浙江省中考数学综合提升训练：数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用
一、选择题
1. (2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中，正确的是()
(第1题)
A. ac>bc
B. |a－b|＝a－b
C. －a<－b<－c
D. －a－c>－b－c
2. 如图①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图②拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是()
(第2题)
A. ab
B. (a＋b)2
C. (a－b)2
D. a2－b2
3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；
③abc>0；④b＝2a.其中正确的结论有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
,(第3题)),(第4题))
4. 小明在学习锐角三角函数时，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是()
A. 3＋ 2
B. 2＋1
C. 2－1
D. 5－2
4
二、填空题
5. (2014·山东东营)如图，有两棵树，一棵高12 m ，另一棵高6 m ，两树相距8 m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，则小鸟至少要飞行________m.
,(第5题)) ,(第6题))
6. 在开展“国学诵读”活动中，某校为了了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生中一周的课外阅读时间不少于7 h 的人数是________．
7. 已知三角形的三边长分别是2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)，则该三角形中的最大角等于________．
(第8题)
8. 在一次数学活动中，为了求12＋122＋123＋…＋1
2n 的值，小明设计了如图所示的图形．利用这个
几何图形求式子12＋122＋123＋…＋1
2
n 的值为________．
9. 已知0<x <12，则x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为________． 三、解答题
10. (2014·广东珠海)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y ＝m
x
的图象交于点B ，E .求：
(第10题)
(1)反比例函数及直线BD的表达式．
(2)点E的坐标．
11. 若关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一根大于1，一根小于－1，求a的取值范围．
12. (2015·山东淄博)如图①所示为一把折叠椅子，图②是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG与MN的距离为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67，sin 60°≈0.87，cos 60°≈0.5，tan 60°≈1.73)．
(第12题)
13. 如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB 相切于动点P，连结CP.
(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长．
(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围．
(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．
(第13题)
参考答案
1．D 2．C 3．B[由图象可知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0；当x ＝0时，y ＝c ＝0，∴abc ＝0．∵对称轴为直线x ＝－b
2a ＝－1，∴b ＝2a ．∴①②④正确，③错误．] 4．B[由
折叠的性质，得AB ＝BE ，AE ＝EF ．∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EF A ＝45°2＝22．5°，∴∠F AB ＝67．5°．设AB ＝x ，则EF ＝AE ＝2x ，∴tan ∠F AB ＝tan 67．5°＝FB
AB ＝
2x ＋x
x
＝2＋1．] 5．10 6．520 7．90°[∵(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝4n 2＋4n ＋1＋4n 4＋8n 3＋4n 2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，(2n 2＋2n ＋1)2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，∴(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2，∴此三角形是直角三角形，∴最大角等于90°．] 8．1－12n [由图可知：12＝1－12，12＋1
22
＝1－122，12＋122＋123＝1－123，…，∴12＋122＋123＋…＋12n ＝1－1
2
n ．]
(第9题解)
9．13[作出图形如解图．赋予式子x 2＋4＋（12－x ）2＋9如下的几何意义：CD ＝x 2＋4，CE ＝（12－x ）2＋9，∴求x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值，即求CD ＋CE 的最小值，当D ，C ，E 三点共线时值最小，最小值为DE ＝122＋（2＋3）2＝13．]
10．(1)反比例函数的表达式为y ＝－2
x
，直线BD 的表达式为y ＝－x －1． (2)点E (－2，1)．
(第11题解)
11．由题意可知，抛物线y ＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2与x 轴的交点一个在点(1，0)的右边，另一个在点(－1，0)的左边，且开口向上，大致图象如解图所示．由图可知，当x ＝1时，y <0；当x ＝－1时，y <0，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a －a 2
<0，
解得－2<a <0． 12．过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则FH ＝42 cm ．在Rt △BFH 中，∵∠FBH ＝60°，FH ＝42 cm ，∴BF ＝42sin60°
≈48．28(cm)．又∵CF
＝42 cm ，∴BC ＝BF ＋CF ＝48．28＋42≈90．3(cm)．在Rt △BDQ 中，∵∠DBQ ＝60°，∴BQ ＝DQ tan60°．在Rt △ADQ 中，∵∠DAQ ＝80°，∴AQ ＝DQ tan80°．∵BQ ＋AQ ＝AB ，∴DQ tan60°＋DQ
tan80°＝43，解得DQ ≈56．999(cm)．在Rt △ADQ 中，∵∠DAQ ＝80°，DQ ＝56．999 cm ，∴AD ＝56.999sin80°≈
58．2(cm)．答：两根较粗钢管AD 和BC 的长分别为58．2 cm ，90．3 cm ． 13．(1)过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点O 作OR ⊥PC 于点R ．在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5．∵AC ，AP 都是⊙O 的切线，∴点O 在BC 上，AP ＝AC ＝3．∴PB ＝2．易知PQ ∥AC ，∴BQ BC ＝PQ AC ＝PB AB ＝25．∴
PQ ＝65，BQ ＝85．∴CQ ＝BC －BQ ＝125．∴PC ＝PQ 2＋CQ 2＝655．∵OR ⊥PC ，∴∠CRO ＝∠CQP ，
CR ＝12PC ＝3 55．∵∠OCR ＝∠PCQ ，∴△COR ∽△CPQ ．∴OC CR ＝PC CQ ，即r
3 5
5＝6 5
5125，解得r ＝
3
2． (2)当PC 最短时，PC 为AB 边上的高线，此时PC ＝3×45＝125；当PC 最长时，点P 与点B 重合，此时PC ＝BC ＝4，∴12
5
≤PC ≤4．
(第13题解)
(3)如解图，当点P 与点B 重合时，⊙O 的半径r 最大，点O 在BC 的垂直平分线上，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则BD ＝12BC ＝2．∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBC ＝90°＝∠BOD
＋∠OBD ，∴∠ABC ＝∠BOD ．∴BD OB ＝sin ∠BOD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35，∴OB ＝10
3，即半径r 的最大
值为10
3．。