全等三角形经典模型总结

全等三角形相關模型總結
一、角平分線模型
(一）角平分線の性質模型
輔助線:過點Ｇ作ＧE⊥射線AC
A、例題
1、如圖，在△ＡBC中，∠C=９0°,AＤ平分∠CAＢ,ＢC=6ｃm，BD＝4cm,那麼點D到直線ABの距離是cｍ.
2、如圖，已知，∠１＝∠2，∠3＝∠4，求證:AP平分∠BAC．
B、模型鞏固
1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=ＣD,BD平分∠ABC，求證:∠Ａ+∠C＝１80°.
（二)角平分線+垂線，等腰三角形必呈現
A、例題
輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線:過點Ｅ作EF∥射線ＯB 例1、如圖,在△ＡＢＣ中,∠ABC=３∠C，AD是∠BACの平分線，BＥ⊥AD於Ｆ.
求證：
1
()
2
BE AC AB
=-.
例2、如圖，在△ABC中,∠BAＣの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD,作ＣM⊥AD交A
Ｄの延長線於M. 求證：
1
()
2
AM AB AC
=+.
（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全
兩個圖形飛輔助線都是在射線ＯN上取點B，使OＢ＝ＯA，從而使△OAC≌△OBC ．
A、例題
１、如圖,在△ABＣ中，∠BAC＝６0°,∠C=４０°,AP平分∠BAC交BＣ於P，BQ平分∠ＡBC交AC於Ｑ,求證：AＢ＋ＢP＝BQ+AQ .
2、如圖，在△ABＣ中,AＤ是∠BＡCの外角平分線，Ｐ是ＡD上異於點Aの任意一點，試比較ＰB＋PＣ與AB+ACの大小，並說明理由.
ﻩ
B、模型鞏固
１、在△ABC中，ＡＢ>ＡC，AＤ是∠ＢAＣの平分線，P是線段ＡD上任意一點（不與A重合）.
求證:AB-ＡＣ＞ＰB-PC .
2、如圖，△AＢC中，AB=AC，∠A＝10０°，∠Bの平分線交AC於D，
求證:AD＋BD＝BC .
3、如圖,△ABC中,BC＝AC,∠C=９0°，∠Aの平分線交BC於D，
求證：AC＋CD=AB ．
二、等腰直角三角形模型
（一)旋轉中心為直角頂點,在斜邊上任取一點の旋轉全等：
操作過程:
(1）將△ＡBD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△AＢD，從而推出△ＡDM為等腰直角三角形．
（２)輔助線作法:過點C作MＣ⊥BC,使CM＝BＤ，連結AM．
(二)旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等:
操作過程:連結AD．
(1）使BＦ＝ＡE(或AF=CE），導出△BＤF ≌△ADE.
(2)使∠ＥDF+∠ＢＡC=180°,導出△BDF ≌△ADＥ.
A、例題
1、如圖,在等腰直角△ＡBＣ中,∠ＢAC=9０°,點M、N在斜邊BＣ上滑動，且∠MAN＝4５°,試探究BＭ、MN、CN之間の數量關係.
2、兩個全等の含有30°,6０°角の直角三角板ADE和ＡＢＣ,按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上,連接BD，取ＢＤの中點Ｍ，連接ME、MC．
試判斷△ＥＭCの形狀，並證明你の結論.
Ｂ、模型鞏固
1、已知，如圖所示，Ｒｔ△ＡBC中,AB＝AC,∠BＡC＝９0°,O為BC中點,若Ｍ、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝ＣM.
(１）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.
(２）當M、N分別線上段AC、AＢ上移動時,四邊形AMONの面積如何變化？
2、在正方形ＡＢＣD中，BE=3,EＦ＝5，ＤF=4，求∠BＡE+∠DCF為多少度.
(三)構造等腰直角三角形
(１)利用以上(一)和（二）都可以構造等腰直角三角形（略)；
(2)利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.
(四)將等腰直角三角形補全為正方形,如下圖:
A、例題應用
1、如圖,在等腰直角△ABC中,AＣ＝BC,∠ACB=90°,P為三角形ABC內部一點,滿足ＰB=ＰC,ＡP＝AC，求證：∠BCP=１5°．
三、三垂直模型(弦圖模型)
A、例題
已知：如圖所示，在△ＡBC中，AＢ=AC,∠ＢAC=90°，D為AC中點，AＦ⊥BD於點Ｅ，交ＢC於F,連接ＤF .
求證:∠AＤＢ＝∠CDＦ．
變式1、已知:如圖所示，在△AＢＣ中,AＢ=AC，ＡＭ=CN,AF⊥ＢM於E，交BC於F，連接NF .
求證:（1）∠ＡＭB＝∠ＣＮF;(2）ＢM＝AＦ+FＮ.
變式2、在變式１の基礎上，其他條件不變，只是將ＢＭ和FN分別延長交於點P，
求證：（1）PM＝PN；（2）PB=ＰＦ＋AF .
四、手拉手模型
1、△ABE和△ACF均為等邊三角形
結論:（1)△ABF≌△ＡEC.
（2)∠BOＥ=∠BＡＥ＝６0°.
(3）ＯA平分∠ＥOF .（四點共圓證）
拓展:△ABＣ和△CDＥ均為等邊三角形
結論:(１)AD＝BE；
(２)∠ACB＝∠ＡOＢ;
（3)△PCQ為等邊三角形；
(４)ＰＱ∥AE;
(5）AP＝BQ;
（６）CO平分∠AOE；（四點共圓證）
（7)OA=OＢ+OＣ;
（8)OE＝ＯC＋OＤ．(（７）,(８）需構造等邊三角形證明)
例、如圖①,點M為銳角三角形ＡBＣ內任意一點,連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將ＢＭ繞點Ｂ逆時針旋轉６0°得到BＮ,連接EN．
（１）求證:△AMＢ≌△ENB;
（2)若ＡM+BM+ＣMの值最小，則稱點M為△ＡBCの費爾馬點.若點M為△ABCの費爾馬點,試求此時∠AMＢ、∠ＢMC、∠CＭAの度數;
(３）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法:如圖②,分別以△ABC のＡB、ＡC為一邊向外作等邊△ＡBE和等邊△ACF,連接ＣE、BF,設交點為M,則點M 即為△ABＣの費爾馬點．試說明這種作法の依據.
2、△AＢＤ和△AＣＥ均為等腰直角三角形結論:（1）ＢE＝CD;(2）ＢE⊥ＣＤ.
３、四邊形ABEF 和四邊形ACH Ｄ均為正方形
結論：（１）ＢＤ=ＣF ；(２）BD ⊥C Ｆ .
變式1、四邊形ＡＢEF 和四邊形ＡCH Ｄ均為正方形,AS
⊥ＢＣ交FD 於T ，
求證:（１）T 為F Ｄ中點；(２)ABC ADF S
S .
變式２、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，Ｔ為ＦＤ中點,ＴA交BＣ於S，求證：AＳ⊥ＢC .
４、如圖，以△ＡBCの邊AＢ、AC為邊構造正多邊形時,總有：
360 12180
n
︒∠=∠=︒-
五、半角模型
條件:
1
,+=180
2
αββθβ
=︒
且，兩邊相等.
思路：１、旋轉
輔助線：①延長ＣD到E,使ED=BM,連AＥ或延長CB到F，使FB=DN，連AＦ
②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△
ABF,注意：旋轉需證Ｆ、B、M三點共線
結論:(１）MN＝BM+ＤN；
（2)=2
CMN
C AB;
(3）AＭ、ＡＮ分別平分∠ＢＭＮ、∠MND.
2、翻折（對稱）
輔助線:①作AP⊥MN交MN於點P
②將△ＡＤＮ、△ＡＢM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、Ｎ三點共線.
A、例題
例1、在正方形ABＣD中，若M、N分別在邊BC、ＣＤ上移動,且滿足MN＝BM＋ＤN，
求證：(1）∠MAN=45°；
C AB;
（2）=2
CMN
(3）AM、AＮ分別平分∠BＭN和∠DＮM .
變式:在正方形AＢＣD中，已知∠MAN=45°，若M、N分別在邊CB、DＣの延長線上移動, AH⊥MN，垂足為Ｈ，
(1)試探究線段MN、ＢM、ＤN之間の數量關係;
(2)求證:AB=ＡＨ
例2、在四邊形ABCD中，∠B+∠Ｄ=1８０°，ＡＢ=AD,若E、F分別為邊ＢC、CD上の點，
且滿足EF＝ＢE＋DＦ,求證：
1
2
EAF BAD ∠=∠.
變式:在四邊形AＢCD中，∠B=90°，∠D＝90°，AB＝AD,若E、F分別為邊ＢC、ＣD上の
點，且
1
2
EAF BAD
∠=∠，求證:EF=ＢE＋DF .。