所以抛物线方程为y2=2x,点M,N在抛物线上,所以可设M(,y1),N(,y2),由·=3得,×+y2×y1=3,即+4y1y2-12=0,解之得y1y2=2或y1y2=-6,又因为点M,N在x轴的两侧,所以y1y2=-6,直线MN的方程为=,即y-y1=(x-),当y=0时,x==3,所以直线MN恒过定点P(3,0),所以点A(-,)到直线MN的最大距离为|AP|==.答案:14.(2015大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,·=2,求抛物线C的方程.解:(1)设直线l1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-2pmy-4p=0,y1+y2=2pm,y1·y2=-4p.k1+k2=+=+===0.(2)设P(x0,y0),则直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,y M=,同理y N=.因为·=2,所以4+y N y M=2.即·=-2,即=-2,即=-2,p=,抛物线C的方程为y2=x.精彩5分钟1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1,),与C交于点P,则点P的坐标为( D )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(3,2) (D)(4,4)解题关键:设出E点坐标,利用|EQ|=|QF|解出E点坐标,再利用k EF与k QP的关系写出QP方程联立方程组求解.解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即y-=,解得y=4,所以k EF==-2,k PQ=,所以直线PQ的方程为y-=(x+1),即x-2y+4=0.由解得即点P的坐标为(4,4),故选D.2.(2015郑州模拟)已知实数m是2和8的等比中项,则抛物线y=mx2的焦点坐标为.解题关键:先利用等比数列求得m,再利用抛物线方程求得焦点坐标.解析:实数m为2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4,又因为焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=2py,所以p=±,所以=±,又因为焦点在y轴上,所以该抛物线的焦点坐标为(0,±). 答案:(0,±)。