山东省青岛市胶州市普通高中2018学年高一上学期期中考试数学试卷 含解析

2018-2018学年山东省青岛市胶州市普通高中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={﹣1，0}，B={0，1}，C={1，2}，则（A∩B）∪C等于（）A． B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列函数中是奇函数的是（）A． B．C．y=x2+x D．y=x3（x≥0）3．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜2}4．（5分）函数y=（）x（x≥8）的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，] D．[，+∞）5．（5分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）6．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣107．（5分）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象（）A．B．C．D．8．（5分）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=（x﹣1）2C．y=21﹣x D．y=lg（x+3）9．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a10．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是（）A．a≥5 B．a≤5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣311．（5分）已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a 的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣D．﹣112．（5分）定义函数y=f（x），x∈D（定义域），若存在常数C，对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知f（x）=lgx，x∈[10，100]，则函数f（x）在[10，100]上的均值为（）A．B．C．D．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数；则k的值为．14．（5分）函数y=a x﹣3（a＞0，a≠1）的图象必经过点．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．16．（5分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3）（0＜a＜1）在[2，4]上是增函数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（C R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数，且．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上的最值．19．（12分）设f（x）=a﹣，x∈R，（其中a为常数）．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=（）2x﹣（）x﹣1，x∈[0，+∞），求g（x）的值域．21．（12分）某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元．（1）设从甲地调运x台至A地，求总费用y关于台数x的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用．22．（12分）已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若f（x）=x+，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点﹣区间的左断点）；（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．2018-2018学年山东省青岛市胶州市普通高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={﹣1，0}，B={0，1}，C={1，2}，则（A∩B）∪C等于（）A． B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据交集和并集的定义，结合已知的集合A、B、C进行求解．【解答】解：（A∩B）∪C=（{﹣1，0}∩{0，1}）∪{1，2}={0}∪{1，2}={0，1，2}故选C【点评】集合的运算一般难度较低，属于送分题，解答时一定要细心，“求稳不求快”．2．（5分）（2018秋•胶州市期中）下列函数中是奇函数的是（）A． B．C．y=x2+x D．y=x3（x≥0）【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断即可．【解答】解：y=的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；y=x2+x关于x=﹣对称，为非奇非偶函数；y=x3（x≥0）定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；y=f（x）=定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（﹣x）=﹣=﹣f（x），所以y=为奇函数，故选B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．3．（5分）（2018秋•胶州市期中）函数f（x）=的定义域是（）A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜2}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴≠0，即log2x﹣1＞0，∴log2x＞1；解得x＞2，∴f（x）的定义域是{x|x＞2}．故选：C．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．4．（5分）（2018秋•胶州市期中）函数y=（）x（x≥8）的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，] D．[，+∞）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象与性质，求出函数y的值域即可．【解答】解：根据指数函数的图象与性质，得；函数y=（）x是定义域R上的减函数，∴当x≥8时，0＜y≤；又∵=，∴y的值域是（0，]．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用指数函数的单调性进行解答，是基础题．5．（5分）（2018秋•广州期末）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】通过换元：令，将已知条件中的x都换为t，得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可．【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故选C【点评】已知f（ax+b）的解析式来求f（x）的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法．6．（5分）（2018秋•蒙自县校级期末）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先把x=﹣2代入代数式ax3+bx﹣4得出8a+2b的值来，再把x=2代入ax3+bx﹣4，即可求出答案．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6，∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣6﹣4=﹣10故选D【点评】本题主要考查了函数的求值问题，在解题时要根据题意找出适量关系是解题的关键．7．（5分）（2018秋•胶州市期中）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性，结合已知函数的图象，判断即可．【解答】解：函数y=f（|x|）是偶函数，x＞0时，函数y=f（|x|）的图象与函数y=f（x）的图象相同，所以函数y=f（|x|）的图象为：．故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，是基础题．8．（5分）（2018秋•滕州市期末）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=（x﹣1）2C．y=21﹣x D．y=lg（x+3）【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可．【解答】解：A中，在（﹣1，+∞）和（﹣∞，﹣1）上单调递减，故在（0，+∞）上也单调递减，排除A；B中，y=（x﹣1）2在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除B；y=21﹣x在R上单调递减，排除C；y=lg（x+3）在（﹣3，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也单调递增，故选D．【点评】本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的单调性是解决相关问题的基础．9．（5分）（2018•重庆模拟）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，知b＞c＞a．【解答】解：∵a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选C．【点评】本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数函数和指数函数性质的应用．10．（5分）（2018秋•胶州市期中）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≤5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=，抛物线开口向上，∴函数在（﹣∞，1﹣a]上单调递减，要使f（x）在区间（﹣∞，4]上单调递减，则对称轴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键．11．（5分）（2018秋•胶州市期中）已知实数a≠0，函数f（x）=，若f （1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣D．﹣1【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】若a＞0，则1﹣a＜1，1+a＞1，由f（1﹣a）=f（1+a），得2（1﹣a）+a=﹣（1+a）﹣2a；若a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，由f（1﹣a）=f（1+a），得2（1+a）+a=﹣（1﹣a）﹣2a．由此能求出a的值．【解答】解：∵实数a≠0，函数f（x）=，f（1﹣a）=f（1+a），∴若a＞0，则1﹣a＜1，1+a＞1，又f（1﹣a）=f（1+a），∴2（1﹣a）+a=﹣（1+a）﹣2a，解得a=﹣，不成立；若a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，又f（1﹣a）=f（1+a），∴2（1+a）+a=﹣（1﹣a）﹣2a，解得a=﹣．∴a=﹣．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．（5分）（2018秋•胶州市期中）定义函数y=f（x），x∈D（定义域），若存在常数C，对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知f（x）=lgx，x∈[10，100]，则函数f（x）在[10，100]上的均值为（）A．B．C．D．10【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据新定义，直接求解．【解答】解：由题意：f（x）=lgx，x∈[10，100]，那么f（10）=1，f（100）=2．根据新定义：=C，∴C=．故选A．【点评】本题考查了对新定义的理解和运用．读懂题意即可计算．属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2018秋•胶州市期中）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数；则k的值为1．【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用偶函数的定义，直接求解即可．【解答】解：函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数；可得f（﹣x）=f（x）．即：kx2+（k﹣1）（﹣x）+2=kx2+（k﹣1）x+2．解得k=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断与应用．是基础题．14．（5分）（2018春•渭滨区期末）函数y=a x﹣3（a＞0，a≠1）的图象必经过点（3，1）．【考点】指数函数的图象变换．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令指数等于零，求得x、y的值，可得它的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数y=a x﹣3（a＞0，a≠1），令x﹣3=0，求得x=3，y=1，可得它的图象必经过点（3，1），故答案为：（3，1）．【点评】本题主要考查指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．15．（5分）（2018秋•常熟市校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．【考点】奇函数；函数的值．【专题】计算题；转化思想．【分析】可利用奇函数的定义将f（﹣2+log35）的值的问题转化为求f（2﹣log35）的值问题，再根据函数的性质求出f（﹣2+log35）【解答】解：由题意f（﹣2+log35）=﹣f（2﹣log35）由于当x＞0时，，故f（﹣2+log35）=﹣f（log3）==故答案为【点评】本题考查函数的性质，求解的关键是根据奇函数的性质将求值的问题转化到x＞0时来求，这是奇函数性质的一个很重要的运用．16．（5分）（2018秋•胶州市期中）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3）（0＜a＜1）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得t在[2，4]上是减函数，且t＞0，故有≥4，且a•42﹣4+3＞0，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：令t=ax2﹣x+3，显然二次函数t的图象的对称轴为x=，由于0＜a＜1，结合题意可得，t=ax2﹣x+3在[2，4]上是减函数，且t＞0，故有≥4，且a•42﹣4+3＞0，求得；故答案为．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2018秋•罗庄区期末）已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（C R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【专题】综合题；转化思想；对应思想；综合法．【分析】（1）先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，（C R A）∩B；（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．【解答】解：（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，∴（C R A）∩B{7，8，9}（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}∴解得3≤a＜6实数a的取值范围是3≤a＜6【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解集合运算的意义，能借助数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围，本题中取参数的范围是一个难点，易因为错判出错，求解时要注意验证等号能否成立．18．（12分）（2018秋•珠海期末）已知函数，且．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上的最值．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（1）由代入可求m（2）先设0＜x1＜x2，利用作差可得=，根据已知判断比较f（x2）与f（x1）即可（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．且可证函数f（x）为奇函数．结合（2）知f（x）在[1，5]上为减函数，则根据奇函数的性质可知函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数．结合函数单调性可求【解答】解：（1）由得：，即：4m=4，解得：m=1；…（2分）（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（3分）证明：设0＜x1＜x2，则=；…（5分）∵0＜x1＜x2∴，即f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（7分）（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．…（8分）∴，即函数f（x）为奇函数．…（9分）由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数．…（10分）∴当x=﹣5时，f（x）取得最大值，最大值为；当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为f（﹣1）=﹣2+1=﹣1．…（12分）（其他解法请参照给分）【点评】本题主要考查了定义法证明函数的单调性，一般步骤是①设量②作差③定号④给出结论；还考查了奇函数的性质：奇函数对称区间上单调性相同，及利用函数的单调性求解函数在区间上的最值．19．（12分）（2018秋•胶州市期中）设f（x）=a﹣，x∈R，（其中a为常数）．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）法一：利用函数的奇偶性的定义，直接求解即可．法二：求出f（0）=0代入求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的值域求解即可．【解答】（本题满分12分）解：法一：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数所以f（﹣x）=﹣f（x）…（1分）即：所以a=1…（5分）法二：因为x∈R，f（x）为奇函数所以f（﹣x）=﹣f（x）所以f（﹣0）=﹣f（0）所以f（0）=0…（3分）得：a=1…（5分）（Ⅱ）因为f（x）+a＞0恒成立，即恒成立．…（7分）因为2x+1＞1，所以．…（10分）所以2a≥2即a≥1．…（12分）【点评】本题考查函数恒成立，函数的奇偶性以及函数的值域的求法，考查计算能力．20．（12分）（2018秋•滕州市校级期末）已知函数f（x）=log a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=（）2x﹣（）x﹣1，x∈[0，+∞），求g（x）的值域．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】此题（1）由带入法求解函数解析式，（2）是指数函数与二次函数的复合，转化成二次函数的最值问题，难度不大【解答】（1）∵已知函数f（x）=log a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2）∴f（﹣2）=0，f（1）=2∴log a（b﹣2）=0，log a（1+b）=2∴a=2，b=3∴f（x）=log2（x+3）（2）∵∴设，则t∈（0，1]∴函数g（x）在上单调递减，在上单调递增．∴时，g（x）有最小值，t=1时，g（x）有最大值﹣1∴g（x）的值域为【点评】此题主要考查指数函数与二次函数的复合，从而转化成二次函数的最值问题，难度不大，是一道基础题目．21．（12分）（2018秋•胶州市期中）某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元．（1）设从甲地调运x台至A地，求总费用y关于台数x的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；解题思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）设从甲地调运x台至A地，则从甲地调运（12﹣x）台到B地，从乙地调运（10﹣x）台到A地，从乙地调运6﹣（10﹣x）=x﹣4台到B地，然后列出函数解析式．注明定义域．（2）利用y≤9000，得到不等式求解即可．（3）利用函数y=﹣200x+11800（0≤x≤10，x∈Z）是单调减函数，直接求解即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）设从甲地调运x台至A地，则从甲地调运（12﹣x）台到B地，从乙地调运（10﹣x）台到A地，从乙地调运6﹣（10﹣x）=x﹣4台到B地，依题意，得y=400x+800（12﹣x）+300（10﹣x）+500（x﹣4），即y=﹣200x+11800（0≤x≤10，x∈Z）．…（6分）（2）由y≤9000，即﹣200x+11800≤9000，解得x≥8．因为0≤x≤10，x∈Z，所以x=8，9，10答：共有三种调运方案．…（9分）（3）因为函数y=﹣200x+11800（0≤x≤10，x∈Z）是单调减函数，所以当x=10时，总运费y最低，y min=8600（元）．…（11分）此时调运方案是：从甲分厂调往A地10台，调往B地2台，乙分厂的6台机器全部调往B地．…（12分）【点评】本题考查利用函数的解析式求解函数的实际问题，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）（2018秋•胶州市期中）已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若f（x）=x+，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点﹣区间的左断点）；（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．【考点】函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用性质，讨论与区间（0，a]的关系，从而利用最小值是4，建立条件关系．（2）根据值域为[4，5]，确定对应的变量x，然后判断最大的区间．（3）利用函数的单调性，解不等式即可．【解答】解：（1）由题意的：函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，当a＞时，即a＞1时函数在x=处取得最小值，∴f（）=2=4，解得a=4，当a＜时，即0＜a＜1时，函数在x=a处取得最小值，∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合题意，舍去．综上可得a=4．（2）由（1）得f（x）=x+，又x=2时函数取得最小值4，令x+=5，则x2﹣5x+4=0，解得x=1或x=4，又2∈[1，4]，∴区间长度最大的A=[1，4]．（3）由（1）知函数在[2，+∞）上单调递增，∴原不等式等价于，解得a≥4或a=﹣1，∴不等式的解集{a|a≥4或a=﹣1}．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查学生的理解和应用能力．。